6.2.3～6.24组合与组合数8题型分类(讲+练）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 6.2.3~6.24组合与组合数 8题型分类 一、组合概念 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 二、组合数 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元 素中取出个元素的组合数．用符号表示．其中 三、排列与组合的区别 1.排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”． 2.从个元素中取出个元素的排列(排列数)，可以理解为分为两步： 第一步，从个元素中取出个元素组合，得到组合数； 第二步，再对个元素进行排列，得到排列数，根据分步乘法计数原理得到． 四、组合数的性质 1.规定:． 2.． 3.． 4.． （一） 组合的概念 1、组合概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示． 2、有顺序，排列问题；无顺序，组合问题． 题型1：组合的判断 1．（2026高二·山西晋中·期中）下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 【答案】D 【分析】根据组合的性质逐一判断即可. 【详解】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题； 因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题； 因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题； 因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题， 故选：D 2．（2026高二·全国·课后作业）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【分析】根据排列和组合的概念可确定选项. 【详解】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 3．（2026高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【分析】根据组合的定义分别判断即可. 【详解】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 4．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）从2，3，5，7，11，13，17，19这8个数中任取2个，则下列问题属于组合问题的是（   ） A．相加可以得到多少个不同的和 B．相乘可以得到多少个不同的积 C．相减可以得到多少个不同的差 D．相除可以得到多少个不同的商 【答案】AB 【分析】根据组合的定义，CD与顺序有关，A存在等，不合要求，B选项，满足组合的定义. 【详解】因为减法与除法不满足交换律，取出的两个数与顺序有关， 所以C，D中问题不是组合问题． 因为加法与乘法满足交换律，取出的两个数与顺序无关， 所以相加问题是组合问题，相乘问题是组合问题． 故选：AB． （二） 组合数运算 组合数公式：． 组合数的性质：1.规定:．2.．3.．4.． 注：1.涉及具体数字的用公式C＝＝计算． 2.涉及字母的可以用阶乘式C＝计算． 3.计算时常用组合数的两个性质：①；②. 题型2：组合数运算 5．（2026高二·江苏镇江·期中）（    ） A．14 B．21 C．42 D．49 【答案】B 【详解】. 6．（2026高二·重庆·期中）计算的值为（    ） A．17 B．20 C．26 D．29 【答案】A 【详解】. 7．（2026高二·湖北武汉·期中）__________. 【答案】 【详解】 8．（2026高二·北京海淀·期中）___________．（用数字作答） 【答案】330 【详解】. 题型3：组合数的证明 9．（2026高二·安徽合肥·期中）已知，且，则下列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用排列、组合数公式，逐一化简验证各选项等式两边是否相等，判断正误. 【详解】对于选项A,由，，得，故A正确； 对于选项B，由，得，故B正确; 对于选项C,例如则即，故C不正确； 对于选项D，因为， 所以，故D正确。 10．【多选】（2026高二·江苏淮安·阶段检测）对于，关于下列排列组合数关系式，结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据排列数、组合数的性质或排列数、组合数的计算公式即可求解. 【详解】根据组合数的性质或组合数的计算公式， 所以 ，所以A选项正确； ， ， 所以，所以B选项正确； ，而，所以C选项错误； ， ，所以D选项正确． 11．（2026高二·广东·期中）若，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）利用排列数与组合数的性质证明即可. 【详解】（1）由题意得，，， 又， 所以． （2）由题意得，， 而， 而， 所以． 12．（2026高二·安徽滁州·期中）下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据排列数及组合数公式计算可得. 【详解】对于A，，所以，A错误； 对于B，因为， 所以，B错误； 对于C，，所以，C错误； 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确. 题型4：组合数的性质及其应用 13．（2026高二·上海·期中）已知，则的值为________. 【答案】10 【详解】由及组合数的性质，得， 所以. 14．（2026高二·湖北十堰·期中）若，则（    ） A．45 B．20 C．135 D．120 【答案】D 【详解】若，则或， 当时，（舍去）； 当时，. 所以. 所以. 15．（2026高二·浙江·期中）不等式的一个解是______．（写出一个符合要求的答案即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】借助组合数定义及性质计算即可得. 【详解】因为，则使得的可取. 16．（2026高二·全国·课堂例题）解不等式：. 【答案】 【分析】利用组合数的性质和计算公式进行求解即可. 【详解】，. .. ∴，. ∴不等式的解集为. 17．（2026高二·江西南昌·月考）（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）280；（2） 【分析】（1）利用排列数和组合数的公式计算；（2）利用组合数运算求解. 【详解】（1）； （2）由题意可得，解得，且， 由，可得，解得， 又因为，所以，故不等式的解集为. （三） 简单组合问题 1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． 2．要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏． 题型5：有限制条件的组合问题 18．（2026高二·河北沧州·月考）从名男生和名女生中，任取两名同学参加学校座谈会，至少有一名是男生的取法共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 【答案】D 【分析】分一名男生、两名男生两种情况讨论，利用组合数公式计算可得. 【详解】依题意，若有一名男生，则有种取法； 若有两名男生，则有种取法； 综上可得一共有种取法. 故选：D 19．（2026高三·浙江宁波·月考）某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（    ） A．15 B．30 C．35 D．42 【答案】B 【分析】由甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法、不含有甲的选法，根据分类计数原理得到结果． 【详解】由于甲有两个人参加会议需要分两类：含有甲的选法有种，不含有甲的选法有种，共有种. 故选：B 20．（2026高三·全国·专题练习）现有12张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法种数为（    ） A．84 B．172 C．160 D．230 【答案】C 【分析】用间接法分析．先求出“从12张卡片中任取3张的所有取法数”，再分析“取出的3张为同一种颜色”和“取出的3张有2张绿色卡片”的取法数，从而可求出答案． 【详解】根据题意，不考虑限制，从12张卡片中任取3张，共有种取法， 如果取出的3张为同一种颜色，则有种情况， 如果取出的3张有2张红色卡片，则有种情况， 故所求的取法共有种． 故选：C． 21．（2026高二·江西赣州·月考）2022年在贵州省黔东南州台盘乡举办的贵州省“美丽乡村”篮球联赛，经由短视频火爆全网，被称为“村BA”，中国驻美大使及外交部发言人在海外媒体发文推荐．某高二班主任从网上找到6个与此相关的短视频a，b，c，d，e，f，准备从这6个短视频中再选出3个向学生推荐，则a，b，c至少选1个，且d，e，f至少选1个的方法种数为（    ） A．8 B．18 C．27 D．36 【答案】B 【分析】分两种情况，结合组合知识进行求解. 【详解】分两类选取：a，b，c选2个，d，e，f选1个，或a，b，c选1个，d，e，f选2个，所以不同选法种数为. 故选：B 22．（2026高二·山东潍坊·开学考试）某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名医生参加赈灾医疗队. (1)若甲、乙必须参加，则有多少种不同的选法？ (2)若甲、乙均不参加，则有多少种不同的选法？ (3)若甲、乙两人至少有一人参加，则有多少种不同的选法？ (4)若医疗队中至少有2名内科医生和1名外科医生，则有多少种不同的选法？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题意，在甲乙外的剩下的7人中再选3人，即可求解； （2）根据题意，在甲乙外的剩下的7人中选5人，即可求解； （3）可用间接法，先在 9人中选出5人，再求得甲乙均不能参加的选法，即可求解； （4）由题意，分3种情况讨论：①队中有2名内科医生和3名外科医生；②队中有3名内科医生和2名外科医生；③队中有4名内科医生和1名外科医生，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】（1）根据题意，若甲、乙必须参加， 在剩下的7人中再选3人即可，有种选法； （2）甲乙均不能参加，在剩下的7人中选5人即可，有种选法； （3）在 9人中选出5人，有种选法，甲乙均不能参加的选法有种， 则甲乙两人至少有一人参加的选法有种选法； （4）①队中有2名内科医生和3名外科医生，有种选法； ②队中有3名内科医生和2名外科医生，有种选法； ③队中有4名内科医生和1名外科医生，有种选法， 由分类计数原理，可得种不同的选法. 23．（2026高二·辽宁辽阳·期末）从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先列举出不大于30的10个素数，再分别求出从10个素数中任取两个素数的情况，以及这些情况中两个素数之和为30的情况，再根据古典概型的概率公式计算即可得解. 【详解】不大于30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个. 从中随机选取两个素数有种情况， 其中被选取的两个素数之和为30的有，，共3种情况， 故所求概率为. 故选：A 24．（2026高二·重庆·月考）从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有（   ）种． A．30 B．36 C．56 D．66 【答案】B 【详解】从名学生中选出3名，共有种； 从6名男生中选出3名，共有种； 则至少有1名女生的选法共有. 25．（2026高二·山东枣庄·期中）6件产品中有2件次品，4件正品. (1)从中任意抽取3件，抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？ (2)从中任意抽取3件，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ (3)对这6件产品一一进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. （ⅰ）若恰在第1次检测时，找到第一件次品，且第4次检测时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的抽法？ （ⅱ）若至多检测4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的抽法？ 【答案】(1)12 (2)16 (3)（ⅰ）24（ⅱ）114 【分析】（1）利用组合知识以及乘法计数原理计算即可得； （2）利用组合知识以及乘法计数原理计算即可得； （3）（ⅰ）由题意可得第1次和第4次为次品，第2，3次测试为正品，再利用排列知识以及乘法计数原理计算即可得；分第1，2次测出次品结束、前2次有1次测出次品，第3次测出次品结束、前3次有1次测出次品，第4次测出次品结束、前4次全部测出正品等不同情况进行讨论即可得. 【详解】（1）从2件次品中抽出1件的抽法有种，从4件正品中抽出2件的抽法有种， 因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为； （2）抽出的3件中至少有1件次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况， 因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数为：； （3）（ⅰ）第1次和第4次为次品，第2，3次测试为正品，共有； （ⅱ）第1，2次测出次品结束，有种； 前2次有1次测出次品，第3次测出次品结束，有种； 前3次有1次测出次品，第4次测出次品结束，有种； 前4次全部测出正品，有种； 故共有种. 26．（2026高二·河南洛阳·期末）平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，这两组平行线相交，由这些平行线可以构成平行四边形的个数为（    ） A．14 B．48 C．91 D．420 【答案】D 【分析】根据题中条件，从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，由分步乘法计数原理，即可得出结果. 【详解】因为平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，且这两组平行线相交， 因此从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形， 所以构成不同的平行四边形个数为. 故选：D. 题型6：与几何图形有关的组合问题 27．（2026高二·黑龙江鹤岗·开学考试）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（    ） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】C 【分析】计算出从七个点中任意选两个点的总条数，再减去四点共线重复的直线条数，可得结果. 【详解】根据题意从七个点中任意选两个点作直线共有种， 其中四点中任意选两点只能作一条直线，有种重复， 所以所得直线的条数为种. 故选：C 28．（2026高二·辽宁·月考）正三棱柱的各棱中点共个点，在其中取个不共面的点，不同的取法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．以上都不对 【答案】A 【分析】作出图形，求出任选个点的选法种数以及四个点共面的选法种数，利用间接法可求得结果. 【详解】如下图所示，在正三棱柱中，、、、、、、、、为相应棱的中点，    从上述个点中任选个点，共有种选法， 其中所选的个点在同一侧面上，共种情况； 若所选的个点不在同一侧面上，且构成平行四边形，如、、、，共种情况； 若所选的个点构成梯形，如、、、，共种情况. 综上所述，正三棱柱的各棱中点共个点，在其中取个不共面的点，不同的取法共有种. 故选：A. 29．（2026高二·全国·课堂例题）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 【答案】(1)31 (2)80 (3)105 【分析】（1）直接法按共线点的选取情况分类，结合分类加法计数原理计算；间接法先求9个点无限制确定直线的总组合数，再减去4个共线点多算的直线数，两种方法均可得到结果； （2）直接法按从4个共线点中选取2个、1个、0个点的情况分类，分别结合另5个点的选取计算有效三角形数；间接法先求9个点中任取3点的总组合数，再减去4个共线点中取3点的组合数。 （3）直接法按从4个共线点中选取0个、1个、2个点的情况分类，结合另5个点的选取计算有效四边形数；间接法先求9个点中任取4点的总组合数，再减去4个共线点中取3个、4个点的组合数。 【详解】（1）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 第一类：确定1条直线； 第二类：以外的5个点可确定条直线； 第三类：从中任取1点，其余5点中任取1点可确定条直线． 根据分类加法计数原理，共有不同直线（条）． 法二：（间接法）： 可确定直线（条）． （2）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 第一类：从中取2个点，可得个三角形； 第二类：从中取1个点，可得个三角形； 第三类：从其余5个点中任取3点，可得个三角形．共有（个）三角形． 法二：（间接法）： 可确定三角形（个）． （3）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 分三类：第一类，从5个不共线点中取4个点，有个； 第二类，从5个不共线点中取3个点和4个共线点中取1个点，有个； 第三类，从5个不共线点中取2个点和4个共线点中取2个点，有个。 故共有四边形（个）。 法二：（间接法）： 可确定四边形（个）． （四） 分堆分配问题 分堆问题：①平均分堆，其分法数为：．②分堆但不平均，其分法数为． 题型7：分堆分配问题 30．（2026高三·安徽阜阳·月考）现要把6个不同的苹果平均地分装入3个不同的盒子中．这6个苹果中有4个是一级果，2个是二级果，则恰好有一个盒子中均为一级果的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知不同装法的总数为， 事件：“恰好有一个盒子中均为一级果”对应的装法数为， 因此事件发生的概率，故选项D正确． 31．（2026高二·浙江温州·期末）某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（    ） A．12种 B．14种 C．24种 D．48种 【答案】A 【分析】先将2名英语教师分到两个校区，再将3名数学老师分成2组再分到两个校区，最后只需将其他1人到人数少的一个校区即可. 【详解】由题意知，先将2名英语教师分到两个校区，有2种方法， 第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法， 然后再分到两个校区，共有种方法， 第三步只需将其他1人分到人数少的一个校区， 根据分布乘法计数原理知不同的分配方案共有. 故选：A 32．（2026高二·浙江丽水·期中）唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为（   ） A．360 B．180 C．90 D．60 【答案】D 【分析】分三步，首先甲从除语文练习册外的本书中任意拿两本，再乙从剩下的四本书中拿两本，最后丙拿，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】不妨记三位同学分别为甲、乙、丙， 首先甲从除语文练习册外的本书中任意拿两本，则有种； 再乙从剩下的四本书中拿两本，则有种； 最后将剩下的两本给丙即可， 按照分步乘法计数原理可知一共有种不同的分配方法. 故选：D 33．（2026高三·陕西西安·月考）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（    ） A．72种 B．36种 C．24种 D．18种 【答案】B 【分析】先分配语文老师，再把数学体育老师按1，2和2，1分配，或2，1和1，2分配即可求解； 【详解】两名语文老师由种分配方程； 数学老师按1，2分，则体育老师按2，1分， 或数学老师按2，1分，则体育老师按1，2分，共有, 所以不同的分配方案有， 故选：B 34．（2026高二·重庆万州·期中）今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】已知5名新进教师分到3个不同年级，每个年级至少1人，共两种分法： ①：； ②：； 不同的分配方案共有种． 35．（2026·山西临汾·模拟预测）将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先甲去或班的总数为，进一步由组合数排列数应用条件概率即可得所求概率. 【详解】不考虑甲是否去班，所有实习生分配方案总数为， 甲去班的概率相等，所以甲去或班的总数为， 甲不去班，B班恰有3名实习生的情形一，甲去班且班有3名实习生共有种； 情形二，甲去班，班有3名实习生共有种， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的共有种， 设实习生甲不去A班为事件，设B班恰有3名实习生为事件， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为. 36．（2026高三·青海西宁·月考）将名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排名同学去公司实习，至少安排名同学去公司实习，至少安排名同学去公司实习，则不同的安排方法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先将名同学分成组和组，然后再分配去三个公司，再由分类加法计数原理可得. 【详解】以去公司实习的人数分两类完成： 第一类：安排名同学去公司实习，将名同学先分成组，有种不同的结果， 再分配，1人组去公司实习，另两组（2人组和3人组）分配到公司实习，有种不同的结果 所以有种不同的安排方法. 第二类：安排名同学去公司实习，将名同学先平均分成组，有种结果， 再将这三组分配三个公司实习，有种不同的结果，所以有种不同结果. 根据分类加法计数原理，一共有种不同安排方法． 37．（2026高二·陕西西安·期中）某影院近期只播A、B、C、D四部热门电影，小帅和他的同学一行四人决定每人选择一部观看.若小帅要看D，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出总事件数，再对观看电影D的人数分类讨论，第一种：2人同看电影D，第二种2人同看的电影不是D.最后结合古典概型的概率公式求解. 【详解】总事件数：小帅看电影D，其余3名同学可以从4部电影中任选1部，所以总事件数为 “恰有两人看同一部电影”，分两种情况讨论： 1）2人同看电影D： 2）2人同看的电影不是D： 所以恰有两人看同一部电影的概率为：. 38．（2026·陕西汉中·模拟预测）现将某工厂车间的6名班长和3名质检员平均分成三组参与春节期间的安全生产工作，各小组内3人分别负责生产安全、人员调度、产品质检三项工作，其中质检员只负责产品质检，则班长甲与质检员乙不在同一个小组的概率为______． 【答案】 【分析】计算总的分组方式有，再计算班长甲与质检员乙在同一个小组的方式数即可求解. 【详解】质检员分配有种方法，班长分配有， 所以总的分组方式有； 若班长甲与质检员乙在同一个小组，则有， 故所求为. 故答案为：. 39．（2026·福建·模拟预测）为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答） 【答案】 【分析】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，由于甲、乙两人不能被安排到资源组，针对甲、乙两人在同一组与不同组进行分类计算，结合要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多排除一些情况，再使用排列组合公式进行计算. 【详解】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，那么资源组、电芯组、基建组人数分配情况有与, 当甲、乙两人在同一组时，那么甲乙只能同在电芯组或基建组,存在与两种分配情况, 此时,; 当甲、乙两人在不同组时，那么甲乙只能一个在电芯组另一个在基建组,存在与两种分配情况, 此时,; . （五） 相同元素分配问题 对相同元素的分配问题一般采用“隔板法” 题型8：相同元素隔板法 40．（2026高二·河北衡水·阶段检测）将9个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空的方法数为________. 【答案】56 【详解】先把9个相同的小球排成一行，然后在9个小球之间的8个空隙中任选3个空隙各插入一块隔板， 每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，故每个盒子都不空的方法数共有种. 41．（2026高二·辽宁沈阳·期中）10个相同的小球放在三个编号为1，2，3的盒中，每盒至少1个，有_________种方分法. 【答案】36 【分析】转化条件可得将10个相同小球分成三组，每组至少1个，使用隔板法即可得解. 【详解】依据题意，10个相同的小球放在3个盒中，每盒至少1个，可转化为将10个相同小球分成三组，每组至少1个； 可将10个小球排成一列，进而在排除两端的9个空位中，选取2个，插入隔板即可， 由组合公式可得共有种分法. 故答案为：. 【点睛】本题考查了组合的应用及隔板法的应用，属于基础题. 42．（2026高二·江苏南京·期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 【答案】A 【分析】将问题化为17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中，再应用组合数求不同的放法数. 【详解】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球， 将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可， 共有（种）方法． 故选：A 43．（2026·湖北·模拟预测）不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组（    ） A．560 B．455 C．91 D．55 【答案】B 【分析】在都加上1，把问题转化成方程有正整数解的问题解决. 【详解】设，，， 则不等式有多少组非负整数解的问题，转化为：的正整数解的组数. 因为方程：的解的组数为：； 的解的组数为：； … 的解的组数为：. 所以原不等式解的组数为：. 故选：B 【点睛】结论点睛：方程（且）正整数解的组数为. 44．（2026高二·河北·期中）方程的正整数解共有________组． 【答案】58 【分析】利用隔板法、分类加法以及分步乘法公式即可求解. 【详解】对于方程，设，，， 则，，． 当时，，可以为，，， 利用隔板法可得解的组数为； 当时，，利用隔板法可得解的组数为． 故方程的正整数解共有组． 故答案为：58. 45．（2026高二·新疆和田·月考）7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（    ）种不同的放法． A．60种 B．36种 C．30种 D．15种 【答案】D 【分析】7个小球有6个空，采用插空法可求. 【详解】将7个小球分成三组即可，可采用插空法，7个小球有6个空，则有种不同的方法. 故选：D. 46．（2026高二·江西吉安·期末）将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少分到1个苹果，共有不同的分法（    ） A．15种 B．18种 C．21种 D．24种 【答案】C 【分析】利用隔板法求解即可. 【详解】8个苹果间会产生7个空隙，任选2个空隙将苹果分开，即分成三份，共有种分法． 故选：C. 47．（2026高二·辽宁沈阳·期末）将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（    ） A．90种 B．120种 C．160种 D．190种 【答案】B 【分析】应用“隔板法”求解即可. 【详解】先在编号为2，3的盒子内分别放入1个，2个球，还剩17个小球， 则三个盒子内每个至少再放入1个球， 将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒子中， 不同的放法共有（种）. 故选：B. 48．（2026高二·山西朔州·月考）方程的正整数解的个数为（    ） A．56 B．35 C．70 D．66 【答案】B 【分析】将问题转化为将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法求解即可． 【详解】原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球， 采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可， 故共有种． 故选：B. 1．（2026高二·江苏南京·期中）如图，有两堆同样的盒子，一堆3个，一堆7个，现需要将这些盒子搬走，每次只能从其中一堆搬走最上面的一个盒子，共有_________种不同的搬法．（用数字作答） 【答案】120 【分析】根据题意10次搬盒子任选其中3次搬第一堆的3个盒子，应用组合数求不同的搬法数. 【详解】由题设，共需搬10次，选择其中3次搬走第一堆的3个盒子，故有， 故答案为：120 2．（2026高二·全国·课堂例题）从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有（   ） A．504种 B．729种 C．84种 D．27种 【答案】C 【分析】利用组合知识得到答案. 【详解】不同选法有． 故选：C 3．（2026高二·重庆北碚·月考）计算：＋＋＋＝________. 【答案】210 【分析】利用组合数及性质即得. 【详解】 . 故答案为：. 4．（2026高二·全国·课后作业）判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)组合问题 (2)排列问题 (3)排列问题 (4)组合问题 【分析】（1）（2）（3）（4）根据排列和组合的特征：是否有顺序即可求解. 【详解】（1）单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． （2）冠、亚军是有顺序的，是排列问题． （3）3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题． （4）3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题． 5．（2026高二·全国·课堂例题）判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)集合中含三个元素的子集的个数是多少？ (2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一名，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)组合问题 (2)选出正、副班长各一名是排列问题，选代表参加会议是组合问题． 【分析】（1）考虑到集合中的元素是无序的，故是组合问题； （2）选正、副班长时要考虑顺序，选代表参加会议不用考虑顺序，得到答案. 【详解】（1）由于集合中的元素是无序的，一个含三个元素的集合就是一个从0，1，2，3，4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题． （2）选正、副班长时要考虑顺序，所以是排列问题；选代表参加会议是不用考虑顺序的，所以是组合问题． 6．（2026高二·全国·课后作业）求值： （1）； （2）. 【答案】（1）148；（2）466. 【分析】（1）利用组合数的定义式，直接求解； （2）根据组合数有意义，列不等式组，求出n＝10，再利用组合数的定义式和性质，直接求解. 【详解】（1）＝3×－2×＝148； （2）∵∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10，∴. 7．（2026高二·广东深圳·阶段检测）求等式中的值. 【答案】9. 【分析】根据组合数的计算公式得到结果. 【详解】由，得，即，因此， 显然，且，即， 则， 整理得，解得， 所以. 8．（2026高二·全国·课后作业）在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？ （1）任意选5人； （2）甲、乙、丙三人必需参加； （3）甲、乙、丙三人不能参加； （4）甲、乙、丙三人只能有1人参加. 【答案】（1）792种；（2）36种；（3）126种；（4）378种. 【分析】组合实际应用题，结合条件及组合的含义即求. 【详解】（1）从中任取5人是组合问题，共有种不同的选法； （2）甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有种不同的选法； （3）甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有种不同的选法； （4）甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分为两步：选从甲、乙、丙中选1人，有种选法，再从另外9人中选4人，有种选法，共有种不同的选法. 9．（2026高二·全国·课堂例题）男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)既要有队长，又要有女运动员． 【答案】(1)120（种） (2)191（种） 【分析】（1）利用分步乘法计数原理进行求解，结合组合知识得到答案； （2）分女队长和男队长两种情况，结合正难则反法，分类加法计数原理得到答案 【详解】（1）分两步完成：第一步，选3名男运动员，有种选法； 第二步，选2名女运动员，有种选法． 由分步乘法计数原理可得，共有种选法． （2）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法； 当不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的选法有种， 所以又要有女运动员，不选女队长时的选法共有种． 所以既要有队长又要有女运动员的选法共有（种）． 10．（2026高二·山东烟台·期中）从3名男生和2名女生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中既有男生又有女生的不同选法种数为（    ） A．9 B．10 C．18 D．20 【答案】A 【分析】先得到从3名男生和2名女生中选出3人的方法数，再减去只选男生的方法数即可. 【详解】解：从3名男生和2名女生中选出3人去参加一项创新大赛一共有种选法， 从3名男生中选出3人的方法有种， 所以选出的3人中既有男生又有女生的不同选法种数为种， 故选：A 11．（2026高二·安徽滁州·期末）在，，，，这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和为偶数的共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据三位数中，各数位之和为偶数，由两奇一偶求解. 【详解】因为三位数中，各数位之和为偶数， 则三位数中，两奇一偶， 所以个. 故选：A 12．（2026高二·全国·单元测试）方程的解集为(　　) A．{4} B．{14} C．{4,6} D．{14,2} 【答案】C 【分析】根据组合数的性质。即可解出答案. 【详解】∵ ∴或 ∴或 经检验知或符合题意，故方程的解集为. 故选:C. 13．（2026高二·全国·课堂例题）若，则的值为______． 【答案】140 【分析】根据组合数和排列数的计算法则得到方程，求出，代入求出答案. 【详解】因为，所以， 解得，负值舍去， 则． 故答案为：140 14．（2026高三·北京昌平·月考）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A．3600种 B．1440种 C．4820种 D．4800种 【答案】A 【解析】不相邻问题用插空法，先将除甲乙外的其他5人全排列，再将甲乙2人插入6个空中，即可. 【详解】第一步，先将除甲乙外的其他5人全排列，种 第二步，将甲乙2人插入6个空中，种 则不同的排法种数是种 故选：A 【点睛】本题考查排列问题，插空法是解决本题的关键.属于较易题. 15．（2026高二·全国·课堂例题）编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，若任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有（   ） A．10种 B．12种 C．15种 D．18种 【答案】A 【分析】在四盏熄灭的灯中，使用插空法即可求解； 【详解】四盏熄灭的灯产生的5个空中放入3盛亮灯，即不同的开灯方案有（种） 故选：A 16．（2026高二·福建三明·期末）某航天科研所安排甲，乙，丙，丁4位科学家应邀到创A，B，C三所学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少安排1名科学家，且丙必须去A学校，则不同的安排方式共有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．30种 【答案】B 【分析】分两种情况：一是A学校只去丙，二是A学校去了丙和另一个科学家，然后利用分类加法原理可求得结果. 【详解】由题意得，当A学校只去丙时，则将甲，乙，丁分成两组，分配到B，C两所学校，共有种安排方式， 当A学校去了丙和另一个科学家，则从甲，乙，丁中选一个和丙去A学校，剩下两人分别去B，C两所学校，共有种安排方式， 所以根据分类加法原理可得共有种安排方式， 故选：B 17．（2026高三·全国·专题练习）某医科大学的学生中，有男生12名、女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名学生参加青年志愿者医疗队. （1）某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？ （2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？ （3）甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？ （4）医疗队中男生和女生都至少有一名，有多少种选法？ 【答案】（1）816；（2）8568；（3）6936；（4）14654. 【分析】（1）从其他18人中选3人即可得出结果. （2）从其他18人中选5人即可得出结果. （3）分两类：甲、乙中只有一人参加，则有种选法；甲、乙两人都参加，则有种选法.再相加即可得出结果. （4）总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数,即可得出结果. 【详解】（1）只需从其他18人中选3人即可，共有 (种). （2）只需从其他18人中选5人即可，共有 (种). （3）分两类：甲、乙中只有一人参加，则有种选法；甲、乙两人都参加，则有种选法.故共有 (种). （4）由总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数， (种). 【点睛】本题考查了排列组合知识，考查了解决问题的能力和计算能力，属于中档题目. 18．（2026高二·新疆·期末）课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ （1）只有1名女生； （2）两队长当选； （3）至少有1名队长当选； （4）至多有2名女生当选； 【答案】（1）350；（2）165；（3）825；（4）966. 【分析】（1）选1名女生，4名男生即可； （2）除队长外11人中再选3人； （3）分类，一类是队长中选1人，另一类是两队长都选进； （4）分三类：选2名女生，1名女生，不选女生． 【详解】解：（1）1名女生，4名男生，故共有（种） （2）将两队长作为一类，其他11个作为一类，故共有（种） （3）至少有1名队长当选含有两类：只有1名队长和2名队长.故共有：（种） 或采用间接法：（种）. （4）至多有2名女生含有三类：有2名女生、只有1名女生、没有女生，故选法为：（种）． 【点睛】本题考查组合的应用，解题关键掌握分类讨论思想，对各种可能情形进行正确的分类． 19．（2026高二·全国·单元测试）如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4． （1）以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含点C1的有多少个？ （2）以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ 【答案】（1）116(个)；36(个)；（2）360(个)． 【解析】（1）可以分成三类即在C1，C2，…，C6这六个点任取三点，在C1，C2，…，C6中任取一点，D1，D2，D3，D4中任取两点和C1，C2，…，C6中任取两点，D1，D2，D3，D4中任取一点，将三类情况加到一起即可； （2）需要四个点，且无三点共线，类似于（1）可分三种情况讨论得四边形个数为 【详解】（1）可分三种情况处理： ①C1，C2，…，C6这六个点任取三点可构成一个三角形,有种； ②C1，C2，…，C6中任取一点，D1，D2，D3，D4中任取两点可构成一个三角形，有种； ③C1，C2，…，C6中任取两点，D1，D2，D3，D4中任取一点可构成一个三角形，有． 所以共有=116(个)． 其中含C1点的三角形有=36(个)． （2）构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线， C1，C2，…，C6这六个点中任意三点都不共线. ①C1，C2，…，C6这六个点任取四点可构成一个四边形，有种； ②C1，C2，…，C6中任取三点，D1，D2，D3，D4中任取一点可构成一个四边形，有种； ③C1，C2，…，C6中任取两点，D1，D2，D3，D4中任取两点可构成一个四边形，有种． 所以共有=360(个)． 【点睛】关键点睛：本题考查解决组合的实际问题，解答本题的关键是将问题分为三类，即以在C1，C2，…，C6和取点的个数情况进行分类讨论，属于中档题. 20．（2026高二·全国·课堂例题）四面体的一个顶点为，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点在同一平面上，有多少种不同的取法？ 【答案】 【分析】如图，分两种情况：含顶点的四面体的3个面上，从每个面上任取3个点，另一种是含顶点的三条棱上各有三个点与对棱的中点，然后利用分类加法原理可求得结果. 【详解】如图，含顶点的四面体的3个面上，除点外每个面上都有5个点，从中取出3个点必与点共面，共有种取法； 含顶点的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法． 根据分类加法计数原理，与顶点共面的三点的取法有（种）． 21．（2026高二·全国·课后作业）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中任取4个点，这4点不共面的取法共有多少种？ 【答案】141 【分析】先考虑10个点中取4个点共有的情况数，再分三种情况，得到四点共面的情况，相减后得到答案. 【详解】从10个点中取4个点，共有种选法， 其中这4点共面的情况有以下三种情况， 第一，这4个点均在四面体的某一个平面上，有种选法， 第二，这4个点位于相对的两条棱上，其中3点位于某条棱上，另一点为相对棱的中点，比如四点， 此时共有6种情况， 第三，这4个点全为棱的中点，刚好组成平行四边形，比如，此时共有3种情况， 所以这4点不共面的取法共有种. 22．（2026高三·全国·一轮复习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？ (1)分成1本、2本、3本三组； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； 【答案】(1)60 (2)360 【分析】（1）根据分步计数原理求解即可； （2）在（1）的情况下，将分好的三组分别给甲、乙、丙三人求解即可. 【详解】（1）根据分步计算原理可知，共有种方法； （2）由（1）可知：分成1本、2本、3本三组，共有60种方法， 再分给甲、乙、丙三人，所以有种方法； 23．（2026高二·全国·课堂例题）有6本不同的书，6本不同的书分成三组，每组都是2本，有多少种不同的分法？ 【答案】 【分析】这是平均分组问题，列举，，是一种分法，所以求出组合数除以即可. 【详解】先分三组，有种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为， 若第一组取了，，第二组取了，第三组取了，则该种方法记为， 但种分法中还有，，共种情况， 而这种情况只能作为一种分法，故分配方式有（种）． 24．（2026高二·全国·课堂例题）有6本不同的书，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分法？ 【答案】 【分析】先平均分成3组，再全排列即可求解； 【详解】先平均分成三组，有种分法，再分给3个人， 所以分配方式共有（种）． 25．（2026高二·全国·课堂例题）5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】由题意可知只要从8个不同的盒子中选出5个盒子即可，结合排列数即可得结果. 【详解】由于球不相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球， 所以取出5个盒子放不同的球，共有种不同的放法． 故选：A. 26．（2026高二·全国·课堂例题）5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】由题意可知只要从8个不同的盒子中选出5个盒子即可. 【详解】由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球， 所以只要选出5个不同的盒子即可． 故共有种不同的放法 故选：B 27．（2026高二·全国·课堂例题）5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里放球数量不限，则不同的放法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】由分步乘法原理可直接求解 【详解】由于每个盒里放球数量不限，所以第1个球有8种放法，第2个球有8种放法，……第5个球也有8种放法．故不同的放法共有（种）． 故选：D 28．（2026高二·江苏·专题练习）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？ 【答案】432 【分析】利用先选后排的原则及分类加法计数原理即可求解. 【详解】分三类： 第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1，2，3，4时，不同的排法有种. 第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1，1，4，4时，不同的排法有种. 第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2，2，3，3时，不同的排法有种. 根据分类加法计数原理可知，所有不同的排法共有种. 29．（2026高二·全国·课堂例题）现有编号为的3个不同的红球和编号为的2个不同的白球． (1)若将这些球排成一排，且要求两个球相邻，则有多少种不同的排法？ (2)若将这些球排成一排，且要求球排在中间，两个球不相邻，则有多少种不同的排法？ (3)若将这些球放入甲、乙、丙三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则有多少种不同的放法？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由捆绑法求解即可； （2）先确定A，再将安排在两边，进而可求解； （3）将5个小球按3，1，1和2，2，1分3组，再全排列即可； 【详解】（1）将两个球捆绑在一起和其他球进行全排列，有种不同的排法． （2）先把球排在中间位置，再从球的两侧各选一个位置排两个球，其余球任意排列，所以有种不同的排法． （3）先把5个小球分成3组，再放入3个盒子中． 若按3，1，1分配，则有种不同的放法； 若按2，2，1分配，则有种不同的放法． 所以共有种不同的放法． 30．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有（   ）种. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对甲收集的方案种数进行分类讨论，结合分组分配原理以及分类加法计数原理可求得结果. 【详解】分以下两种情况讨论： ①若甲只收集一种算法，则甲有种选择，将其余种算法分为组，再分配给乙、丙、丁三人， 此时，不同的收集方案种数为种； ②若甲收集两种算法，则甲可在运筹算、成数算和把头算种算法中选择种，其余种算法分配给乙、丙、丁三人， 此时，不同的收集方案种数为种. 综上所述，不同的收集方案种数为种. 故选：C. 31．（2026高三·辽宁丹东·阶段检测）从位女生，位男生中选人参加比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】利用组合数可求得从人中任意挑选人和没有女生入选的选法数，利用间接法可得结果. 【详解】从人中任意挑选人参加比赛，共有种选法； 其中没有女生入选的选法有：种； 至少有位女生入选的选法有：种. 故选：B. 32．（2026·四川南充·模拟预测）小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有 A．96种 B．120种 C．480种 D．720种 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合分步乘法计数原理、排列、组合的意义列式计算作答. 【详解】计算不同分法数需两步，先让能取最大梨的取有种方法，再让余下5人每人取一个梨有种方法， 所以梨子的不同分法共有. 故选：C 33．（2026高三·四川南充·期中）随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力加大．通过心理问卷调查发现，某校高三年级有5位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有3位心理老师，每位心理老师至少安排1位学生，至多安排3位学生，则共有______种心理辅导安排方法． 【答案】150 【分析】分2步进行分析：①将5位学生分为3组，②将分好的3组安排给3个老师进行心理辅导，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①将5位学生分为3组，若有两组2人，一组1人，有种分组方法， 若两组1人，一组3人，有种分组方法， 则有15＋10＝25种分组方法， ②将分好的3组安排给3个老师进行心理辅导，有种情况， 则有25×6＝150种安排方法， 故答案为：150． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 6.2.3~6.24组合与组合数8题型分类 一、组合概念 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 二、组合数 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元 素中取出个元素的组合数．用符号表示．其中 三、排列与组合的区别 1.排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”． 2.从个元素中取出个元素的排列(排列数)，可以理解为分为两步： 第一步，从个元素中取出个元素组合，得到组合数； 第二步，再对个元素进行排列，得到排列数，根据分步乘法计数原理得到． 四、组合数的性质 1.规定:． 2.． 3.． 4.． （一） 组合的概念 1、组合概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示． 2、有顺序，排列问题；无顺序，组合问题． 题型1：组合的判断 1．（2026高二·山西晋中·期中）下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 2．（2026高二·全国·课后作业）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 3．（2026高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 4．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）从2，3，5，7，11，13，17，19这8个数中任取2个，则下列问题属于组合问题的是（   ） A．相加可以得到多少个不同的和 B．相乘可以得到多少个不同的积 C．相减可以得到多少个不同的差 D．相除可以得到多少个不同的商 （二） 组合数运算 组合数公式：． 组合数的性质：1.规定:．2.．3.．4.． 注：1.涉及具体数字的用公式C＝＝计算． 2.涉及字母的可以用阶乘式C＝计算． 3.计算时常用组合数的两个性质：①；②. 题型2：组合数运算 5．（2026高二·江苏镇江·期中）（    ） A．14 B．21 C．42 D．49 6．（2026高二·重庆·期中）计算的值为（    ） A．17 B．20 C．26 D．29 7．（2026高二·湖北武汉·期中）__________. 8．（2026高二·北京海淀·期中）___________．（用数字作答） 题型3：组合数的证明 9．（2026高二·安徽合肥·期中）已知，且，则下列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．【多选】（2026高二·江苏淮安·阶段检测）对于，关于下列排列组合数关系式，结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2026高二·广东·期中）若，证明： (1)； (2)． 12．（2026高二·安徽滁州·期中）下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 题型4：组合数的性质及其应用 13．（2026高二·上海·期中）已知，则的值为________. 14．（2026高二·湖北十堰·期中）若，则（    ） A．45 B．20 C．135 D．120 15．（2026高二·浙江·期中）不等式的一个解是______．（写出一个符合要求的答案即可） 16．（2026高二·全国·课堂例题）解不等式：. 17．（2026高二·江西南昌·月考）（1）求的值； （2）解关于的不等式：. （三） 简单组合问题 1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． 2．要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏． 题型5：有限制条件的组合问题 18．（2026高二·河北沧州·月考）从名男生和名女生中，任取两名同学参加学校座谈会，至少有一名是男生的取法共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 19．（2026高三·浙江宁波·月考）某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（    ） A．15 B．30 C．35 D．42 20．（2026高三·全国·专题练习）现有12张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法种数为（    ） A．84 B．172 C．160 D．230 21．（2026高二·江西赣州·月考）2022年在贵州省黔东南州台盘乡举办的贵州省“美丽乡村”篮球联赛，经由短视频火爆全网，被称为“村BA”，中国驻美大使及外交部发言人在海外媒体发文推荐．某高二班主任从网上找到6个与此相关的短视频a，b，c，d，e，f，准备从这6个短视频中再选出3个向学生推荐，则a，b，c至少选1个，且d，e，f至少选1个的方法种数为（    ） A．8 B．18 C．27 D．36 22．（2026高二·山东潍坊·开学考试）某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名医生参加赈灾医疗队. (1)若甲、乙必须参加，则有多少种不同的选法？ (2)若甲、乙均不参加，则有多少种不同的选法？ (3)若甲、乙两人至少有一人参加，则有多少种不同的选法？ (4)若医疗队中至少有2名内科医生和1名外科医生，则有多少种不同的选法？ 23．（2026高二·辽宁辽阳·期末）从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是（   ） A． B． C． D． 24．（2026高二·重庆·月考）从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有（   ）种． A．30 B．36 C．56 D．66 25．（2026高二·山东枣庄·期中）6件产品中有2件次品，4件正品. (1)从中任意抽取3件，抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？ (2)从中任意抽取3件，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ (3)对这6件产品一一进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. （ⅰ）若恰在第1次检测时，找到第一件次品，且第4次检测时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的抽法？ （ⅱ）若至多检测4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的抽法？ 26．（2026高二·河南洛阳·期末）平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，这两组平行线相交，由这些平行线可以构成平行四边形的个数为（    ） A．14 B．48 C．91 D．420 题型6：与几何图形有关的组合问题 27．（2026高二·黑龙江鹤岗·开学考试）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（    ） A．18 B．17 C．16 D．15 28．（2026高二·辽宁·月考）正三棱柱的各棱中点共个点，在其中取个不共面的点，不同的取法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．以上都不对 29．（2026高二·全国·课堂例题）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ （四） 分堆分配问题 分堆问题：①平均分堆，其分法数为：．②分堆但不平均，其分法数为． 题型7：分堆分配问题 30．（2026高三·安徽阜阳·月考）现要把6个不同的苹果平均地分装入3个不同的盒子中．这6个苹果中有4个是一级果，2个是二级果，则恰好有一个盒子中均为一级果的概率为（   ） A． B． C． D． 31．（2026高二·浙江温州·期末）某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（    ） A．12种 B．14种 C．24种 D．48种 32．（2026高二·浙江丽水·期中）唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为（   ） A．360 B．180 C．90 D．60 33．（2026高三·陕西西安·月考）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（    ） A．72种 B．36种 C．24种 D．18种 34．（2026高二·重庆万州·期中）今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 35．（2026·山西临汾·模拟预测）将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（   ） A． B． C． D． 36．（2026高三·青海西宁·月考）将名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排名同学去公司实习，至少安排名同学去公司实习，至少安排名同学去公司实习，则不同的安排方法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 37．（2026高二·陕西西安·期中）某影院近期只播A、B、C、D四部热门电影，小帅和他的同学一行四人决定每人选择一部观看.若小帅要看D，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（    ） A． B． C． D． 38．（2026·陕西汉中·模拟预测）现将某工厂车间的6名班长和3名质检员平均分成三组参与春节期间的安全生产工作，各小组内3人分别负责生产安全、人员调度、产品质检三项工作，其中质检员只负责产品质检，则班长甲与质检员乙不在同一个小组的概率为______． 39．（2026·福建·模拟预测）为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答） （五） 相同元素分配问题 对相同元素的分配问题一般采用“隔板法” 题型8：相同元素隔板法 40．（2026高二·河北衡水·阶段检测）将9个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空的方法数为________. 41．（2026高二·辽宁沈阳·期中）10个相同的小球放在三个编号为1，2，3的盒中，每盒至少1个，有_________种方分法. 42．（2026高二·江苏南京·期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 43．（2026·湖北·模拟预测）不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组（    ） A．560 B．455 C．91 D．55 44．（2026高二·河北·期中）方程的正整数解共有________组． 45．（2026高二·新疆和田·月考）7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（    ）种不同的放法． A．60种 B．36种 C．30种 D．15种 46．（2026高二·江西吉安·期末）将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少分到1个苹果，共有不同的分法（    ） A．15种 B．18种 C．21种 D．24种 47．（2026高二·辽宁沈阳·期末）将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（    ） A．90种 B．120种 C．160种 D．190种 48．（2026高二·山西朔州·月考）方程的正整数解的个数为（    ） A．56 B．35 C．70 D．66 1．（2026高二·江苏南京·期中）如图，有两堆同样的盒子，一堆3个，一堆7个，现需要将这些盒子搬走，每次只能从其中一堆搬走最上面的一个盒子，共有_________种不同的搬法．（用数字作答） 2．（2026高二·全国·课堂例题）从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有（   ） A．504种 B．729种 C．84种 D．27种 3．（2026高二·重庆北碚·月考）计算：＋＋＋＝________. 4．（2026高二·全国·课后作业）判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 5．（2026高二·全国·课堂例题）判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)集合中含三个元素的子集的个数是多少？ (2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一名，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 6．（2026高二·全国·课后作业）求值： （1）； （2）. 7．（2026高二·广东深圳·阶段检测）求等式中的值. 8．（2026高二·全国·课后作业）在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？ （1）任意选5人； （2）甲、乙、丙三人必需参加； （3）甲、乙、丙三人不能参加； （4）甲、乙、丙三人只能有1人参加. 9．（2026高二·全国·课堂例题）男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)既要有队长，又要有女运动员． 10．（2026高二·山东烟台·期中）从3名男生和2名女生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中既有男生又有女生的不同选法种数为（    ） A．9 B．10 C．18 D．20 11．（2026高二·安徽滁州·期末）在，，，，这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和为偶数的共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 12．（2026高二·全国·单元测试）方程的解集为(　　) A．{4} B．{14} C．{4,6} D．{14,2} 13．（2026高二·全国·课堂例题）若，则的值为______． 14．（2026高三·北京昌平·月考）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A．3600种 B．1440种 C．4820种 D．4800种 15．（2026高二·全国·课堂例题）编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，若任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有（   ） A．10种 B．12种 C．15种 D．18种 16．（2026高二·福建三明·期末）某航天科研所安排甲，乙，丙，丁4位科学家应邀到创A，B，C三所学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少安排1名科学家，且丙必须去A学校，则不同的安排方式共有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．30种 17．（2026高三·全国·专题练习）某医科大学的学生中，有男生12名、女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名学生参加青年志愿者医疗队. （1）某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？ （2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？ （3）甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？ （4）医疗队中男生和女生都至少有一名，有多少种选法？ 18．（2026高二·新疆·期末）课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ （1）只有1名女生； （2）两队长当选； （3）至少有1名队长当选； （4）至多有2名女生当选； 19．（2026高二·全国·单元测试）如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4． （1）以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含点C1的有多少个？ （2）以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ 20．（2026高二·全国·课堂例题）四面体的一个顶点为，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点在同一平面上，有多少种不同的取法？ 21．（2026高二·全国·课后作业）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中任取4个点，这4点不共面的取法共有多少种？ 22．（2026高三·全国·一轮复习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？ (1)分成1本、2本、3本三组； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； 23．（2026高二·全国·课堂例题）有6本不同的书，6本不同的书分成三组，每组都是2本，有多少种不同的分法？ 24．（2026高二·全国·课堂例题）有6本不同的书，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分法？ 25．（2026高二·全国·课堂例题）5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 26．（2026高二·全国·课堂例题）5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 27．（2026高二·全国·课堂例题）5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里放球数量不限，则不同的放法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 28．（2026高二·江苏·专题练习）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？ 29．（2026高二·全国·课堂例题）现有编号为的3个不同的红球和编号为的2个不同的白球． (1)若将这些球排成一排，且要求两个球相邻，则有多少种不同的排法？ (2)若将这些球排成一排，且要求球排在中间，两个球不相邻，则有多少种不同的排法？ (3)若将这些球放入甲、乙、丙三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则有多少种不同的放法？ 30．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有（   ）种. A． B． C． D． 31．（2026高三·辽宁丹东·阶段检测）从位女生，位男生中选人参加比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 32．（2026·四川南充·模拟预测）小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有 A．96种 B．120种 C．480种 D．720种 33．（2026高三·四川南充·期中）随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力加大．通过心理问卷调查发现，某校高三年级有5位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有3位心理老师，每位心理老师至少安排1位学生，至多安排3位学生，则共有______种心理辅导安排方法． 1 学科网（北京）股份有限公司 $