6.2排列与组合【12大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计数原理—排列组合题型汇总 题型预览 题型一 排列数与组合数公式应用 题型二 数字排列问题 题型三 涂色与种植问题 题型四 元素（位置）有限制的排列问题 题型五 相邻与不相邻问题 题型六 顺序固定(定序)问题 题型七 有限制条件的组合问题 题型八 多面手问题 题型九 分组与分配问题 题型十 几何中的组合问题 题型十一 环形的问题 题型十二 元素相同的问题 知识清单 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 【注意】定义中，每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 【注意】完成这件事有多个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺一不可 使用两个原理的原则 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是把较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，这时用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理． 排列概念的理解 1．定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．两个排列相同的充要条件 (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序相同． 【注意】排列定义中的两层含义：一是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素；二是按一定顺序排列 排列数公式 排列数 的定义 及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示 全排列 的概念 n个不同的元素全部取出的一个排列 阶乘的概 念及表示 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示 排列数 公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，n，m∈N*，m≤n 阶乘式＝(n，m∈N*，m≤n) 特殊情况 ＝n！，1！＝1，0！＝1 【注意】排列数公式的特征：(1)乘积是m个连续正整数的乘积．(2)最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1.(3)m，n∈N*，m≤n，当m>n时不成立 组合的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 【注意】(1)组合中取出的元素没有顺序．(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 组合与组合数公式 1．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示． 2．组合数公式 乘积式：＝(n，m∈N*，并且m≤n)． 阶乘式：＝(n，m∈N*，并且m≤n)． 规定：＝1． 题型突破 题型一 排列数与组合数公式应用 1．（1）计算：（结果用数字作答） （2）解方程： （3）解不等式：的解集． 2．计算下列各式． (1)； (2)； (3)． 3．（1）计算：； （2）计算： ，求； （3）计算：，求. 4．（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 题型二 数字排列问题 5．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为：（    ） A． B． C． D． 6．有0，1，2，3，4五个数字（每小问均须用数字作答）. (1)可以排成多少个三位数？ (2)求满足下列条件的五位数个数（无重复数字）. （i）左起第二、四位数是偶数的奇数. （ii）比大的偶数. 7．用0，1，…，9这十个数字可以组成多少个：（结果用数字作答） (1)三位数？ (2)无重复数字的三位数？ (3)小于的无重复数字的三位数？ (4)无重复数字的三位数的奇数？ 8．用0,1,2,3,4,5这六个数字， (1)可以组成多少个数字不重复的三位数. (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数. (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数. (4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数. (5)可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数. 题型三 涂色与种植问题 9．给如图所示的四个区域涂色，有4种不同的颜色可选，相邻区域颜色不能相同，则共有______种不同的涂色方案. 10．某公园计划建造一个如图所示的花圃，每个小格的土地种植玫瑰、百合、郁金香三种花中的一种，且每个小格相邻（有公共边）的所有小格中恰有两格与该小格均为同类花，则所有的种植方案共有______种． 11．（多选）用1，2，3，4，5五种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则下列说法正确的是（    ） A．用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为12 B．四个区域都涂不同颜色的不同方法数为120 C．任选若干种颜色涂色的不同方法数为180 D．，两个区域涂同种颜色的概率是 12．如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有________种． 题型四 元素（位置）有限制的排列问题 13．现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（    ） A．120种 B．96种 C．72种 D．60种 14．某校举行“数学文化节”活动，有6个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（    ） A．240种 B．360种 C．480种 D．600种 15．某航天夏令营结束后，5名学生（含学生甲）和3位老师（含老师乙）站成一排拍照留念. (1)求3位老师互不相邻的排法种数； (2)求甲不排最左端且乙不排最右端的排法种数； (3)若保持原来5名学生和3位老师的相对位置不变，有3位家长想加入其中站成一排拍照，求所有可能的排法种数. 16．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） (1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； (3)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒； (4)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒. 17．若3男3女排成一排，分别求下列排列的种数. (1)一共有多少种不同的排法? (2)男生甲在排头或在排尾的排法总数? (3)男生甲、乙相邻的排法总数? (4)男女生相间的排法总数? (5)甲乙两人相隔2人的排法总数? 18．解决下列问题，写出计算过程，用具体数字回答 (1)4名男生和3名女生排成一排，4名男生站在一起，3名女生站在一起，有多少种排法？ (2)4名男生和3名女生排成一排，女生不相邻的排法有多少种？ (3)4名男生和3名女生排成一排，甲、乙二人不能站在两端的排法有多少种？ (4)4名男生和3名女生排成一排，甲、乙两人中间有且只有2人的排法有多少种？ (5)4名男生和3名女生排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，有多少种排法？ 题型五 相邻与不相邻问题 19．某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（    ） A．264种 B．288种 C．312种 D．336种 20．某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（   ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 21．某年六月，“青松”团队的名成员（含队长“戊”）相约赏荷，人站在荷花池边排成一排合影留念，其中队长戊必须站在正中间，甲和乙必须相邻，丙和丁不能相邻，则符合条件的排法种数有______种（用数字作答）. 22．象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值，它具有红、黑两种阵营，将、士、车、马、炮、兵为象棋中的棋子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子排成一列，则下列说法不正确的是（   ） A．共有120种排列方式 B．若两个“马”不相邻，则有72种排列方式 C．若两个“车”相邻，则有24种排列方式 D．若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列方式 题型六 顺序固定(定序)问题 23．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 24．5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念．（须有适当的文字说明） (1)要求小王与工作人员甲、乙三人相邻，且小王在甲、乙中间，有多少种不同的站法？ (2)若这5名工作人员中，甲、乙、丙的身高互不相等，拍照时甲、乙、丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？ (3)若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 25．（多选）某校计划安排五位老师（包含甲､乙､丙）负责2026年5月1日至5月5日的值班工作，每人值班一天，每天都有人值班，则下列说法正确的是（    ） A．若甲､乙必须在相邻的两天值班，则不同的安排方法共有48种 B．若甲､乙值班的两天不相邻，则不同的安排方法共有72种 C．若甲､乙､丙三人值班的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法共有60种 D．若甲5月1日不值班，乙5月5日不值班，则不同的安排方法共有78种 26．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 题型七 有限制条件的组合问题 27．某班一天上午有5节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、生物及体育这7门课的课程表，每门学科各一节课，要求数学课与物理课不相邻（上午第五节与下午第一节不算相邻），且体育课排在下午，则不同排法有（    ） A．960种 B．1056种 C．3600种 D．5040种 28．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 29．（1）从3男3女共6名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．共有多少种不同的选择方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （2）若选出的3人中至少有1名男生，共有多少种不同的选择方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （3）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且安排他们分别从事经济、文化和民生三项问卷调查工作，每人负责一项问卷，每项问卷一人负责，求共有多少种不同的选派方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 30．将6个不同的小球放入编号分别为的三个不同盒子.（过程要用文字简要说明，结果用数字作答） (1)求共有多少种不同放法； (2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法； (3)当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法； (4)若将题干中“6个不同的小球”改为“9个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于它的编号数时，共有多少种不同放法？ 题型八 多面手问题 31．为了迎接即将到来的端午节龙舟赛，某训练组进入备战状态，该队有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现要从这6名划手中选派4名参加比赛，并预先选定其中2名划左桨，剩下2名划右桨，则不同的选定方案共有（   ） A．15种 B．19种 C．23种 D．36种 32．某出版社的名工人中，有人只会排版，人只会印刷，还有人既会排版又会印刷，现从人中选人排版，人印刷，有（    ）种不同的选法. A． B． C． D． 33．9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有______种不同的选法. 34．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？ 题型九 分组与分配问题 35．中国空间站主要由天和核心舱，问天试验舱，梦天试验舱三个舱构成.某次实验需要4名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去天和核心舱，则不同的安排方法的种数为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 36．（多选）年重庆市九龙坡区心理学科优质课大赛将在铁路中学举行，现在高二志愿者团队安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加志愿者服务活动，有接待、指引、礼仪、会议记录四项工作可以安排，则以下说法错误的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有人参加，则不同的方法数为 C．如果会议记录工作不安排，其余三项工作至少安排人，则这名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有人参加，甲、乙不会会议记录但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 37．某校有5名志愿者参加5月1日社区志愿工作，每人参加一次值班，若该天分早、中、晚三班，每班至少安排1人，则当天不同的排班种数为______． 38．某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是______．（用数字作答） 题型十 几何中的组合问题 39．正方体的8个顶点中任意两点可以连线，则可以连成___________个三棱锥． 40．从长度为1，3，5，7，9，11的六条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为______. 41．已知正方体. (1)各棱、各面对角线（如）、各体对角线（如）所在的直线中，共有多少对异面直线？ (2)若三条直线两两异面，则称为一组“T型线”，任选12条面对角线中的三条，“T型线”的组数为多少？ （注：所有结果均用数值表示） 42．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 题型十一 环形的问题 43．某学校图书室内，有10位同学围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法（    ） A． B． C． D． 44．6位女同学和15位男同学围成一圈跳集体舞，要求每两名女同学之间至少有两名男同学，那么共有多少种不同的围圈跳舞的方法？ 45．甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有______种. 46．甲、乙、丙等8人围成一圈就坐，已知甲、乙两人相邻，甲、丙两人不相邻，则不同的坐法共有（   ） A．1200种 B．1440种 C．7200种 D．9600种 题型十二 元素相同的问题 47．（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？ （2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？ （3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？ 48．的非负整数解有__________组. 49．将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中． (1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？ (2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？ (3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？ 50．（多选）下列选项正确的是（    ） A．有6个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有720种 B．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种 C．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种 D．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种 51．已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A． B． C． D． 强化训练 1．甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析，这人名次排列的所有可能情况共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．安排名志愿者完成项工作，每人至少安排项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．如图，某花坛中有5个区域，每个区域只种植一种颜色的花．要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，不同的种植方案种数为（    ） A．24 B．32 C．40 D．48 4．从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这样的四位数中大于2023的个数为（   ） A．44 B．43 C．42 D．41 5．某科技公司研发了5个不同的人工智能大模型算法，准备应用到智慧医疗、自动驾驶、智能客服这3个不同的应用场景中．要求每个应用场景至少应用1个算法，且每个算法只能应用于1个应用场景，则不同的应用方案共有（   ） A．150种 B．120种 C．90种 D．60种 6．在惠州市举行的半程马拉松比赛中，江北路段设三个服务点，惠州市东江高级中学5名同学到①､②､③三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．150种 B．90种 C．60种 D．25种 7．（多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 B．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 C．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有528种排法 8．（多选）下列选项正确的是（    ） A．从5男3女中选2人，若至少有1名女生，则有21种不同的选法 B．5人排成一列，若甲，乙必须相邻，则有48种不同的排列方法 C．3男3女排成一列，若女生互不相邻，则有144种不同的排法 D．10个相同小球分给3个小朋友，若每人至少1个，则有42种不同的方法 9．（多选）若为正整数且，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）现有6本不同的书，下列说法正确的有（    ） A．分成一堆一本，一堆两本，一堆三本，共有60种方法 B．甲得一本，乙得两本，丙得三本，共有180种方法 C．一人得一本，一人得二本，一人得三本，共有360种方法 D．平均分给甲､乙､丙三人，共有90种方法 11．（多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（   ） A．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 B．课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有350种 C．课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 D．课程“御”和“书”不相邻且课程“数”和“书”不相邻的不同排法共有288种. 12．（多选）将五个编号为1，2，3，4，5的小球放入五个分别标有1，2，3，4，5号的盒子中，则下列结论正确的有（    ） A．共有3125种放法 B．恰有一个盒子不放球，共有1200种放法 C．恰有两个盒子不放球，共有3000种放法 D．没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有44种 13．（多选）小杨正在安排五一五天假期（5月1日-5月5日）的旅行计划，他决定在这5天里每天去一个不同的景点（其中包含甲、乙、丙三个景点），则下列说法正确的是（   ） A．若甲、乙两景点必须在相邻的两天去，则不同的安排方法共有48种 B．若去甲、乙两景点的两天不相邻，则不同的安排方法共有72种 C．若去甲、乙、丙三个景点的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法有60种 D．若5月1日不去甲景点，5月5日不去乙景点，则不同的安排方法共有78种 14．某公园景观道上有如图所示的五个花坛，园艺师傅计划选用一串红、月季、矮牵牛、薰衣草、雏菊和郁金香这六种花卉进行栽种，每个花坛只能栽种一种花卉，要求相邻两个花坛花卉种类不同，其中恰有两个花坛栽种雏菊，则不同的栽种方案种数为__________.（用数字作答） 15．用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，则共可组成__________个四位数.（数字作答） 16．将甲、乙、丙、丁等8个人平均分成两组：第一组和第二组，在第一组中选择2人干工作C，其余2人干工作D；在第二组中选择1人干工作E，其余3人干工作C，已知甲不能干工作C，乙要干工作D，丙不与丁在同一组，则分配方式总数为______．（用数字作答） 17．某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓球”“排球”“羽毛球”“篮球”“足球”五门选修课程，要求该校每位学生在高一、高二每学年至多选修3门，高三至多选修1门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选修完，每门课程限选修一学年，则每位学生的不同的选修方式有______种．（用数字作答） 18．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） (1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； (3)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒； 19．将5个编号为1，2，3，4，5的小球全部放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子中． (1)每盒至多一球，有多少种放法？ (2)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (3)把5个不同的小球换成5个相同的小球，恰好有一个空盒，有多少种放法？ 20．若，证明： (1)； (2)． 21．现有6个不同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同盒子. (1)当每个盒子的球数大于等于0时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） (2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） (3)当每个盒子的球数不小于1时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） 22．将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数. (1)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本； (2)甲得1本，乙得2本，丙得3本； (3)一人得1本，一人得2本，一人得3本（注意：请写出式子再写计算结果） 23．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） (1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒； (3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； (4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理—排列组合题型汇总 题型预览 题型一 排列数与组合数公式应用 题型二 数字排列问题 题型三 涂色与种植问题 题型四 元素（位置）有限制的排列问题 题型五 相邻与不相邻问题 题型六 顺序固定(定序)问题 题型七 有限制条件的组合问题 题型八 多面手问题 题型九 分组与分配问题 题型十 几何中的组合问题 题型十一 环形的问题 题型十二 元素相同的问题 知识清单 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 【注意】定义中，每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 【注意】完成这件事有多个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺一不可 使用两个原理的原则 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是把较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，这时用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理． 排列概念的理解 1．定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．两个排列相同的充要条件 (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序相同． 【注意】排列定义中的两层含义：一是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素；二是按一定顺序排列 排列数公式 排列数 的定义 及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示 全排列 的概念 n个不同的元素全部取出的一个排列 阶乘的概 念及表示 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示 排列数 公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，n，m∈N*，m≤n 阶乘式＝(n，m∈N*，m≤n) 特殊情况 ＝n！，1！＝1，0！＝1 【注意】排列数公式的特征：(1)乘积是m个连续正整数的乘积．(2)最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1.(3)m，n∈N*，m≤n，当m>n时不成立 组合的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 【注意】(1)组合中取出的元素没有顺序．(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 组合与组合数公式 1．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示． 2．组合数公式 乘积式：＝(n，m∈N*，并且m≤n)． 阶乘式：＝(n，m∈N*，并且m≤n)． 规定：＝1． 题型突破 题型一 排列数与组合数公式应用 1．（1）计算：（结果用数字作答） （2）解方程： （3）解不等式：的解集． 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】（1）根据排列数公式计算； （2）根据排列数展开原方程，再结合的范围求解； （3）根据排列数展开原不等式，再结合的范围求解. 【详解】（1）分子：， 分母：， 约分化简得： （2）由，得. 根据排列数公式展开原方程：， 约去，可得， 化简得：，即， 解得或（舍去），故解为. （3）由，，得. 根据排列数展开原不等式：， 整理得：， 因式分解得，由于时，， 故不等式等价于，即， 结合定义域得解集为. 2．计算下列各式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）排列数公式 , , , , 所以原式. （2）组合数公式 , ,. 所以原式. （3）因为, , , 所以原式. 3．（1）计算：； （2）计算： ，求； （3）计算：，求. 【答案】（1）0；（2）；（3）或 【分析】（1）利用排列数性质计算即可得； （2）利用组合数与排列数性质计算即可得； （3）利用组合数计算即可得. 【详解】（1）； （2）由已知可得，所以， 所以，所以，解得或， 又，即，故； （3）由可得或， 解方程，即，解得或， 解方程，即，解得或， 又因为、均为整数，且， 所以或符合要求，和均不符合要求. 故或； 4．（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）280；（2） 【分析】（1）利用排列数和组合数的公式计算；（2）利用组合数运算求解. 【详解】（1）； （2）由题意可得，解得，且， 由，可得，解得， 又因为，所以，故不等式的解集为. 题型二 数字排列问题 5．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】六个数字中有三个偶数，分别是；有三个奇数，分别是. 从三个偶数中任取两个，其和为偶数，有种不同取法； 从三个奇数中任取两个，其和为偶数，有种不同取法. 所以共有种不同取法. 6．有0，1，2，3，4五个数字（每小问均须用数字作答）. (1)可以排成多少个三位数？ (2)求满足下列条件的五位数个数（无重复数字）. （i）左起第二、四位数是偶数的奇数. （ii）比大的偶数. 【答案】(1)个 (2)（i）20个；（ii）41个 【分析】（1）先排百位，再排十位、个位，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）（i）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算；（ii）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算. 【详解】（1）首先排百位数字有种选法， 再排十位数字有种选法， 最后排个位数字有种选法， 所以一共有三位数（个）. （2）（i）首先从、两数中选一个数排在个位，有种； ①最高位排、中剩下的数，将三个偶数排到左起第二、三、四位，有种； ②最高位为从、两数中选一个，有种，再将剩下的两个偶数排到左起第二、四位，有种，最后将、中剩下的数排到第三位； 综上可得符合条件的数字一共有（个）； （ii）比大的偶数可分为六类： 万位数字为的偶数，有个； 万位数字为的偶数，有个； 万位数字为，千位数字为的偶数，有个； 万位数字为，千位数字为的偶数，有个； 万位数字为，千位数字为的偶数，有个； 万位数字为，千位数字为的偶数，有，共个； 综上可得比大的偶数一共有个. 7．用0，1，…，9这十个数字可以组成多少个：（结果用数字作答） (1)三位数？ (2)无重复数字的三位数？ (3)小于的无重复数字的三位数？ (4)无重复数字的三位数的奇数？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）因为百位不能是0，可以有重复数字，按特殊优先原则，应用分步乘法计数原理可得解； （2）因为0不能做百位，故先安排百位的数字，然后剩下的数字中，分别选取百位及个位数字即可； （3）为百位是5的所有数据中最小的三位数，要求小于，则先确定百位的数只能取1,2,3,4中的其一，再在剩下的数据中，考虑十位及个位的数即可； （4）无重复数字的三位数的奇数，需考虑个位的数只能选奇数，百位的数字不能为0，则分类考虑百位为奇数和百位不为奇数的情况，再安排个位，最后在剩下的数据中考虑十位的安排即可. 【详解】（1）百位非零，则百位有9个数可选，十位和个位无要求，则个数字均可，共有个； （2）百位非零，则百位有9个数可选，要求无重复数字，则出现过的数不能再选择，共有个； （3）百位可为1，2，3，4中的任意数字，共有4种可能，十位有9种，个位有8种，共有个； （4）十个数字中有5个奇数5个偶数， 第一类：百位为奇数，则可以有5种选择，个位还有4个奇数可选，十位无限制，还有8个数字可选，共有个； 第二类：百位为非零偶数，则共有4种，个位有5个奇数可选，十位无限制，还有8个数字可选，共有个； 综上，共有个. 8．用0,1,2,3,4,5这六个数字， (1)可以组成多少个数字不重复的三位数. (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数. (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数. (4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数. (5)可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数. 【答案】(1)100 (2)180 (3)48 (4)131 (5)175 【分析】（1）分析可知，数字不重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理可得结果； （2）分析可知，数字允许重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理可得结果； （3）根据分步乘法原理，先选个位数字，再选百位数字，再选十位数字即可求解； （4）分三种情况讨论：个位数、两位数、三位数，分别计算出这三种情况下满足条件的自然数的个数，利用分类加法计数原理可得结果. （5）根据分类加法原理，按首位数字为3或4；首位数字为5，百位数字不是4；首位数字为5,百位数字是4分类即可求解. 【详解】（1）若组成的数字为数字不重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制， 所以，数字不重复的三位数个数为. （2）若组成的数字为数字允许重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制， 所以，数字允许重复的三位数的个数为个. （3）分3步： 先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法； 再选百位数字有4种选法； 十位数字也有4种选法； 由分步计数原理知所求三位数共有个 （4）若组成的数字为数字不重复的小于1000的自然数，分以下三种讨论： ①数字为个位数，共6个； ②数字为两位数，则首位不能为零，个位无限制，共个； 数字为三位数，共有100个. 综上所述，数字不重复的小于1000的自然数个数为个. （5）分4类： 千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有个； 千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，共有个； 千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有个； ④也满足条件； 故所求四位数共有个. 题型三 涂色与种植问题 9．给如图所示的四个区域涂色，有4种不同的颜色可选，相邻区域颜色不能相同，则共有______种不同的涂色方案. 【答案】84 【详解】当A和C颜色相同， 第一步涂A：共4种颜色可选，所以有种选择； 第二步涂B：由于B与A不同色，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择； 第三步涂C：由于C与A同色，只有种选择； 第四步涂D：此时D仅需与A（C）不同色，有种选择； 所以根据分步计数乘法原理可知此类方案数为：； 当A和C颜色不同， 第一步涂A：共4种颜色可选，所以有种选择； 第二步涂B：由于B与A不同色，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择； 第三步涂C：由于C与A不同色，且与B不同，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择； 第四步涂D：此时D既与A不同色，又与C不同色，由于A与C也不同色，故只有种选择； 所以根据分步计数乘法原理可知此类方案数为：； 利用分类计数加法原理，把这两类相加可得总方案数为：. 10．某公园计划建造一个如图所示的花圃，每个小格的土地种植玫瑰、百合、郁金香三种花中的一种，且每个小格相邻（有公共边）的所有小格中恰有两格与该小格均为同类花，则所有的种植方案共有______种． 【答案】24 【详解】 方法一：记三种花分别为，，．4个角有2个格相邻（），边上中间8个格有3个格相邻（），中间4个格有4个格相邻（）．方格具有对称性，且，，等价，所以分为与（与）先行讨论． ①4个边上都为1种花色，且只能为1种花色，所以图中共有2种花色，此时共有种种植方案． ②一组对角为，一组对角为，花色并无影响，故可将其视为4个的小块． （i）的两个小块为同一种花色，如，共3种组合；又与为2种不同的组合，所以共有种种植方案． （ii）的两个小块为不同种花色，如，共6种组合；又与为2种不同的组合，所以共有种种植方案． 综上所述，共有种种植方案． 方法二：记三种花分别为，，，所有组合如下：                                                     共有种． 11．（多选）用1，2，3，4，5五种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则下列说法正确的是（    ） A．用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为12 B．四个区域都涂不同颜色的不同方法数为120 C．任选若干种颜色涂色的不同方法数为180 D．，两个区域涂同种颜色的概率是 【答案】BCD 【详解】先涂区域，有3种方法，再涂区域，有2种涂法，再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有1种涂法，故共有种方法，故A错误； 四个区域都涂不同颜色的不同方法数为，故B正确； 当，同色时，先涂区域，有5种方法，再涂区域，有4种涂法，再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有3种涂法，共有种方法， 当，不同色时，由选项B可知有种方法， 即任选若干种颜色涂色的不同方法数为180，故C正确； 由选项C可知，，两个区域涂同种颜色的概率是，故D正确. 12．如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有________种． 【答案】13020 【分析】对最中间的4个方格进行分类讨论，分为中间4个方格中有2个方格涂红色、中间4个方格中只有1个方格涂红色、中间4个方格都不涂红色三种，每一种逐个根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】设方格从左至右分别命名为， 因为两端都涂红色，且相邻方格不同颜色，所以中间4个方格也可以涂红色， ①当中间4个方格中有2个方格涂红色时， 涂红色的位置有方格3、5或方格4、6或方格3、6共3种选择， 剩下的4个方格，还有两个单独和两个相邻的，而其左右两边皆为红色方格， 对于两个单独的方格而言，除红色外其他颜色都可选取，共种， 对于相邻的两个方格，其中第一块方格可选除红色外的5种颜色， 第二块方格选取剩余4种颜色，共种， 所以该类涂法一共有种； ②当中间4个方格中只有1个方格涂红色时，涂红色的位置有4种选择， 未涂色区域划分为两部分，其中对于每一部分， 其中第一块方格都可以涂除红色外的5种颜色， 剩余的都只能涂除红色以及上一块相邻颜色之外的4种颜色， 故剩下的共有种选择，所以该类涂法一共有种； ③当中间4个方格都不涂红色时， 中间一大块区域每个方格均只能涂上除红色以及上一块相邻颜色之外的4种颜色， 共有种； 综上，不同的涂色方法共有种． 题型四 元素（位置）有限制的排列问题 13．现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（    ） A．120种 B．96种 C．72种 D．60种 【答案】D 【分析】根据题意，分甲在第三个出场和甲不在第一个、第三个和最后一个出场两种情况讨论求解即可. 【详解】若甲在第三个出场，则不同的出场顺序有种； 若甲不在第一个、第三个和最后一个，则不同的出场顺序有种． 根据分类加法计数原理可知，不同的出场顺序共有种． 14．某校举行“数学文化节”活动，有6个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（    ） A．240种 B．360种 C．480种 D．600种 【答案】A 【分析】先排4个节目，再按照定序插空排列即可求解. 【详解】先把除了舞蹈节目和合唱节目的4个节目排列有种排法， 舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻， 插空有种，总共有种. 15．某航天夏令营结束后，5名学生（含学生甲）和3位老师（含老师乙）站成一排拍照留念. (1)求3位老师互不相邻的排法种数； (2)求甲不排最左端且乙不排最右端的排法种数； (3)若保持原来5名学生和3位老师的相对位置不变，有3位家长想加入其中站成一排拍照，求所有可能的排法种数. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）运用插空法即可求解； （2）方法1：根据甲的位置进行分类讨论，相加即可求解； 方法2：运用间接法，将8人全排后，去掉不符合条件的，即可求解； （3）方法1：运用缩倍法，解决定序问题； 方法2：运用占位法，解决定序问题. 【详解】（1）由插空法可得，3位老师互不相邻的排法种数为； （2）方法1：甲排在最右端的排法种数为， 甲不排两端且乙不排最右端的排法种数为， 故甲不排最左端且乙不排最右端的排法种数为； 方法2：甲排在最左端的排法种数为， 乙排在最右端的排法种数为， 甲排最左端且乙排最右端的排法种数为， 故由间接法可得甲不排最左端且乙不排最右端的排法种数为； （3）方法1：这3位家长加入的方法种数为； 方法2：这3位家长加入的方法种数为. 16．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） (1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； (3)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒； (4)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒. 【答案】(1)60 (2)180 (3)180 (4)210 【分析】（1）优先安排甲乙跑中间两棒，再从其余6人中选2人排列在剩下2个位置. （2）使用捆绑法，将甲乙看作是一个元素，与另外选出的2人进行全排列. （3）使用插空法，先从除甲乙外的6人中选出2人进行排列，再将甲乙插入到已经排列好的元素的邻近位置. （4）使用占位法分类讨论，先讨论甲在乙的限制位置，再讨论甲不在乙的限制位置，即可求解. 【详解】（1）甲乙两人在中间两棒，则有种排法， 从剩下6人选出2人排列到两边，有种排法， 则共有种排法. （2）将甲乙绑定到一起，内部有2种排法， 从剩下6人选出2人，有种选法， 全排列3个元素有种排法， 所以共有种排法. （3）先从剩下6人选出2人先排列，有种排法， 将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的3个空位中，以保证甲乙不相邻，有种排法， 所以共有种排法. （4）若甲在第四棒， 则从剩下6人选出2人，有种选法， 3人全排列，共有种排法， 此时共有种排法， 若甲不在第四棒，也不在第一棒，所以甲有2种排列方法， 乙不在第四棒，也不能与甲同棒，所以乙有2种排列方法， 再从剩下6人选出2人排列到剩下的两个位置，有种排法， 此时共有种排法， 综上，共有种排法. 17．若3男3女排成一排，分别求下列排列的种数. (1)一共有多少种不同的排法? (2)男生甲在排头或在排尾的排法总数? (3)男生甲、乙相邻的排法总数? (4)男女生相间的排法总数? (5)甲乙两人相隔2人的排法总数? 【答案】(1)720 (2)240 (3)240 (4)72 (5)144 【详解】（1） 6个人任意排列，总排法为6的全排列种. （2） 先排甲，甲只能在排头/排尾，共2种位置选择， 剩余5人全排列种. （3）将甲乙捆绑为1个整体，共5个元素全排列， 甲乙内部可互换顺序种. （4）3男3女人数相等，相间排列只有两种模式：男女男女男女和女男女男女男， 每种模式中男女分别全排列种. （5）先确定甲乙位置：两人相隔2人即位置差为3，确定甲乙位置的方法共有种， 剩余4人全排列种. 18．解决下列问题，写出计算过程，用具体数字回答 (1)4名男生和3名女生排成一排，4名男生站在一起，3名女生站在一起，有多少种排法？ (2)4名男生和3名女生排成一排，女生不相邻的排法有多少种？ (3)4名男生和3名女生排成一排，甲、乙二人不能站在两端的排法有多少种？ (4)4名男生和3名女生排成一排，甲、乙两人中间有且只有2人的排法有多少种？ (5)4名男生和3名女生排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，有多少种排法？ 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用捆绑法即可求解； （2）利用插空法即可求解； （3）利用特殊位置优先排的方法，结合排列数的计算方法及分步乘法计数原理即可求解； （4）利用捆绑法即可求解； （5）利用考虑反面的方法即可求解． 【详解】（1）4名男生站在一起，共有种排法， 3名女生站在一起，共有种排法， 所以共有种排法． （2）女生不相邻的排法有种排法． （3）从除甲、乙以外的5人中选2人站两端，共有种排法， 剩下5人共有种排法， 所以共有种排法． （4）甲、乙两人中间有且只有2人的排法有种排法． （5）人共有种排法， 甲站在排头共有种排法， 乙站在排尾共有种排法， 所以甲不站在排头，乙不站在排尾，共有种排法． 题型五 相邻与不相邻问题 19．某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（    ） A．264种 B．288种 C．312种 D．336种 【答案】B 【分析】首先2名老师捆绑为一个元素和2名男同学全排列，再让女同学插空排列. 【详解】将2名老师作为一个元素和2名男同学共3个元素全排列，共有种方法， 再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种. 20．某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（   ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【详解】根据题意将豆包、即梦捆绑为一个整体，则内部排列数为， 将豆包和即梦捆绑为一个整体，先排列该整体与元宝，所以排列数为， 2个元素排完后会产生 个空位， 又因为文心一言和讯飞星火不相邻， 所以从3个空位中选2个放入文心一言、讯飞星火，即排列数为 ， 所以总方法数为：. 21．某年六月，“青松”团队的名成员（含队长“戊”）相约赏荷，人站在荷花池边排成一排合影留念，其中队长戊必须站在正中间，甲和乙必须相邻，丙和丁不能相邻，则符合条件的排法种数有______种（用数字作答）. 【答案】 【分析】将队伍从左向右依次按到编号，先将队长戊固定在号位，先考虑甲和乙必须相邻的排法种数，接下来考虑甲和乙相邻，且丙和丁相邻的排法种数，利用间接法可得结果. 【详解】将队伍从左向右依次按到编号，先将队长戊固定在号位， 先考虑甲和乙必须相邻的排法种数，将甲和乙捆绑，则甲、乙两人可排在号或号或号或号位， 所以甲、乙必须相邻的排法种数为， 接下来考虑甲和乙相邻，且丙和丁相邻的排法种数， 则甲、乙排在号或号位，有种排法， 丙、丁排在号或号位，有种排法， 或者丙、丁排在号或号位，甲、乙排在号或号位，剩余两人有种排法， 此时不同的排法种数为种， 由间接法可知队长戊必须站在正中间，甲和乙必须相邻，丙和丁不能相邻，则符合条件的排法种数为种. 22．象棋作为一种传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值，它具有红、黑两种阵营，将、士、车、马、炮、兵为象棋中的棋子，现有3个红色的“马”“车”“炮”棋子与2个黑色的“马”“车”棋子，将这5个棋子排成一列，则下列说法不正确的是（   ） A．共有120种排列方式 B．若两个“马”不相邻，则有72种排列方式 C．若两个“车”相邻，则有24种排列方式 D．若红、黑棋子间隔排列，则有12种排列方式 【答案】C 【分析】对于A，由全排列即可判断；对于B，先将剩余的3个棋子进行全排列，再两个“马”插空即可确定；对于C，两个“车”先捆绑，再与其他全排列即可判断；对于D，将2个黑色的棋子进行全排列，再将红色棋子插空即可求解． 【详解】对于A，由排列知识可得共有种排列方式，故A正确； 对于B，两个“马”不相邻，先将剩余的3个棋子进行全排列，产生4个空， 再将两个“马”插空，故共有种排列方式，故B正确； 对于C，将两个“车”捆绑作为一个元素，有种排列方式， 再和剩余的3个棋子进行全排列，有，故一共有种排列方式，故C错误； 对于D，将2个黑色的棋子进行全排列，产生3个空，再将3个红色的棋子进行插空， 故共有种排列方式，故D正确． 题型六 顺序固定(定序)问题 23．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 【答案】A 【分析】定序问题，使用倍缩法，用全排列除以内部排序即可. 【详解】首先将6只灯笼全排，即， 因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定， 即除以内部排序即可，故取谜题的方法有. 24．5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念．（须有适当的文字说明） (1)要求小王与工作人员甲、乙三人相邻，且小王在甲、乙中间，有多少种不同的站法？ (2)若这5名工作人员中，甲、乙、丙的身高互不相等，拍照时甲、乙、丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？ (3)若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】(1)48 (2)120 (3)504 【分析】（1）由相邻问题中的捆绑法即可求解； （2）由定序问题中的倍缩法即可求解； （3）求出工作人员甲站在最左端或工作人员乙站在最右端的站法之和、以及工作人员甲站在最左端且工作人员乙站在最右端的站法，即可由间接法求解. 【详解】（1）小王与工作人员甲、乙三人相邻，且小王在甲、乙中间的站法有种， 所以5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念共有不同的站法种； （2）由题拍照时甲、乙、丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻）的不同站法共有种； （3）工作人员甲站在最左端或工作人员乙站在最右端的站法共有种， 工作人员甲站在最左端且工作人员乙站在最右端的站法有种， 所以工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端的不同站法共有种. 25．（多选）某校计划安排五位老师（包含甲､乙､丙）负责2026年5月1日至5月5日的值班工作，每人值班一天，每天都有人值班，则下列说法正确的是（    ） A．若甲､乙必须在相邻的两天值班，则不同的安排方法共有48种 B．若甲､乙值班的两天不相邻，则不同的安排方法共有72种 C．若甲､乙､丙三人值班的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法共有60种 D．若甲5月1日不值班，乙5月5日不值班，则不同的安排方法共有78种 【答案】ABD 【分析】由相邻问题捆绑法、不相邻插空法以及定序问题倍缩法即可求解判断ABC；由全排列减去甲5月1日值班以及乙5月5日值班的情况数，加上甲5月1日值班且乙5月5日值班的安排方法即可求解判断D. 【详解】若甲､乙必须在相邻的两天值班，则不同的安排方法共有种，A正确； 若甲､乙值班的两天不相邻，则不同的安排方法共有种，B正确； 若甲､乙､丙三人值班的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法共有种，C错误； 甲5月1日值班与乙5月5日值班不同的安排方法数之和为种，甲5月1日值班且乙5月5日值班的安排方法有种， 所以若甲5月1日不值班，乙5月5日不值班，则不同的安排方法共有种，D正确. 26．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先排两头的唱歌节目，再排中间的5个节目，即可得解； （2）第一步，先将2个唱歌节目全排列，再将这2个唱歌节目看成一个整体，第二步，先将3个舞蹈节目全排列，再将这3个舞蹈节目看成一个整体，第三步，把这两个整体进行全排列，此时这两个整体的全排列，形成3个空，将2个小品节目插入这3个空中，即可得解； （3）先将7个节目进行全排列，再由3个舞蹈节目出场顺序固定，就是7个节目的全排列数除以3个舞蹈节目的全排列数，即为所求. 【详解】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； （2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； （3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 题型七 有限制条件的组合问题 27．某班一天上午有5节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、生物及体育这7门课的课程表，每门学科各一节课，要求数学课与物理课不相邻（上午第五节与下午第一节不算相邻），且体育课排在下午，则不同排法有（    ） A．960种 B．1056种 C．3600种 D．5040种 【答案】B 【分析】题目考查了排列组合中的特殊元素优先法、分类讨论思想、插空法，重点是“不相邻问题”和“特殊位置优先安排”的解题技巧. 【详解】体育课排在下午共种排法；因数学与物理不相邻，分两类： 第一类：数学与物理有一科在下午，另一科在上午与其他科排列，共种排法； 第二类：数学与物理均在上午且不相邻，先在语文、英语、化学、生物中选一科排在下午共种排法，再把剩下3科排在上午共种排法，在它们中间及两端共4个空位安排数学与物理，共种排法，由分步乘法计数原理共种； 所以共 种排法．故选B． 28．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 【答案】(1)480 (2)360 (3)540 【分析】（1）采用插空法，先排其余四科，再插空； （2）特殊的先排，再用分步乘法； （3）先分组后分配. 【详解】（1）第一步，先将另外四门课排好，有种情况； 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况； 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种； （2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. （3）①将6个科目分成1、1、4三组，然后分给三名教师：种情况； ②将6个科目分成1、2、3三组，然后分给三名教师：种情况； ③将6个科目分成2、2、2三组，然后分给三名教师：种情况； 综上，所有的课程安排共有种情况. 29．（1）从3男3女共6名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．共有多少种不同的选择方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （2）若选出的3人中至少有1名男生，共有多少种不同的选择方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （3）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且安排他们分别从事经济、文化和民生三项问卷调查工作，每人负责一项问卷，每项问卷一人负责，求共有多少种不同的选派方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）为组合问题，（2）至多至少问题用排除法；（3）综合问题先选后排. 【详解】（1）6名志愿者中选出3人属组合问题，不同的选择方法有种； （2）选出的3人中至少有1名男生，不同的选择方法有种； （3）选出的3名志愿者中有2男1女，且安排他们分别从事经济、文化和民生三项问卷调查工作不同的选择方法有种； 30．将6个不同的小球放入编号分别为的三个不同盒子.（过程要用文字简要说明，结果用数字作答） (1)求共有多少种不同放法； (2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法； (3)当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法； (4)若将题干中“6个不同的小球”改为“9个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于它的编号数时，共有多少种不同放法？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分步乘法原理直接求解即可. （2）结合组合数的运算，根据分步乘法原理直接求解即可. （3）根据分组分配问题，结合组合数和排列数求解即可. （4）方法一：在2号盒子里放入1个小球，在3号盒子里放入2个小球，然后利用隔板法求解即可.方法二：在号盒子里先分别放入个球，然后利用隔板法求解即可. 【详解】（1）根据分步乘法计数原理得共有种不同放法. （2）当每个盒子的球数不小于它的编号数时，1号盒1个球，2号盒2个球，3号盒3个球，共有种不同放法. （3）当每个盒子至少有1个小球时，共有三类： 第一类，一盒4个球，其余两盒各1个球，有种； 第二类，一盒1个球，一盒2个球，一盒3个球，有种； 第三类，每盒2个球，有种. 综上得，共有种不同放法. （4）方法一：在2号盒子里放入1个小球，在3号盒子里放入2个小球， 然后在剩余的6个相同的小球中间5个空插入2个挡板，共有种不同放法. 方法二：在号盒子里首先分别放入个球， 然后剩下的3个小球和两个挡板一起排队，5个位置中给挡板选两个位置，共有种不同放法. 题型八 多面手问题 31．为了迎接即将到来的端午节龙舟赛，某训练组进入备战状态，该队有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现要从这6名划手中选派4名参加比赛，并预先选定其中2名划左桨，剩下2名划右桨，则不同的选定方案共有（   ） A．15种 B．19种 C．23种 D．36种 【答案】B 【详解】根据题意，记只会划左桨的两人，只会划右桨的两人，既会划左桨又会划右桨的两人； 则不同的选派方法有以下三种： （1）从中选择2人划左桨，划右桨的在中选两人，共有， （2）从中选择1人划左桨，从中选1人划左桨，再从剩下的3名能划右桨的人中选2人划右桨，共有； （3）从中选2人划左桨，中的两人划右桨，共有． 所以，不同的选派方法共有19种． 32．某出版社的名工人中，有人只会排版，人只会印刷，还有人既会排版又会印刷，现从人中选人排版，人印刷，有（    ）种不同的选法. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照只会印刷的人中被选中人数进行分类，结合分类加法计数原理可得解. 【详解】设只会印刷的人中被选中人数为，则的可能取值有、、， ①当时，从只会印刷的人中选人，有种情况， 再安排既会排版又会印刷的人印刷，有种情况，最后从只会排版的人中选人，有种情况， 则共有种情况； ② 当时，先从只会印刷的人中选人，有种情况， 再从既会排版又会印刷的人中选人印刷，有种情况，最后从剩余会排版的人中选人，有种情况，则共有种情况； ③当时，先从只会印刷的人中选人，有种情况， 再从会排版的人中选人，有种情况，则共有种情况； 综上所述，共有种情况； 故选：A. 33．9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有______种不同的选法. 【答案】 【分析】从只会跳舞的人入手，分只会跳舞的选人，只会跳舞的选人和只会跳舞的选人，三种情况讨论，即可得解. 【详解】只会跳舞的选人，则有种， 只会跳舞的选人，则有种， 只会跳舞的选人，则有种， 所以共有种不同的选法. 故答案为：. 34．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？ 【答案】18种 【分析】选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选，可得四类不同的选法，根据分类分步计数原理得出结果. 【详解】选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法． 从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法； 从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法； 从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法； 2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法． ∴共有6＋6＋4＋2＝18种选法． 题型九 分组与分配问题 35．中国空间站主要由天和核心舱，问天试验舱，梦天试验舱三个舱构成.某次实验需要4名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去天和核心舱，则不同的安排方法的种数为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据有几个人去天和核心舱进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若有个人去天和核心舱，则这个人是甲， 此时安排方法有种. 若有个人去天和核心舱，除了甲以外，还要再选人， 此时安排方法有种. 所以总的方法有种. 36．（多选）年重庆市九龙坡区心理学科优质课大赛将在铁路中学举行，现在高二志愿者团队安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加志愿者服务活动，有接待、指引、礼仪、会议记录四项工作可以安排，则以下说法错误的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有人参加，则不同的方法数为 C．如果会议记录工作不安排，其余三项工作至少安排人，则这名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有人参加，甲、乙不会会议记录但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 【答案】BC 【详解】对于A：每个人的工作选择有种，所以不同的方法数为，故A正确； 对于B：每项工作至少有人参加，需要将名同学分成组，其中有一组有人， 先从名同学中选出人组成一组，再将这组安排到个不同的工作岗位上， 所以不同的方法数为，故B错误； 对于C：将人分成人，人，人的组有种分法， 将人分成人，人，人的组有种分法， 所以名同学全部被安排的不同方法数为，故C错误； 对于D：若会议记录仅有人选择，则安排方案有种， 若会议记录有人选择，则安排方案有种， 所以不同安排方案的种数为，故D正确. 37．某校有5名志愿者参加5月1日社区志愿工作，每人参加一次值班，若该天分早、中、晚三班，每班至少安排1人，则当天不同的排班种数为______． 【答案】150 【详解】将5人分成3组，有两种分法：按1，1，3分组和2，2，1分组； 按1，1，3分组，从5人中选3个人为一组，其余2个人各为一组，有种； 按2，2，1分组，从5人中选2个人为一组，再从剩下的3人中选2个人为一组，其余1个人为一组，有种； 将5人分成3组共有种分法； 将分好的3组安排到早、中、晚三班，共有种排法； 当天不同的排班种数为种. 38．某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是______．（用数字作答） 【答案】30 【分析】根据分类加法计数原理以及分组分配的求解方法即可求解. 【详解】若三个教室的人数分配是1,1,3，则甲乙连同另一个同学一起去一个教室， 剩下两个同学分别去另两个教室，则有种安排方法， 若三个教室的人数分配是1,2,2，则甲乙一起去一个教室，丙丁分别去另两个教室， 戊去剩下两个教室中的一个，则有种安排方法， 故总的方法有. 题型十 几何中的组合问题 39．正方体的8个顶点中任意两点可以连线，则可以连成___________个三棱锥． 【答案】 【详解】从个顶点中任取个点， 如果个点共面，则它们来自正方体的6个面或6个对角面，此时它们不构成三棱锥， 故三棱锥的个数为. 40．从长度为1，3，5，7，9，11的六条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为______. 【答案】/ 【分析】由题意基本事件总数种，利用列举法求出其中这三条线段能构成一个三角形的基本事件有7个，即可求概率. 【详解】从长度为1，3，5，7，9，11的六条线段中任取3条，基本事件总数， 其中这三条线段能构成一个三角形包含的基本事件有，，，，，，，共7个， 则这三条线段能构成一个三角形的概率为 故答案为： 41．已知正方体. (1)各棱、各面对角线（如）、各体对角线（如）所在的直线中，共有多少对异面直线？ (2)若三条直线两两异面，则称为一组“T型线”，任选12条面对角线中的三条，“T型线”的组数为多少？ （注：所有结果均用数值表示） 【答案】(1)174 (2)24 【分析】（1）一个正方体共有12条棱，12条面对角线，4条体对角线；通过正确分类讨论，可求出这28条直线中共面的共有多少对，进而即可得出答案． （2）将6个平面分成3组互相平行的平面，先找到一对平行平面内异面的两对，然后在剩下的四个平面内可分别找到一条与已知的两条异面，即可求解. 【详解】（1）正方体共有12条棱，12条面对角线，4条体对角线，从这28条直线中任取2条有种方法． 另一方面，这28条直线中任取2条共面的情况分为以下几种： ①从8个顶点中的每一个顶点出发的3条棱3条面对角线及1条体对角线共7条中任取2条共有种方法； ②从3组中的每4条平行的棱中任取2条共有种方法； ③从4条体对角线中任取2条共有种方法； ④3对平行的相对的平面中的面对角线中共有种方法． 综上可知：在一个正方体中，各棱、各面的对角线和体对角线中共有对异面直线． （2）把正方体的6个面分成三组互相平行的平面，即平面和，平面和平面,平面和平面, 在一组互相平行的平面内，(比如平面和平面，)任选两对异面直线，(如： 和共有2对，每一对与其他面对角线互相异面的有4条，(如与互相异面的有 ),所以共有 组，由于有三组互相平行的平面，所以“T型线”的组数为. 42．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答. 【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线， 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）； 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个， 不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直， 所以正方体中“正交线面对”共有（个）. 故选：D 题型十一 环形的问题 43．某学校图书室内，有10位同学围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将10人排成1列，随后安排第1人就座，据此可得排法总数. 【详解】将10人排成1列，有种方法，安排第1人坐下，有10种可能性，但因是围着一张圆桌坐成一圈，第1人坐不同位置没有区别，则总排法数为：. 故选：B 44．6位女同学和15位男同学围成一圈跳集体舞，要求每两名女同学之间至少有两名男同学，那么共有多少种不同的围圈跳舞的方法？ 【答案】 【分析】利用捆绑法及环排问题直排法即可求解. 【详解】首先让每位女同学选择两名男同学作为她的舞伴，一人排在她左侧，另一人排在她右侧． 由于6位女同学互不相同， 故第1名女同学有种选法， 第2名有种选法，，一共有种“配对”方法． 将每名女同学和她的舞伴看成一组，剩下3名男同学每人看成一组，一共有9个组， 把这9个组排成一圈，共有种排法． 由乘法计数原理得到满足条件的排列数为． 45．甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有______种. 【答案】 【分析】根据环状排列的计算方法，结合元素相邻的计算方法求解. 【详解】由于环状排列没有首尾之分， 将个不同元素围成的环状排列剪开看成个元素排成一排，即共有种排法， 由个不同元素共有种不同的剪法，则环状排列共有种排法. 甲､乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法， 又因为甲､乙2人可换位，有种坐法，故所求坐法为种. 46．甲、乙、丙等8人围成一圈就坐，已知甲、乙两人相邻，甲、丙两人不相邻，则不同的坐法共有（   ） A．1200种 B．1440种 C．7200种 D．9600种 【答案】A 【分析】先安排甲，再安排乙和丙，最后安排剩余的5人，结合排列知识进行求解. 【详解】因为环状排列没有首尾之分，8人围成一圈就坐没有首尾之分， 故可先固定甲位置，乙与甲相邻则有种坐法；丙与甲不相邻，则有种坐法， 余下5人有种坐法，故所求坐法为种， 故选：A. 题型十二 元素相同的问题 47．（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？ （2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？ （3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？ 【答案】（1）15；（2）15；（3）36 【分析】（1）利用隔板法求解即可. （2）先将问题合理转化，再利用隔板法求解即可. （3）法一对空盒子的个数进行分类讨论，再求和即可，法二利用隔板法求解即可. 【详解】（1）在7个相同的小球中间的6个空档里， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （2）可以先在每个盒子中放1个球，问题就变成将7个相同的小球放入3个不同的盒子， 每个盒子里至少放1个球，即将小球分为堆， 在7个小球产生的6个空档中选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （3）法一：空0个盒子共有种，仅空1个盒子共有种， 仅空2个盒子共有种，综上，共有种方法. 法二：先借3个相同的球，在每个盒子里先放入1个借来的球， 则问题就转化为把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子都不空， 即在10个相同的小球中间的9个空档里， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. 48．的非负整数解有__________组. 【答案】84 【分析】把方程的解转化为将6个相同的小球，放入4个不同的盒子，且可以有空盒出现，有多少种不同的方法？按照相同元素的排列问题进行求解即可. 【详解】本问题等价于将6个相同的小球，放入4个不同的盒子，且可以有空盒出现，有多少种不同的方法？ 因此我们将6个小球排成一排，用3个隔板将小球隔成4段， 因为盒子可以为空，因此隔板可以相邻，将第1,2,3,4段放入这四个盒子中即可， 因为小球没有区别，隔板也没有区别，因此等价于将6个小球和3个隔板排成一列，则共有种方法， 故答案为：84. 49．将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中． (1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？ (2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？ (3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？ 【答案】(1)3876 ； (2)； (3)126 ． 【分析】（1）由隔板法知，在19个空隙中放4个板子；（2）在24个空隙中放4个板子；（3）先在1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，再将剩余的10个球利用隔板法分为5份. 【详解】（1）把20个球摆好，在中间19个空隙中选择放4个板子，所以一共有种； （2）由题意可知，可以出现空盒子，所以把20个球和5个虚拟的球摆好，在中间24个空隙中选择放4个板子，所以一共有种； （3）先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个，把10个球摆好，在中间9个空隙中选择放4个板子，所以一共有种. 50．（多选）下列选项正确的是（    ） A．有6个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有720种 B．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种 C．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种 D．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种 【答案】ABD 【分析】用排列的定义求解判断A，用分组分配法求解判断B，用插隔板法求解判断C，用列举法求解判断D． 【详解】选项A，6个球选5个的排列，方法数为，A正确； 选项B，按球的个数分类讨论得方法数为：，B正确； 选项C，用插隔板法，相当于8 个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子里至少一个球，方法数为，C错误； 选项D，存放方法在于球的个数，相当于把7分成3 个数的和（可以是0）， ，共8种方法，D正确． 故选：ABD． 51．已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题转化为10个相同小球放入三个不同盒子中，每个盒子都有小球，利用隔板法求解. 【详解】问题可转化为，10个相同的小球放到三个不同的盒子里，每个盒子不能空着，每个盒子中小球的数目就是方程的一组解， 由隔板法可知，共有种不同的分法， 即方程共有组不同的解. 故选：A 强化训练 1．甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析，这人名次排列的所有可能情况共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】若甲是第一名，则剩下名同学名次排列共有种，若甲是第二名，则剩下名同学名次排列共有种， 所以人名次排列的所有可能情况共有种. 2．安排名志愿者完成项工作，每人至少安排项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】先把项工作分成份，分别为、、与、、，再将这三份工作分派给名志愿者，结合分类加法计数原理可得结果. 【详解】先把项工作分成份有两种方式，即、、与、、. 若是、、，则有种不同的分派方法， 若是、、，则有种不同的分派方法. 所以共有种分派方法. 3．如图，某花坛中有5个区域，每个区域只种植一种颜色的花．要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，不同的种植方案种数为（    ） A．24 B．32 C．40 D．48 【答案】C 【分析】分重复颜色为红色或黄色，或者是蓝色或白色，两类情况讨论求解即可. 【详解】情况1：重复颜色为红色或黄色 重复颜色选红色/黄色，共种选择； 重复位置选或，共2种选择；剩余3个区域排列剩下3种不同颜色，共种排列； 这种情况下红、黄必然相邻（若重复颜色是红，黄仅出现一次，无论黄在哪个位置，都会和相邻区域的红相邻；同理重复颜色是黄也满足）， 总方案数：； 情况2：重复颜色为蓝或白色（非红非黄） 重复颜色选蓝/白色，共种选择，重复位置共2种， 剩余3个区域排列红、黄和剩余非重复颜色，共种排列，总排列数：， 其中红、黄不相邻的情况仅为：红、黄分别在另一组对角（不相邻），共：（重复色）（重复位置）（红、黄交换顺序）种； 因此该情况满足红、黄相邻的方案数：， 总方案数为，因此不同种植方案种数为. 4．从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这样的四位数中大于2023的个数为（   ） A．44 B．43 C．42 D．41 【答案】D 【详解】当千位数是时，比大的偶数有种； 当千位数是时，比大的偶数有种； 当千位数是时，个位是且比大的偶数有种， 个位是且比大的偶数有种， 所以比大的偶数共有种， 所以所求为41. 5．某科技公司研发了5个不同的人工智能大模型算法，准备应用到智慧医疗、自动驾驶、智能客服这3个不同的应用场景中．要求每个应用场景至少应用1个算法，且每个算法只能应用于1个应用场景，则不同的应用方案共有（   ） A．150种 B．120种 C．90种 D．60种 【答案】A 【分析】依题意将5个算法分为3组，分组形式为3，1，1或2，2，1，进而求解即可． 【详解】将5个算法分为3组，每组至少1个算法，分组形式为3，1，1或2，2，1， 所以不同的应用方案共有种． 6．在惠州市举行的半程马拉松比赛中，江北路段设三个服务点，惠州市东江高级中学5名同学到①､②､③三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．150种 B．90种 C．60种 D．25种 【答案】A 【详解】将五名同学分成三个小组， 若按2人，2人，1人来分有种， 若按3人，1人，1人来分有种， 再把这三组分配到三个服务点去，共有种， 所以每个服务点至少1人，不同的安排方法共有种. 7．（多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 B．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 C．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有528种排法 【答案】BC 【分析】根据题意，由分步、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可. 【详解】对于选项A，课程“射”“御”排在不相邻两周，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选， 在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，故A错误； 对于选项B，课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，通过捆绑法，将课程“礼”“乐”“射”看成一个整体， 与其他3门课程全排列，共有种排法，故B正确； 对于选项C，在所有排列中，课程“礼”排在“乐”的后面与课程“乐”排在课程“礼”的后面的情况等可能， 各占一半，所以课程“礼”排在课程“乐”的后面的排法有种，故C正确； 对于选项D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，用总的排法数减去课程“乐” 排在第一周的排法数，再减去课程“御”排在最后一周的排法数，然后加上课程“乐” 排在第一周且 课程“御”排在最后一周的排法，则总的排法为种，若课程“乐”排在第一周的排法为种， 若课程“御”排在最后一周的排法为种， 课程“乐”排在第一周且课程“御”排在最后一周的排法为种， 则满足条件的排法数为种，故D错误. 8．（多选）下列选项正确的是（    ） A．从5男3女中选2人，若至少有1名女生，则有21种不同的选法 B．5人排成一列，若甲，乙必须相邻，则有48种不同的排列方法 C．3男3女排成一列，若女生互不相邻，则有144种不同的排法 D．10个相同小球分给3个小朋友，若每人至少1个，则有42种不同的方法 【答案】BC 【分析】根据对立事件法可判断A；根据捆绑法可判断B，根据插空法可判断C；根据隔板法可判断D. 【详解】对于A：从8人中选2人，总选法为，全是男生的选法为， 因此至少1名女生的选法为，A错误； 对于B：将甲乙看作1个整体，共4个元素全排列，再乘甲乙内部的排列： ，B正确； 对于C：先排3名男生，全排列得，3名男生共形成4个空位， 从4个空位中选3个排入3名女生，得，总排法为，C正确； 对于D：个相同元素分给个对象、每人至少1个，公式为，代入得，D错误. 9．（多选）若为正整数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】已知为正整数且，利用组合数对称性质验证A，借助组合数递推公式判断B，依据排列数阶乘公式推导C，再把组合数展开化简验证D，即可得出正确选项为ACD. 【详解】选项A：由组合数性质，得，正确. 选项B：由组合数性质，得，错误. 选项C：由排列数公式，，，正确. 选项D：化简得，正确. 10．（多选）现有6本不同的书，下列说法正确的有（    ） A．分成一堆一本，一堆两本，一堆三本，共有60种方法 B．甲得一本，乙得两本，丙得三本，共有180种方法 C．一人得一本，一人得二本，一人得三本，共有360种方法 D．平均分给甲､乙､丙三人，共有90种方法 【答案】ACD 【详解】A选项，6本中选1本作为一堆，剩下5本中选2本作为一堆，剩下3本作为一堆， ，共有种方法． B选项，6本中选1本给甲，剩下5本中选2本给乙，剩下3本给丙， ，共有种方法． C选项，三人排序，6本中选1本给第一人，剩下5本中选2本给第二人，剩下3本给第三 人，，共有种方法． D选项，6本中选2本给甲，剩下4本中选2本给乙，剩下2本给丙， ，共有种方法． 11．（多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（   ） A．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 B．课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有350种 C．课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 D．课程“御”和“书”不相邻且课程“数”和“书”不相邻的不同排法共有288种. 【答案】CD 【详解】A：课程“御”、“书”、“数”互不相邻， 则可先排“礼、乐、射”，有种排法，产生4个空位； 将“御、书、数”插入空位且互不相邻，需从4个空位选3个排列，即. 排法数为，A错误. B：“射”与“御”的相对位置有2种（“射”前或“御”前），且两种情况排法数相等. 总排法数为，B错误. C：用间接法：总排法，减去“数”在第一天的， “礼”在最后一天的，加回重复减去的“数在第一天且礼在最后一天”的. 排法数为，C正确. D：课程“书”在第1天或最后一天，有2种排法， 再排“御、数”两门课程，即， 最后排“礼、乐、射”，即， 课程“书”不在第1天或最后一天，有4种排法， 再排“御、数”两门课程，即， 最后排“礼、乐、射”，即， 排法数为：，D正确 12．（多选）将五个编号为1，2，3，4，5的小球放入五个分别标有1，2，3，4，5号的盒子中，则下列结论正确的有（    ） A．共有3125种放法 B．恰有一个盒子不放球，共有1200种放法 C．恰有两个盒子不放球，共有3000种放法 D．没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有44种 【答案】ABD 【分析】根据分步乘法计数原理即可判断A；根据分组分配判断BC；根据题意得出递推公式即可判断D． 【详解】对于A，由题意知，共有种放法，故A正确； 对于B，恰有一个盒子不放球，选出不放球的盒子，共有种， 再将5个球分为4份，其中一份有2球，再分给4个盒子，共有, 所以共有种放法，故B正确； 对于C，恰有两个盒子不放球，选出不放球的盒子，共有种， 再将5个球分为3份，可分为和，再分给3个盒子，共有， 所以共有种放法，故C错误； 对于D，用递推的方法计算，记个元素的错位排列数为； 对于：只有1个球，必须放1号盒，一定同号，所以， 对于：只有两个球，只能互相放对方盒子，所以, 递推公式:， 意思是：先选1个球，比如选球1，它不能放1号盒，所以有个盒子可以选， 如果球1选了号盒，再分两种情况算球的放法：要么球放1号盒，剩下个元素错位排列，对应；要么球不能放1号盒，相当于剩下个元素错位排列，对应， 所以， ， ，故D正确． 13．（多选）小杨正在安排五一五天假期（5月1日-5月5日）的旅行计划，他决定在这5天里每天去一个不同的景点（其中包含甲、乙、丙三个景点），则下列说法正确的是（   ） A．若甲、乙两景点必须在相邻的两天去，则不同的安排方法共有48种 B．若去甲、乙两景点的两天不相邻，则不同的安排方法共有72种 C．若去甲、乙、丙三个景点的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法有60种 D．若5月1日不去甲景点，5月5日不去乙景点，则不同的安排方法共有78种 【答案】ABD 【分析】利用捆绑法、插空法分别求解判断AB；利用定序问题列式求解判断C；利用排除法列式求解判断D. 【详解】对于A，将甲、乙捆绑视为一个整体，不同安排方法有种，A正确； 对于B，先安排除甲乙外的其它3个景点的时间，再将甲乙景点插入空隙，不同安排方法有种，B正确； 对于C，先取3天安排甲乙丙3个景点，再排余下2个景点的时间，不同安排方法有种，C错误； 对于D，去5个景点的全排列为，5月1日去甲景点有种，5月5日去乙景点有种， 5月1日去甲景点且5月5日去乙景点有种，不同安排方法有种，D正确. 14．某公园景观道上有如图所示的五个花坛，园艺师傅计划选用一串红、月季、矮牵牛、薰衣草、雏菊和郁金香这六种花卉进行栽种，每个花坛只能栽种一种花卉，要求相邻两个花坛花卉种类不同，其中恰有两个花坛栽种雏菊，则不同的栽种方案种数为__________.（用数字作答） 【答案】605 【分析】根据雏菊所种的花坛的位置分成六类情况，运用分类加法计数原理计算即可. 【详解】要求相邻花坛花卉不同，因此两个雏菊不能相邻.五个花坛中选两个不相邻的位置种雏菊，共有种选法， ①位置：则第位不能种雏菊有种，第位不能种雏菊有种，第位不能种雏菊且不能与第位相同有种，共种方法； ②位置：则第位不能种雏菊有种，第位不能种雏菊且不能与第位相同有种，第位不能种雏菊有种，共种方法； ③位置：则第位不能种雏菊有种，第位不能种雏菊且不能与第位相同有种，第位不能种雏菊且不能与第位相同有种，共种方法； ④位置：第位不能种雏菊有种，第位不能种雏菊有种，第位不能种雏菊有种，共种方法； ⑤位置：第位不能种雏菊有种，第位不能种雏菊有种，第位不能种雏菊且不能与第位相同有种，共种方法； ⑥位置：则第位不能种雏菊有种，第位不能种雏菊且不能与第位相同有种，第位不能种雏菊有种，共种方法. 由分类加法计数原理，不同的栽种方案共有种不同的栽种方案. 15．用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，则共可组成__________个四位数.（数字作答） 【答案】 【详解】从1，2，3，4，5中选一个数字作为千位， 然后从剩下5个数中任选三个排百位，十位，个位， 共有种排法. 16．将甲、乙、丙、丁等8个人平均分成两组：第一组和第二组，在第一组中选择2人干工作C，其余2人干工作D；在第二组中选择1人干工作E，其余3人干工作C，已知甲不能干工作C，乙要干工作D，丙不与丁在同一组，则分配方式总数为______．（用数字作答） 【答案】68 【分析】先考虑丙在第一组，丁在第二组的情况，此时分甲在第一组和甲在第二组两种情况讨论，再结合对称性得丙在第二组，丁在第一组的情况，进而得答案. 【详解】不妨考虑丙在第一组，丁在第二组．显然乙必然在第一组． 若甲在第一组，则剩余4人中1人进第一组与丙共干工作C，剩余3人进入第二组，而这3人与丁中1人干工作E，剩余3人干工作C，故共有种． 若甲在第二组，则剩余4人中2人进第二组与丁干工作C，剩余2人进第一组与丙干工作，其中1人干工作D，剩余2人干工作C，故此时共有种． 所以，丙在第一组，丁在第二组的分配情况共有种， 同理，由对称性可知,丙在第二组，丁在第一组的分配情况也有种， 所以，总分配方式共种． 17．某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓球”“排球”“羽毛球”“篮球”“足球”五门选修课程，要求该校每位学生在高一、高二每学年至多选修3门，高三至多选修1门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选修完，每门课程限选修一学年，则每位学生的不同的选修方式有______种．（用数字作答） 【答案】90 【分析】本题是分组分配问题，第1步将五门选修课程分为3组且有3种情况；第2步将分好的三组安排在三年内选修，即可得. 【详解】第1步将五门选修课程分为3组， ①若分为3，1，1三组有种分组方法， ②若分为2，2，1三组有种分组方法， ③若分为3，2，0三组，有种分组方法， 第2步，将分好的三组安排在三年内选修， 因为要求该校每位学生高一、高二每学年至多选3门，高三至多选1门， 所以对于分组方法①②③，分别有种，种，种情况， 所以共有种选修方式． 18．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） (1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； (3)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒； 【答案】(1)60 (2)180 (3)180 【分析】（1）先优先考虑甲乙再考虑排列剩余的6人在其他位置的排法 （2）捆绑法，先选后排 （3）插空法，除了甲乙两人外，其他先排，然后插空 【详解】（1）甲乙两人在中间两棒，则有种排法， 从剩下6人选出2人排列到两边，有种排法， 则共有种排法. （2）将甲乙绑定到一起，内部有2种排法， 从剩下6人选出2人，有种选法， 全排列3个元素有种排法， 所以共有种排法. （3）先从剩下6人选出2人先排列，有种排法， 将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的3个空位中，以保证甲乙不相邻，有种排法，所以共有种排法. 19．将5个编号为1，2，3，4，5的小球全部放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子中． (1)每盒至多一球，有多少种放法？ (2)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (3)把5个不同的小球换成5个相同的小球，恰好有一个空盒，有多少种放法？ 【答案】(1)120 (2)1200 (3)20 【分析】（1）应用全排列列式计算求解； （2）先组合捆绑再应用排列数计算求解； （3）应用分组分配结合组合数计算求解. 【详解】（1）将5个不同的小球全部放入5个不同的盒子中，每盒至多一球，则必然每盒恰有一球，共有种放法． （2）先取5个球中的两个“捆”在一起，有种选法， 把它与其他三个球共4个元素分别放入5个盒子中的4个盒子，有种放法， 所以共有种放法． （3）先从五个盒子中选出四个盒子，再从四个盒子中选出一个盒子放入两个球， 余下三个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题， 故共有种放法． 20．若，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）利用排列数与组合数的性质证明即可. 【详解】（1）由题意得，，， 又， 所以． （2）由题意得，， 而， 而， 所以． 21．现有6个不同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同盒子. (1)当每个盒子的球数大于等于0时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） (2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） (3)当每个盒子的球数不小于1时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） 【答案】(1) (2) (3)540 【分析】（1）根据分步乘法计数原理即可求解； （2）根据组合以及分步乘法计数原理即可求解； （3）根据组合以及分类加法计数原理即可求解. 【详解】（1）当每个盒子的球数大于等于0时，根据分步乘法计数原理共有种不同放法； （2）当每个盒子的球数不小于它的编号数时，1号盒1个球，2号盒2个球，3号盒3个球，共有种不同放法； （3）当每个盒子的球数不小于1时，共有三类： 第一类，一盒4个球，其余两盒各1个球，有种； 第二类，一盒1个球，一盒2个球，一盒3个球，有种； 第三类，每盒2个球，有种， 所以共有540种不同放法. 22．将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数. (1)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本； (2)甲得1本，乙得2本，丙得3本； (3)一人得1本，一人得2本，一人得3本（注意：请写出式子再写计算结果） 【答案】(1)60 (2)60 (3)360 【分析】（1）是非平均分组，按规定中的各组中元素的个数，直接分组即可； （2）是确定了方案的非平均分配问题，利用分步乘法计数原理求解即可； （3）利用非平均分组分为三个组，再将三个组排序分给三个人即可. 【详解】（1），共有60种不同的分法. （2），所以6本不同的书甲得1本，乙得2本，丙得3本共有60种不同的分法. （3）由于谁得1本、2本、3本未定，所以除了要将书作非平均分组外，还要再乘以，故有， 所以6本不同的书一人得1本，一人得2本，一人得3本共有360种不同的分法. 23．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） (1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒； (3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； (4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒． 【答案】(1)60 (2)480 (3)180 (4)180 【分析】（1）先固定甲、乙在中间两棒的顺序，再从剩余6人选2人排在首尾两棒即可； （2）先选甲、乙中的1人并安排在首尾棒，再从剩余6人中选3人排列剩余3棒即可； （3）先将甲、乙捆绑成一个整体并确定相邻位置，再排列整体内部顺序，最后从剩余6人中选2人排列剩余位置即可； （4）先从剩余6人中选2人排列，再将甲、乙插入其形成的空位中即可. 【详解】（1）先排甲、乙在第2、3棒，有种排法；再从剩下6人中选2人跑第1、4棒，有种排法， 所以共有种排法. （2）先从甲、乙中选1人，有种选法；再安排他跑第1或第4棒，有种排法； 最后从剩下6人中选3人排剩下的3棒，有种排法， 所以共有种排法. （3）先把甲、乙看成一个整体，相邻的位置有三种，整体内部有种排法； 再从剩下6人中选2人排剩下的2棒，有种排法，所以共有种排法. （4）先从除甲、乙外的6人中选2人进行排列，有种排法，此时形成3个空位； 再将甲、乙两人插入空位中，有种排法，所以共有种排法. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $