6.2.4 组合数 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

《6.2.4 组合数》教学设计

一、课标及课标分析

课标要求

1．通过实例，理解组合的概念，能区分组合与排列的异同。

2．推导组合数公式，掌握组合数的计算方法，能解决简单的组合问题。

3．理解组合数的两个性质，能运用性质进行化简、求值与证明。

4．结合计数原理，提升逻辑推理、数学运算等数学核心素养。

课标分析

本节课是人教A版高中数学选择性必修第三册计数原理章节的核心内容，承接排列与排列数，是组合问题的计算工具。课标要求学生从具体实例出发，经历“组合概念→组合数公式→组合数性质→实际应用”的探究过程，不仅要掌握公式计算，更要理解组合与排列的本质区别（有序与无序），能运用组合知识解决产品抽样、人员选取等实际问题，培养分类讨论、等价转化的数学思想，落实逻辑推理与数学运算核心素养.

二、教材分析

“组合数”是在学习分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列与排列数之后的重要内容，是计数问题的关键组成部分。组合与排列的核心区别在于是否考虑顺序，组合数公式由排列数推导而来，体现了知识的关联性。组合数的两个性质是简化计算、解决复杂组合问题的重要工具，同时为后续二项式定理的学习奠定基础。本节课既是对排列知识的巩固，又是独立解决组合问题的开端，在计数原理体系中起到承上启下的作用，是培养学生数学建模、逻辑推理能力的重要载体.

三、学情分析

学生在本节课前，已经掌握两个计数原理、排列的定义及排列数公式，具备初步的计数分析能力，能区分“有序”与“无序”的简单问题。但学生容易混淆排列与组合，对组合数公式的推导过程理解不深入，对组合数性质的证明

授课人个案修改记录：

与实际应用存在困难。同时，面对“至少” “至多”等复杂组合问题，学生缺乏分类讨论、间接排除的解题思路。教学中需通过实例对比、公式推导、分层练习，帮助学生突破难点，建立完整的组合知识体系.

四、教学目标/核心素养目标

1. 数学抽象素养：通过实例抽象出组合数的定义，区分排列与组合的本质，理解组合数的符号意义。
2. 逻辑推理素养：推导组合数公式，证明组合数的两个性质，培养严谨的推理与论证能力。
3. 数学运算素养：熟练运用组合数公式与性质进行计算、化简，提升运算准确性。
4. 数学建模素养：将产品抽样、人员选取等实际问题转化为组合模型，运用组合数解决问题。
5. 直观想象素养：通过实例与表格，直观理解组合与排列的关系，建立计数问题的直观认知.

五、教学重难点及课时安排

1. 重点：组合数的定义、公式推导、两个性质及简单应用。
2. 难点：组合数公式的推导、组合数性质的证明、“至少/至多”型组合问题的解法.

六、教学过程

环节一：检查预习

预习问题：

从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做组合数，用符号****表示。

计算：______；______。（答案：；）

排列数与组合数的关系：______。（答案：）

学生作答，教师点评纠错，夯实基础.

环节二：引入课题

1.回顾旧知：

组合的定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。

排列与组合的区别：排列有序，组合无序。

排列数公式：。

2.提问：从3个元素中取2个元素，组合有多少种？排列有多少种？引出组合数课题.

环节三：合作探究

探究1：组合数的定义与符号认识（5分钟）

教师活动

提出探究问题：从个不同元素中取出个元素的组合有很多个，我们需要一个数来表示它的个数，这个数该如何定义、如何表示？

板书组合数定义，强调符号中各字母含义：为总元素数，为取出元素数，取自英文combination首字母。

给出实例：从3个元素取2个的组合数记为；从4个元素取3个的组合数记为。

强调约束条件：，且；补充规定。

学生活动

小组内互相说一说、的含义。

口答：从5人中选3人代表，组合数表示为______。

辨析：组合数是一个数，不是组合本身。

探究目的

落实数学抽象，让学生准确理解组合数的意义与符号，避免与“组合”概念混淆。

探究2：组合数公式推导（5分钟）

教师活动