精品解析：江苏南通市启东市第一中学2024-2025学年第二学期第三次素质检测高一数学试卷

启东市第一中学2024—2025年度第二学期第三次素质检测 高 一 数 学 试 卷 （考试时间150分钟，试卷满分150分，命题人：施建华，审题人：朱伶鹭） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分；只有一个选项符合） 1. 已知复数，则的共轭复数是（    ） A. B. C. D. 2. 为了解学生每日参加体育锻炼的情况，学校用比例分配的分层随机抽样方法从高一､高二､高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一､高二､高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有36人，则抽取的样本容量为（ ） A. 90 B. 100 C. 120 D. 160 3. 下列选项是真命题的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 有一容积为的正方体容器，在棱、和面对角线的中点各有一小孔、、，若此容器可以任意放置，则其可装水的最大容积是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分；每题有多个选项符合，选错得0分，部分正确得部分分） 9. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数的虚部为-1 C. 若复数z为纯虚数，则 D. 若，为复数，则 10. 在锐角中，角，，对边分别为，，，设向量，，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的取值范围是 D. 11. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，已知，，，当底面水平放置时，水面位置满足，容器内有水部分的几何体体积是，下列命题正确的是（ ） A. 固定容器底面一边于地面上，将容器倾斜，有水的部分始终呈棱柱形 B. 固定容器底面一顶点于地面上，将容器倾斜，有水的部分可能是三棱锥 C. 体积为，高为的圆锥不能放在半径是的球体内 D. 体积为的正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为的圆锥内任意旋转 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分；多空题，第一空2分，第二空3分） 12. 设是两个不共线的向量，，.，且B，C，D三点共线，则实数k的值为_________． 13. 直三棱柱中，，，、分别为线段、的动点，则周长的最小值是____________. 14. 已知在△ABC中， AB=AC，∠ABC的角平分线与边AC交于M点， 线段AB的中垂线过点 M，则 =_______，_______ 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知复数，其中为虚数单位. （1）求为何值时，为纯虚数； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 16. 已知，，其中． （1）求和的值； （2）求的值 17. 设，，向量，，，且，． （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值． 18. 已知三棱锥，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的直角三角形，为上一点，为上一点，且． （Ⅰ）现给出两个条件：①；②为中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面； （Ⅱ）若平面，直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，且，求三棱锥的体积． 19. 如图，已知在平面四边形中，，，． （1）若平分，求的长； （2）设， ①若，求四边形的面积； ②当四边形面积最大时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 启东市第一中学2024—2025年度第二学期第三次素质检测 高 一 数 学 试 卷 （考试时间150分钟，试卷满分150分，命题人：施建华，审题人：朱伶鹭） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分；只有一个选项符合） 1. 已知复数，则的共轭复数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以，所以其共轭复数. 2. 为了解学生每日参加体育锻炼的情况，学校用比例分配的分层随机抽样方法从高一､高二､高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一､高二､高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有36人，则抽取的样本容量为（ ） A. 90 B. 100 C. 120 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽取比例相同运算求解. 【详解】由图可知高三年级学生人数占总人数的，抽取的样本中高三年级的学生有36人， 所以样本容量为． 故选：C. 3. 下列选项是真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方体的性质，举出反例，可说明ABC选项，由面面平行的性质定理可判断D选项. 【详解】如图，在正方体中， 对于A，记平面为，平面为，平面为， 则满足，但不垂直，故A错误； 对于B，记平面为，直线为，直线为， 则满足，但，故B错误； 对于C，记平面为，平面为，直线为，直线为， 则满足，但，故C错误； 对于D，由面面平行的性质定理可知，故D正确. 故选：D 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再由计算可得. 【详解】因为，， 所以，又， 所以，解得. 故选：B 5. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦、余弦公式化简，结合已知条件即可求解. 【详解】 故选：B. 6. 已知圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知求得圆锥底面半径、高，若圆锥外接球的半径为，球心到底面距离为，由列方程求，最后应用球体表面积公式求结果. 【详解】若圆锥底面半径为，则，可得，故圆锥的高， 若圆锥外接球的半径为，则球心到圆锥底面距离， 所以，即，可得， 故外接球的表面积为. 故选：A 7. 如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出正三棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解. 【详解】设上下底面的外心分别为，过作底面的垂线交于点， 上、下底面三角形的高分别为，， 所以，， 所以，又， 所以正三棱台的高为， 上底面积为，下底面积为， 所以正三棱台的体积为. 故选：. 8. 有一容积为的正方体容器，在棱、和面对角线的中点各有一小孔、、，若此容器可以任意放置，则其可装水的最大容积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论水面过直线、、时从正方体截去的几何体体积的最小值，即可得出此容器可装水的最大容积. 【详解】当水面过直线时，如下图所示， 水面截去正方体所得几何体为三棱柱， 当点在水面上方或水面上时，容器中的水不会漏，且当点与点重合时，截去的几何体体积最小为； 当水面过直线时，如下图所示， 水面截去正方体所得几何体为三棱台， 当点在水面上方或水面上时，容器中的水不会漏，且当点在直线上时，截去的几何体为三棱柱，且体积最小为； 当水面过直线时，如下图所示， 当点在水面上方或水面上时，容器中的水不会漏，此时水面截去正方体所得几何体为，且直线过点，易知梯形的面积为正方形面积的一半，此时，几何体的体积为. 当与直线重合时，如下图所示， 此时，点在水面上方，容器不会漏水，水面截去正方体所得几何体为三棱锥， 该三棱锥的体积为. 综上可知，水面截去截去正方体所得几何体体积的最小值为. 因此，该容器可装水的最大容积是. 故选C. 【点睛】本题主要考查几何体体积的计算，根据几何体的几何特征找出水面截去正方体所得几何体体积最小值时的位置是解题的关键，考查推理能力，属于难题. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分；每题有多个选项符合，选错得0分，部分正确得部分分） 9. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数的虚部为-1 C. 若复数z为纯虚数，则 D. 若，为复数，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数乘方运算计算判断A；利用复数除法及共轭复数的意义求解判断B；举例说明判断C；利用复数乘法及模的意义求解判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，其共轭复数的虚部为1，B错误； 对于C，取，则，，C错误； 对于D，设，则， ，D正确. 故选：AD 10. 在锐角中，角，，对边分别为，，，设向量，，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的取值范围是 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标运算、余弦定理可判断A；利用正弦定理、两角和的正弦展开式可判断B；求出的取值范围，由正弦的二倍角公式可判断C；求出的范围可判断D. 【详解】对于A，因为向量，，且，所以， 由余弦定理得， 即，又因为为锐角三角形，所以， 所以，故A错误； 对于B，由正弦定理、得 ， 因为在锐角中，， 所以，可得，故B正确； 对于C，因为，所以，， 可得，由正弦定理可得，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，已知，，，当底面水平放置时，水面位置满足，容器内有水部分的几何体体积是，下列命题正确的是（ ） A. 固定容器底面一边于地面上，将容器倾斜，有水的部分始终呈棱柱形 B. 固定容器底面一顶点于地面上，将容器倾斜，有水的部分可能是三棱锥 C. 体积为，高为的圆锥不能放在半径是的球体内 D. 体积为的正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为的圆锥内任意旋转 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据棱柱的定义可判断A选项；计算出三棱锥的体积，比较和三棱锥体积的大小，可判断B选项；计算出圆锥的外接球半径，比较与的大小，可判断C选项；计算出圆锥的内切球半径和正方体的外接球半径，比较大小后可判断D选项. 【详解】对于A选项，由棱柱的特征：有两个平面时相互平行且是全等的多边形， 其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，故A正确； 对于B选项，因为水面位置满足， 则， 因为， 所以，， 所以，将固定容器底面一顶点于地面上，将容器倾斜，要使得有水的部分呈三棱锥， 则需水的体积不超过三棱锥的体积，但，矛盾，B错； 对于C选项，设圆锥的底面半径为，则，可得， 设圆锥的外接球半径为，由勾股定理可得，解得， 因为，即， 所以，体积为，高为的圆锥不可以放在半径为的球体内，C对； 对于D选项，设轴截面为正三角形且底面半径为的圆锥的内球半径为， 则为正三角形内切圆的半径，正三角形的面积为， 又因为，解得，即圆锥的内切球半径为， 设正方体的棱长为，则，解得， 设正方体外接球半径为，则，解得， 所以，体积为的正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为的圆锥的内切球内任意旋转， 故体积为的正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为的圆锥内任意旋转，D对. 故选：ACD. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分；多空题，第一空2分，第二空3分） 12. 设是两个不共线的向量，，.，且B，C，D三点共线，则实数k的值为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】先根据向量的减法表示，再由B，C，D三点共线得到向量共线，再根据向量相等列出方程组求解即可. 【详解】由题意可知，因为， 且B，C，D三点共线，所以存在实数λ，使得， 即，得,解得. 故答案为：12 13. 直三棱柱中，，，、分别为线段、的动点，则周长的最小值是____________. 【答案】## 【解析】 【分析】将面、面沿着延展为一个平面，将面、面沿着延展为一个平面，连接，则线段的长即为周长的最小值，利用余弦定理求出线段的长，即为所求. 【详解】如下图所示： 将面、面沿着延展为一个平面， 将面、面沿着延展为一个平面，连接, 此时，线段的长即为周长的最小值， 则，， 由于，，，则， 延展后，则四边形为矩形， 因为，，则为等腰直角三角形，所以，， 延展后，则， 由余弦定理可得. 故答案为：. 14. 已知在△ABC中， AB=AC，∠ABC的角平分线与边AC交于M点， 线段AB的中垂线过点 M，则 =_______，_______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，，通过角平分线定理得出，再利用中垂线过点 M，可得出与相似，从而得出，结合三角形性质和余弦定理即可求解. 【详解】设，，根据角平分线定理得， 所以，， 因为线段AB的中垂线过点 M，所以，, 所以与相似，所以，即，化简为， 因为，所以， 所以， . 故答案为：， 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知复数，其中为虚数单位. （1）求为何值时，为纯虚数； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据实部为，虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可； （2）根据实部、虚部均小于得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 因为为纯虚数， 所以，解得； 【小问2详解】 复数在复平面内对应的点为， 依题意，解得，即的取值范围为. 16. 已知，，其中． （1）求和的值； （2）求的值 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知函数值以及角的范围，再结合两角和差公式、二倍角、同角三角函数平方公式即可求值； （2）根据，结合两角和差公式与平方公式即可求值． 【小问1详解】 因为，所以，即， 平方得，所以， 则 又，所以，则， 所以， 故； 【小问2详解】 因为，所以， 由于，所以， 由知：，因为， 则， 所以 ． 17. 设，，向量，，，且，． （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的垂直与共线，列出方程组求解的值，从而可得的坐标，再利用模的运算公式求解即可； （2）由向量的坐标运算可得，计算，然后结合向量夹角公式即可求得夹角的余弦值． 【小问1详解】 向量，，，且，， 可得且，解得，， 即，，则， 则； 【小问2详解】 因为，， 所以，， 设向量与夹角为， 则， 即向量与夹角的余弦值为． 18. 已知三棱锥，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的直角三角形，为上一点，为上一点，且． （Ⅰ）现给出两个条件：①；②为中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面； （Ⅱ）若平面，直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，且，求三棱锥的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）选①选②，都是先证明平面，再证明平面，进而得到平面； （Ⅱ）根据两个线面角相等得出，进而可求，得到三棱锥的体积． 【详解】（Ⅰ）若选① 证明：∵平面，平面，∴， 又，，∴平面． 又平面，∴． 又，，∴平面． 又平面，∴． 又，，∴平面． 若选②为中点 证明：∵平面，平面，∴． 又，，∴平面． 又平面，∴． 又，，∴平面． 又平面，∴． 又为等腰直角三角形斜边中点， 则，， ∴平面． （Ⅱ）由平面，平面可知， 与分别为与平面及与平面所成线面角， 所以， 又，，所以． 求得，所以． 19. 如图，已知在平面四边形中，，，． （1）若平分，求的长； （2）设， ①若，求四边形的面积； ②当四边形面积最大时，求证：． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）因为平分，得到，利用余弦定理，列出方程，即可求得的长； （2）①在中，利用余弦定理，求得，再在中，求得，得到，结合四边形面积，即可求解； ②分别在和中，利用余弦定理，得到表达式，求得，设四边形的面积为，结合，求得，再由，得到，进而得到结论. 【小问1详解】 因为平分，可得， 由余弦定理，可得， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 ①在中，余弦定理得， 所以，解得， 在中，可得，所以， 因为，所以， 由四边形面积， 所以； ②在中，可得， 在中，可得， 所以， 所以， 设四边形的面积为， 则 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 当且仅当时，，此时取最大值12， 此时有最大值，所以当四边形面积最大时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $