6.3 二项式定理12题型分类(讲+练）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 6.3 二项式定理12题型分类 一、二项式展开式 二、二项展开式的通项公式 三、二项式系数表(杨辉三角) 展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 四、二项式系数的性质 1．对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．直线是图象的对称轴． 2．增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值． 3．二项式系数和：， 奇数项的系数等于偶数项的系数等于. （一） 二项式展开式 1．二项式展开式： 2.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分. 3．在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项． 题型1：二项式的展开式的正用和逆用 1．（2026高二·山东青岛·期中）若，其中，则_________． 【答案】 【分析】令，利用二项式定理求和并确定即可计算得解. 【详解】令，由，得， 当时，， ， 因此，由是正整数，得是正偶数， 则是正偶数，又是正整数，于是是整数， 由，得，则，， 所以. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（   ） A．1 B． C．2 D．-2 【答案】A 【分析】用待定系数法或配方法求解即可 【详解】易知 左右式子相等，对应系数相等，则， 解得，即 3．（2026高二·全国·课后作业）求的二项展开式． 【答案】 【分析】法一：直接利用二项式定理展开并化简；法二：先化简再利用二项式定理展开． 【详解】法一： ， 法二： ， ， ． 4．（2026高二·江苏·寒假作业）求多项式的展开式． 【答案】 【分析】先将多项式等价转化成二项式，再利用二项式定理可得展开式. 【详解】， ． 5．（2026高二·江苏泰州·期中）（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据二项式定理即可得到答案. 【详解】因为 . 6．（2026高二·山东枣庄·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 7．（2026·重庆永川·模拟预测）设是正整数，表达式化简的结果是______ 【答案】 【分析】根据二项式定理化简. 【详解】 故答案为：. 8．（2026高三·全国·专题练习）______. 【答案】 【分析】根据二项式定理，将题目中的式子整理为二项式的形式进行计算即可. 【详解】因为， 所以 ， 故答案为：. 题型2：求二项式的展开式的特定项 9．（2026高二·江西赣州·月考）二项式的展开式中的第4项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出通项公式，令，求出第4项. 【详解】因为，所以. 故选：A． 10．（2026·浙江金华·模拟预测）若二项式的展开式中含有常数项，则可以取（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由通项公式求出，得到，其中且，通过检验得到正确答案. 【详解】的通项公式，其中且，要想展开式中含有常数项，则，即，当时，满足要求，经检验，其他选项均不合题意. 故选：A 11．（2026高二·广东佛山·月考）的展开式中含项的系数是（    ） A． B．84 C． D．21 【答案】A 【分析】求得的展开式的通项公式为，令，求解即可. 【详解】已知的展开式的通项公式为， 令，解得， 则的展开式中含项的系数是. 故选：A. 12．（2026高二·江西九江·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用二项式的展开式求出结果． 【详解】根据二项式展开式：，； 故当时，展开式中的系数为， 故． 故选：D． 13．（2026·天津和平·模拟预测）的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 【答案】84 【分析】根据展开式的通项，再令进行计算． 【详解】解：二项式的展开式， 当，即时，常数项为． 14．（2026·陕西榆林·模拟预测）若的展开式中常数项为180，则a的值为（   ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式，令的指数为0，求出，再由常数项为解得. 【详解】的展开式的通项为， 令，解得，所以，即，， 又，故． 15．（2026高二·安徽蚌埠·月考）的有理项共有（    ）项 A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】先求得二项式的通项公式，再根据有理项求解. 【详解】的通项公式为：， ， ， ， 所以有理项共有6项， 故选：C （二） 两个二项式相乘问题 求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式，常见的解题思路： 1．若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解． 2．观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. 3．分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项，综合考虑． 题型3：两个二项式相乘问题 16．（2026高二·安徽芜湖·月考）在的展开式中，含的项的系数为（    ） A．90 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【详解】， 的二项展开式的通项为， 所以的系数为. 17．（2026高二·重庆江津·阶段检测）的展开式中的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【详解】由的展开式通项为，， 所以时，，时，， 可得展开式中的系数为. 18．（2026高二·浙江·期中）的展开式中常数项为（    ） A．-6 B．6 C．1 D．4 【答案】B 【详解】因为， 所以展开式的通项为. 令，得， 所以常数项为. 19．（2026高三·四川成都·专题练习）的展开式中，含有的项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得二项式的展开式的通项，结合题意，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为，其中， 所以展开式中的项为： ， 所以含有的项的系数为. 20．（2026高二·江苏南京·月考）若的展开式中的系数为30，则（   ） A．9 B． C．10 D． 【答案】A 【详解】由二项式定理，的通项为. . 其中产生项的来源有两部分： ①与中项相乘：令，得，该项系数为； ②与中项相乘：令，得，该项系数为. 因此的系数为：. 代入组合数计算：，，即， 解得，. 21．（2026高三·江苏无锡·期末）的展开式中，的系数是（    ） A．－2 B．2 C．12 D．16 【答案】B 【分析】从个因式中，个因式选择，个因式选择常数相乘即可得到含的项，即可得解. 【详解】在中， 个因式选择，个因式选择常数即可得到含的项， 故的系数. 故选：B （三） 多项式展开式 求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式问题的处理方法： 1．通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解． 2．将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形． 3．可采用排列组合的形式进行抽取，技巧性较高． 题型4：求多项式展开式及特定项 22．（2026高二·江西南昌·月考）在的展开式中，项的系数为（    ） A．299 B．300 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用组合应用问题列式求出项的系数. 【详解】的展开式中，项是从5个多项式中任取1个用， 再余下4个多项式中任取1个用，最后3个多项式都用1相乘的积， 即，所以项的系数为. 故选：C 23．（2026·陕西西安·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 【答案】B 【分析】根据多项式乘法可求展开式中的系数. 【详解】因为 ， 故可以来自5个因式的2个因式提供，余下3个因式提供， 或者5个因式的3个因式提供，余下1个因式提供，一个因式提供， 故的系数为， 故选：B. 24．（2026高二·贵州黔西南·期中）的展开式中，的系数为（    ） A．80 B．60 C． D． 【答案】D 【分析】由题得，再利用二项式的通项即可得到答案. 【详解】，则其展开式通项为， 令，则的展开式中含的项为 ， 所以的系数为， 故选：D． 25．（2026高二·辽宁沈阳·月考）的展开式中，共有多少项？（ ） A．45 B．36 C．28 D．21 【答案】A 【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数． 【详解】当展开式的项只含有1个字母时，有3项， 当展开式的项只含有2个字母时，有项， 当展开式的项含有3个字母时，有项， ∴的展开式共有45项. 故选:A． 26．（2026高二·山东青岛·期末）在的展开式中，含的系数为______. 【答案】360 【分析】把的展开式看成是5个因式的乘积形式，按照分步相乘原理，求出含项的系数即可． 【详解】把的展开式看成是5个因式的乘积形式， 展开式中，含项的系数可以按如下步骤得到： 第一步，从5个因式中任选2个因式，这2个因式取，有种取法； 第二步，从剩余的3个因式中任选2个因式，都取，有种取法； 第三步，把剩余的1个因式中取，有种取法； 根据分步相乘原理，得；含项的系数是 故答案为：. （四） 二项式系数及项的系数的和及性质 1、赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 2、二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。 3、系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项 系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。 4、求解二项式系数或系数的最值问题的一般步骤： 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求系数的最大值，有两个思路，思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值；思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案． 题型5：二项式系数和 27．（2026高二·江苏·月考）在的展开式中，若各二项式系数的和等于64，则__________． 【答案】6 【分析】根据二项式的各二项式系数的和为，建立关于的方程求解. 【详解】由于的展开式中，各二项式系数的和等于，解得：． 28．（2026·安徽安庆·模拟预测）若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中第3项的系数为（   ） A．112 B．224 C．56 D．28 【答案】A 【详解】由得，∴， ∴第3项系数为. 29．（2026·山东德州·模拟预测）已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的常数项为__________. 【答案】240 【分析】先通过得到，再写出的展开式的通项，令的次数为即可得到常数项. 【详解】由的展开式中，二项式系数之和为64得，， 则的展开式的通项为， 令，得，所以展开式中常数项为. 30．（2026·北京石景山·模拟预测）若的展开式的二项式系数和为32，则__________，的系数为__________. 【答案】 5 【分析】已知二项式系数和，可求出，再利用通项公式即可求得的系数. 【详解】由题意知，展开式的二项式系数和为32，即，所以， 故展开式的通项公式， 令，可得， 所以展开式中的系数是. 31．（2026高三·浙江湖州·期中）已知二项式的展开式中，第二项的系数是，则_______，含的奇次项的二项式系数和的值是__________ 【答案】 7 64 【分析】根据二项式展开式的通项公式列方程，解方程求得的值.利用二项式系数公式，结合组合数的计算公式，计算出奇次项的二项式系数和. 【详解】依题意二项式的展开式中，第二项的系数是，即，解得.含的奇次项的二项式系数和为. 故答案为（1）；（2）. 【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式项的系数求的值，考查求二项式展开式中指定项的二项式系数和，属于基础题. 题型6：项的系数的和 32．（2026高二·江苏盐城·期中）设，则（    ） A．16 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【分析】先代入特值求出系数和，再求出，二者作差即为所求. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减得. 33．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A．16 B．30 C．32 D．60 【答案】B 【分析】对式子两边求两次导数后令得，两边同时除以2即可求出答案. 【详解】因为， 对两边求导得， 对两边再次求导得， 令得， 两边除以2得. 34．（2026高二·江苏镇江·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二项展开式得到，进而可得，再代入求和即可． 【详解】解：， 则， 所以， 所以 ． 35．（2026高二·河北衡水·阶段检测）若（），则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：因为，所以多项式最高次项的次数为6， 所以，所以，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：在中， 令，得，所以， 令，得， 所以，故C正确； 对于D：对两边同时求导， 得， 令，得，故D错误. 36．【多选】（2026高二·山东枣庄·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，所以，A正确； 对于B，令，则， 所以，正确； 对于C，，所以，错误； 对于D，，所以，正确. 37．【多选】（2026高二·重庆渝北·期中）已知，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．展开式的二项式系数和为 B． C．展开式的各项系数和为 D． 【答案】BD 【详解】由得，， 展开式的二项式系数和为，故A错误； 令得，故B正确； 令得展开式的各项系数和为，故C错误； 令得， 所以，故D正确. 38．【多选】（2026高二·黑龙江大庆·月考）已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据二项式系数和的性质求出的值，再通过对已知等式进行赋值，结合二项式展开式的性质求解各项系数的值. 【详解】对于A，因为所有的二项式系数和为，则， 所以，故A错误； 对于B，令，则， 即，故B正确， 对于C，令，则， 即，其中， 则，故C正确， 对于D，，， 即，其中， 则，故D正确. 39．【多选】（2026高二·江苏淮安·阶段检测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据二项式展开式的通项，令，可求得，判断A；令，求得，利用赋值法令，得，从而求得，判断B；利用赋值法，令，，可判断C；对展开式两边求导，再令，可判断D. 【详解】的展开式的通项为. 令，得展开式中的常数项，所以A错误； 令，得展开式中的系数， 令，得， 所以，所以B正确； 当为奇数时，的系数为负数；当为偶数时，的系数为正数. 令，得， 即， 所以，所以C正确； 对两边求导， 得， 令，得，所以D正确. 40．（2026高二·湖北武汉·期末）已知，则________． 【答案】 【分析】利用赋值得到，，相加即可求解. 【详解】中， 令得①， 令得②， 式子得. 故答案为：. 41．（2026高二·安徽·月考）已知，则（   ） A．364 B．365 C．728 D．730 【答案】B 【分析】利用赋值法计算. 【详解】令，得①， 令，得②， ①+②，得， 所以. 故选：B. 42．（2026·广东·模拟预测）若 ，则 ____________. 【答案】 【分析】利用赋值法令，，联立方程组求解即可. 【详解】令，得 ， 令，得 ， 则 ， 且 ， 故 . 故答案为：. 43．（2026高二·全国·单元测试）若=，求. 【答案】 【分析】直接由赋值法，依次令，，得两式，将它们相乘即可求解. 【详解】令，得； 令，得. 两式相乘，得. 44．（2026高二·河南郑州·期中）若，则（    ） A． B．16 C．15 D．1 【答案】B 【分析】利用赋值法可得答案. 【详解】因为， 令得. 故选：B 45．【多选】（2026高二·山东聊城·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用赋值法计算求解A，B，C，求出导函数再应用赋值法计算判断D. 【详解】因为， 令，则，所以，A选项正确； 令，则， 所以， 所以，B选项正确； 令，则， 又因为， ，C选项错误； 因为， 求导数得， 令，则， ，D选项正确； 46．【多选】（2026高二·四川德阳·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二项式定理和赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，令，则， 即，所以A正确； 对于B，令，则， 即，所以B错误； 对于C，令，则， 即①， 令，则， 即②， ①-②得， 所以，所以C正确； 对于D，将原等式变形得， 令，则，由A项可知， 所以，所以D正确. 题型7：二项式系数最值 47．（2026高二·河北邢台·月考）若二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，则展开式的常数项的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式系数的性质得到，再写出展开式的通项，即可求出常数项. 【详解】因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，所以， 则展开式的通项为（且）， 令，解得， 所以，即展开式中常数项为. 故选：D 48．【多选】（2026高二·江苏连云港·期中）若的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】BCD 【分析】根据二项式系数的性质分别进行求解即可． 【详解】当时，此时只有第4项二项式系数最大，此时不满足条件， 当时，第4，第5项二项式系数最大，此时满足条件， 当时，此时只有第5项二项式系数最大，此时满足条件， 当时，第5，第6项二项式系数最大，此时满足条件， 故选：BCD． 49．（2026高二·山西临汾·月考）设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据二项式系数的性质得到a，b的值，列出方程求出m. 【详解】的展开式中二项式系数的最大值为，故，的展开式中的二项式系数的最大值为或，两者相等，不妨令，则有，解得：. 故选：C 50．（2026高三·湖南长沙·月考）若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】根据二项式系数的性质确定二项展开式的项数即可求得答案. 【详解】由题意知，二项式系数中只有第5个最大，即最大， 由二项式系数的性质可知，展开式共有9项，故. 故选：A. 51．（2026高二·广东广州·期中）已知的二项式系数的最大值分别为，则正整数（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的系数求出的表达式，然后根据即可求解. 【详解】根据二项式的展开式，的二项式系数的最大值为，即， 的二项式系数的最大值为或且，即， 已知，即，得， 化简得，解得. 题型8：项的系数的最值 52．（2026高二·江苏徐州·月考）的展开式中，系数最大的项是第（    ）项. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出通项公式，可得第项的系数，设第项的系数最大，列不等式解出的范围，从而可得答案 【详解】的展开式通项公式为， 设第项为系数最大的项，则有， 解得，即， 所以的展开式中，系数最大的项是第项. 53．（2026高二·山东泰安·期中）二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】D 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 当为偶数时，，系数为正数，当为奇数时，，系数为负数， 因此只有为偶数时，能取到系数的最大值， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此当时，系数为是所有项中最大的系数， ，因此系数最大的项是第7项. 54．（2026高二·江西南昌·月考）在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79，常数项为. (1)求n和a的值； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）运用二项式系数公式及展开式的通项公式计算即可. （2）由解不等式即可. 【详解】（1）由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为， 整理可得（），解得， 又的展开式的通项为（）， 令，可得， 所以，展开式中的常数项为，解得， 故，. （2）由不等式组()，解得， 所以， 所以展开式中系数最大的项为. 55．（2026高二·江苏连云港·月考）在的展开式中， (1)求第三项的系数； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ 【答案】(1)112 (2)第6项和第7项 【分析】（1）写出展开式的通项，令得展开式中第三项的系数； （2）将问题转化为求求展开式中系数最大的项，求出展开式的通项公式，利用待定系数法及单调性列不等式组，解之即得. 【详解】（1）由题意得， 所以，所以第三项的系数为112. （2）展开式中系数的绝对值最大的项相当于求展开式中系数最大的项， 而展开式的通项为， 设展开式中第项系数最大，则，即， 整理得，所以或，所以展开式中系数最大的项是第6项和第7项. 故展开式中系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. 56．（2026高三·全国·专题练习）二项式的展开式中系数最大的项是（    ）. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】B 【分析】根据已知写出二项式展开式通项，结合组合数的性质确定参数，即可得. 【详解】由题设，二项式展开式通项为，， 显然系数最大项对应为偶数，而对于其最大值为或时取得， 综上，系数最大项对应，即第项. 故选：B 57．（2026高三·全国·月考）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式定理展开公式，结合系数最大列出不等式即可求解. 【详解】的展开式的通项为， 由题可知，解得． 故选：A 58．（2026高二·江苏常州·期中）在的展开式中，系数绝对值最大项是（    ） A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项 【答案】B 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】二项式的通项公式为：， 设第项的系数绝对值最大， 所以有， 因为，所以，所以系数绝对值最大项是第9项， 故选：B （五） 二项式定理的应用 整除和余数问题的解题技巧： 1．利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． 2．解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式． 题型9：整除和余数问题 59．（2026高二·上海奉贤·月考）已知今天是周一，那么天后是______.（填周几） 【答案】周日 【分析】对给定条件合理转化，结合二项式定理求解即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得， ， 因为可以整除7，则除7后余数为6，则天后是周日. 故答案为：周日 60．（2026高二·湖南永州·月考）设，，且能被6整除，则__________． 【答案】5 【分析】将式子变为，利用二项展开式分析即可. 【详解】 被6整除， 由能被6整除，可得能被6整除，又因为，，则n的值为5. 故答案为：5 61．（2026高二·山东菏泽·月考）设，且，若能被13整除，则等于（    ） A．0 B．1 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二项式定理推理计算作答. 【详解】 ， 而是整数，是13的倍数， 即能被13整除， 因此能被13整除，而，即，所以，即. 故选：B 62．（2026高三·山东聊城·期末）整数除以7，所得余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】,然后用二项式定理展开即可得出答案. 【详解】 , 前六项均能被7整除，所以除以7余6. 故选：D. 63．（2026高二·江苏南京·月考）除以的余数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，再写出的展开式，即可判断. 【详解】因为，其中 所以， 即， 因此除以的余数是，故D正确. 64．（2026高二·江苏盐城·月考）除以1000的余数为（   ） A．0 B．1 C．9 D．99 【答案】B 【分析】利用二项式定理将展开即可求解. 【详解】 因为是1000的倍数， 且也是1000的倍数， 所以除以1000的余数为1. 65．（2026·河南南阳·模拟预测）今天是2026年3月19日星期四，再过天是星期（    ） A．一 B．二 C．三 D．五 【答案】A 【分析】将写成形式的二项展开式，然后计算除以余下的天数，最后判断是星期几. 【详解】因为 所以 则的余数为， 又因为今天是星期四，所以天后是星期，即星期一. 66．（2026高二·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知能被整除，可得出，结合二项式定理可知能被整除，即可得出合适的选项. 【详解】因为既能被整除又能被整除，故能被整除， 因为 ， 且能被整除，故能被整除， 设，可得，故的最小值为. 故选：D.. 题型10：利用二项式定理近似计算 67．（2026高二·江苏南京·月考）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 【答案】B 【详解】 从选项可知精确到0.01即可. 所以原式. 68．（2026·江苏镇江·模拟预测）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 【答案】C 【分析】由结合二项式展开式计算前四项的和即可求解. 【详解】， 由于展开式的第一项，第二项， 第三项，第四项，后面的项绝对值更小，对小数点后3位的影响可以忽略， 由， 所以保留到小数点后3位的结果是. 69．（2026·安徽滁州·模拟预测）试估计（   ）（精确到0.0001） A．1.1462 B．1.1463 C．1.1045 D．1.1046 【答案】D 【详解】， 因为，所以第五项及之后均可忽略不计， 所以. 70．（2026高三·浙江杭州·阶段检测）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 【答案】B 【分析】先将变形为，再利用二项式定理展开化简即可得解． 【详解】 ， 将精确到，故近似值为． 题型11：证明组合恒等式 71．（2026高三·全国·专题练习）证明： 【答案】证明见解析 【分析】把集合分拆成两个集合和，且，一方面，按分类；另一方面，可对元素实行分步解决，进而计算可得结论. 【详解】把集合分拆成两个集合和，且， 一方面，按分类： 第1类，中有0个元素（种）时，有种，共有种； 第2类，中有1个元素（种）时，有种，共有种； 第3类，中有2个元素（种）时，有种，共有种； 第4类，中有3个元素（种）时，有种，共有种； …… 第类，中有个元素（种）时，有种，共有种， 由加法原理知，共有种． 另一方面，可对元素实行分步解决： 第1步，对于元素来说，可以且，也可以且，也可以，故有3种； 第2步，对于元素来说，可以且，也可以且，也可以，故有3种； 第3步，对于元素来说，可以且，也可以且，也可以，故有3种； …… 第步，对于元素来说，可以且，也可以且，也可以，故有3种， 由乘法原理知共有种． 从而有． 72．（2026高三·全国·专题练习）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】将右侧式子倒序相加，结合组合数的性质及二项式系数和，即可证. 【详解】设①， 把①式倒序排列得， 由，得②， ①②得， 所以，得证. 73．（2026高三·全国·课后作业）求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据，利用二项式定理分别求出等式左右两边含的项的系数即可证明. 【详解】证明：， 当时，展开式中的系数为， 又， 当时，展开式中的系数为， ， . （六） 杨辉三角 杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表(如下)，是我国数学史上一个伟大成就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论. (1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1，2，3，4，…，第三层(含1，3)是三角形数列1，3，6，10，15，…. (2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C＝C. (3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C＝C＋C. (4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…. (5)第n行所有数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n. (6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数. 题型12：杨辉三角 74．（2026高二·山东·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 【答案】D 【分析】根据杨辉三角每一行的数字与组合数的对应关系，结合组合数的运算性质，依次判断选项. 【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C，因， ……… 则，故C错误； 对于D，因，而，故D正确. 故选：D 75．（2026高二·河南·期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第2022行中第1011个数最大 C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3 【答案】C 【分析】A选项由及即可判断；B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项由及即可判断；D选项直接计算比值即可判断. 【详解】由可得 ，故A错误； 第2022行中第1011个数为，故B错误； ，故C正确； 第34行中第15个数与第16个数之比为，故D错误. 故选：C. 76．【多选】（2026高二·辽宁葫芦岛·期末）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.请结合“杨辉三角”判断下列叙述，正确的是（    ） A． B．第20行中，第11个数最大 C．记第行的第个数为，则 D．第34行中，第15个数与第16个数的比为 【答案】BCD 【分析】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错. 【详解】由图知，第行的第个数为，则， 对于A，由可得， ，故A错误； 对于B，第20行有21项，中间一项最大为，是第11个数，故B正确； 对于C，第行的第个数为，， ，故C正确； 对于D，第34行中，第15个数与第16个数的比为 ，故D正确. 故选：BCD. 77．【多选】（2026高二·山东青岛·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（    ）    A． B．第2023行的第1012个和第1013个数最大 C．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第7个数 D．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2：3 【答案】ABD 【分析】A选项，利用组合数运算公式计算；B选项，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；C选项，第6，7，8，9行的第7个数字分别为：1，7，28，84，C错误；D选项，第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，所以，故D正确. 【详解】A选项，，，故A正确； B选项，由图可知：第行有个数字，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；如果是偶数，则第个数字最大，故第2023行的第1012个和第1013个数最大，故B正确； C选项，第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为36；第9行第7个数字是84，故C错误； D选项，依题意：第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，所以，故D正确. 故选：ABD. 78．【多选】（2026高二·陕西西安·月考）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，则下列说法正确的有（    ）      A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数字是84 B．在“杨辉三角”中，从第1行起到第12行，每一行从左到右的第2个数字之和为78 C． D．的前项和为 【答案】ABD 【分析】对于A：根据题意结合组合数运算求解；对于B：根据题意结合等差数列求和分析判断；对于CD：根据题意结合等比数列以及裂项相消法分析判断. 【详解】对于选项A：在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数字是，故A正确； 对于选项B：从第1行起到第12行，每一行从左到右的第2个数字之和为 ，故B正确； 对于选项CD：由题意可知：， 则，，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 可得，则，故C错误； 因为， 所以的前项和为 ，故D正确； 故选：ABD. 1．（2026高二·全国·课前预习）（  ）. A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n 【答案】C 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】原式=. 故选：C. 2．（2026高二·全国·课堂例题）在的展开式中，第4项是______． 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项可得结果. 【详解】∵展开式中的通项为， ∴第4项是. 故答案为：. 3．（2026·天津）在的展开式中，的系数是_________． 【答案】10 【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出． 【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得． 所以的系数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题． 4．（2026高二·全国·课后作业）求的展开式. 【答案】 【解析】直接利用二项式定理求解即可. 【详解】 5．（2026高二·江苏·课后作业）化简：(x＋1)n－(x＋1)n－1＋ (x＋1)n－2－…＋(－1)r (x＋1)n－r＋…＋(－1)n. 【答案】xn 【分析】逆用二项式定理可以化简多项式，进而求得结果. 【详解】原式＝ (x＋1)n＋ (x＋1)n－1(－1)＋ (x＋1)n－2(－1)2＋…＋ (x＋1)n－r·(－1)r＋…＋ (－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 6．（2026高二·全国·课后作业）若(a，b为有理数)，则a＋b＝________. 【答案】44 【分析】根据二项式定理将展开，根据a，b为有理数对应相等求得的值即得解. 【详解】因为， 所以， 因为，且a，b为有理数， 所以a＝28， 所以. 故答案为：44 7．（2026高二·全国·课堂例题）若（，为有理数），求的值. 【答案】44 【分析】根据二项式定理写出的展开式，求出，对应系数求出，得到答案. 【详解】 ， 又（，为有理数）， 所以，. 8．（2026高二·全国·课堂例题）求的展开式； 【答案】 【分析】法一、法二，由二项式定理即可求解； 【详解】方法一： ． 方法二： ． 9．（2026高二·全国·课后作业）化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． 【答案】x5－1. 【分析】逆用二项式定理即可得解. 【详解】解:原式＝ (x－1)5＋(x－1)4＋(x－1)3＋ (x－1)2＋(x－1)＋－1 ＝[(x－1)＋1]5－1 ＝x5－1. 10．（2026高二·浙江·期中）在展开式中，常数项为（　　） A． B． C．60 D．240 【答案】D 【分析】根据通项公式求出，再代入通项公式可得结果. 【详解】二项展开式的通项为，， 令，得， 所以展开式中常数项为. 故选：D 11．（2026高三·辽宁大连·期末）的展开式中的系数为15，则（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】写出二项式定理展开式的通项，根据的系数即可求得. 【详解】由题，可得展开式的通项为， ，则，解得. 故选：B. 12．（2026高二·全国·课后作业）已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是． (1)求的值； (2)求展开式的常数项． 【答案】(1)6 (2)60 【分析】（1）先求出二项式展开式的通项公式，然后由第2项与第3项的二项式系数之比是，列方程求出， （2）令的指数为0，求出，从而可求出常数项 【详解】（1）的展开式的通项为． 由展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是，可得， 解得． （2）由（1）知， 令，解得， 所以展开式的常数项为． 13．（2026高二·全国·课堂例题）求二项式的展开式中第6项的二项式系数及第6项的系数； 【答案】二项式系数为6，第6项的系数为12 【分析】二项式定理写出展开式的通项，求出第6项的相关系数. 【详解】由已知得二项展开式的通项为，， 所以时，有，故第6项的二项式系数为，第6项的系数为． 14．（2026高二·全国·课堂例题）求的展开式中的系数． 【答案】 【分析】由二项式定理通项公式即可求解； 【详解】设展开式中的第项为含的项，则， 令，得，即展开式中第四项含，其系数为． 15．（2026高二·全国·课堂例题）求二项式的展开式中第4项的二项式系数和第4项的系数． 【答案】二项式系数为20，第4项的系数为 【分析】写出通项，得到第4项的二项式系数和系数 【详解】展开式通项为， 知第4项的二项式系数为， 第4项的系数为． 16．（2026高二·全国·课堂例题）求的展开式中的系数． 【答案】36 【分析】由二项展开式通项公式即可求解； 【详解】解：设展开式中第项为含的项，则， 令，得．即展开式中的第3项含， 且系数为． 17．（2026高二·全国·课后作业）已知，则可化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理的逆用直接化简即可. 【详解】, 故选：A. 18．（2026高二·江苏扬州·期中）在的展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（    ） A．第6项 B．第5项 C．第5、6项 D．第6、7项 【答案】A 【分析】的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，由条件先求出，然后可得答案. 【详解】因为的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第4项与第8项的系数相等 所以，所以 所以展开式里系数最大的项是第6项 故选：A 【点睛】本题考查的是二项式系数的性质，较简单. 19．（2026高二·全国·课堂例题）若，求： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)129； (2)8256； (3)； (4)16384. 【分析】（1）应用赋值法求得、，即可求值； （2）应用赋值法得，结合（1）所得即得； （3）根据（1）（2）所得可求； （4）法一：根据奇偶数项系数的符号，及（2）（3）结果求值；法二：化为求中各项系数之和. 【详解】（1）令，则， 令，则①， ． （2）令，则②， 由，得. （3）由，得． （4）法一：展开式中均小于零，均大于零， . 法二：，即为展开式中各项的系数和， ． 20．（2026高二·新疆乌鲁木齐·期中）已知求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）由已知，令可求，令可求，由此可求答案； （2）利用平方差公式和（1）的结论即可得出答案 【详解】（1）令，则， 令，则， 所以． （2） ． 21．（2026高二·四川广安·月考）已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求： (1) 展开式中二项式系数最大的项； (2) 展开式中系数最大的项．（结果可以以组合数形式表示） 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）先根据末三项的二项式系数的和等于121，求n，再根据二项式系数性质求最大项，（2）根据二项式展开式通项公式得项系数，再根据相邻项关系列不等式组，解得系数最大的项的项数，最后根据二项式展开式通项公式得项. 【详解】(1) 由已知得＝120，则n(n－1)＋(n－1)＋1＝120，即n2＋n－240＝0，解得n＝15，所以，展开式中二项式系数最大的项是T8＝(3x)7和T9＝(3x)8． (2)Tr＋1＝(3x)r，设≤1，则≤1，即≤0，解得r≤12，同理，由≥1解得r≥11，所以展开式中系数最大的项对应的r＝11、12，即展开式中系数最大的项是T12＝(3x)11和T13＝(3x)12． 【点睛】二项式系数最大项的确定方法 ①如果是偶数，则中间一项(第 项)的二项式系数最大； ②如果是奇数，则中间两项第项与第项的二项式系数相等并最大. 22．（2026高二·全国·课堂例题）已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求系数最大的项与系数最小的项． 【答案】系数最大的项为，；系数最小的项为. 【分析】由二项式定理写通项，根据题意建立方程求得指数，利用二项式系数的单调性，可得答案. 【详解】由，则其展开式的通项为， 由题意可得， 整理可得，解得或（舍去）， 易知系数最小项为首项，即， 令，化简可得，解得， 则第项与项的系数相同且最大， 即，． 23．（2026高二·全国·课堂例题）（1）用二项式定理证明能被100整除； （2）求被100除所得的余数． 【答案】（1）证明见解析； （2）81． 【分析】（1）由于，利用二项式公式展开可证得结论， （2），所以只需求最后一项除以100的余数，而，再通过分析后三项从而可求得结果 【详解】（1）因为 ． 故能被100整除． （2）， 因为展开式中前92项均能被100整除，所以只需求最后一项除以100的余数． 又． 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正， 可从前面的数中分离出1000， 结果为， 故被100除所得的余数为81． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 6.3 二项式定理12题型分类 一、二项式展开式 二、二项展开式的通项公式 三、二项式系数表(杨辉三角) 展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 四、二项式系数的性质 1．对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．直线是图象的对称轴． 2．增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值． 3．二项式系数和：， 奇数项的系数等于偶数项的系数等于. （一） 二项式展开式 1．二项式展开式： 2.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分. 3．在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项． 题型1：二项式的展开式的正用和逆用 1．（2026高二·山东青岛·期中）若，其中，则_________． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（   ） A．1 B． C．2 D．-2 3．（2026高二·全国·课后作业）求的二项展开式． 4．（2026高二·江苏·寒假作业）求多项式的展开式． 5．（2026高二·江苏泰州·期中）（    ） A． B． C．1 D． 6．（2026高二·山东枣庄·期中）（   ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆永川·模拟预测）设是正整数，表达式化简的结果是______ 8．（2026高三·全国·专题练习）______. 题型2：求二项式的展开式的特定项 9．（2026高二·江西赣州·月考）二项式的展开式中的第4项为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·浙江金华·模拟预测）若二项式的展开式中含有常数项，则可以取（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．（2026高二·广东佛山·月考）的展开式中含项的系数是（    ） A． B．84 C． D．21 12．（2026高二·江西九江·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 13．（2026·天津和平·模拟预测）的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 14．（2026·陕西榆林·模拟预测）若的展开式中常数项为180，则a的值为（   ） A．4 B．2 C． D．1 15．（2026高二·安徽蚌埠·月考）的有理项共有（    ）项 A．4 B．5 C．6 D．8 （二） 两个二项式相乘问题 求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式，常见的解题思路： 1．若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解． 2．观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. 3．分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项，综合考虑． 题型3：两个二项式相乘问题 16．（2026高二·安徽芜湖·月考）在的展开式中，含的项的系数为（    ） A．90 B．100 C．110 D．120 17．（2026高二·重庆江津·阶段检测）的展开式中的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 18．（2026高二·浙江·期中）的展开式中常数项为（    ） A．-6 B．6 C．1 D．4 19．（2026高三·四川成都·专题练习）的展开式中，含有的项的系数为（    ） A． B． C． D． 20．（2026高二·江苏南京·月考）若的展开式中的系数为30，则（   ） A．9 B． C．10 D． 21．（2026高三·江苏无锡·期末）的展开式中，的系数是（    ） A．－2 B．2 C．12 D．16 （三） 多项式展开式 求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式问题的处理方法： 1．通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解． 2．将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形． 3．可采用排列组合的形式进行抽取，技巧性较高． 题型4：求多项式展开式及特定项 22．（2026高二·江西南昌·月考）在的展开式中，项的系数为（    ） A．299 B．300 C． D． 23．（2026·陕西西安·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 24．（2026高二·贵州黔西南·期中）的展开式中，的系数为（    ） A．80 B．60 C． D． 25．（2026高二·辽宁沈阳·月考）的展开式中，共有多少项？（ ） A．45 B．36 C．28 D．21 26．（2026高二·山东青岛·期末）在的展开式中，含的系数为______. （四） 二项式系数及项的系数的和及性质 1、赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 2、二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。 3、系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项 系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。 4、求解二项式系数或系数的最值问题的一般步骤： 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求系数的最大值，有两个思路，思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值；思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案． 题型5：二项式系数和 27．（2026高二·江苏·月考）在的展开式中，若各二项式系数的和等于64，则__________． 28．（2026·安徽安庆·模拟预测）若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中第3项的系数为（   ） A．112 B．224 C．56 D．28 29．（2026·山东德州·模拟预测）已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的常数项为__________. 30．（2026·北京石景山·模拟预测）若的展开式的二项式系数和为32，则__________，的系数为__________. 31．（2026高三·浙江湖州·期中）已知二项式的展开式中，第二项的系数是，则_______，含的奇次项的二项式系数和的值是__________ 题型6：项的系数的和 32．（2026高二·江苏盐城·期中）设，则（    ） A．16 B．31 C．32 D．64 33．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A．16 B．30 C．32 D．60 34．（2026高二·江苏镇江·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 35．（2026高二·河北衡水·阶段检测）若（），则（ ） A． B． C． D． 36．【多选】（2026高二·山东枣庄·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 37．【多选】（2026高二·重庆渝北·期中）已知，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．展开式的二项式系数和为 B． C．展开式的各项系数和为 D． 38．【多选】（2026高二·黑龙江大庆·月考）已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（    ） A． B． C． D． 39．【多选】（2026高二·江苏淮安·阶段检测）若，则（   ） A． B． C． D． 40．（2026高二·湖北武汉·期末）已知，则________． 41．（2026高二·安徽·月考）已知，则（   ） A．364 B．365 C．728 D．730 42．（2026·广东·模拟预测）若 ，则 ____________. 43．（2026高二·全国·单元测试）若=，求. 44．（2026高二·河南郑州·期中）若，则（    ） A． B．16 C．15 D．1 45．【多选】（2026高二·山东聊城·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 46．【多选】（2026高二·四川德阳·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型7：二项式系数最值 47．（2026高二·河北邢台·月考）若二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，则展开式的常数项的值为（    ） A． B． C． D． 48．【多选】（2026高二·江苏连云港·期中）若的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 49．（2026高二·山西临汾·月考）设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 50．（2026高三·湖南长沙·月考）若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 51．（2026高二·广东广州·期中）已知的二项式系数的最大值分别为，则正整数（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型8：项的系数的最值 52．（2026高二·江苏徐州·月考）的展开式中，系数最大的项是第（    ）项. A． B． C． D． 53．（2026高二·山东泰安·期中）二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 54．（2026高二·江西南昌·月考）在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79，常数项为. (1)求n和a的值； (2)求展开式中系数最大的项. 55．（2026高二·江苏连云港·月考）在的展开式中， (1)求第三项的系数； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ 56．（2026高三·全国·专题练习）二项式的展开式中系数最大的项是（    ）. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 57．（2026高三·全国·月考）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．（2026高二·江苏常州·期中）在的展开式中，系数绝对值最大项是（    ） A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项 （五） 二项式定理的应用 整除和余数问题的解题技巧： 1．利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． 2．解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式． 题型9：整除和余数问题 59．（2026高二·上海奉贤·月考）已知今天是周一，那么天后是______.（填周几） 60．（2026高二·湖南永州·月考）设，，且能被6整除，则__________． 61．（2026高二·山东菏泽·月考）设，且，若能被13整除，则等于（    ） A．0 B．1 C．11 D．12 62．（2026高三·山东聊城·期末）整数除以7，所得余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 63．（2026高二·江苏南京·月考）除以的余数是（ ） A． B． C． D． 64．（2026高二·江苏盐城·月考）除以1000的余数为（   ） A．0 B．1 C．9 D．99 65．（2026·河南南阳·模拟预测）今天是2026年3月19日星期四，再过天是星期（    ） A．一 B．二 C．三 D．五 66．（2026高二·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型10：利用二项式定理近似计算 67．（2026高二·江苏南京·月考）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 68．（2026·江苏镇江·模拟预测）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 69．（2026·安徽滁州·模拟预测）试估计（   ）（精确到0.0001） A．1.1462 B．1.1463 C．1.1045 D．1.1046 70．（2026高三·浙江杭州·阶段检测）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 题型11：证明组合恒等式 71．（2026高三·全国·专题练习）证明： 72．（2026高三·全国·专题练习）求证：． 73．（2026高三·全国·课后作业）求证：. （六） 杨辉三角 杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表(如下)，是我国数学史上一个伟大成就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论. (1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1，2，3，4，…，第三层(含1，3)是三角形数列1，3，6，10，15，…. (2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C＝C. (3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C＝C＋C. (4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…. (5)第n行所有数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n. (6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数. 题型12：杨辉三角 74．（2026高二·山东·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 75．（2026高二·河南·期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第2022行中第1011个数最大 C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3 76．【多选】（2026高二·辽宁葫芦岛·期末）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.请结合“杨辉三角”判断下列叙述，正确的是（    ） A． B．第20行中，第11个数最大 C．记第行的第个数为，则 D．第34行中，第15个数与第16个数的比为 77．【多选】（2026高二·山东青岛·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（    ）    A． B．第2023行的第1012个和第1013个数最大 C．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第7个数 D．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2：3 78．【多选】（2026高二·陕西西安·月考）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，则下列说法正确的有（    ）      A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数字是84 B．在“杨辉三角”中，从第1行起到第12行，每一行从左到右的第2个数字之和为78 C． D．的前项和为 1．（2026高二·全国·课前预习）（  ）. A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n 2．（2026高二·全国·课堂例题）在的展开式中，第4项是______． 3．（2026·天津）在的展开式中，的系数是_________． 4．（2026高二·全国·课后作业）求的展开式. 5．（2026高二·江苏·课后作业）化简：(x＋1)n－(x＋1)n－1＋ (x＋1)n－2－…＋(－1)r (x＋1)n－r＋…＋(－1)n. 6．（2026高二·全国·课后作业）若(a，b为有理数)，则a＋b＝________. 7．（2026高二·全国·课堂例题）若（，为有理数），求的值. 8．（2026高二·全国·课堂例题）求的展开式； 9．（2026高二·全国·课后作业）化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． 10．（2026高二·浙江·期中）在展开式中，常数项为（　　） A． B． C．60 D．240 11．（2026高三·辽宁大连·期末）的展开式中的系数为15，则（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 12．（2026高二·全国·课后作业）已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是． (1)求的值； (2)求展开式的常数项． 13．（2026高二·全国·课堂例题）求二项式的展开式中第6项的二项式系数及第6项的系数； 14．（2026高二·全国·课堂例题）求的展开式中的系数． 15．（2026高二·全国·课堂例题）求二项式的展开式中第4项的二项式系数和第4项的系数． 16．（2026高二·全国·课堂例题）求的展开式中的系数． 17．（2026高二·全国·课后作业）已知，则可化简为（    ） A． B． C． D． 18．（2026高二·江苏扬州·期中）在的展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（    ） A．第6项 B．第5项 C．第5、6项 D．第6、7项 19．（2026高二·全国·课堂例题）若，求： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（2026高二·新疆乌鲁木齐·期中）已知求： (1)的值； (2)的值． 21．（2026高二·四川广安·月考）已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求： (1) 展开式中二项式系数最大的项； (2) 展开式中系数最大的项．（结果可以以组合数形式表示） 22．（2026高二·全国·课堂例题）已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求系数最大的项与系数最小的项． 23．（2026高二·全国·课堂例题）（1）用二项式定理证明能被100整除； （2）求被100除所得的余数． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $