奥数：第3讲 比与比例（专项训练）-2025-2026学年六年级上册数学 人教版

【人教版】小学六年级上数学奥数：第 3 讲 比和比例 一、核心知识（必背） 两种相关联的量 、，定值 ： 1. 商一定 → 成正比例 2. 积一定 → 成反比例 3. 只有和差关系 → 不成比例 解题关键：抓不变量、统一比、按比分配、正反比例列等式。 二、基础例题 例 1 判断比例关系 判断是否成比例，成什么比例： ① 效率一定，工作总量与时间 ② 工作总量一定，效率与时间 ③ 路程一定，已行与剩下路程 ④ 总时间一定，零件总数与每个零件用时 ⑤ 总产量一定，单产量与数量 ⑥ 被除数一定，除数与商 ⑦ 同一时间、地点，物高与影长 ⑧ 半径一定，圆柱高与体积 ⑨ 咬合齿轮，齿数与转速 ⑩ 圆半径与面积 ⑪ 长方体体积一定，底面积与高 ⑫ 正方形边长与面积 ⑬ 站数与票价 ⑭ 教室面积一定，砖面积与块数 ⑮ 每千米耗油量一定，路程与耗油总量 答案 正比例：①、⑦、⑧、⑮ 反比例：②、④、⑤、⑥、⑨、⑪、⑭ 不成比例：③、⑩、⑫、⑬ 例 2 路程分段比 一条路全长 90 千米，上坡：平路：下坡＝1:3:5，时间比 2:5:8，上坡速度 3 千米 / 时，求全程时间。 解答：上坡 10 千米，用时 小时，总时间 25 小时。 例 3 合金配比 铜：锡＝3:4，加 8 克锡后新合金 48 克，求新比。 解答：原合金：48−8=40 克 铜： 克 原锡： 克 新锡： 克 新比： 例 4 工效比→工作量比 师徒共做 240 个，师傅 1 个 4 分钟，徒弟 1 个 6 分钟，各做多少？ 解答：工效比 3:2，师傅 144 个，徒弟 96 个。 例 5 效率提高（反比例） 15 天产 900 个，3 天后效率提 20%，还需几天？ 解答：还需 10 天。 例 6 长方形长宽比与面积 长：宽＝6:1，长减 8、宽加 8，面积增 128cm²，求原面积。 解答：设宽为，长为 ， 40x−64=128， 解得，长 28.8 原面积： cm² 例 7 路程比（速度比） 甲乙时间比 4:5，相遇甲多走 200 米，求全长。 解答：速度比 5:4，全长 1800 米。 例 8 按比分配（不变量） 甲乙比 5:3，甲给乙 12 千克后相等，原来各多少？ 解答：甲 60kg，乙 36kg。 三、进阶例题（小升初高频） 进阶例 1 单量不变统一比 甲乙两班人数比 4:5，从甲班调 2 人到乙班，甲乙比变为 3:4，原来两班各多少人？ 解答：总人数不变，统一比，原来甲 56 人，乙 70 人。 进阶例 2 差不变统一比 甲乙钱数比 5:4，各花掉 20 元后，比变为 3:2，原来各多少钱？ 解答：差不变，甲 50 元，乙 40 元。 进阶例 3 溶液配比（浓度比） 甲乙两杯盐水浓度比 3:4，重量比 5:6，混合后浓度 68/110，求甲浓度。 解答：设甲浓度 ，乙 ，混合后 解得 ， 甲浓度 。 进阶例 4 正反比例综合 甲乙两车速度比 3:4，走同一段路时间比多少？若同时出发相向而行，相遇路程比？ 解答：时间比 4:3，相遇路程比 3:4。 进阶例 5 工程问题比例 甲乙工效比 3:2，合作 6 天完成，甲单独几天完成？ 解答：甲单独 10 天。 进阶例 6 年龄比（差不变） 今年甲乙年龄比 5:3，4 年后比为 7:5，今年各几岁？ 解答：甲 10 岁，乙 6 岁。 进阶例 7 比例尺与面积 比例尺 1:2000，长方形图上长 5cm、宽 3cm，实际面积多少平方米？ 解答：实际长 = 5×2000=10000cm=100m 实际宽 = 3×2000=6000cm=60m 实际面积： m²。 进阶例 8 分数与比互化 甲的 等于乙的 ，求甲乙比。 解答：甲：乙＝6:5。 进阶例 9 行程比例（变速） 甲乙速度比 2:3，甲先行 1 小时，乙再出发，追上时甲乙路程比？ 解答：1:1。 进阶例 10 按比分配（复合比） ABC 三队工作量比 3:4:5，三队效率比 2:3:5，完工时间比？ 解答：时间比 9:8:6。 四、巩固习题 1. 长宽比 3:2，长比宽多 24 米，求面积。 2. 长宽比 3:2，周长 120 米，求面积。 3. 橘苹共 96 筐，比 5:3，各多少筐。 4. 5 天完成 25%，剩下还需几天。 5. 上衣 7 元，小强 (衣 + 2 裤): 小明 (衣 + 1 裤)=4:3，求裤子价。 6. 第一天读，第二天多读 6 页，已读：剩 = 3:7，还剩几页。 7. 甲乙速度比 2:3，甲全程时，相遇时间。 8. 顺 21 逆 4 = 顺 12 逆 7，求顺速：逆速。 五、进阶练习题（拔高专用） 1. 甲乙图书比 5:6，甲给乙 10 本后比变为 4:5，甲原有多少本？ 2. 甲乙钱数比 7:5，各用去 20 元后比为 3:2，乙原有多少钱？ 3. 甲乙速度比 4:5，行同一段路时间比是多少？ 4. 甲的等于乙的，求甲乙最简整数比。 5. 甲乙工效比 2:3，合作 5 天完成，乙单独要几天？ 6. 比例尺 1:5000，图上长方形长 4cm、宽 2cm，实际面积多少平方米？ 7. 今年父子年龄比 7:2，5 年后比为 5:2，今年父亲几岁（取整）？ 8. 两杯水重量比 3:4，浓度比 2:5，其中第一杯的浓度为20%，求混合后浓度。 9. 甲乙路程比 5:3，速度比 4:3，求时间比。 10. 甲乙丙效率比 1:2:3，完成同一项工程时间比是多少？ 进阶练习题答案（精简） 1. 450 本 2. 100 元 3. 5:4 4. 10:9 5. 天 6. 20000 m² 7. 26.25 岁，取整27岁 8. （约 37.14%） 9. 5:4 10. 6:3:2 学科网（北京）股份有限公司 $