9.1.2 分层随机抽样 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.1.2分层随机抽样 第九章 统计 1、理解分层随机抽样的概念； 2、掌握用分层随机抽样从总体中抽取样本的方法； 3、掌握两种抽样的区别与联系。 教学目标 复习回顾 简单随机抽样的特点 简单随机抽样的常用方法 ①抽签法 ②随机数表法 简单随机抽样 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 ③机会均等抽样 ①总体个数有限 ②逐个进行抽取 树人中学有 712 名学生，现欲了解全体高一年级学生的平均身高。 简单随机抽样 从中抽取一个容量为50的样本 抽样调查最核心的问题是样本的代表性.简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本.例如，上面的调查中，可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形.这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差.能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？ 样本估计总体 问题探究： 问题是否解决？ 在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名，女生有386名.能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法，减少 “极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢？ 1、考虑性别对身高的影响，高中男生的身高普遍高于女生的身高. 2、把高一年级学生分成男生和女生两个身高有明显差异的群体，对两个群体分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总体的一个样本. 问题探究： 思考：样本量在男生、女生中应如何分配？ 人数多的群体应多抽一些，人数少的群体应少抽一些 男生样本量= ×总样本量 女生样本量= ×总样本量 在高一年级的 712 名学生中， 男生有 326 名、女生有 386 名. 现欲了解全体高一年级学生的平均身高。 比例分配 在高一年级的 712 名学生中， 男生有 326 名、女生有 386 名. 现欲了解全体高一年级学生的平均身高。 173.0 174.0 166.0 172.0 170.0 165.0 165.0 168.0 164.0 173.0 172.0 173.0 175.0 168.0 170.0 172.0 176.0 175.0 168.0 173.0 167.0 170.0 175.0 163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0 我们按上述方法抽取了一个容量为50的样本，其观测数据(单位: cm)如下: 女生 男生 一、分层抽样的定义 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样 ，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样 每一个子总体称为 层 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配 练习1 某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个样本容量为36的样本，则合适的抽样方法是（ ） A.抽签法 B.随机数法 C.分层随机抽样 D.其他抽样方法 C 练习2 下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( ) A.从10名同学中抽取3人参加座谈会 B.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本 C. 从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间 D. 从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 B 二、分层抽样的特点： (1)分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的； (2)分成的各层互不交叉； (3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即 ，其中n为样本容量，N为总体容量． 三、分层抽样的步骤 （4）抽样：各层分别按简单随机抽样方法抽取样本； （3）定数：确定每层抽取的个体数； （1）分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）； （2）计算抽样比: （5）成样：综合各层抽样，组成样本. 每个个体被抽到的可能性相同 例1　某学校的学生由小学部、初中部、高中部构成，其中小学部与初中部共有700人，该校领导采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取12名学生进行家访，若高中部抽取了5名学生，则该校高中部有_____名学生. 练习3　某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7∶10.为了了解职工的身体情况，现采用按比例分配分层随机抽样的方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为（ ） A.14 B.20 C.21 D.70 A 500 我们按照上述方法抽取了一个容量为50的样本，其观测数据(单位：cm)如下： 男生 173.0 174.0 166.0 172.0 170.0 165.0 165.0 168.0 164.0 173.0 172.0 173.0 175.0 168.0 170.0 172.0 176.0 175.0 168.0 173.0 167.0 170.0 175.0 女生 163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0 探究：分层随机抽样的平均数 在高一年级的 712 名学生中， 男生有 326 名、女生有 386 名. 现欲了解全体高一年级学生的平均身高。 探究：分层随机抽样的平均数 在高一年级的 712 名学生中， 男生有 326 名、女生有 386 名. 现欲了解全体高一年级学生的平均身高。 165.2， 即估计树人中学高一年级学生的平均身高在165.2cm左右. 计算可得，男生和女生身高的样本平均数分别为170.6、160.6. 样本平均数为 问题：如何估计总体的平均值？ 四、用分层抽样的样本平均数估计总体的平均数 用Y1, Y2, …, YN表示第2层各个个体的变量值, 用y1, y2, …, yn表示第2层样本的各个个体的变量值 用X1, X2, …, XM表示第1层各个个体的变量值， 用x1, x2, …, xm表示第1层样本的各个个体的变量值 在分层随机抽样中，如果层数分为2层， 第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别m和n. 第1层的总体平均数和样本平均数分别为 第2层的总体平均数和样本平均数分别为 总体平均数和样本平均数分别为 在比例分配的分层随机抽样中， 我们可以直接用样本平均数 估计总体平均数 . 得到结论 在分层随机抽样中，如果层数分为2层， 第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别m和n. 对应成比例 例2　某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0,0.8，其中样本量为60，则在初中部、高中部各抽取多少人？整个学校平均视力是多少？ 练习4　某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均值，按比例分配进行分层随机抽样，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算重点班平均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则据此估计高二总体数学成绩的平均数为（ ） A.110 B.125 C.95 D.105 探究： 与考察简单随机抽样估计效果类似, 小明也想通过多次抽样考察一下分层随机抽样的估计效果. 他用比例分配的分层随机抽样, 从高一年级的学生中抽取了10个样本量为50的样本, 计算出样本平均数如下表所示. 与上一节“探究”中相同样本量的简单随机抽样的结果比较，小明有了一个重要的发现. 你是否也有所发现？ 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 简单随机抽样 165.2 162.8 164.4 164.4 165.6 164.8 165.3 164.3 165.7 165.0 分层随机抽样 165.8 165.1 164.3 164.3 166.4 164.6 165.2 164.9 166.1 165.1 作出分层随机抽样的样本平均数分布图，并与简单随机抽样的平均数的分布图对比，如右图所示，其中红线表示整个年级学生身高的平均数. 从试验结果看，分层随机抽样的样本平均数围绕总体平均数波动，与简单随机抽样的结果比较，分层抽样并没有明显优于简单随机抽样. 但相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀，简单随机抽样中出现了(第2个)偏离总体平均数的幅度较大的样本平均数，即出现了比较“极端”的样本，而分层随机抽样没有出现. 实际上，在个体之间差异较大的情形下，只要选取的分层变量合适，使得各层间差异明显、层内差异不大，分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样，也好于很多其他抽样方法. 分层随机抽样的组织实施也比简单随机抽样方便，而且除了能得到总体的估计外，还能得到每层的估计. 探究： 简单随机抽样和分层随机抽样异同： 类 别 共同点 各自特点 联 系 适 用 范 围 简单随机抽 样 分层随机抽样 每个个体 被抽到的 可能性相等 从总体中逐个抽取 将总体分成几层 分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样 总体个数较少 总体由差异明显的几部分组成 分层随机抽样的步骤： 分层随机抽样中用样本平均值 分层随机抽样适用于：总体由差异明显的几个部分组成的情况。 用样本平均数估计总体平均值 课堂小结： $