6.2.4 组合数 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 《6.2.4 组合数》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求 1． 通过实例，理解组合的概念，能区分组合与排列的异同。 2． 推导组合数公式，掌握组合数的计算方法，能解决简单的组合问题。 3． 理解组合数的两个性质，能运用性质进行化简、求值与证明。 4． 结合计数原理，提升逻辑推理、数学运算等数学核心素养。 课标分析 本节课是人教A版高中数学选择性必修第三册计数原理章节的核心内容，承接排列与排列数，是组合问题的计算工具。课标要求学生从具体实例出发，经历“组合概念→组合数公式→组合数性质→实际应用”的探究过程，不仅要掌握公式计算，更要理解组合与排列的本质区别（有序与无序），能运用组合知识解决产品抽样、人员选取等实际问题，培养分类讨论、等价转化的数学思想，落实逻辑推理与数学运算核心素养. 2、 教材分析 “组合数”是在学习分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列与排列数之后的重要内容，是计数问题的关键组成部分。组合与排列的核心区别在于是否考虑顺序，组合数公式由排列数推导而来，体现了知识的关联性。组合数的两个性质是简化计算、解决复杂组合问题的重要工具，同时为后续二项式定理的学习奠定基础。本节课既是对排列知识的巩固，又是独立解决组合问题的开端，在计数原理体系中起到承上启下的作用，是培养学生数学建模、逻辑推理能力的重要载体. 3、 学情分析 学生在本节课前，已经掌握两个计数原理、排列的定义及排列数公式，具备初步的计数分析能力，能区分“有序”与“无序”的简单问题。但学生容易混淆排列与组合，对组合数公式的推导过程理解不深入，对组合数性质的证明与实际应用存在困难。同时，面对“至少” “至多”等复杂组合问题，学生缺乏分类讨论、间接排除的解题思路。教学中需通过实例对比、公式推导、分层练习，帮助学生突破难点，建立完整的组合知识体系. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：通过实例抽象出组合数的定义，区分排列与组合的本质，理解组合数的符号意义。 1. 逻辑推理素养：推导组合数公式，证明组合数的两个性质，培养严谨的推理与论证能力。 1. 数学运算素养：熟练运用组合数公式与性质进行计算、化简，提升运算准确性。 1. 数学建模素养：将产品抽样、人员选取等实际问题转化为组合模型，运用组合数解决问题。 1. 直观想象素养：通过实例与表格，直观理解组合与排列的关系，建立计数问题的直观认知. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：组合数的定义、公式推导、两个性质及简单应用。 1. 难点：组合数公式的推导、组合数性质的证明、“至少/至多”型组合问题的解法. 六、教学过程 环节一：检查预习 预习问题： 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做组合数，用符号****表示。 计算：______；______。（答案：；） 排列数与组合数的关系：______。（答案：） 学生作答，教师点评纠错，夯实基础. 环节二：引入课题 1.回顾旧知： 组合的定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。 排列与组合的区别：排列有序，组合无序。 排列数公式：。 2.提问：从3个元素中取2个元素，组合有多少种？排列有多少种？引出组合数课题. 环节三：合作探究 探究1：组合数的定义与符号认识（5分钟） 教师活动 提出探究问题：从个不同元素中取出个元素的组合有很多个，我们需要一个数来表示它的个数，这个数该如何定义、如何表示？ 板书组合数定义，强调符号中各字母含义：为总元素数，为取出元素数，取自英文combination首字母。 给出实例：从3个元素取2个的组合数记为；从4个元素取3个的组合数记为。 强调约束条件：，且；补充规定。 学生活动 小组内互相说一说、的含义。 口答：从5人中选3人代表，组合数表示为______。 辨析：组合数是一个数，不是组合本身。 探究目的 落实数学抽象，让学生准确理解组合数的意义与符号，避免与“组合”概念混淆。 探究2：组合数公式推导（5分钟） 教师活动 引导回顾：排列可以看作“先取组合，再排顺序”。 分步提问： 从个元素取个元素的组合数： 对这个元素全排列： 根据分步乘法计数原理： 板书推导： 4. 强调两种形式：连乘形式适合计算，阶乘形式适合证明与化简。 用、代入验证公式正确性。 学生活动 跟随教师思路，写出推导步骤。 动手计算：，。 同桌互查，互相讲解推导逻辑。 探究目的 建立排列与组合的联系，让学生理解公式来源而非死记，培养逻辑推理与公式推导能力。 探究3：组合数性质1探究（2.5分钟） 教师活动 给出计算任务：计算与；与。 提问：你发现了什么规律？为什么相等？ 引导解释：取个剩个，一一对应，组合数相等。 板书性质1：，并给出公式证明。 强调用途：大数化小，简化计算。 学生活动 计算并对比结果：；。 用自己的语言解释性质1的含义。 快速口答：______（答案：）。 探究目的 从具体计算到猜想，再到证明与理解，培养观察归纳能力。 探究4：组合数性质2探究（2.5分钟） 教师活动 给出计算：与。 引导分类：从个元素中取个，分两类： 含指定元素：需从剩下个取个，即 不含指定元素：需从剩下个取个，即 由分类加法计数原理得出性质2： 4. 用公式验证并说明用途：递推、化简、合并组合数。 学生活动 计算验证：。 理解分类依据，口述推理过程。 尝试用性质计算：。 探究目的 渗透分类讨论思想，理解组合数性质的实际意义，为后续二项式定理铺垫. 环节四：学以致用 基础练习（5分钟） 例1：计算下列组合数 （1） （2） （3） 答案：（1）；（2）；（3）。 例2：判断正误 （1）（） （2）（） （3）（） 答案：（1）√；（2）√；（3）×。 综合练习（7分钟） 例3：100件产品中，98件合格品，2件次品，任意抽3件。 （1）总抽法：种。 （2）恰1件次品：种。 （3）至少1件次品：种。 例4：6门学科选3门，物理、化学恰1门被选的选法：种. 小试牛刀： 一、单选题 1．已知，则等于（    ） A． B． C． D．或 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．3名男生，3名女生，这6个人站成一排，下列选项正确的是（    ） A．男生必须排在一起，共有120种排法 B．男生必须排在一起，并且女生也必须排在一起，共有36种排法 C．男生互不相邻，共有144种排法 D．男生和女生均按照身高递增的顺序从左到右依次排列，共有20种排法 三、填空题 4．若，则_______．（用数字作答） 四、解答题 5．3个女生（含甲）和4个男生（含乙）排成一排． (1)其中甲必须排在中间的排法有多少种？ (2)如果女生必须全排在一起有多少种不同的排法？ (3)如果女生甲和男生乙不能相邻，有多少种不同的排法？ (4)如果选2个女生和2个男生去高一年级四个班作演讲，有多少种不同的安排方法？ 环节五：课堂小结 1. 学生回顾：组合数定义、公式、两个性质、实际应用。 2. 教师梳理：排列与组合的区别→组合数公式→性质→解题方法（直接法、间接法）.. 环节六：布置作业 1. 书面作业：课本习题6.2 A组、B组基础题，巩固组合数计算与应用。 2. 拓展作业：用组合数解决生活中的计数问题（如班级选代表、奖品分配）。 3. 预习：下一节二项式定理，思考组合数与二项式系数的联系. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课通过类比排列知识引入组合数，引导学生自主推导公式、探究性质，降低了抽象知识的理解难度。教学中需强化排列与组合的区分，针对学生易混淆的点加强对比练习。对于组合数性质的应用，应多结合实例帮助学生理解意义，而非单纯记忆公式。同时，在“至少/至多”问题的讲解中，要规范解题步骤，渗透分类与转化思想，提升学生解决复杂计数问题的能力，持续落实数学核心素养的培养. 学科网（北京）股份有限公司 $