10.5 分式方程 同步讲义（知识点梳理+常见考点+巩固练习）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

10.5 分式方程 同步讲义（苏科版） 💧 预习目标 1.理解分式方程的定义，能区分分式方程与整式方程； 2.掌握分式方程的核心解法步骤：去分母→解整式方程→验根； 3.明确增根的概念，知道增根产生的原因； 4.能独立完成简单分式方程的求解与验根； 5.能找到实际问题中的等量关系，列出分式方程。 ☘ 知识梳理 ◉【知识点一、分式方程】 1.定义.分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.特征：分母含未知数，解题必须验根 ◉【知识点二、分式方程的解法】 1.找最简公分母：对各分母因式分解，确定所有分母的最简公分母. 2.去分母：方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程. 3.解整式方程：按照一元一次/一元二次方程解法，求出未知数的值. 4.验根：将解得的未知数代入最简公分母，判断是否为0 ，若最简公分母≠0：该解为原分式方程的有效解；若最简公分母=0：该解为增根，原分式方程无解； 5.写结论：写明方程的解或说明无解. ◉【知识点三、增根】 1.增根产生原因：去分母时，方程两边乘了使分母为0的整式，违背分式有意义前提. 2.增根性质：是去分母后整式方程的解，但不是原分式方程的解. 3.增根应用：已知分式方程有增根，可求参数取值（令最简公分母=0，再代入整式方程）. ◉【知识点四.分式方程的实际应用】 1.常见题型+核心步骤 (1)工程问题 公式：工作总量=工作效率×工作时间，通常设工作总量为1. 设未知数：设单独完成工作的时间/效率为x，表示出对应效率/时间. 列等量关系：合作效率×合作时间=总工作量；或分阶段工作量之和=1. 列分式方程：根据效率、时间关系写出分式等式. （2)行程问题 公式：路程=速度×时间，变式：时间=路程/速度. 设未知数：设速度/时间为x，用含x的式子表示另一未知量. 行程场景：分清相遇、追及、往返、变速等场景，找准时间差/路程差等量. 列分式方程：利用“时间差”“路程相等”建立等式. (3)销售/利润问题 公式：总价=单价×数量 ➡ 数量=总价/单价；利润=售价-进价. 设未知数：设单价/进价/数量为x，表示出关联量. 找等量：利用“数量差”“单价差”“总利润不变”建立关系. 列方程：用数量、单价的分式关系构建等式. (4)浓度/配比问题 公式：浓度=溶质质量/溶液质量，溶液质量=溶质+溶剂. 设未知数：设加入/倒出的溶液量/溶质质量为x. 算溶质、溶液：分别表示变化前后的溶质质量、溶液总质量. 列方程：根据浓度不变、溶质总量不变列分式方程. ✏ 常考题型解析 题型1.分式方程的定义 例1．下列方程中，是分式方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④ 变式1．分母中含有___________，叫做___________． 变式2．根据联合国《2010年世界投资报告》，中国2009年吸收外国投资额为950亿美元，比上一年减少了．设2008年我国吸收外国投资额为x亿美元，请你写出x满足的方程．你能写出几个方程？其中哪一个是分式方程？ 题型2解分式方程（化为一元一次） 例2．方程的解为（    ） A． B． C． D． 变式1．对于任意不相等的实数，定义运算“”如下：．若，则x的值为______ ． 变式2．解方程：． 题型3根据分式方程解的情况求值 例3．已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 变式1．若关于的分式方程无解，则的值是______． 变式2．若关于的分式方程的解不小于2，求的取值范围． 题型4分式方程无解问题 例4．若分式方程无解，则a的值是（ ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 变式1．已知分式方程，由于印刷问题，实数“▲”看不清楚．若原分式方程无解，则原分式方程中“▲”表示的实数是______． 变式2．已知关于x的分式方程 (1)若时，求分式方程的解． (2)若分式方程无解，求k的值． 题型5列分式方程 例5．的蔗糖溶液是生物课堂上的常用试剂，该试剂可利用的的蔗糖溶液加入的蒸馏水稀释而成，由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 变式1．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟．已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为___________． 变式2．甲乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的倍．两人各加工个这种零件，甲比乙少用天．则甲、乙两人每天各加工多少个这样的零件? 题型6分式方程的行程问题 例6．湖南省地质博物馆迅速成了巡展的热门打卡地．某学校九年级学生去距学校的湖南省地质博物馆参观，一部分学生骑自行车先走20分钟，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 变式1．为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的．小王乘公交车上班平均每小时行驶____． 变式2．请根据下面对话，解答问题： 小明：今天起晚了，没能跟你一起骑自行车上学，我用了平时骑车速度的1.2倍才刚好在校门口追上你． 小丽：还好我们家离学校就，再远点你可能就要迟到了． (1)设小明原来的速度为，则小明今天的速度为 ； (2)求小明今天的速度． 题型7分式方程的工程问题 例7．为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产50台机器，改造后生产600台机器所需时间与改造前生产400台机器所需时间相同．则改造后每天生产的机器台数为（   ） A．100 B．150 C．200 D．250 变式1．某县政府在创建文明城市的进程中，着力美化城市环境，改造绿化涡河北岸，建设绿地公园，计划种植树木30万棵．由于青年志愿者的加入，实际每天植树的数量比原计划多，结果提前5天完成任务．设实际每天植树万棵，可列方程为___________． 变式2．甲、乙二人分别用某种模具做一款机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间是乙做60个所用时间的1.2倍． (1)求甲、乙每小时各做多少个零件？ (2)经过培训之后，甲、乙二人每小时做的机器零件个数都有所提升．乙每小时提升的个数是甲每小时提升个数的1.5倍，甲做68个零件与乙做60个零件所用时间相同，求培训之后甲、乙每小时分别做多少个零件？ 题型8分式方程的经济问题 例8．某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 变式1．某果园种植一种有机生态水果．与去年相比，今年这种水果的销量增加了，每千克的平均批发价比去年降低了，批发销售总额比去年增加了．已知去年这种水果的批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价为____________元． 变式2．2026年云南省玉溪市开展了“玉见米线”暨新春年货节．为了促进家庭和睦，同时积极迎合该活动，某市民计划从某店购买“马年拍马屁”钥匙挂件和伴手礼套装送给家人作为新春礼物．已知购进一套伴手礼的价格比购进一个钥匙挂件的价格贵35元，且用500元购进钥匙挂件的数量正好是用600元购进伴手礼套装数量的2倍． (1)求购进一个钥匙挂件和一套伴手礼的价格分别为多少元？ (2)如果该市民需要钥匙挂件的数量是伴手礼套装数量的2倍少1个，且购进钥匙挂件和伴手礼套装的总费用不超过860元，那么该市民最多可购进多少套伴手礼？ 题型9分式方程和差倍分问题 例9．我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和燃油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1．某工厂现在平均每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，则可列方程为______． 变式2．某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运450千克所用时间与机器人搬运500千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 题型10分式方程的其他实际问题 例10．《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．设第一次分钱的人数为x，依题意，列方程为（ ） A． B． C． D． 变式1．在一个不透明的口袋中装有12个白球和若干个红球，它们除颜色外，其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有________个． 变式2．某校购进甲、乙两种款式的篮球，购买甲种篮球用了1200元，购买乙种篮球用了2100元，购买的乙种篮球数量是甲种的1.5倍，乙种篮球单价比甲种单价贵5元． (1)求甲、乙两种篮球的单价分别为多少元； (2)该校计划再次订购这两种篮球共60个，总费用不超过2000元，那么该校最少购买多少个甲种篮球？ ✍ 巩固练习 一、单选题 1．下列关于的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．分式方程的解是（　　） A． B． C． D． 3．某快递公司为提高配送效率，引进甲乙两种型号的分拣机器人，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多30件，且甲型号分拣600件与乙型号分拣500件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为件，则可列方程（   ） A．B． C． D． 二、填空题 4．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________． 5．如图，点，，在数轴上对应的数分别是，，．若点到，两点的距离相等，则的值为__________． 6．小张同学看一本800页的小说，暑假前看了200页，进入暑假后为早日完成，每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成___________页． 三、解答题 7．解分式方程： (1)； (2)． 8．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题： (1)更新设备后每天生产 件产品（用含x的式子表示）； (2)更新设备前生产2400件产品比更新设备后生产3300件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品． 9．卓越中学每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用8000元购买了A、B两种体育器材共120件作为奖品．已知一件B种器材是一件A种器材价格的2倍，且购买A种器材与购买B种器材费用相同． (1)求购买一件A种器材、一件B种器材各需多少元？ (2)若学校需购买A、B两种器材共100件，且A种器材的数量不多于B种器材数量的2倍，至少要花多少钱？ 10．随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如图的宣传，根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.5 分式方程 同步讲义（苏科版） 💧 预习目标 1.理解分式方程的定义，能区分分式方程与整式方程； 2.掌握分式方程的核心解法步骤：去分母→解整式方程→验根； 3.明确增根的概念，知道增根产生的原因； 4.能独立完成简单分式方程的求解与验根； 5.能找到实际问题中的等量关系，列出分式方程。 ☘ 知识梳理 ◉【知识点一、分式方程】 1.定义.分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.特征：分母含未知数，解题必须验根 ◉【知识点二、分式方程的解法】 1.找最简公分母：对各分母因式分解，确定所有分母的最简公分母. 2.去分母：方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程. 3.解整式方程：按照一元一次/一元二次方程解法，求出未知数的值. 4.验根：将解得的未知数代入最简公分母，判断是否为0 ，若最简公分母≠0：该解为原分式方程的有效解；若最简公分母=0：该解为增根，原分式方程无解. 5.写结论：写明方程的解或说明无解. ◉【知识点三、增根】 1.增根产生原因：去分母时，方程两边乘了使分母为0的整式，违背分式有意义前提. 2.增根性质：是去分母后整式方程的解，但不是原分式方程的解. 3.增根应用：已知分式方程有增根，可求参数取值（令最简公分母=0，再代入整式方程）. ◉【知识点四.分式方程的实际应用】 1.常见题型+核心步骤 (1)工程问题 公式：工作总量=工作效率×工作时间，通常设工作总量为1. 设未知数：设单独完成工作的时间/效率为x，表示出对应效率/时间. 列等量关系：合作效率×合作时间=总工作量；或分阶段工作量之和=1. 列分式方程：根据效率、时间关系写出分式等式. （2)行程问题 公式：路程=速度×时间，变式：时间=路程/速度. 设未知数：设速度/时间为x，用含x的式子表示另一未知量. 行程场景：分清相遇、追及、往返、变速等场景，找准时间差/路程差等量. 列分式方程：利用“时间差”“路程相等”建立等式（多为时间作分式）. (3)销售/利润问题 公式：总价=单价×数量 ➡ 数量=总价/单价；利润=售价-进价. 设未知数：设单价/进价/数量为x，表示出关联量. 找等量：利用“数量差”“单价差”“总利润不变”建立关系. 列方程：用数量、单价的分式关系构建等式. (4)浓度/配比问题 公式：浓度=溶质质量/溶液质量，溶液质量=溶质+溶剂. 设未知数：设加入/倒出的溶液量/溶质质量为x. 算溶质、溶液：分别表示变化前后的溶质质量、溶液总质量. 列方程：根据浓度不变、溶质总量不变列分式方程. ✏ 常考题型解析 题型1分式方程的定义 例1．下列方程中，是分式方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义是分母中含有未知数的方程，据此逐一判断各方程是否符合条件． 【详解】解： ∵方程① 的分母含有未知数， ∴ ①是分式方程； ∵ 方程② 的分母是常数， ∴ ②不是分式方程； ∵ 方程③ 的分母 都是常数， ∴ ③不是分式方程； ∵ 方程④ 的分母含有未知数， ∴ ④是分式方程． ∴ 是分式方程的是①④， 故选：A． 变式1．分母中含有___________，叫做___________． 【答案】 未知数的方程 分式方程 【分析】本题考查分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程，熟记分式方程的定义直接填空即可得到得到答案． 【详解】解：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程， 故答案为：未知数的方程，分式方程． 变式2．根据联合国《2010年世界投资报告》，中国2009年吸收外国投资额为950亿美元，比上一年减少了．设2008年我国吸收外国投资额为x亿美元，请你写出x满足的方程．你能写出几个方程？其中哪一个是分式方程？ 【答案】见解析． 【分析】根据（1-增长的百分比）×2008年吸收的投资额=2009年吸收的投资额列出方程，再根据分式方程的定义求解即可． 【详解】解：根据题意得， x满足的方程有：，，，，等，其中，是分式方程． 【点睛】本题考查分式方程的定义，掌握相关知识是解题关键． 题型2解分式方程（化为一元一次） 例2．方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的求解，按照分式方程解法，先去分母化为整式方程求解，再检验即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ，且． 方程两边同乘最简公分母，得 ． 解得． 检验：将代入，得． ∴原方程的解为，对应选项为A． 变式1．对于任意不相等的实数，定义运算“”如下：．若，则x的值为______ ． 【答案】3 【分析】本题考查新定义运算与分式方程的求解，需根据新定义分和两种情况，分别列出方程求解，再验证解是否满足前提条件，舍去不符合的解即可得到结果． 【详解】根据题意，分两种情况讨论： 1.当时，由定义得： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， ∵，符合条件， 故此解有效； 2.当时，由定义得： ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， ∵，不符合的条件， 故此解舍去． 综上，x的值为3． 【点睛】理解新运算法则，根据新运算法则分情况讨论是解题的关键． 变式2．解方程：． 【答案】 【分析】方程两边同时乘以去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解： ， 检验：当时，， 所以是原方程的根． 题型3根据分式方程解的情况求值 例3．已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解后检验即可得到a的值． 【详解】∵ 分式方程的解是， ∴ 将代入原方程，得 ， 整理得 ， 交叉相乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，原方程分母，，符合分式方程要求， ∴ 的值为， 故选D． 变式1．若关于的分式方程无解，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程无解的条件，熟练掌握分式方程增根的产生原因及求解方法是解题的关键． 先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解的条件（解为增根），求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 当时，原方程分母为零，是增根，此时方程无解， ， ， ， 故答案为：． 变式2．若关于的分式方程的解不小于2，求的取值范围． 【答案】且 【分析】先解分式方程，得到，根据方程的解不小于2，得到，由分式有意义的条件，得到，即，从而可求解． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得，， ∵方程的解不小于2， 且， 解得且． 题型4分式方程无解问题 例4．若分式方程无解，则a的值是（ ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程无解．熟练掌握分式方程无解产生的原因和解法是解题的关键． 分式方程无解分两种情况讨论，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分别计算这两种情况对应的a值即可． 【详解】解：∵原分式方程为， 将方程变形为， 两边同乘得， 整理得： ①当整式方程无解时，的系数为0且常数项不为0， 即，解得，此时不成立，整式方程无解，原分式方程无解． ②当整式方程的解为原分式方程的增根时，即， 将代入得，， 解得． 综上，的值为1或2． 故选：D． 变式1．已知分式方程，由于印刷问题，实数“▲”看不清楚．若原分式方程无解，则原分式方程中“▲”表示的实数是______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，根据原方程无解得到是原方程的增根，则，解之即可得到答案． 【详解】解：方程两边同时乘以得， 解得， ∵原分式方程无解， ∴是原方程的增根， ∵分式方程有增根的条件是分母为0， ∴，即， ∴， 故答案为：6． 变式2．已知关于x的分式方程 (1)若时，求分式方程的解． (2)若分式方程无解，求k的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）将代入，分式方程去分母转化为整式方程，即可求出x的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到或，即可求出的值． 【详解】（1）解：当时， 检验：当时，分母 ； （2） ， 当整式方程无解时，，， 当时，则， ， ， 综上，或． 题型5列分式方程 例5．的蔗糖溶液是生物课堂上的常用试剂，该试剂可利用的的蔗糖溶液加入的蒸馏水稀释而成，由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据列方程即可． 【详解】解：∵的的蔗糖溶液加入的蒸馏水稀释成的蔗糖溶液， ∴可列方程． 变式1．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟．已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，列出方程即可． 【详解】解：设“复兴号”的速度为千米/时，则原来列车的速度为千米/时， 根据题意得，即． 故答案为：． 变式2．甲乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的倍．两人各加工个这种零件，甲比乙少用天．则甲、乙两人每天各加工多少个这样的零件? 【答案】 乙每天加工个零件，甲每天加工个零件 【分析】设乙每天加工个零件，则甲每天加工个零件，根据甲比乙少用天，列分式方程求解． 【详解】解：设乙每天加工个零件， 甲每天加工个零件， 由题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意， 甲每天加工的零件：， 答：乙每天加工个零件，甲每天加工个零件． 题型6分式方程的行程问题 例6．湖南省地质博物馆迅速成了巡展的热门打卡地．某学校九年级学生去距学校的湖南省地质博物馆参观，一部分学生骑自行车先走20分钟，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题为行程问题的分式方程应用，利用时间差列方程，需要统一单位，根据骑车总时间比汽车多先走的时间列出方程即可． 【详解】解：设骑车学生速度为，则汽车速度为， ∵骑车总时间为，汽车总时间为， 可列方程为． 变式1．为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的．小王乘公交车上班平均每小时行驶____． 【答案】40 【分析】本题主要考查了列分式方程解应用题，根据题意找等量关系是解题的关键．设自驾车速度为，则公交车速度为，根据乘公交车所用时间是自驾车所用时间的，列出分式方程求解即可． 【详解】解：设小王自驾车平均每小时行驶，则乘公交车平均每小时行驶， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， ∴小王乘公交车上班平均每小时行驶． 故答案为：40． 变式2．请根据下面对话，解答问题： 小明：今天起晚了，没能跟你一起骑自行车上学，我用了平时骑车速度的1.2倍才刚好在校门口追上你． 小丽：还好我们家离学校就，再远点你可能就要迟到了． (1)设小明原来的速度为，则小明今天的速度为 ； (2)求小明今天的速度． 【答案】(1) (2)小明今天的速度为 【分析】（1）由小明今天的速度是原来速度的1.2倍，可得出小明今天的速度为； （2）利用时间路程速度，结合小丽比小明多用，可列出关于x的分式方程，解之，经检验后，可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵小明原来的速度为，今天小明速度是平时骑车速度的1.2倍， ∴小明今天的速度为． （2）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：小明今天的速度为． 题型7分式方程的工程问题 例7．为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产50台机器，改造后生产600台机器所需时间与改造前生产400台机器所需时间相同．则改造后每天生产的机器台数为（   ） A．100 B．150 C．200 D．250 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，设改造后每天生产的机器台数为未知数，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合改造前后生产对应数量机器的时间相同列分式方程求解，最后检验并得到答案． 【详解】解：设改造后每天生产的机器台数为，则改造前每天生产台，根据题意得， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， ∴改造后每天生产的机器台数为150. 故选：B． 变式1．某县政府在创建文明城市的进程中，着力美化城市环境，改造绿化涡河北岸，建设绿地公园，计划种植树木30万棵．由于青年志愿者的加入，实际每天植树的数量比原计划多，结果提前5天完成任务．设实际每天植树万棵，可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程在工程类问题中的应用，掌握根据实际与计划的效率关系表示出原计划效率，再通过天数差的等量关系列方程是解题的关键． 根据题意，实际每天植树比原计划多，设实际每天植树万棵，可得原计划每天植树，再根据总树木万棵和提前天完成任务，列出分式方程． 【详解】解：设实际每天植树万棵，则原计划每天植树为，原计划天数为，实际天数为， 由提前天可得方程． 故答案为：． 变式2．甲、乙二人分别用某种模具做一款机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间是乙做60个所用时间的1.2倍． (1)求甲、乙每小时各做多少个零件？ (2)经过培训之后，甲、乙二人每小时做的机器零件个数都有所提升．乙每小时提升的个数是甲每小时提升个数的1.5倍，甲做68个零件与乙做60个零件所用时间相同，求培训之后甲、乙每小时分别做多少个零件？ 【答案】(1)甲每小时做30个零件，乙每小时做24个零件 (2)培训之后，甲每小时做34个零件，乙每小时做30个零件 【分析】（1）设甲每小时做个零件，那么乙每小时做个零件，根据甲做90个所用的时间是乙做60个所用时间的1.2倍，列出方程进行求解即可； （2）设培训之后甲每小时提升的个数为个，那么乙每小时提升的个数为个，根据甲做68个零件与乙做60个零件所用时间相同，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲每小时做个零件，那么乙每小时做个零件，根据题意得        解得    检验：当时， 原分式方程的解为           答：甲每小时做30个零件，乙每小时做24个零件； （2）解：设培训之后甲每小时提升的个数为个，那么乙每小时提升的个数为个，根据题意得      解得      检验：当时， 原分式方程的解为       （个） （个） 答：培训之后，甲每小时做34个零件，乙每小时做30个零件． 题型8分式方程的经济问题 例8．某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 【答案】D 【分析】根据总价，单价，数量的关系，逐一验证各选项即可得出结果． 【详解】解：∵方程中，是第二次购买的总价，是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同， 故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为， ∵第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元， ∴表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意； ， ， ， ， 解得， ∴ 第一次购买节能灯的单价是元，故B选项说法正确，不符合题意； 故第二次购买单价为元， ∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个， ∴ 第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意； 若设第二次购买数量为个， ∵ 第二次和第三次购买数量相同， ∴ 第三次购买数量也为个， 故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为， ∵第三次单价比第一次单价多元， 故， 整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意． 变式1．某果园种植一种有机生态水果．与去年相比，今年这种水果的销量增加了，每千克的平均批发价比去年降低了，批发销售总额比去年增加了．已知去年这种水果的批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价为____________元． 【答案】4 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据去年销售总额和今年销售额增长率，求出今年销售总额；设去年单价为元，表示去年销量、今年单价和销量，利用今年销售总额列方程求解去年单价，再求今年单价． 【详解】解：去年批发销售总额为元，今年增加，则今年销售总额为（元）． 设去年每千克平均批发价为元，则去年销量为． 今年每千克批发价比去年降低，故今年单价为元； 今年销量增加，故今年销量为． 今年销售总额为今年单价与销量之积，即． 简化得， 解得． 经检验：是原分式方程的解， 今年单价为（元）． 故答案为：． 变式2．2026年云南省玉溪市开展了“玉见米线”暨新春年货节．为了促进家庭和睦，同时积极迎合该活动，某市民计划从某店购买“马年拍马屁”钥匙挂件和伴手礼套装送给家人作为新春礼物．已知购进一套伴手礼的价格比购进一个钥匙挂件的价格贵35元，且用500元购进钥匙挂件的数量正好是用600元购进伴手礼套装数量的2倍． (1)求购进一个钥匙挂件和一套伴手礼的价格分别为多少元？ (2)如果该市民需要钥匙挂件的数量是伴手礼套装数量的2倍少1个，且购进钥匙挂件和伴手礼套装的总费用不超过860元，那么该市民最多可购进多少套伴手礼？ 【答案】(1)购进一个钥匙挂件的价格为25元，一套伴手礼的价格为60元 (2)该市民最多可购进8套伴手礼 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设钥匙挂件的价格为元，则购进一套伴手礼的价格为元，根据题干给出的数量等量关系列分式方程，求解检验后即可得到结果； （2）设该市民购进套伴手礼，则购进钥匙挂件的数量为个，根据总费用的限制条件列一元一次不等式，求解后取符合题意的最大整数即可. 【详解】（1）解：设购进一个钥匙挂件的价格为元，则购进一套伴手礼的价格为元， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合实际意义， （元）， 答：购进一个钥匙挂件的价格为25元，购进一套伴手礼的价格为60元； （2）解：设该市民购进套伴手礼，则购进钥匙挂件的数量为个， 根据题意得：， 解得：， 而，即， 取最大正整数，得， 答：该市民最多可购进8套伴手礼． 题型9分式方程和差倍分问题 例9．我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和燃油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】充电费和燃油费均为100元时，电动汽车行驶总路程=燃油汽车行驶总路程×3，据此列方程即可. 【详解】解：设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元， ∵电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元， ∴燃油汽车平均每千米的加油费为元， ∵路程=总费用÷每千米费用，总费用均为100元， ∴电动汽车可行驶总路程为，燃油汽车可行驶总路程为， 又∵电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍， ∴． 变式1．某工厂现在平均每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划平均每天生产台机器，则现在平均每天生产台机器，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设原计划平均每天生产台机器，则现在平均每天生产台机器， 根据题意得，， 故答案为：． 变式2．某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运450千克所用时间与机器人搬运500千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运90千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 【分析】本题考查分式方程的实际应用．设机器人A每小时搬运的重量为未知数，结合机器人B与A的搬运量关系表示出B的速度，再根据时间相等的条件列方程求解． 【详解】解：设机器人A每小时搬运千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， ， 解得：， 检验：当时，，所以是原方程的解， 则机器人B每小时搬运：（千克）． 答：机器人A每小时搬运90千克，机器人B每小时搬运100千克． 题型10分式方程的其他实际问题 例10．《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．设第一次分钱的人数为x，依题意，列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设第一次分钱的人数为人，则第一次每个人分元，第二次每个人分元，再根据两次每人分的钱相同列出方程即可． 【详解】解：设第一次分钱的人数为人， 由题意得，， 故选：B． 变式1．在一个不透明的口袋中装有12个白球和若干个红球，它们除颜色外，其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有________个． 【答案】8 【分析】根据摸到红球的频率稳定在附近，得到摸到红球的概率为，设红球有个，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设红球有个，则总球数为个． 由题意：摸到红球的概率为， ∴． 解得：． 检验：为原分式方程的解， 故口袋中红球可能有8个． 变式2．某校购进甲、乙两种款式的篮球，购买甲种篮球用了1200元，购买乙种篮球用了2100元，购买的乙种篮球数量是甲种的1.5倍，乙种篮球单价比甲种单价贵5元． (1)求甲、乙两种篮球的单价分别为多少元； (2)该校计划再次订购这两种篮球共60个，总费用不超过2000元，那么该校最少购买多少个甲种篮球？ 【答案】(1)甲种篮球的单价是30元，乙种篮球的单价是35元 (2)该校最少购买20个甲种篮球 【分析】（1）设甲种篮球的单价是x元，则乙种篮球的单价是元，根据题意列出方程，即可求解； （2）设购买甲种篮球m个，则购买乙种篮球个，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设甲种篮球的单价是x元，则乙种篮球的单价是元， 根据题意得：． 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意 ∴（元） 答：甲种篮球的单价是30元，乙种篮球的单价是35元 （2）解：设购买甲种篮球m个，则购买乙种篮球个． 根据题意得， 解得：． ∴m的最小值为20， 答：该校最少购买20个甲种篮球． ✍ 巩固练习 一、单选题 1．下列关于的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要判断一个方程是否为分式方程，关键依据是：分母中含有未知数的方程．我们需要逐一分析每个选项的分母是否含有未知数． 【详解】解：A、，分母是常数，不含有未知数，是整式方程，不符合题意； B、，虽然分母含有，但分子中含有根号，属于无理方程，不是分式方程，不符合题意； C、，分母中含有未知数，是分式方程，符合题意； D、，分母含有根号，是无理方程，不是分式方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题关键是明确分式方程的核心特征是分母中含有未知数，同时注意区分整式方程和无理方程． 2．分式方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的求解，解题思路为将分式方程去分母转化为整式方程，求解后检验得到原方程的解. 【详解】解：， 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验：将代入得， ∴是原分式方程的解． 3．某快递公司为提高配送效率，引进甲乙两种型号的分拣机器人，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多30件，且甲型号分拣600件与乙型号分拣500件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为件，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定乙每小时的分拣数量，再根据时间相等列出方程即可． 【详解】解：设甲型号每小时分拣数量为件，则乙型号每小时分拣数量为件， 由题意得． 二、填空题 4．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，检验，将代入，解得，，由题意知，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， 检验，将代入，解得，， ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为且， 故答案为：且． 5．如图，点，，在数轴上对应的数分别是，，．若点到，两点的距离相等，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据点到，两点的距离相等得出，解方程求出的值，再检验即可． 【详解】解：∵点到，两点的距离相等， ∴， 去分母得， 解得：， 经检验：是分式方程的解． ∴的值为． 【点睛】解分式方程时，最后要检验，避免出现增根． 6．小张同学看一本800页的小说，暑假前看了200页，进入暑假后为早日完成，每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成___________页． 【答案】10 【分析】设原计划每天完成页，根据总用时32天列出分式方程，求解后舍去不符合实际意义的解，即可得到答案． 【详解】解：设原计划每天完成页， 由题意得：， 方程两边同乘，得， 整理得， 解得或， 经检验和都是原方程的解，但不符合实际意义，舍去， 所以小张原计划每天完成10页． 三、解答题 7．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 无解 【分析】（1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验，即可； （2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验，即可. 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验，当时，， 故是原方程的解； （2）解：， 去分母，得， 解得； 当时，， ∴是原方程的增根，舍去； ∴原方程无解. 8．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题： (1)更新设备后每天生产 件产品（用含x的式子表示）； (2)更新设备前生产2400件产品比更新设备后生产3300件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品． 【答案】(1) (2)更新设备后每天生产300件产品 【详解】（1）解：由题意可得，更新设备后每天生产产品为：（件）； （2）解：由题意可得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 答：更新设备后每天生产300件产品． 9．卓越中学每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用8000元购买了A、B两种体育器材共120件作为奖品．已知一件B种器材是一件A种器材价格的2倍，且购买A种器材与购买B种器材费用相同． (1)求购买一件A种器材、一件B种器材各需多少元？ (2)若学校需购买A、B两种器材共100件，且A种器材的数量不多于B种器材数量的2倍，至少要花多少钱？ 【答案】(1)购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元 (2)元 【分析】（1）设一件A种器材的价格为元，则一件B种器材的价格为元，根据题意，列出分式方程，求解即可； （2）设购买A器材件，则B器材件，总费用元，根据不等关系，列出不等式求出的取值范围，再根据题意，求出一次函数，利用函数的性质，求解即可． 【详解】（1）解：设一件A种器材的价格为元，则一件B种器材的价格为元， （元）， 根据题意得，， 解得， 经检验：是方程的解，且符合题意， ， 则购买一件A种器材需50元、一件B种器材需100元； （2）解：设购买A器材件，则B器材件，总费用元， 根据题意得，， 解得， ， ， 随的增大而减小， ，且为非负整数， 当时，取得最小值，为（元）， 则至少要花元． 10．随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如图的宣传，根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】新型机器人每天搬运的货物量为90吨． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设每台新型机器人每天搬运的货物量为吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据每台新型机器人搬运900吨货物的时间和每台旧型机器人搬运600吨货物的时间相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型机器人每天搬运的货物量为90吨． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $