10.5分式方程（一）讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

本讲义聚焦苏科版八年级数学下分式方程核心知识点，承接整式方程学习基础，通过类比转化思想，系统构建分式方程定义（分母含未知数）、解法步骤（去分母、解整式方程、检验）及增根概念（使分母为0的整式方程根）的完整知识支架。 资料设计亮点突出，以问题情境导入培养抽象能力（数学眼光），解题步骤强调推理意识（数学思维），分层例题与思维导图助力知识内化。课中辅助教师高效授课，课后通过知识清单与强化练习，帮助学生查漏补缺，提升运算能力与模型意识。

2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第十章分式第五节分式方程（一）》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解分式方程的定义，能准确区分分式方程与整式方程；掌握分式方程的基本解法，理解增根的含义并会对分式方程的解进行检验；能运用分式方程解决简单的实际应用题。 2.   通过类比整式方程的解法，经历分式方程 “ 去分母化为整式方程 ” 的探究过程，体会转化的数学思想；在解题和应用中提升分析问题、解决问题的能力。 3.   感受数学知识的关联性，培养严谨的解题习惯，体会分式方程在实际生活中的应用价值，激发数学学习兴趣。 4.   发展数学运算、逻辑推理和数学建模核心素养，规范解题步骤，提升解题严谨性。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.   分式方程的定义辨析，掌握分式方程的解题步骤：去分母、解整式方程、检验、写出解。 2.   熟练掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，明确检验步骤的必要性。 （二）难点 1.   理解分式方程增根的产生原因，掌握增根的判断方法，避免遗漏检验步骤导致解题错误。 2.   去分母时，准确找到最简公分母，避免出现漏乘常数项、符号出错等问题。 3.   实际问题中，准确提炼等量关系列出分式方程，同时完成双重检验（检验方程解、检验实际意义）。 4.   区分分式方程的解与增根，能根据增根的性质解决简单的参数求值问题。 ) 三．思维导图 四．课前预习 1.分母中含有______的方程叫做分式方程。 2.解分式方程的基本思路是：通过______，将分式方程转化为______来求解。 3.分式方程去分母的依据是______。 4.使分式方程的______为0的根，叫做原方程的增根，增根必须______。 5.解分式方程时，求出整式方程的解后，一定要代入______进行检验。 五．知识探秘 一．分式方程的概念 【问题】 甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件，乙加工服装24件所用时间与甲加工服装20件所用时间相同.怎样用方程来描述其中的等量关系? 设甲每天加工服装x件，加工服装20件用天.乙每天加工服装(x+1)件,加工服装24件用天，甲、乙所用的时间相同，根据这个相等关系，可得方程=。 【讨论】一个两位数的个位数字是4，如果把个位数字与十位数字互换那么所得的两位数与原两位数的比值是，怎样用方程来描述其中的等量关系? 像方程=，=这样，等式两边是分式或整式，且分母中含有未知数的方程叫作分式方程(fractional equation). ( 【知识梳理】 1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 核心特征： ① 是等式； ② 分母中含有未知数（区别于整式方程的关键）。 示例： =2、 = 是分式方程；2x+1=5、 +2=0 是整式方程（分母为常数）。 3 . 分式方程与整式方程的辨析 方程类型 分母特征 示例 分式方程 含有未知数 = 、 - =0 整式方程 不含未知数（为常数） 2x+1=5 、 +2=0 4 . 分式方程的识别要点 （ 1 ）只看分母是否含未知数，与分子是否含未知数无关。 （ 2 ）不能先对分式约分后再判断（如 仍是分式方程，约分后为x=1 是整式方程，但原方程分母含x）。 （ 3 ）注意区分分式方程与无理方程（如 是无理方程，不是分式方程）。 5 . 分式方程的解（根） （ 1 ）使分式方程左右两边相等，且分母不为0的未知数的值，叫做分式方程的解（也叫根）。 （ 2 ）条件： ① 满足整式方程； ② 使原分式方程的分母不为0。 【知识点睛】 1. 关键概念辨析 易错点1：误将分母含常数的方程当成分式方程，如 +3=0 是整式方程，分母2 是常数，不含未知数。 易错点2：约分后判断方程类型，如 =0 是分式方程，不能约分为x-1=0 后判定为整式方程。 ) ( 后判定为整式方程。 易错点3：忽略分母不为0的条件，认为只要满足等式就是分式方程的解。 2. 识别分式方程的步骤 （ 1 ）观察方程是否为等式； （ 2 ）查看方程中是否有分母； （ 3 ）判断分母中是否含有未知数： ① 有未知数 → 分式方程； ② 无未知数（为常数） → 整式方程。 3. 思想方法 （ 1 ）转化思想：分式方程后续会通过去分母转化为整式方程求解，这是解分式方程的核心思路。 （ 2 ）建模思想：分式方程是刻画实际问题中数量关系的重要模型，为后续实际应用奠定基础。 4. 拓展提示 （ 1 ）分式方程的分母不能为0，这是分式有意义的条件，也是后续检验分式方程解的依据。 （ 2 ）分式方程不一定只有一个解，也可能无解（产生增根），这是后续学习的重点内容。 ) 二．分式方程的解法 例1.解方程:= 解分式方程时，在方程的两边同乘各分式的最简公分母，可转化为整式方程. 例2.解方程:-=0. ( 【知识梳理】 1.   转化思想：分式方程无法直接求解，需利用等式性质，两边同乘最简公分母，消去分母，转化为学过的一元一次方程求解。 2.   解题步骤探究： （ 1 ）步骤一：找最简公分母：对分母进行因式分解，找出所有分母的最简公分母； （ 2 ）步骤二：去分母：方程两边每一项都乘最简公分母，切记不要漏乘不含分母的常数项，将分式方程化为整式方程； （ 3 ）步骤三：解整式方程：按照一元一次方程的解法，去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出整式方程的解； （ 4 ）步骤四：检验：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母 ≠ 0，该解是原分式方程的解；若最简公分母=0，该解是增根，原方程无解； （ 5 ）步骤五：写出结论：明确写出原方程的解或说明无解。 ) 三．分式方程的增根 例3：解方程： 解分式方程时，我们会在方程两边同时乘以最简公分母（含有未知数的整式），而这个整式可能为0。 若最简公分母为0，此时等式的基本性质2不成立（等式两边不能乘0），会导致转化后的整式方程与原分式方程不同解。 因此，整式方程的解可能使原分式方程的分母为0，让原方程无意义，这类解被称为增根，必须通过检验排除。 检验方法：将分式方程化成整式方程，解析得的整式方程的解代入最简公分母：若最简公分母 ≠ 0 → 是原分式方程的解；最简公分母 = 0 → 是增根，原方程无解。 ( 【知识梳理】 1. 分式方程增根的定义 在解分式方程时，去分母转化为整式方程的过程中，产生的使原分式方程的分母为0的根，叫做分式方程的增根。增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根。 2. 产生增根的原因 分式方程两边同乘了一个可能为0的含未知数的整式（最简公分母），导致未知数取值范围扩大，出现了使分母为0的根。 3. 分式方程验根的两种方法 （ 1 ）代入最简公分母检验：若最简公分母=0，是增根，原方程无解；若最简公分母 ≠ 0，是原方程的根。 （ 2 ）代入原分式方程检验：代入后分母不为0且左右两边相等，即为原方程的根。 4. 已知增根求参数的解题步骤 ① 去分母，将分式方程化为整式方程； ② 令最简公分母=0，求出增根； ③ 把增根代入整式方程，求出参数的值。 5. 分式方程无解的两种情况 （ 1 ）整式方程有解，但解是分式方程的增根，原方程无解； （ 2 ）整式方程本身无解（如一元一次方程系数为0，常数不为0），则原分式方程无解。 ) 六．经典例题 例1.在x2-x+,-3=x+4,+5x=6,=1中,分式方程有(　　) A.1个　 B.2个　 C.3个　 D.4个 例2.方程=的解为(　　) A.x=-2　 B.x=2　 C.x=-4　 D.x=4 例3.解分式方程+=3的过程中,去分母化为整式方程正确的是(　　) A.x+2=3 B.x-2=3 C.x-2=3(2x-1)　 D.x+2=3(2x-1) 例4.若关于x的方程-=有增根,则增根是(　　) A.x=1　 B.x=-1 C.x=1或x=-1　 D.x=3+m 例5.已知关于x的分式方程+1=的解是非负数,则m的取值范围是(　　) A.m≤2　 B.m≥2 C.m≤2且m≠-2　 D.m<2且m≠-2 例6.解下列分式方程: （1）=-3 (2)+=1 （3）-=1 七．基础过关 （一）．选择题 1．下列关于x的方程①＝5，②＝，③＝x﹣1，④＝中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．方程＝的解为（　　） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 3．已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1 4．将分式方程化为整式方程，正确的是（　　） A．x﹣2=3 B．x+2=3 C．x﹣2=3（x﹣2） D．x+2=3（x﹣2） 5．分式方程的解是（    ） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣1 D．x＝﹣2 6．关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是　　 A．且 B．且 C．且 D．且 7．若方程=1有增根，则它的增根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1和﹣1 8．已知关于x的方程的解为，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 9．若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（  ） A． B． C． D． 10．若关于x的方程﹣1＝无解，则m的值为（    ） A． B．或 C． D．或 （二）填空题 11．分式方程＝的解为　 　． 12．方程如果有增根，那么增根一定是　 　． 13．若分式方程式无解，则m的值为　 　． 14．若分式方程有增根，则k=____________． 15．若分式方程 ​有增根, 则​________ 16.已知，，，……，（，且n为正整数）．若，则a的值为______． 17．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是_______． 18.若关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的和等于______． 19．若关于的分式方程无解，则的值为______． 20．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的正整数a的值为　 　． （三）解答题 21.解方程： （1）； （2）． 22．(1)当x＝____时，分式与的倒数相等． (2)当x＝____时，分式与互为倒数． 23．已知关于x的方程：＝－2. (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 24.已知：． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设． ①代入，化简得________； ②若是正整数，则整数的值为_______． 25.已知关于x的分式方程－＝1. (1)若分式方程的根是x＝5，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值； (4)若分式方程一定有解，求a的取值范围． 26.已知：． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设． ①代入，化简得________； ②若是正整数，则整数的值为_______． 八．知识清单 （一）分式方程的概念 1.分母中含有__________的方程叫做分式方程。 2.分式方程的三个核心特征：①是__________；②含有分母；③分母中含有__________。 3.整式方程与分式方程的区别：整式方程的分母中__________未知数，分式方程的分母中__________未知数。 4.注意：分母中含**字母系数（常数）**不是未知数时，该方程__________（填“是”或“不是”）分式方程。 （二）分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想：利用__________思想，把分式方程转化为__________方程求解。 2.转化方法：方程两边同时乘__________，约去分母。 3.找最简公分母时，若分母是多项式，要先对分母进行__________，再确定最简公分母。 4.解分式方程的一般步骤： （1）去分母：方程两边同乘__________，化为整式方程； （2）求解：解得到的__________方程，求出未知数的值； （3）检验：把整式方程的解代入__________， ①若最简公分母__________0，则该解是原分式方程的解； ②若最简公分母__________0，则该解是__________，原分式方程无解； （4）写出分式方程的解。 5.增根：在去分母转化过程中产生的，使原分式方程的__________为0的根；增根是__________方程的根，但不是原分式方程的根。 6.易错提醒：解分式方程__________（填“必须”或“不必”）检验，检验是必不可少的步骤。 （三）分式方程解的判定（基础） 1.分式方程有解：整式方程的解使最简公分母__________0。 2.分式方程无解：①整式方程__________；②整式方程的解全是__________。 九．强化提优 （一）选择题 1．有下列方程：①；②；③；④．属于分式方程的有（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 2．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程＝0的根为2； ③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）； ④x+＝1+是分式方程． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+＝2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．5 B．8 C．12 D．15 4．若关于x的分式方程有增根x＝﹣2，则k的值为（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 5．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，}＝﹣2的解为（　　） A． B．2 C．或2 D．1或﹣2 6．下面是小明同学解方程＝﹣1的过程． 解：方程两边同时乘（x﹣3），得 1+x＝﹣2﹣（x﹣3）……………第一步 解得：x＝1……………第二步 检验：当x＝1时，x﹣3＝1﹣3≠0………第三步 所以原方程的解是x＝1．……………第四步 针对以上解题过程，下列说法正确的是（　　） A．完全正确 B．从第三步开始有错 C．从第二步开始有错 D．从第一步开始有错 7．关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A．0 B．2或3 C．2 D．3 8．关于的方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 9.若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知关于x的分式方程无解，则所有符合条件的m值的和为（    ） A．1 B．2 C．6 D．7 （二）填空题 11．关于x的方程的解为x＝1，则a＝　 　． 12．关于x的分式方程+＝3有增根，则m的值是 　 　． 13．已知关于x的分式方程＝a有解，则a的取值范围是　 　． 14．关于x的分式方程＝的解不小于1，则m的取值范围是　 　． 15．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是__________. 16．关于x的分式方程无解，则a的值是______． 17．使关于x的方程﹣＝的解是正数的a的取值范围是____________． 18．已知方程＝的解为x＝2，那么－的值为__________． 19.已知是二元一次方程组的解，分式方程－＝的解为___． 20．对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝－，若2⊕(2x－1)＝1，则x的值为_____． （三）解答题 21.解方程： （1）． （2） ﹣1＝； 22．解方程： ①＝－1的解x＝__ __； ②＝－1的解x＝__ __； ③＝－1的解x＝__ __； ④＝－1的解x＝__ __． (1)根据你发现的规律直接写出第⑤，⑥个方程及它们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出求解过程． 23.已知关于x的分式方程＋＝. ①若方程的增根为x＝1，求m的值； ②若方程无解，求m的值． 24. 探索规律： （1）直接写出计算结果： +++…+= ； 猜想并写出= ； （2）探究并解方程： ++=. 25．已知关于x的分式方程+＝ （1）若方程的增根为x＝1，求m的值 （2）若方程有增根，求m的值 （3）若方程无解，求m的值． 26．阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：－＝0. 解：设y＝，则原方程可化为y－＝0. 方程两边同时乘y，得y2－4＝0.解得y＝±2. 经检验，y＝±2都是方程y－＝0的解． 当y＝2时，＝2，解得x＝－1； 当y＝－2时，＝－2，解得x＝. 经检验，x＝－1和x＝都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝－1或x＝. 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程－＝0，设y＝，则原方程可化为__________； (2)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为_________； (3)仿照上述换元法解方程：－－1＝0. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第十章分式第五节分式方程（一）》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解分式方程的定义，能准确区分分式方程与整式方程；掌握分式方程的基本解法，理解增根的含义并会对分式方程的解进行检验；能运用分式方程解决简单的实际应用题。 2.   通过类比整式方程的解法，经历分式方程 “ 去分母化为整式方程 ” 的探究过程，体会转化的数学思想；在解题和应用中提升分析问题、解决问题的能力。 3.   感受数学知识的关联性，培养严谨的解题习惯，体会分式方程在实际生活中的应用价值，激发数学学习兴趣。 4.   发展数学运算、逻辑推理和数学建模核心素养，规范解题步骤，提升解题严谨性。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.   分式方程的定义辨析，掌握分式方程的解题步骤：去分母、解整式方程、检验、写出解。 2.   熟练掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，明确检验步骤的必要性。 （二）难点 1.   理解分式方程增根的产生原因，掌握增根的判断方法，避免遗漏检验步骤导致解题错误。 2.   去分母时，准确找到最简公分母，避免出现漏乘常数项、符号出错等问题。 3.   实际问题中，准确提炼等量关系列出分式方程，同时完成双重检验（检验方程解、检验实际意义）。 4.   区分分式方程的解与增根，能根据增根的性质解决简单的参数求值问题。 ) 三．思维导图 四．课前预习 1.分母中含有______的方程叫做分式方程。 2.解分式方程的基本思路是：通过______，将分式方程转化为______来求解。 3.分式方程去分母的依据是______。 4.使分式方程的______为0的根，叫做原方程的增根，增根必须______。 5.解分式方程时，求出整式方程的解后，一定要代入______进行检验。 【答案】 1.未知数 2.去分母；整式方程 3.等式的基本性质 4.最简公分母；舍去 5.最简公分母 五．知识探秘 一．分式方程的概念 【问题】 甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件，乙加工服装24件所用时间与甲加工服装20件所用时间相同.怎样用方程来描述其中的等量关系? 设甲每天加工服装x件，加工服装20件用天.乙每天加工服装(x+1)件,加工服装24件用天，甲、乙所用的时间相同，根据这个相等关系，可得方程=。 【讨论】一个两位数的个位数字是4，如果把个位数字与十位数字互换那么所得的两位数与原两位数的比值是，怎样用方程来描述其中的等量关系? 【解析】设原两位数的十位数字为x，原两位数：十位是x、个位是4，所以原数为10x + 4 ；互换后的两位数：十位是4、个位是x，所以新数为4×10 + x = 40 + x，根据“新两位数与原两位数的比值是”，可列方程：=。 像方程=，=这样，等式两边是分式或整式，且分母中含有未知数的方程叫作分式方程(fractional equation). ( 【知识梳理】 1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 核心特征： ① 是等式； ② 分母中含有未知数（区别于整式方程的关键）。 示例： =2、 = 是分式方程；2x+1=5、 +2=0 是整式方程（分母为常数）。 3 . 分式方程与整式方程的辨析 方程类型 分母特征 示例 分式方程 含有未知数 = 、 - =0 整式方程 不含未知数（为常数） 2x+1=5 、 +2=0 4 . 分式方程的识别要点 （ 1 ）只看分母是否含未知数，与分子是否含未知数无关。 （ 2 ）不能先对分式约分后再判断（如 仍是分式方程，约分后为x=1 是整式方程，但原方程分母含x）。 （ 3 ）注意区分分式方程与无理方程（如 是无理方程，不是分式方程）。 5 . 分式方程的解（根） （ 1 ）使分式方程左右两边相等，且分母不为0的未知数的值，叫做分式方程的解（也叫根）。 （ 2 ）条件： ① 满足整式方程； ② 使原分式方程的分母不为0。 【知识点睛】 1. 关键概念辨析 易错点1：误将分母含常数的方程当成分式方程，如 +3=0 是整式方程，分母2 ) ( 是常数，不含未知数。 易错点2：约分后判断方程类型，如 =0 是分式方程，不能约分为x-1=0 后判定为整式方程。 易错点3：忽略分母不为0的条件，认为只要满足等式就是分式方程的解。 2. 识别分式方程的步骤 （ 1 ）观察方程是否为等式； （ 2 ）查看方程中是否有分母； （ 3 ）判断分母中是否含有未知数： ① 有未知数 → 分式方程； ② 无未知数（为常数） → 整式方程。 3. 思想方法 （ 1 ）转化思想：分式方程后续会通过去分母转化为整式方程求解，这是解分式方程的核心思路。 （ 2 ）建模思想：分式方程是刻画实际问题中数量关系的重要模型，为后续实际应用奠定基础。 4. 拓展提示 （ 1 ）分式方程的分母不能为0，这是分式有意义的条件，也是后续检验分式方程解的依据。 （ 2 ）分式方程不一定只有一个解，也可能无解（产生增根），这是后续学习的重点内容。 ) 二．分式方程的解法 例1.解方程:= 解：先去分母，化为元一次方程!方程两边同乘x（x+1），得解20(x+1)=24x.解这个一元一次方程，得x=5，把x=5代人原方程:左边=4，右边=4，左边=右边.原方程的解是x=5. 解分式方程时，在方程的两边同乘各分式的最简公分母，可转化为整式方程. 例2.解方程:-=0. 解：方程两边同乘x(x一1)，得3(x-1)-2x=0.解这个一元一次方程，得x=3.把x=3代人原方程:左边=0，右边=0，左边=右边.所以原方程的解为x=3. ( 【知识梳理】 1.   转化思想：分式方程无法直接求解，需利用等式性质，两边同乘最简公分母，消去分母，转化为学过的一元一次方程求解。 2.   解题步骤探究： （ 1 ）步骤一：找最简公分母：对分母进行因式分解，找出所有分母的最简公分母； （ 2 ）步骤二：去分母：方程两边每一项都乘最简公分母，切记不要漏乘不含分母的常数项，将分式方程化为整式方程； （ 3 ）步骤三：解整式方程：按照一元一次方程的解法，去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出整式方程的解； （ 4 ）步骤四：检验：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母 ≠ 0，该解是原分式方程的解；若最简公分母=0，该解是增根，原方程无解； （ 5 ）步骤五：写出结论：明确写出原方程的解或说明无解。 ) 三．分式方程的增根 例3：解方程： 【解析】去分母（乘最简公分母(x+1)(x-1)），得x+1=2； 解整式方程得x=1； 检验：把x=1 代入最简公分母，得(1+1)(1-1)=0，因此x=1 是增根，原方程无解。 解分式方程时，我们会在方程两边同时乘以最简公分母（含有未知数的整式），而这个整式可能为0。 若最简公分母为0，此时等式的基本性质2不成立（等式两边不能乘0），会导致转化后的整式方程与原分式方程不同解。 因此，整式方程的解可能使原分式方程的分母为0，让原方程无意义，这类解被称为增根，必须通过检验排除。 检验方法：将分式方程化成整式方程，解析得的整式方程的解代入最简公分母：若最简公分母 ≠ 0 → 是原分式方程的解；最简公分母 = 0 → 是增根，原方程无解。 ( 【知识梳理】 1. 分式方程增根的定义 在解分式方程时，去分母转化为整式方程的过程中，产生的使原分式方程的分母为0的根，叫做分式方程的增根。增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根。 2. 产生增根的原因 分式方程两边同乘了一个可能为0的含未知数的整式（最简公分母），导致未知数取值范围扩大，出现了使分母为0的根。 3. 分式方程验根的两种方法 （ 1 ）代入最简公分母检验：若最简公分母=0，是增根，原方程无解；若最简公分母 ≠ 0，是原方程的根。 （ 2 ）代入原分式方程检验：代入后分母不为0且左右两边相等，即为原方程的根。 4. 已知增根求参数的解题步骤 ① 去分母，将分式方程化为整式方程； ② 令最简公分母=0，求出增根； ③ 把增根代入整式方程，求出参数的值。 5. 分式方程无解的两种情况 （ 1 ）整式方程有解，但解是分式方程的增根，原方程无解； （ 2 ）整式方程本身无解（如一元一次方程系数为0，常数不为0），则原分式方程无解。 ) 六．经典例题 例1.在x2-x+,-3=x+4,+5x=6,=1中,分式方程有(　　) A.1个　 B.2个　 C.3个　 D.4个 【答案】B　 【解析】x2-x+是代数式,不是分式方程;-3=x+4是分式方程;+5x=6是一元一次方程;=1是分式方程.∴分式方程有2个.故选B. 例2.方程=的解为(　　) A.x=-2　 B.x=2　 C.x=-4　 D.x=4 【答案】A　 【解析】方程两边同乘x(x+1)得2x+2=x,解得x=-2,检验,x=-2是原分式方程的解.故选A. 例3.解分式方程+=3的过程中,去分母化为整式方程正确的是(　　) A.x+2=3 B.x-2=3 C.x-2=3(2x-1)　 D.x+2=3(2x-1) 【答案】C　 【解析】方程两边都乘(2x-1),得x-2=3(2x-1),故选C. 例4.若关于x的方程-=有增根,则增根是(　　) A.x=1　 B.x=-1 C.x=1或x=-1　 D.x=3+m 【答案】C　 【解析】分式方程化为整式方程后,整式方程的解若使得最简公分母(x+1)(x-1)=0,则原分式方程有增根,所以增根是x=1或x=-1.故选C. 例5.已知关于x的分式方程+1=的解是非负数,则m的取值范围是(　　) A.m≤2　 B.m≥2 C.m≤2且m≠-2　 D.m<2且m≠-2 【答案】C　 【解析】分式方程去分母得m+x-2=-x,解得x=, ∵分式方程+1=的解是非负数,∴≥0,且≠2,∴m≤2且m≠-2, 故选C. 例6.解下列分式方程: （1）=-3 (2)+=1 （3）-=1 解：(1)方程去分母得2x-5=3x-3-3(x-2),解得x=4,经检验,x=4是原分式方程的解. (2)方程去分母得x-5=2x-5,解得x=0,经检验,x=0是原分式方程的解. (3)方程去分母得(x+1)2-4=x2-1,解得x=1,经检验,x=1是原分式方程的增根,故原分式方程无解. 七．基础过关 （一）．选择题 1．下列关于x的方程①＝5，②＝，③＝x﹣1，④＝中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】：①＝5，③＝x﹣1，④＝属于整式方程；②＝的分母里是含有字母x的方程，属于关于x的分式方程．故选：A． 2．方程＝的解为（　　） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 【答案】B 【解析】：去分母得：6x＝27x﹣9，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解． 故选：B． 3．已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1 【答案】B 【解析】：把x＝3代入分式方程＝3，得，整理得6+m＝3，解得m＝﹣3． 故选：B． 4．将分式方程化为整式方程，正确的是（　　） A．x﹣2=3 B．x+2=3 C．x﹣2=3（x﹣2） D．x+2=3（x﹣2） 【答案】D 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．去分母得：x+2=3（x-2）故选D． 5．分式方程的解是（    ） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣1 D．x＝﹣2 【答案】B 【解析】先去分母把原方程化为整式方程，解出整式方程，再检验，即可求解． 去分母得：，解得：，检验：当时，，∴原方程的解为．故选：B 6．关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是　　 A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【解析】先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可．，去分母，得x+m-2m=3（x-2），解得x=， ∵关于x的分式方程的解为正实数，∴x-2≠0，x＞0．即≠2，＞0，解得m≠2且m＜6，故选D． 7．若方程=1有增根，则它的增根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1和﹣1 【答案】B 【解析】方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得6﹣m（x+1）=（x+1）（x﹣1），由最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，可知增根可能是x=1或﹣1．当x=1时，m=3，当x=﹣1时，得到6=0，这是不可能的，所以增根只能是x=1．故选B． 8．已知关于x的方程的解为，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解析】先化简方程，在解方程，得到含参数解，再利用求出的值． ∵，∴，∴，∴，∴， ∴，故选：A． 9．若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案.等式的两边都乘以(x - 2)，得x = 2(x-2)+ m，解得x=4-m，且x≠2，由关于x的分式方程的解为正数，∴4-m＞0，4-m≠2∴m<4且m≠2则满足条件的正整数 m 的值为m=1，m=3，故选: D. 10．若关于x的方程﹣1＝无解，则m的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】根据分式方程无解来进行求解．将原分式方程去分母得， ∴，当时，∴．∵该分式方程无解，∴将−6代入中得，解得，当时，∴，此时分式方程无解，符合题意，综上所述，或时，关于x的方程﹣1＝无解．故选：D． （二）填空题 11．分式方程＝的解为　 　． 【答案】x＝2 【解析】：去分母得：2x＝4（x﹣1），解得：x＝2，经检验x＝2是原方程的解， 故答案为：x＝2 12．方程如果有增根，那么增根一定是　 　． 【答案】x＝1 【解析】：去分母得m＝1+2（x﹣1），整理得m＝2x﹣1，∵方程有增根， ∴x﹣1＝0，即x＝1，∴m＝2×1﹣1＝1，即m＝1时，分式方程有增根，增根为x＝1． 故答案为x＝1． 13．若分式方程式无解，则m的值为　 　． 【答案】1 【解析】：去分母得：x﹣1＝m+2x﹣4，把x＝2代入得：2﹣1＝m+4﹣4，解得：m＝1， 故答案为：1． 14．若分式方程有增根，则k=____________． 【答案】0 【解析】根据增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．方程两边都乘以x﹣2，得：2（x﹣2）+（1﹣kx）＝1．由分式方程有增根，得x＝2是分式方程的增根．当x＝2时，1-2k=1,k=0．故答案为0． 15．若分式方程 ​有增根, 则​________ 【答案】-3 【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．分式两边同时乘以 得:,因为方程有增根, 则, 即，, 即．故答案为：． 16.已知，，，……，（，且n为正整数）．若，则a的值为______． 【答案】13 【解析】分别用a表示出再根据列出方程，求出a的值并检验即可，∵，∴； ∵，∴ ∴ 解得，，经检验，是方程的解，故答案为：13． 17．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】首先去分母，将分式方程表示为整式方程，用表示出方程的解，然后根据方程的解为非负数求出的取值范围即可．，去分母得：，，为非负数，，得，，，得，故答案为：且． 18.若关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的和等于______． 【答案】7 【解析】求出分式方程的解，根据分式有意义的条件得出且，进而求出所有的值，然后求和即可．， 去分母得：，去括号得：，移项合并得：，系数化为1得：，∵且 ∴，∴方程的解为整数时，的值为，0，2，3，5，∴，故答案为：7． 19．若关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】 【解析】根据分式方程无解，可得分式方程的增根，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．∵关于x的分式方程有增根， ∴2x−1＝0，解得x＝，由得x−m＝3（2x−1），∴m＝−5x＋3，∴m＝−5×＋3＝．故答案为：． 20．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的正整数a的值为　 　． 【答案】2 【解析】：，解不等式①得：x＜5，解不等式②得：x， ∵该不等式组有且只有四个整数解，∴该不等式组的解集为：≤x＜5，且0≤1， 解得：﹣2＜a≤2，+＝2，方程两边同时乘以（y﹣1）得：y+a﹣2a＝2（y﹣1）， 去括号得：y﹣a＝2y﹣2，移项得：y＝2﹣a，∵该方程的解为非负数，∴2﹣a≥0且2﹣a≠1，解得：a≤2且a≠1，综上可知：符合条件的正整数a的值为2，故答案为：2． （三）解答题 21.解方程： （1）； （2）． 解：（1）去分母，得x﹣5=2x﹣5，解得x=0，经检验，x=0是分式方程的解. （2）去分母，得8+x2﹣1=x2+4x+3，移项、合并同类项，得4x=4，解得x=1，经检验，x=1是增根，分式方程无解． 22．(1)当x＝____时，分式与的倒数相等． (2)当x＝____时，分式与互为倒数． 解：(1)由题意列方程＝，方程两边同乘以(x－5)(x－6)得x(x－6)＝(x－5)(x－2)，解方程得x＝10.将x＝10代入得(x－5)(x－6)≠0，所以，x＝10是原分式方程的解． (2)由题意列方程·＝1，即＝1，∴x(x－6)＝(x－5)(x－2). 解方程得x＝10.将x＝10代入得(x－5)(x－2)≠0，所以，x＝10是原分式方程的解． 23．已知关于x的方程：＝－2. (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 解：(1)由原方程，得2x＝mx－2x－6，①整理，得(4－m)x＝－6，当4－m＝0即m＝4时，原方程无解；②当分母x＋3＝0即x＝－3时，原方程无解，故2×(－3)＝－3m－2×(－3)－6，解得m＝2，综上所述，m＝2或4； (2)由(1)得到(4－m)x＝－6，当m≠4时．x＝＜0，解得m＜4综上所述，m＜4且m≠2. 24.已知：． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设． ①代入，化简得________； ②若是正整数，则整数的值为_______． 解:（1）当时，．理由如下：∵， ∴．∵，∴，． ∴．∴．∴． （2）①依题意，得：．故答案为：． ②∵ ，且，x，y都是整数，∴y可以取1，2，3，4．当时，， 解得，符合；当时，，解得，符合 ；当时，， 解得，不合，舍去；当时，，解得，符合．综上所述：当y为正整数时，x的值是0或1或3．故答案为：0或1或3 25.已知关于x的分式方程－＝1. (1)若分式方程的根是x＝5，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值； (4)若分式方程一定有解，求a的取值范围． 解：方程两边同时乘x(x－2)，得x(x＋a)－5(x－2)＝x(x－2)，x2＋ax－5x＋10＝x2－2x， 整理，得(a－3)x＝－10. (1)将x＝5代入整式方程，得(a－3)·5＝－10，解得a＝1； (2)原分式方程有增根，则增根是x＝2或x＝0， ①当x＝2时，代入整式方程，得(a－3)·2＝－10，解得a＝－2； ②当x＝0时，代入整式方程，得(a－3)·0＝－10，此时不存在a的值．∴原分式方程有增根，a的值是－2； (3)原分式方程无解，分两种情况讨论： ①当a－3＝0时，整式方程无解，∴a＝3； ②当有增根x＝0或x＝2时，原分式方程无解，当x＝0时，不存在a的值；当x＝2时，(a－3)·2＝－10，解得a＝－2，∴原分式方程无解，a的值是3或－2； (4)∵(a－3)x＝－10，∴x＝.∵原分式方程一定有解，∴a≠3，且不会产生增根． ∴x≠2且x≠0.∴①当≠0时，a≠3；②当≠2时，a≠3且a≠－2.∴若原分式方程一定有解，a的取值范围是a≠3且a≠－2. 26.已知：． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设． ①代入，化简得________； ②若是正整数，则整数的值为_______． 解:（1）当时，．理由如下：∵， ∴．∵，∴，． ∴．∴．∴． （2）①依题意，得：．故答案为：． ②∵ ，且，x，y都是整数，∴y可以取1，2，3，4．当时，， 解得，符合；当时，，解得，符合 ；当时，， 解得，不合，舍去；当时，，解得，符合．综上所述：当y为正整数时，x的值是0或1或3．故答案为：0或1或3 八．知识清单 （一）分式方程的概念 1.分母中含有__________的方程叫做分式方程。 2.分式方程的三个核心特征：①是__________；②含有分母；③分母中含有__________。 3.整式方程与分式方程的区别：整式方程的分母中__________未知数，分式方程的分母中__________未知数。 4.注意：分母中含**字母系数（常数）**不是未知数时，该方程__________（填“是”或“不是”）分式方程。 （二）分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想：利用__________思想，把分式方程转化为__________方程求解。 2.转化方法：方程两边同时乘__________，约去分母。 3.找最简公分母时，若分母是多项式，要先对分母进行__________，再确定最简公分母。 4.解分式方程的一般步骤： （1）去分母：方程两边同乘__________，化为整式方程； （2）求解：解得到的__________方程，求出未知数的值； （3）检验：把整式方程的解代入__________， ①若最简公分母__________0，则该解是原分式方程的解； ②若最简公分母__________0，则该解是__________，原分式方程无解； （4）写出分式方程的解。 5.增根：在去分母转化过程中产生的，使原分式方程的__________为0的根；增根是__________方程的根，但不是原分式方程的根。 6.易错提醒：解分式方程__________（填“必须”或“不必”）检验，检验是必不可少的步骤。 （三）分式方程解的判定（基础） 1.分式方程有解：整式方程的解使最简公分母__________0。 2.分式方程无解：①整式方程__________；②整式方程的解全是__________。 【答案】 （一）分式方程的概念 1.未知数 2.等式；未知数 3.不含；含有 4.不是 （二）分式方程的解法 1.转化；整式 2.最简公分母 3.因式分解 4.（1）最简公分母 （2）整式 （3）最简公分母；≠；=；增根 5.分母；整式 6.必须 （三）分式方程解的判定（基础） 1.≠ 2.无解；增根 九．强化提优 （一）选择题 1．有下列方程：①；②；③；④．属于分式方程的有（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【解析】①2x+＝10是整式方程，②x﹣＝2是分式方程，③﹣3＝0是分式方程， ④+＝0是整式方程，所以，属于分式方程的有②③．故选：B． 2．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程＝0的根为2； ③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）； ④x+＝1+是分式方程． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】①解分式方程不一定会产生增根；②方程＝0的根为2，分母为0，所以是增根；③方程的最简公分母为2x（x﹣2）；所以①②③错误，根据分式方程的定义判断④正确．故选：A． 3．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+＝2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．5 B．8 C．12 D．15 【答案】B 【解析】：，解不等式①得：x≥6，解不等式②得：x＞， ∵不等式组的解集为x≥6，∴6，∴a＜7；分式方程两边都乘（y﹣1）得：y+2a﹣3y+8＝2（y﹣1），解得：y＝，∵方程的解是正整数，∴＞0，∴a＞﹣5；∵y﹣1≠0，∴1，∴﹣5＜a＜7，且a≠﹣3，∴能使是正整数的a是：﹣1，1，3，5，∴和为8，故选：B． 4．若关于x的分式方程有增根x＝﹣2，则k的值为（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 【答案】A 【解析】分式方程去分母得：x+2+k（x﹣2）＝6，由分式方程的增根为x＝﹣2，把x＝﹣2代入x+2+k（x﹣2）＝6得：﹣4k＝6，解得：k＝﹣，故选：A． 5．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，}＝﹣2的解为（　　） A． B．2 C．或2 D．1或﹣2 【答案】B 【解析】当＞，即x＞0时，方程变形得：＝﹣2，去分母得：2＝6﹣2x，即x＝2， 经检验x＝2是分式方程的解；当＜，即x＜0时，方程变形得：＝﹣2，去分母得：5＝6﹣2x，解得：x＝0.5，不符合题意，综上，方程的解为x＝2．故选：B． 6．下面是小明同学解方程＝﹣1的过程． 解：方程两边同时乘（x﹣3），得 1+x＝﹣2﹣（x﹣3）……………第一步 解得：x＝1……………第二步 检验：当x＝1时，x﹣3＝1﹣3≠0………第三步 所以原方程的解是x＝1．……………第四步 针对以上解题过程，下列说法正确的是（　　） A．完全正确 B．从第三步开始有错 C．从第二步开始有错 D．从第一步开始有错 【答案】C 【解析】：＝﹣1，方程两边同乘x﹣3，得1+x＝﹣2﹣（x﹣3）．去括号，得1+x＝﹣2﹣x+3．移项，得x+x＝﹣2+3﹣1．合并同类项，得2x＝0．x的系数化为1，x＝0． 检验：当x＝0时，x﹣3＝0﹣3≠0．∴原方程的解为x＝0．∴题中解题过程，从第二步有错．故选：C． 7．关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A．0 B．2或3 C．2 D．3 【答案】D 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x－2=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．去分母得：，∴，∵关于x的方程有增根，∴x－2=0，解得：x＝2∴．故选：D． 8．关于的方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【解析】将分式方程化为整式方程解得x=2-3m，根据方程的解是正数列得2-3m>0，即可求出m的取值范围.，x-m-2m=2（x-1），x-3m=2x-2，∴x=2-3m， ∵方程的解为正数，∴2-3m>0，∴，故选：A. 9.若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】先判断方程的这个增根为再把代入去分母后的方程中即可得到答案． ∵关于x的分式方程有增根，∴这个增根为： ， 去分母可得： 把代入∴ 解得： 故选B 10．已知关于x的分式方程无解，则所有符合条件的m值的和为（    ） A．1 B．2 C．6 D．7 【答案】D 【解析】根据分式方程无解，可得关于m的方程，根据解方程，求出m的值即可得答案． 方程两边都乘以（x-2）（x-6），得，mx+2（x-6）=3（x-2）， 解得x=．因为方程无解，所以m-1=0或，解得m=1或4或2所以，所有符合条件的m值的和为1+4+2=7，故选：D． （二）填空题 11．关于x的方程的解为x＝1，则a＝　 　． 【答案】﹣3 【解析】：10．解：根据题意得：＝，去分母得：4（2a+3）＝3（a﹣1）， 解得：a＝﹣3． 12．关于x的分式方程+＝3有增根，则m的值是 　 　． 【答案】 【解析】：∵关于x的分式方程+＝3有增根，∴2x﹣1＝0，解得x＝， 由+＝3得x﹣m＝3（2x﹣1），∴m＝﹣5x+3，∴m＝﹣5×+3＝． 13．已知关于x的分式方程＝a有解，则a的取值范围是　 　． 【答案】a≠﹣且a≠0 【解析】：分式方程去分母得：2a+1＝ax+a，整理得：ax＝a+1，显然当a＝0时，方程无解； 当a≠0时，x＝，显然≠﹣1，∴a的范围是a≠﹣且a≠0． 14．关于x的分式方程＝的解不小于1，则m的取值范围是　 　． 【答案】m≥5且m≠ 【解析】：分式方程去分母得：x2﹣2x﹣x2﹣4x﹣3＝x﹣2m，解得：x＝，由方程的解不小于1，得到≥1且≠2，解得：m≥5且m≠，故答案为：m≥5且m≠ 15．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】首先去分母化成整式方程，求得x的值，然后根据方程的解大于0，且x-1≠0即可求得m的范围．去分母，得2x+m=3（x-1），去括号，得2x+m=3x-3，解得：x=m+3，根据题意得：m+3＞0且m+3-1≠0，解得：m＞-3且m≠-2．故答案是：m＞-3且m≠-2． 16．关于x的分式方程无解，则a的值是______． 【答案】1或3 【解析】先将分式方程化为整式方程，分整式方程无解和整式方程有解且为分式方程的增根两种情况求解即可．方程两边都乘以（x-1），得：ax+1=4+x－1，整理，得（a－1）x=2， 当a=1时，a－1=0，则（a－1）x=2无解，即原分式方程无解；当a≠1时，a－1≠0，则x=， ∵x=1是分式方程的增根，∴，∴a=3，综上，当a=1或3时，原分式方程无解， 故答案为：1或3． 17．使关于x的方程﹣＝的解是正数的a的取值范围是____________． 【答案】a＜﹣1且a≠﹣3 【解析】：去分母，得（x+1）（x﹣1）﹣x（x+2）＝a，解得x＝﹣因为这个解是正数，所以﹣＞0，即a＜﹣1．又因为分式方程的分母不能为零，即﹣≠1且﹣≠﹣2，所以a≠±3．所以a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣3． 18．已知方程＝的解为x＝2，那么－的值为__________． 【答案】 【解析】原式＝－＝＝.把x＝2代入＝，得a＝3. 当a＝3时，原式＝＝. 19.已知是二元一次方程组的解，分式方程－＝的解为___． 【答案】 【解析】：将代入方程组得解得将代入所求分式方程，得－＝.去分母，得3－2x＝x－2，解得x＝.经检验，x＝是原分式方程的解．∴分式方程的解为x＝. 20．对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝－，若2⊕(2x－1)＝1，则x的值为_____． 【答案】 【解析】：2⊕(2x－1)＝1可化为－＝1，方程两边都乘以2(2x－1)得2－(2x－1)＝2(2x－1)，解得x＝，检验：当x＝时，2(2x－1)＝2(2×－1)＝≠0，所以，x＝是原分式方程的解，即x的值为. （三）解答题 21.解方程： （1）． （2） ﹣1＝； 解：（1）＝，即＝，方程两边乘x（x+1）得：4x﹣3＝2x，解得：，检验：当时，x（x+1）≠0，∴原分式方程的解为． （2）方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2﹣（x+1）（x﹣1）＝3，整理得：2x＝1， 解得：x＝，检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）＝﹣≠0，∴原方程的解为x＝； 22．解方程： ①＝－1的解x＝__ __； ②＝－1的解x＝__ __； ③＝－1的解x＝__ __； ④＝－1的解x＝__ __． (1)根据你发现的规律直接写出第⑤，⑥个方程及它们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出求解过程． 解：①0　②1　③2　④3 (1)第⑤个方程：＝－1，它的解为x＝4，第⑥个方程：＝－1，它的解为x＝5. (2)第n个方程：＝－1，它的解为x＝n－1.方程两边都乘x＋1，得n＝2n－(x＋1)．解得x＝n－1. 23.已知关于x的分式方程＋＝. ①若方程的增根为x＝1，求m的值； ②若方程无解，求m的值． 解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，并整理，得(m＋1)x＝－5. ①∵x＝1是分式方程的增根，∴1＋m＝－5.解得m＝－6. ②当m＋1＝0时，该方程无解，此时m＝－1；当m＋1≠0时，要使原方程无解，则x＝1或x＝－2.当x＝1时，由(1)得m＝－6；当x＝－2时，则－2(m＋1)＝－5，解得m＝1.5. 综上，m的值为－1或－6或1.5. 24. 探索规律： （1）直接写出计算结果： +++…+= ； 猜想并写出= ； （2）探究并解方程： ++=. 解：（1） （-） （2）（-+-+-）=，（-）=，2（x+9）-2x=9x，x=2，经检验：x=2是原方程的根，∴方程的解为x=2. 25．已知关于x的分式方程+＝ （1）若方程的增根为x＝1，求m的值 （2）若方程有增根，求m的值 （3）若方程无解，求m的值． 解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，移项合并得：（m+1）x＝﹣5， （1）∵x＝1是分式方程的增根，∴1+m＝﹣5，解得：m＝﹣6； （2）∵原分式方程有增根，∴（x+2）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣2或x＝1，当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6； （3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1；当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m＝，综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5． 26．阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：－＝0. 解：设y＝，则原方程可化为y－＝0. 方程两边同时乘y，得y2－4＝0.解得y＝±2. 经检验，y＝±2都是方程y－＝0的解． 当y＝2时，＝2，解得x＝－1； 当y＝－2时，＝－2，解得x＝. 经检验，x＝－1和x＝都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝－1或x＝. 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程－＝0，设y＝，则原方程可化为__________； (2)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为_________； (3)仿照上述换元法解方程：－－1＝0. 解：(1)－＝0；(2)y－＝0； （3）将原分式方程变形，得－＝0，即－＝0.设y＝，则方程可化为y－＝0.方程两边同乘y，得y2－1＝0，解得y＝±1.经检验，y＝±1是方程y－＝0的解．当y＝1时，＝1，方程无解；当y＝－1时，＝－1，解得x＝－.经检验，x＝－是原分式方程的解．∴原分式方程的解为x＝－. 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