专题10.13 分式全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +复习检测）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 10.13 分式全章复习讲义（知识梳理+题型精析+复习检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】分式 1 【知识点二】分式的基本性质 2 【知识点三】约分与通分 2 【知识点四】分式的运算 2 【知识点五】分式方程 3 二.题型精析 3 【题型 1】分式的意义与分式的值 3 【题型 2】利用分式基本性质变形 6 【题型 3】分式约分与通分 7 【题型 4】最简分式与最简公分母 9 【题型 5】分式乘除运算 10 【题型 6】分式加减运算 12 【题型 7】分式混合运算 15 【题型 8】分式的化简求值 17 【题型 9】分式的化简整体代入求值 19 【题型 10】解分式方程 21 【题型 11】已知分式方程的解，求参数的值或取值范围 24 【题型 12】分式方程增根、无解问题 27 【题型 13】分式方程的实际应用——工程与行程问题 30 【题型 14】分式方程的实际应用——销售问题 33 三.同步检测 36 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 36 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 36 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 36 一.知识梳理 【知识点一】分式 1、 定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么代数式叫做分式，其中是分式的分子，是分式中的分母，且. 2、 分式的意义： （1）有意义；（2）无意义；（3） 【知识点二】分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。 即 【知识点三】约分与通分 1. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这种变形叫做约分。 步骤：（1）分子、分母先因式分解；（2）找出分子分母的公因式；（3）约去公因式，化为最简分式（分子、分母没有公因式的分式）。 2. 通分：把几个异分母的分式化为与原分式相等的同分母分式的过程，叫做通分。 步骤：（1）找最简公分母；（2）系数：取各分母系数的最小公倍数；（3）字母：取各分母中所有不同字母（或因式）；（4）指数：取各字母（或因式）的最高次幂。 【知识点四】分式的运算 1. 分式的乘除运算 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用符号表示为： 2. 分式的加减运算 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减 用符号表示为： 异分母的分式相加减，先通分，再加减。 用符号表示为： 3. 分式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的。 注意：运算过程中要随时约分，结果必须是最简形式。 【知识点五】分式方程 1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 2. 分式方程的解法 （1）去分母：方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程； （2）解整式方程：按一元一次方程的解法求出未知数的值； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若公分母不为 0，则是原方程的解；若公分母为 0，则是增根，原方程无解。 3. 分式方程的增根问题 增根：分式方程去分母后转化的整式方程的解，但该解使原分式方程的分母为 0，因此不是原方程的解。增根一定是最简公分母为 0 的未知数的值。 4. 分式方程的应用 解题步骤：审、设、列、解、验、答（双检验：检验解是否为增根，检验解是否符合实际意义）。 常见类型：工程问题、行程问题、销售问题等，核心是找到等量关系，列出分式方程。 二.题型精析 【题型 1】分式的意义与分式的值 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为0和分式无意义的条件，掌握分式值为的条件是分子为且分母不为，分式无意义的条件是分母为是解题的关键． 根据分式值为的条件求出的值和的限制，再根据分式无意义的条件求出的值，最后代入计算． 【详解】解：当时，分式的值为， 且，解得，． 当时，分式没有意义， ，解得， ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）若分式有意义，则分式（   ） A．有意义 B．无意义 C．值为0 D．值不为0 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键． 第一个分式有意义要求分母不为零，即，解得且，第二个分式的分母为，当 时，分母不为零，因此第二个分式总有意义． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，即， ∴ 且 ． 对于分式，分母时有意义， ∵， ∴， ∴分式 有意义． 故选：A ． 【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）已知分式． (1)当时，分式的值为0，求的值； (2)若，求分式的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查了分式为零的条件，解二元一次方程组，分式的求值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到的值为0，然后根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0求解即可； （2）首先根据绝对值和平方的非负性得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，分式的值为0， ∴的值为0， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵ ∴ 解得 ∴． 【变式3】（2025·广东广州·一模）关于的不等式解集在数轴上表示如图，设，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据不等式的解集和分式有意义的条件分段讨论，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：由数轴可知关于的不等式解集为， ∵中， ∴分段讨论： ①当时，， ∴， ∴，即； ②当时，， ∴， ∴，即， 综上，的取值范围是或． 【题型 2】利用分式基本性质变形 【例题2】（25-26八年级下·河南周口·月考）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式的分子分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，根据性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，∵分子分母不是同时乘或除以同一个整式，∴与不一定相等，本选项不符合题意； B选项，∵，∴本选项不符合题意； C选项，∵变形为时，分子乘分母乘，乘的不是同一个数，∴与不一定相等，本选项不符合题意； D选项，，变形正确，本选项符合题意； 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·月考）若，等式成立，则x应满足的条件是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的值不变，解答即可． 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故答案为：． 【变式2】（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的6倍 【答案】A 【分析】将扩大后的结果代入原分式，化简后和原分式比较即可得到结论． 【详解】解：将同时扩大为原来的3倍后， 新分式为， 所以新分式的值是原分式的3倍，即分式的值扩大到原来的3倍． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： （1）括号内填：______； （2）括号内填：______． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子和分母的各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）将分子和分母同乘以10，使系数化为整数； （2）将分子和分母同乘以20，消除分数系数，得到整数系数分式． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：． 【题型 3】分式约分与通分 【例题3】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的约分，正确约分是解题的关键．依据分式约分法则，即分子分母同时除以公因式，多项式先因式分解再判断，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：∵选项A中，分子无法分解出因式，不能将分子的与分母的约分，∴A错误； ∵选项B中，，并非，∴B错误； ∵选项C中，分母，分子与分母的公因式为（），∴，C正确； ∵选项D中，分子与分母没有公因式，不能约分，∴D错误． 故选：C． 【变式1】（2025·四川雅安·中考真题）化简：______． 【答案】 【分析】先分别将分子分母因式分解，再约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·月考）已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件整理出，再将所求分式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，可得， ∴ ． 【变式3】（25-26八年级上·河北邢台·月考）将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分，确定最简公分母是解题的关键．将分母分解因式后，找到各分母的最简公分母作为公分母，再将各分式化为该公分母的形式即可． 【详解】解：分式的最简公分母为， ∴需要把的分子、分母同时乘以， 故答案为：． 【题型 4】最简分式与最简公分母 【例题4】（25-26七年级上·上海闵行·期末）在分式、、中，最简分式有______个． 【答案】1 【分析】本题考查了最简分式的定义．根据最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式为最简分式，逐一判断各分式即可． 【详解】解：对于分式，分子和分母有公因式2，可约分为，故不是最简分式； 对于分式，分子和分母无公因式，故是最简分式； 对于分式，分子可因式分解为，分母可因式分解为， 故，故不是最简分式． 因此最简分式有1个． 故答案为1． 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元测试）下列式子是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简分式的定义，分子分母没有公因式的分式即为最简分式，据此逐个判断各选项即可． 【详解】解：分子分母没有公因式的分式是最简分式， 选项A：，分子分母有公因式，可约分，A不是最简分式，故该选项不符合题意； 选项B：的分母是常数，该式是整式，不是分式，故该选项不符合题意； 选项C： ，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式，故该选项不符合题意； 选项D：的分子与分母没有公因式，是最简分式，故该选项符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此进行判断即可． 【详解】解：分式，的最简公分母是． 【变式3】（25-26八年级下·四川宜宾·月考）分式，，的最简公分母是________． 【答案】 【分析】先将分母进行因式分解，然后根据三定法确定最简公分母即可. 【详解】解：， 故分式，，的最简公分母是. 【题型 5】分式乘除运算 【例题5】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先除法变乘法，再约分即可求出答案． （2）先因式分解，再约分化简即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）化简的结果为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，掌握乘除混合运算按从左到右顺序进行，除法转化为乘法后再计算是解题的关键． 根据运算顺序从左到右计算，除以分数相当于乘以倒数． 【详解】解：, ∴最后结果为 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·湖南永州·月考）化简：________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除及化简．将除法运算转化为乘法运算，对分子和分母进行因式分解后约分． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简下列分式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式乘除法法则进行计算即可； （2）根据分式乘除法法则把除法变换为乘法，进行因式分解后，再约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型 6】分式加减运算 【例题6】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减，即可得到答案． 【详解】解：原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如果，那么________，________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，利用分式的加法法则变形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：，． 【变式3】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （2）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （3）括号内先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （4）括号内先通分，分子分母分解因式，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型 7】分式混合运算 【例题7】（25-26九年级下·四川甘孜·月考）化简： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据分式的乘法法则计算，可得：原式，再根据分式的加法法则进行计算； （2）先根据分式的加法法则把括号里面的计算出来，可得：原式，再根据分式的乘法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（2026·河南·一模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用分式通分、平方差公式因式分解、分式约分的知识，解题思路为先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，约分后得到结果． 【详解】解：原式 ． 【变式2】（2026九年级下·北京·专题练习）若，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先计算第二个小括号内分式的减法，再计算分式的除法并化简，然后将化为，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，， ∴原式． 【变式3】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可解答； （2）先将括号内的分式通分，再进行减法运算，最后进行乘除运算即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【题型 8】分式的化简求值 【例题8】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中从0，1，2中选一个恰当的数求值． 【答案】，当时，原式 【分析】先把小括号内的式子通分，然后因式分解后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定m的值，然后代入求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∵从0，1，2中选一个恰当的数 ∴当时，原式． 【变式1】（2026·河北·模拟预测）若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将原式中的除法运算转化为乘法运算，即乘以除数的倒数，对分子分母中的多项式进行因式分解，运用完全平方公式和提公因式法，对转化后的式子进行约分，消去相同的因式，先将原式化简，再将代入计算即可． 【详解】解： ∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·广西崇左·期末）当时，式子的值是___． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则对原式进行化简，再代入求值．先对括号内的分式进行通分计算；再将除法转化为乘法，同时对分子、分母进行因式分解；然后约去公因式，将原式化简为最简分式；最后将代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： 当时，． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级下·江西赣州·期中）先化简，然后从0，1，2三个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】，2 【详解】解：原式 ， ∵，，， ∴x只能取0． ∴当时，原式． 【题型 9】分式的化简整体代入求值 【例题9】（2025·北京·模拟预测），求代数式的值． 【答案】6 【分析】先算括号内的分式减法，然后算分式除法，通过约分化成最简，最后代入即可求解． 【详解】解： =， =， =， =， ∵， ∴， 则原式=． 【变式1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）若，则的值为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值．先对已知方程变形得到的值，再利用完全平方公式的恒等变换计算所求式子的值． 【详解】解：∵，且（若，代入方程左边得，矛盾）， ∴方程两边同时除以，得， ∴， ∵， ∴ 将代入，得． 故选：A． 【变式2】（2026八年级上·江苏泰州·专题练习）若，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是分式的求值，掌握整体代入法求值是解题的关键． 由已知方程得，代入分母化简为，从而简化原式． 【详解】解：∵，可知， 由得， 代入分母得， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）先化简，再求值：，其中x是方程的根． 【答案】； 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再进行约分得到最简结果，最后将方程进行变化并将其整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 由题意得， ， ∴． 【题型 10】解分式方程 【例题10】（25-26八年级下·河南南阳·期中）在解方程时，小李解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】第一步是去分母；去分母的依据是：等式的基本性质；小李的解答过程不正确，见解析 【详解】解：小李的解法中，第一步是去分母； 去分母的依据是：等式的基本性质； 小李的解答过程不正确；正确的解答过程是： 去分母，得， 整理，得，， 移项并合并，得，， 系数化为1，得，， 检验：当时，． 原分式方程无解． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：原方程可化为， 方程两边同乘以最简公分母，得， 展开，得． 解方程，得． 检验：当时，， 所以，原方程的根是． （2）解：原方程可化为． 方程两边同乘以最简公分母，得， 展开，得． 解方程，得． 检验：当时，， 所以，原方程的根是． 【变式2】（25-26八年级下·全国·单元测试）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两边同乘最简公分母化为整式方程求解，再代入公分母检验即可； （2）两边同乘最简公分母化为整式方程求解，再代入公分母检验即可． 【详解】（1）解：方程两边都乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：方程两边都乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 【变式3】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为； （2）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程无解． 【题型 11】已知分式方程的解，求参数的值或取值范围 【例题11】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的解是，求的值； (2)若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）将代入原方程得到关于b的方程求解即可； （2）先求得分式方程的解，然后再根据解是非负数列不等式求解即可． 【详解】（1）解：将代入方程，得，解得：． （2）解：， ， ， ， ． 分式方程的解是非负数， ，且，解得且． 【变式1】（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求解分式方程，得到含的解的表达式，再根据分式方程的解为负数，且分母不为零，列出关于的不等式，求解得到的取值范围. 【详解】解：， 将方程变形为， 方程两边同乘去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得， 分式方程的解为负数， ，且， 即，且， 解得， 解得， 已经满足， 的取值范围是． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】首先解此分式方程，再根据此方程的解是非负数及，据此计算即可求解． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 解得， 分式方程的根是非负数，且， ，且， 解得且． 【变式3】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）已知关于x的分式方程． (1)当时，解此方程； (2)若该方程的解是非负数，试求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了分式方程的求解及根据方程解的情况确定参数的取值范围． （1）先将代入分式方程，再求解分式方程，最后将求解的x进行检验，若分母不为0即为分式方程的解； （2）先将分式方程化为整式方程，得出x的表达式，再根据方程的解是非负数这一条件，进一步确定m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，分式方程为， 方程两边同乘，得，解得， 当时，， ∴分式方程的解为． （2）解：， 方程两边同乘，得，解得， ∵这个方程的解为非负数， ∴且，解得且． 【题型 12】分式方程增根、无解问题 【例题12】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根与无解问题，涉及分式方程的解法、整式方程的求解及分类讨论思想的应用．解题的关键是明确增根的定义（使公分母为 0 的整式方程的根，非原分式方程的根）和分式方程无解的两种情况（产生增根导致无解；整式方程本身无解导致分式方程无解）． （1）先确定公分母并化为整式方程，将增根代入整式方程，求解 m 的值； （2）先找出所有可能的增根（使公分母为 0 的 x 值），再分别将增根代入整式方程，求解对应的 m 值； （3）分两种情况讨论：一是整式方程产生增根导致分式方程无解，利用（2）的结果；二是整式方程化为一元一次方程时，x 的系数为 0 导致整式方程无解，进而分式方程无解，综合两种情况得 m 的值． 【详解】（1）解：去分母，得． 整理，得． 若增根为，则， 解得． （2）解：若原分式方程有增根，则， 所以或． 当时，，解得； 当时，， 解得， 所以若原分式方程有增根，则． （3）解：由（2）知，当时，原分式方程有增根，即无解； 去分母后的整式方程为． 当时，整式方程无解． 综上，若原分式方程无解，则或． 【变式1】（24-25九年级下·江苏无锡·月考）如果关于的分式方程有增根，那么增根可能是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，先把分式方程转化为整式方程，再根据分式方程有增根可得整式方程的解为或，进而代入整式方程即可判断求解，理解增根的定义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以得，， 整理得，， ∵分式方程有增根， ∴整式方程的解为或， 当时，； 当时，不是整式方程的解； ∴分式方程的增根可能是， 故选：． 【变式2】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）若关于x的方程无解，则________． 【答案】，1 【分析】分式方程无解包含两种情况：一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，将分式方程化为整式方程后，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：原方程为 方程两边同乘最简公分母去分母得：， 展开并移项合并同类项得：， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，满足未知数系数为且常数项不为，即 ，解得，此时，符合要求； 当整式方程的解为原分式方程的增根时， 原分式方程分母为和，因此增根为， 将代入得： ， 解得，符合要求； 综上，的值为或． 【变式3】（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下： 解：方程两边同乘，得，第一步 整理，得第二步 当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步 你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正． 【答案】第三步错误，见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母，再计算得到，分式方程无解有两种情况，第一种情况，第二种情况，则此时原方程有增根，据此求解即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得，第一步， 整理，得，第二步， 当，即时，此时满足原方程无解， 当时，， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或， ∴第三步出现错误． 【题型 13】分式方程的实际应用——工程与行程问题 【例题13】（2026·辽宁沈阳·一模）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的美术实践基地写生．一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达基地．已知中巴车平均速度是大巴车平均速度的倍，求中巴车的平均速度是多少． 【答案】 【分析】设大巴车的平均速度是，根据中巴与大巴的时间差列分式方程求解即可. 【详解】解：设大巴车的平均速度是， 由题意得：， 解得：， ∴中巴车的平均速度为：， 经检验，是分式方程的解， 答：中巴车的平均速度是． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）某校学生去20km外的科技馆研学，部分学生乘甲车先出发，5分钟后，其余学生乘乙车出发，两车同时到达．已知乙车速度是甲车速度的1.2倍，设甲车速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题为行程问题列方程题，根据时间=路程÷速度，结合两车时间差列方程，注意统一单位即可求解． 【详解】解：∵设甲车速度为，则乙车速度为，5分钟即为小时， 依题意得：． 【变式2】（25-26八年级下·江苏南京·月考）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前40天完成了这一任务．如果设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，那么可列方程为：______． 【答案】 【分析】根据工作效率的关系求出原计划每天绿化的面积，再根据原计划工作时间减去实际工作时间等于提前的天数列方程即可． 【详解】解：由题意知，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了， 原计划每天绿化的面积为万平方米， 原计划完成任务所需天数为， 实际完成任务所需天数为， 可列方程：． 【变式3】（2026·湖北襄阳·一模）有一市政建设工程，若甲、乙两工程队合作，需要12个月完成；若甲队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两队合作，还需要9个月才能完成． (1)甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少个月？ (2)已知甲队每月施工费用5万元，乙队每月施工费用3万元．要使该工程施工总费用不超过95万元，则甲工程队至多施工多少个月？ 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要20个月，乙工程队单独完成此项工程需要30个月 (2)甲工程队至多施工10个月 【分析】（1）根据题意列出分式方程组求解； （2）根据题意列出不等式求解． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要个月，乙工程队单独完成此项工程需要个月，根据题意得， ， 解得 经检验，当是方程组的解，并符合题意， 答：甲工程队单独完成此项工程需要20个月，乙工程队单独完成此项工程需要30个月； （2）解：甲工程队施工个月，乙工程队施工个月，根据题意得， ， ∴， ∴， 解得， ∴甲工程队至多施工10个月． 【题型 14】分式方程的实际应用——销售问题 【例题14】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）某书商去批发市场购买某本图书，第一次用12000元购买了若干本，并按该书定价为7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价比第一次提高了，用15000元购买该书比第一次多了100本． (1)求第一次购书的进价是多少元一本？ (2)若第二次进书后，按定价售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利元（n、m为正整数），求相应的n、m的值． 【答案】(1)第一次购书的进价是元一本 (2)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）设第一次购书的单价为元，根据第一次用12000元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了，他用15000元所购该书的数量比第一次多100本，列出方程，求出的值即可得出答案； （2）根据（1）先求出第二次购书数目，再根据卖书数目（实际售价当次进价）等于二次赚的钱数列出方程探讨得出答案． 【详解】（1）解：设第一次购书的单价为元一本，根据题意得： ． 解得：． 经检验，是原方程的解， 答：第一次购书的进价是5元一本； （2）解：第二次购书进价为（元）， 数量为（本）， 根据题意，得 整理得， 、为正整数，且， 当，； 当时，； 当时，． 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）我国古代《四元玉鉴》中记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫罗各一尺，共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问绫布、罗布每尺各多少文？设绫布有尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据总长度表示出罗布的长度，再根据总收入得到两种布的单价，最后根据“绫布和罗布各出售尺共收入文”的等量关系列方程即可． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有 尺， 绫布和罗布分别全部出售后均能收入文， 绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文， 又绫布和罗布各出售尺共收入文， 可列方程． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）“万家乐”超市近日用800元购进了一批新品种苹果，由于销售良好，又用900元二次购进了该品种苹果，但第二次进货价比第一次的进货价低，且进货量比第一次多40千克，求第一次购进苹果的单价．设第一次购进苹果的单价为x元/千克，则可列方程为：________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设第一次购进苹果的单价为元/千克，则第二次进货价为元/千克，根据第二次进货量比第一次多40千克，列出方程即可． 【详解】解：设第一次购进苹果的单价为元/千克，则第二次进货价为元/千克， 由题意，得． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级下·重庆万州·期中）嘉利华烘焙推出了两款新颖的特色甜品，一款是“蓝莓云朵塔”，另一款是“海盐奥利奥”．已知2盒“蓝莓云朵塔”和5盒“海盐奥利奥”总售价为240元；3盒“蓝莓云朵塔”和4盒“海盐奥利奥”总售价为234元． (1)求每盒“蓝莓云朵塔”和“海盐奥利奥”各自的售价； (2)奶油是制作甜品的主要原料之一，蛋糕店老板发现今年第三季度平均每千克奶油的价格比第二季度上涨了，第三季度花6000元买到的奶油数量比第二季度花同样的钱买到的奶油数量少了12千克，求第三季度平均每千克奶油的价格． 【答案】(1)每盒“蓝莓云朵塔”的售价是30元，每盒“海盐奥利奥”的售价是36元 (2)125元 【分析】（1）设每盒“蓝莓云朵塔”的单价是元，每盒“海盐奥利奥”的单价是元，利用总价=单价×数量，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设第二季度平均每千克奶油的价格是元，则第三季度平均每千克奶油的价格是元，利用数量=总价÷单价，结合第三季度花6000元买到的奶油数量比第二季度花同样的钱买到的奶油数量少了12千克，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出第二季度奶油的单价，再将其代入中，即可求出第三季度奶油的单价． 【详解】（1）解：设每盒“蓝莓云朵塔”的单价是元，每盒“海盐奥利奥的单价是元， 由题意得：，解得． 答：每盒“蓝莓云朵塔”的售价是30元，每盒“海盐奥利奥”的售价是36元． （2）解：设第二季度平均每千克奶油的价格是元，则第三季度平均每千克奶油的价格是元， 由题意得：，解得． 经检验：是原方程的解且符合题意． （元）． 答：第三季度平均每千克奶油的价格是125元． 三.同步检测 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 1．（2026·河北张家口·一模）使有意义的的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件，即分式的分母不为零，同时除法运算中除数不为零，列出不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， ∴且． 2．（25-26八年级下·山西·期中）将分式中的都扩大到3倍，则分式的值（   ） A．扩大到3倍 B．不变 C．扩大到9倍 D．扩大到6倍 【答案】B 【分析】将扩大3倍后的、代入原分式，化简后和原分式比较，即可判断分式值的变化．根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，可快速判断本题中分子分母同时扩大3倍，分式值不变． 【详解】解：将、都扩大到原来的3倍后，变为，变为， 代入原分式得： 化简后结果与原分式相等，因此分式的值不变． 3．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【详解】解：． 4．（2026·天津西青·一模）计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先对异分母分式通分，再根据同分母分式加法法则计算，得到结果后匹配选项即可． 【详解】解：． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘法即可． 【详解】解：． 6．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式以及分式的基本运算，能够读懂题意列出分式是解题关键； 设工作总量为1，根据甲、乙单独完成的天数表示各自的工作效率，合作效率为两者之和，再求合作所需天数． 【详解】解：设工作总量为1， ∵ 甲单独完成需天， ∴ 甲的工作效率为， ∵ 乙单独完成需天， ∴ 乙的工作效率为， ∴ 甲、乙合作的工作效率为， ∴ 合作所需天数为． 故选：A． 7．（25-26八年级下·四川乐山·月考）若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根定义确定增根的值，代入增根计算得到a的值． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 去括号得， 则， ∵原分式方程分母为，方程有增根， ∴增根满足，即， 将代入整式方程，得， 解得：． 8．（2026·黑龙江佳木斯·一模）关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ，即， ， 解得：且． 9．（24-25八年级下·重庆·期中）“一骑红尘妃子笑”描述唐玄宗为杨贵妃运送荔枝的场景．通过查阅资料岭南到长安相距里，且荔枝的保鲜时间短，忽略换马、换人的时间，用慢马运送比预定时间晚小时到达，用快马比预定时间早小时到达，已知快马的速度是慢马的倍，求预定的时间．设预定的时间为小时，由题意可列方程（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分式方程的实际应用问题，根据速度、路程和时间之间的关系，分别表示出快马与慢马的速度，再结合快马速度是慢马的倍，即可列出对应方程． 【详解】解：∵预定时间为小时，慢马比预定时间晚小时到达， ∴慢马行驶时间为小时，慢马速度为， ∵快马比预定时间早小时到达， ∴快马行驶时间为小时，快马速度为， 又∵快马速度是慢马的倍， ∴可得方程． 10．（25-26八年级上·重庆忠县·期末）对于一列非零数，，，…，设，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，，…，以此类推．以下结论：①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查分式中的规律探究，分式的求值，正确的地找到规律，是解题的关键 先求出前几个数，得到这列数6个数为一个周期，循环出现，再逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这列数6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵ 周期乘积， ， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 又，，即，，， 故满足条件的整数共有6个．故④正确， 故选：B． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算． 【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得． 当时，分式的值为0，则分子，即，解得． 所以． 故答案为：． 12．（2026九年级下·四川成都·专题练习）已知，且，则______． 【答案】2 【分析】由得到，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·山东济南·月考）已知，则的值是_________． 【答案】 【分析】将已知通分可推导得到，将该式整体代入所求分式，化简后即可得到结果． 【详解】解：由，通分可得， ， ． 14．（2026·湖南岳阳·一模）化简：_____． 【答案】 【详解】解： ． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，点A，B在数轴上，它们对应的数分别为，，且点A，B到原点的距离相等．则x的值为______． 【答案】 【分析】由题意，得，解分式方程即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 经检验是原方程的根． 16．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）已知可以写成，根据这一做法解决：当整数的值为______时，分式的值为整数． 【答案】3或1或7或-3 【分析】先将分式通过拆分变形为整式与真分式相加的形式，转化为；再根据分式的值为整数，得出必须为整数，进而确定是5的约数，最后通过枚举5的所有整数约数求出的整数值． 【详解】解：， 是整数， 应是整数， ， 或或或， 解得：或或或． 17．（25-26八年级下·重庆·月考）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为_____． 【答案】 【分析】解：先分别解不等式，再根据不等式组的解集是，得到，解得，再解分式方程得到，根据关于的分式方程有非负整数解，得到且，是非负整数，即可求出的取值范围，最后求所有满足条件的整数的值之和即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵关于的一元一次不等式组的解集是， ∴， 解得， 两边同乘得， 解得， ∵关于的分式方程有非负整数解， ∴且，是非负整数， 解得，且，是奇数， 综上所述，的取值范围是，且，是奇数， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 18．（25-26八年级上·全国·期末）①的最小值是2； ②若，则； ③当和时，式子的值相等，则； ④若，则． 其中正确的是__________（填序号）． 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，①未限制，最小值可能为负；②通过完全平方公式变形求值即可；③根据分式性质进行求解即可；④根据完全平方公式进行求解，得出结果可能为负，不一定为． 【详解】解：①当时，例如，，故最小值不是2，此说法错误； ②∵， ∴，故此说法正确； ③∵当和时，式子的值相等， ∴， ∴， ∴， ∴，故此说法正确； ④∵， ∴， ∴，故此说法错误． 综上，正确的有②③． 故答案为：②③． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·四川乐山·月考）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）分别计算负整数指数幂、零指数幂、算术平方根和绝对值，再进行加减计算； （2）先计算括号内分式加法，然后将除法化为乘法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（本小题满分8分）（2026·西藏·一模）先化简，再求值： ，请从，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代入求解． 【详解】解： ∴当时，原式 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东济南·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）对于分式方程，解题思路是先将分式方程变形，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后进行验根，确定原方程的解． （2）对于分式方程，解题思路是先对分母因式分解，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后验根，判断原方程解的情况． 【详解】（1）解：， ， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 故原分式方程的解为 （2）解：， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 因此不是原分式方程的解． 故原分式方程无解． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级下·四川成都·月考）为响应国家“限塑令”升级号召，助力成都建设“无废城市”，某环保科技公司推出新型可降解餐盒．公司在售普通款餐盒（A类）和加厚款餐盒（B类），已知每个B类餐盒的价格是每个A类餐盒价格的，用40元购买A类餐盒的数量比用30元购买B类餐盒的数量多15个． (1)求A类餐盒的价格． (2)某餐饮商家计划向该公司购买两种餐盒共600个，其中购买A类餐盒的数量不超过B类餐盒数量的2倍，当两种餐盒分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)A类餐盒每个的价格为1元(2)购买A类餐盒400个，B类餐盒200个时总费用最少，最少总费用为640元 【分析】（1）设A类餐盒的价格为元，则B类餐盒的价格为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设A类餐盒购买了个，则B类餐盒购买了个，结合题意列不等式得到，设总费用为，由此列式，结合一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：设A类餐盒的价格为元，则B类餐盒的价格为元， ∴， 解得，， 检验，当时，原方程有意义， ∴A类餐盒每个的价格为1元； （2）解：根据（1）的计算可知，B类餐盒每个的价格为元， 设A类餐盒购买了个，则B类餐盒购买了个， ∴， 解得，， 设总费用为， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，最小，最小值为（元）， ∴， ∴购买A类餐盒400个，B类餐盒200个时总费用最少，最少总费用为640元． 23．（本小题满分10分）（2026·安徽合肥·一模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式 ； (2)写出你猜想的第n（n为正整数）个等式：（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， 第6个等式：； （2）解：根据前面的式子规律可得第n（n为正整数）个等式：，证明如下： 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·山西临汾·月考）综合与探究 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件． 素材2 某学校花费550元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共70件． 素材3 学校花费550元后，文具店赠送张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔的数量相同． 根据以上素材，解决下列问题． (1)求钢笔与笔记本的单价． (2)求购买钢笔和笔记本数量的方案． (3)若兑换所得的笔记本和钢笔的总价不超过550元，则符合条件的兑换券是多少张？兑换方式是怎样的？ 【答案】(1)笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元 (2)购买钢笔的数量为40支，笔记本数量为30本 (3)文具店赠送2张或5张兑换券，①1张兑换券兑换钢笔，1张兑换券兑换笔记本；②3张兑换券兑换钢笔，2张兑换券兑换笔记本 【分析】（1）设笔记本的单价为元，则钢笔的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设购买钢笔的数量为支，笔记本的数量为本，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （3）当购买钢笔的数量为40支，笔记本数量为30本时，设有张兑换券兑换钢笔，则有张兑换券兑换笔记本．根据题意得，整理得，求出．结合，均为正整数，且为偶数（2的倍数），计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设笔记本的单价为元，则钢笔的单价为元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元． （2）解：设购买钢笔的数量为支，笔记本的数量为本． 根据题意，得， 解得， 答：购买钢笔的数量为40支，笔记本数量为30本． （3）解：当购买钢笔的数量为40支，笔记本数量为30本时，设有张兑换券兑换钢笔，则有张兑换券兑换笔记本． 根据题意，得， 整理，得． ∵， ∴， ∴． ∵，均为正整数，且为偶数（2的倍数）， ∴可取1，3，5， 当时，，则，成立； 当时，，则，成立； 当时，，则，成立． 根据题意可知，当时，兑换所得的笔记本和钢笔的总价为800元，不合题意， ∴文具店赠送2张或5张兑换券， 兑换方式：①1张兑换券兑换钢笔，1张兑换券兑换笔记本；②3张兑换券兑换钢笔，2张兑换券兑换笔记本． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 10.13 分式全章复习讲义（知识梳理+题型精析+复习检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】分式 1 【知识点二】分式的基本性质 2 【知识点三】约分与通分 2 【知识点四】分式的运算 2 【知识点五】分式方程 3 二.题型精析 3 【题型 1】分式的意义与分式的值 3 【题型 2】利用分式基本性质变形 6 【题型 3】分式约分与通分 7 【题型 4】最简分式与最简公分母 9 【题型 5】分式乘除运算 10 【题型 6】分式加减运算 12 【题型 7】分式混合运算 15 【题型 8】分式的化简求值 17 【题型 9】分式的化简整体代入求值 19 【题型 10】解分式方程 21 【题型 11】已知分式方程的解，求参数的值或取值范围 24 【题型 12】分式方程增根、无解问题 27 【题型 13】分式方程的实际应用——工程与行程问题 30 【题型 14】分式方程的实际应用——销售问题 33 三.同步检测 36 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 36 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 36 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 36 一.知识梳理 【知识点一】分式 1、 定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么代数式叫做分式，其中是分式的分子，是分式中的分母，且. 2、 分式的意义： （1）有意义；（2）无意义；（3） 【知识点二】分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。 即 【知识点三】约分与通分 1. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这种变形叫做约分。 步骤：（1）分子、分母先因式分解；（2）找出分子分母的公因式；（3）约去公因式，化为最简分式（分子、分母没有公因式的分式）。 2. 通分：把几个异分母的分式化为与原分式相等的同分母分式的过程，叫做通分。 步骤：（1）找最简公分母；（2）系数：取各分母系数的最小公倍数；（3）字母：取各分母中所有不同字母（或因式）；（4）指数：取各字母（或因式）的最高次幂。 【知识点四】分式的运算 1. 分式的乘除运算 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用符号表示为： 2. 分式的加减运算 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减 用符号表示为： 异分母的分式相加减，先通分，再加减。 用符号表示为： 3. 分式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的。 注意：运算过程中要随时约分，结果必须是最简形式。 【知识点五】分式方程 1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 2. 分式方程的解法 （1）去分母：方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程； （2）解整式方程：按一元一次方程的解法求出未知数的值； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若公分母不为 0，则是原方程的解；若公分母为 0，则是增根，原方程无解。 3. 分式方程的增根问题 增根：分式方程去分母后转化的整式方程的解，但该解使原分式方程的分母为 0，因此不是原方程的解。增根一定是最简公分母为 0 的未知数的值。 4. 分式方程的应用 解题步骤：审、设、列、解、验、答（双检验：检验解是否为增根，检验解是否符合实际意义）。 常见类型：工程问题、行程问题、销售问题等，核心是找到等量关系，列出分式方程。 二.题型精析 【题型 1】分式的意义与分式的值 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义．求的值． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）若分式有意义，则分式（   ） A．有意义 B．无意义 C．值为0 D．值不为0 【变式2】（2026八年级下·全国·专题练习）已知分式． (1)当时，分式的值为0，求的值； (2)若，求分式的值． 【变式3】（2025·广东广州·一模）关于的不等式解集在数轴上表示如图，设，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【题型 2】利用分式基本性质变形 【例题2】（25-26八年级下·河南周口·月考）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·月考）若，等式成立，则x应满足的条件是_____． 【变式2】（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的6倍 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： （1）括号内填：______； （2）括号内填：______． 【题型 3】分式约分与通分 【例题3】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·四川雅安·中考真题）化简：______． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·月考）已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·河北邢台·月考）将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以_______． 【题型 4】最简分式与最简公分母 【例题4】（25-26七年级上·上海闵行·期末）在分式、、中，最简分式有______个． 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元测试）下列式子是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【题型 5】分式乘除运算 【例题5】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）化简的结果为（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（25-26八年级上·湖南永州·月考）化简：________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简下列分式． (1)； (2)． 【题型 6】分式加减运算 【例题6】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如果，那么________，________． 【变式3】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型 7】分式混合运算 【例题7】（25-26九年级下·四川甘孜·月考）化简： (1)； (2)． 【变式1】（2026·河南·一模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026九年级下·北京·专题练习）若，则代数式的值为________． 【变式3】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【题型 8】分式的化简求值 【例题8】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中从0，1，2中选一个恰当的数求值． 【变式1】（2026·河北·模拟预测）若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广西崇左·期末）当时，式子的值是___． 【变式3】（25-26九年级下·江西赣州·期中）先化简，然后从0，1，2三个数中选一个合适的数代入求值． 【题型 9】分式的化简整体代入求值 【例题9】（2025·北京·模拟预测），求代数式的值． 【变式1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）若，则的值为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【变式2】（2026八年级上·江苏泰州·专题练习）若，则的值为______． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）先化简，再求值：，其中x是方程的根． 【题型 10】解分式方程 【例题10】（25-26八年级下·河南南阳·期中）在解方程时，小李解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 【变式2】（25-26八年级下·全国·单元测试）解分式方程： (1)； (2)． 【变式3】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【题型 11】已知分式方程的解，求参数的值或取值范围 【例题11】（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的解是，求的值； (2)若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【变式1】（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式3】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）已知关于x的分式方程． (1)当时，解此方程； (2)若该方程的解是非负数，试求m的取值范围． 【题型 12】分式方程增根、无解问题 【例题12】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 【变式1】（24-25九年级下·江苏无锡·月考）如果关于的分式方程有增根，那么增根可能是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式2】（23-24七年级下·浙江宁波·期中）若关于x的方程无解，则________． 【变式3】（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下： 解：方程两边同乘，得，第一步 整理，得第二步 当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步 你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正． 【题型 13】分式方程的实际应用——工程与行程问题 【例题13】（2026·辽宁沈阳·一模）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的美术实践基地写生．一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达基地．已知中巴车平均速度是大巴车平均速度的倍，求中巴车的平均速度是多少． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）某校学生去20km外的科技馆研学，部分学生乘甲车先出发，5分钟后，其余学生乘乙车出发，两车同时到达．已知乙车速度是甲车速度的1.2倍，设甲车速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏南京·月考）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前40天完成了这一任务．如果设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，那么可列方程为：______． 【变式3】（2026·湖北襄阳·一模）有一市政建设工程，若甲、乙两工程队合作，需要12个月完成；若甲队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两队合作，还需要9个月才能完成． (1)甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少个月？ (2)已知甲队每月施工费用5万元，乙队每月施工费用3万元．要使该工程施工总费用不超过95万元，则甲工程队至多施工多少个月？ 【题型 14】分式方程的实际应用——销售问题 【例题14】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）某书商去批发市场购买某本图书，第一次用12000元购买了若干本，并按该书定价为7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价比第一次提高了，用15000元购买该书比第一次多了100本． (1)求第一次购书的进价是多少元一本？ (2)若第二次进书后，按定价售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利元（n、m为正整数），求相应的n、m的值． 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）我国古代《四元玉鉴》中记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫罗各一尺，共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问绫布、罗布每尺各多少文？设绫布有尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）“万家乐”超市近日用800元购进了一批新品种苹果，由于销售良好，又用900元二次购进了该品种苹果，但第二次进货价比第一次的进货价低，且进货量比第一次多40千克，求第一次购进苹果的单价．设第一次购进苹果的单价为x元/千克，则可列方程为：________． 【变式3】（25-26九年级下·重庆万州·期中）嘉利华烘焙推出了两款新颖的特色甜品，一款是“蓝莓云朵塔”，另一款是“海盐奥利奥”．已知2盒“蓝莓云朵塔”和5盒“海盐奥利奥”总售价为240元；3盒“蓝莓云朵塔”和4盒“海盐奥利奥”总售价为234元． (1)求每盒“蓝莓云朵塔”和“海盐奥利奥”各自的售价； (2)奶油是制作甜品的主要原料之一，蛋糕店老板发现今年第三季度平均每千克奶油的价格比第二季度上涨了，第三季度花6000元买到的奶油数量比第二季度花同样的钱买到的奶油数量少了12千克，求第三季度平均每千克奶油的价格． 三.同步检测 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 1．（2026·河北张家口·一模）使有意义的的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．且 2．（25-26八年级下·山西·期中）将分式中的都扩大到3倍，则分式的值（   ） A．扩大到3倍 B．不变 C．扩大到9倍 D．扩大到6倍 3．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·天津西青·一模）计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·四川乐山·月考）若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 8．（2026·黑龙江佳木斯·一模）关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 9．（24-25八年级下·重庆·期中）“一骑红尘妃子笑”描述唐玄宗为杨贵妃运送荔枝的场景．通过查阅资料岭南到长安相距里，且荔枝的保鲜时间短，忽略换马、换人的时间，用慢马运送比预定时间晚小时到达，用快马比预定时间早小时到达，已知快马的速度是慢马的倍，求预定的时间．设预定的时间为小时，由题意可列方程（    ）． A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·重庆忠县·期末）对于一列非零数，，，…，设，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，，…，以此类推．以下结论：①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 12．（2026九年级下·四川成都·专题练习）已知，且，则______． 13．（25-26八年级下·山东济南·月考）已知，则的值是_________． 14．（2026·湖南岳阳·一模）化简：_____． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，点A，B在数轴上，它们对应的数分别为，，且点A，B到原点的距离相等．则x的值为______． 16．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）已知可以写成，根据这一做法解决：当整数的值为______时，分式的值为整数． 17．（25-26八年级下·重庆·月考）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为_____． 18．（25-26八年级上·全国·期末）①的最小值是2； ②若，则； ③当和时，式子的值相等，则； ④若，则． 其中正确的是__________（填序号）． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·四川乐山·月考）计算： (1)； (2)； 20．（本小题满分8分）（2026·西藏·一模）先化简，再求值： ，请从，，中选一个合适的数代入求值． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东济南·月考）解方程： (1)； (2)． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级下·四川成都·月考）为响应国家“限塑令”升级号召，助力成都建设“无废城市”，某环保科技公司推出新型可降解餐盒．公司在售普通款餐盒（A类）和加厚款餐盒（B类），已知每个B类餐盒的价格是每个A类餐盒价格的，用40元购买A类餐盒的数量比用30元购买B类餐盒的数量多15个． (1)求A类餐盒的价格． (2)某餐饮商家计划向该公司购买两种餐盒共600个，其中购买A类餐盒的数量不超过B类餐盒数量的2倍，当两种餐盒分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用． 23．（本小题满分10分）（2026·安徽合肥·一模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式 ； (2)写出你猜想的第n（n为正整数）个等式：（用含n的等式表示），并证明． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·山西临汾·月考）综合与探究 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件． 素材2 某学校花费550元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共70件． 素材3 学校花费550元后，文具店赠送张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔的数量相同． 根据以上素材，解决下列问题． (1)求钢笔与笔记本的单价． (2)求购买钢笔和笔记本数量的方案． (3)若兑换所得的笔记本和钢笔的总价不超过550元，则符合条件的兑换券是多少张？兑换方式是怎样的？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $