第02讲：排列与排列数【八大大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版选择性必修第三册）

第02讲：排列与排列数 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点二　排列相同的条件 两个排列相同的充要条件： (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序也相同． 知识点三　排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 知识点四　排列数公式及全排列 1．排列数公式的两种形式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. (2)A＝. 2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 【题型归纳】 题型一、排列的概念 【例1】．（24-25高二下·上海闵行·月考）下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【举一反三】 1．（23-24高二下·陕西咸阳·期中）下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 2．（22-23高二上·全国·课后作业）下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，可以看作排列问题的运算有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 题型二、排列数计算、方程和不等式问题 【例2】．（24-25高二下·江苏徐州·月考）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 【举一反三】 1．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，求 2．（23-24高二下·江苏扬州·月考）计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 3．（22-23高二上·全国·课后作业）解下列方程或不等式． (1)=2； (2). 题型三：排列的证明问题 【例3】．（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【举一反三】 1．（22-23高二·全国·课堂例题）证明： ． 2．（20-21高二下·全国·课后作业）求证：（1）； （2）. 3．（20-21高二·全国·课后作业）求证：（，，且）． 题型四：全排列问题 【例4】．（25-26高三上·江西景德镇·期末）某中学《十年弦歌育桃李•党恩师泽启新程》文艺演出于2025年12月31日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，要求：节目《新年!你好》､《觉醒年代》､《精武门》必须相邻，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有（    ） A．144种 B．156种 C．188种 D．240种 【举一反三】 1．（25-26高二上·湖南·期末）在啦啦操的某次队形变化时，六位同学要排成一个“三角形”队形，其中第一排站一位同学，第二排站两位同学，第三排站三位同学，请问这六位同学的站位有（    ） A．1080种 B．720种 C．360种 D．60种 2．（2025·四川成都·一模）某种产品的加工需要经过5道不同工序，如果指定其中某2道工序必须相邻，那么加工顺序共有（    ） A．96种 B．72种 C．48种 D．36种 3．（24-25高二下·江苏连云港·月考）某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动，高一、高二、高三年级分别有2名、3名、3名同学获一等奖，若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（    ） A．432种 B．420种 C．176种 D．7种 题型五：元素有限制的排列问题 【例5】．（25-26高二下·全国·课后作业）用1，2，3…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（   ） A．324 B．224 C．360 D．648 【举一反三】 1．（25-26高二下·全国·课后作业）要从,5个人中选出1名组长和1名副组长，但不能当副组长，则不同的选法种数是（   ） A．20 B．16 C．10 D．6 2．（25-26高二上·贵州遵义·期末）含甲、乙、丙在内的6人站成一排，其中甲只能站在头尾两端，且乙丙两人相邻，则不同站法的结果数为（   ） A．24 B．48 C．96 D．192 3．（25-26高二上·江西·期末）某文艺汇演有6名演员（含甲、乙）站成一排表演，若甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有（    ） A．480种 B．504种 C．360种 D．288种 题型六：相邻问题的排列问题 【例6】．（25-26高二上·江苏南通·期末）2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．72 【举一反三】 1．（25-26高二上·江西南昌·期末）甲、乙、丙等5人站成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙相邻的排法有（    ） A．24种 B．36种 C．42种 D．48种 2．（25-26高二上·北京海淀·期末）五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土、水”相邻的排法种数为（   ） A．12 B．24 C．72 D．48 3．（25-26高二上·甘肃平凉·期末）某学校组织学生体检，高二年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队的不同安排方案共有（    ） A．240种 B．120种 C．188种 D．156种 题型七：不相邻的排列问题 【例7】．（25-26高二上·江西南昌·期末）三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（    ） A．144 B．72 C．36 D．12 【举一反三】 1．（25-26高二上·福建宁德·期末）宁德市举办大黄鱼产业推介会，某展台需要展示“清蒸大黄鱼“黄鱼鲞”“黄鱼饺”3道菜品和“大黄鱼鱼丸”“大黄鱼鱼松”2种加工制品，若要求2种加工制品在展台上不相邻摆放则不同的摆放方案有（    ） A．36种 B．48种 C．72种 D．120种 2．（25-26高二上·北京·期末）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学不相邻的站法种数共有（　　） A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（   ） A．720种 B．360种 C．288种 D．144种 题型八：排列的综合问题 【例8】．（25-26高二下·全国·课后作业）8个人排队： (1)排成一排共有多少种不同的排法？ (2)排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？ (3)排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？ 【举一反三】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数． (1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生不能站在一起； (4)全体站成一排，男女相间排列． 2．（25-26高二上·江西吉安·期末）某社区文化节需安排4个不同节目（古筝演奏、相声、吉他弹唱、民族舞），按表演先后顺序排定4个时段，每个时段表演一个节目，且节目不重复．请根据以下不同条件，分别计算符合要求的节目安排方案总数： (1)民族舞节目不能安排在第一个表演时段； (2)古筝演奏节目与相声节目必须相邻. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）六人按下列要求站成一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（   ） A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 2．（25-26高二上·江苏常州·期末）若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3（25-26高二下·全国·课堂例题）某班下午有三节课，欲从语文、数学、英语、物理、化学中任选三科来安排，则不同排课法的种数是（   ） A．15 B． C． D． 4．（25-26高二上·山东德州·期末）如图，一个地区分为4个区域，现给该地区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有3种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（    ）种. A．12 B．18 C．24 D．30 5．（25-26高二上·上海·期末）年月，国产AI视频生成模型“通义万相”上线“角色一致性”功能，支持在多个场景中保持主角形象不变.现有个互不相同的场景模板，需从中选出个并按顺序生成短视频，每个模板至多使用一次.则不同的生成方案共有（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖南长沙·期末）有一对双胞胎学生和3位老师站成一排拍照，双胞胎不站在一起的不同排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．（25-26高二上·江西抚州·期末）某教室有一排个座位，4位男同学和3位女同学要坐下，但为了减少聊天，规定同性别的同学不能相邻而坐（即任意两位男生不相邻，任意两位女生不相邻）的坐法总数为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高二下·全国·）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 9．（25-26高二上·江西九江·期末）现用数字1，2，3，4填如图所示的四宫格，每格均填1个数字，则下列结论正确的是（   ） A．若数字可以重复使用，则共有256种填法 B．若4个数字均使用，则共有18种填法 C．若4个数字均使用且第2行的数字之和大于第1行的数字之和，则共有8种填法 D．若数字可以重复使用且相邻的两个格子不能填相同的数字，则共有84种填法 10．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（    ） A．女生排在中间的排法有种 B．女生不在头尾的排法有种 C．女生不相邻的排法有种 D．女生甲在女生乙右边的排法有种 11．（25-26高二上·辽宁大连·期末）某产品的加工需要经过道工序，下列说法正确的是（   ） A．其中某道工序放在最前，有种不同的加工顺序 B．其中某道工序不放在最前，也不放在最后，有种不同的加工顺序 C．其中某两道工序必须相邻，有种不同的加工顺序 D．其中某两道工序不能相邻，有种不同的加工顺序 三、填空题 12．（25-26高二下·全国·课后作业）计算：________． 13．（25-26高二下·全国·课堂例题）从2，3，5，7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有________种． 14．（24-25高二下·重庆渝中·月考）某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有__________种排法（数字作答）. 15．（25-26高二上·陕西商洛·期末）王老师与甲、乙等6名同学进行毕业合照，照相时他们站成一排，同学们要让王老师站在中间，甲同学与王老师站在一起，乙同学不站在左右两端，则他们不同的站法有_____种. 四、解答题 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）写出下列问题的所有排列． (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． 17．（25-26高二下·全国·课堂例题）判断下列问题是不是排列问题： (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 18．（25-26高二上·江西景德镇·月考）为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展.若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画、素描画六件艺术作品的展出顺序. (1)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？ (2)若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？ 19．（25-26高二上·陕西渭南·期末）元旦假期，陕西各地举办丰富多彩、各具特色的活动，相关数据显示，西安入围全国十大热门目的地，西安本地热门景区前六名依次为秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆、西安城墙、大唐不夜城、华清宫、大唐芙蓉园，游客甲计划用六天时间参观这六个景区，每天参观一个景区. (1)求不同的参观顺序的方案数； (2)若甲第一天和第二天均不参观大唐不夜城和大唐芙蓉园，求不同的参观顺序的方案数； (3)若甲参观秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆的顺序不相邻，求不同的参观顺序的方案数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲：排列与排列数 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点二　排列相同的条件 两个排列相同的充要条件： (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序也相同． 知识点三　排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 知识点四　排列数公式及全排列 1．排列数公式的两种形式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. (2)A＝. 2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 【题型归纳】 题型一、排列的概念 【例1】．（24-25高二下·上海闵行·月考）下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【分析】排列是要求有顺序的，故而只需看每个选项中的是否和顺序有关即可. 【详解】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误； B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确； C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误； D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误. 故选：B. 【举一反三】 1．（23-24高二下·陕西咸阳·期中）下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 【答案】B 【分析】根据排列的定义判断即可. 【详解】对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，因为工作内容不一样，故有顺序，属于排列问题，故A不满足题意； 对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，没有顺序，所以不属于排列问题，故B满足题意； 对于C，从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表，因为科目不相同，故有顺序，属于排列问题，故C不满足题意； 对于D，从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数，数字所在位置有顺序，属于排列问题，故D不满足题意. 故选：B 2．（22-23高二上·全国·课后作业）下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【答案】B 【分析】排列问题是与顺序有关的问题，据此对四个选项进行判断即可解决. 【详解】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序， 因而不是排列问题，不合题意； 选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人， 是排列问题，适合题意； 选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点 即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意； 选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果， 这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意. 故选：B． 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，可以看作排列问题的运算有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】根据题意，结合排列的定义，进行分析判断，即可求解. 【详解】因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关， 所以加法和乘法不是排列问题； 而减法、除法与两数字的位置有关，即减法和除法，是排列问题． 故选：B. 题型二、排列数计算、方程和不等式问题 【例2】．（24-25高二下·江苏徐州·月考）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）（2）（3）应用排列数公式化简求值、证明恒等关系及解不等式； 【详解】（1）； （2），. （3）依题意，有，可得， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又，得，所以的解集为. 【举一反三】 1．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，求 【答案】(1)64； (2)348； (3)7. 【分析】（1）（2）利用排列数公式计算即可. （3）利用排列数公式化简方程，再求解方程即得. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，即，则， 整理得，所以. 2．（23-24高二下·江苏扬州·月考）计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据排列数公式计算，可得答案； （2）根据排列数公式化简可得一元二次方程，结合排列数性质，即可求得答案. 【详解】（1）； （2）由，得， 即，即， 解得或， 又因为且，故， 故的解为. 3．（22-23高二上·全国·课后作业）解下列方程或不等式． (1)=2； (2). 【答案】(1)n=5 (2)x=8 【分析】（1）根据条件，利用排列数公式即可求出结果； （2）先利用排列数公式得到 ，从而得到，对根据排列数公式要求，求出的范围，进而求出结果. 【详解】（1）因为=2， 由，解得， 由原式可得，解得或或． 又因为，所以． （2）因为<6， 由，解得且， 由原不等式可得， 化简可得，解得， 又且，所以． 题型三：排列的证明问题 【例3】．（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 【举一反三】 1．（22-23高二·全国·课堂例题）证明： ． 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式和运算性质，准确化简，即可求解. 【详解】证明 ： ． 为了使上述结论在时也成立，我们规定． 由此可知，排列数公式还可以写成． 2．（20-21高二下·全国·课后作业）求证：（1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据排列数的计算公式先化简右式，然后即可证明等式成立； （2）将左式每一项都变形为阶乘的形式，然后进行化简计算并与右式比较，由此证明等式成立. 【详解】（1）右式左式， 故等式成立； （2）左式右式， 故等式成立. 3．（20-21高二·全国·课后作业）求证：（，，且）． 【答案】证明见解析 【分析】利用排列数计算公式化简计算等式左边即可得证. 【详解】依题意，左边 右边， 所以原等式成立． 题型四：全排列问题 【例4】．（25-26高三上·江西景德镇·期末）某中学《十年弦歌育桃李•党恩师泽启新程》文艺演出于2025年12月31日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，要求：节目《新年!你好》､《觉醒年代》､《精武门》必须相邻，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有（    ） A．144种 B．156种 C．188种 D．240种 【答案】A 【分析】利用捆绑法结合排列数的性质求解即可. 【详解】先将节目《新年!你好》､《觉醒年代》､《精武门》捆绑在一起， 有种排法，再把这个整体和另外三个节目全排列，有种排法， 则共有种排法，故A正确. 故选：A 【举一反三】 1．（25-26高二上·湖南·期末）在啦啦操的某次队形变化时，六位同学要排成一个“三角形”队形，其中第一排站一位同学，第二排站两位同学，第三排站三位同学，请问这六位同学的站位有（    ） A．1080种 B．720种 C．360种 D．60种 【答案】B 【分析】方法1，题目所求相当于6位同学的全排列数，据此可得答案； 方法2，将排队分成3步，第一步从6人中选1人排列，第二步从剩下的5人中选2人并排列，第三步将剩下的3人排成1列，据此可得答案. 【详解】法本题相当于将6位同学排列到6个不同的位置，排列数即为6位同学的全排列数，故总排列数为； 法2：排队分为三步，第一步从6人中选1人排列，排列数为，第二步从剩下的5人中选2人并排列，排列数为， 第三步在前两排选完后，将剩下的3人排列，排列数为；故总排列数为. 故选：B. 2．（2025·四川成都·一模）某种产品的加工需要经过5道不同工序，如果指定其中某2道工序必须相邻，那么加工顺序共有（    ） A．96种 B．72种 C．48种 D．36种 【答案】C 【分析】先排相邻的2道工序，再把它与其它3道工序作全排列，即可得. 【详解】由题意，把相邻的2道工序做排列，再把它与其它3道工序作全排， 所以加工顺序有种. 故选：C 3．（24-25高二下·江苏连云港·月考）某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动，高一、高二、高三年级分别有2名、3名、3名同学获一等奖，若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（    ） A．432种 B．420种 C．176种 D．7种 【答案】A 【分析】先对各年级同学作全排，再把三个年级作为三组作全排，应用分步乘法求不同排法数. 【详解】先将各年级同学作全排有种，再把三个年级同学作全排有种，故共有种. 故选：A 题型五：元素有限制的排列问题 【例5】．（25-26高二下·全国·课后作业）用1，2，3…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（   ） A．324 B．224 C．360 D．648 【答案】B 【分析】根据分步计数原理，先排个位，有种，然后排十位和百位，有种，即可得解. 【详解】先排个位，有种，然后排十位和百位，有种， 故共有（个）没有重复数字的三位偶数． 故选：B 【举一反三】 1．（25-26高二下·全国·课后作业）要从,5个人中选出1名组长和1名副组长，但不能当副组长，则不同的选法种数是（   ） A．20 B．16 C．10 D．6 【答案】B 【分析】先考虑无限制条件的情况，再减去当副组长的情况，即可得答案. 【详解】不考虑限制条件有种选法， 若当副组长，有种选法， 故不当副组长，有（种）选法． 故选：B. 2．（25-26高二上·贵州遵义·期末）含甲、乙、丙在内的6人站成一排，其中甲只能站在头尾两端，且乙丙两人相邻，则不同站法的结果数为（   ） A．24 B．48 C．96 D．192 【答案】C 【分析】先将乙丙看作一个整体，再考虑5个元素，甲站两端的情况，即可求解. 【详解】将乙丙看作一个整体，内部有种排列， 此时可看作5个元素排成一排，甲站两端， 先排甲，有，剩下4个元素全排列有， 故由乘法原理可得， 即甲只能站在头尾两端，且乙丙两人相邻，则不同站法的结果数为， 故选：C 3．（25-26高二上·江西·期末）某文艺汇演有6名演员（含甲、乙）站成一排表演，若甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有（    ） A．480种 B．504种 C．360种 D．288种 【答案】B 【分析】根据题意，求得全排列数，再求得甲站在最左边，乙站最右边，以及甲站在最左边且乙站在最右边的排法数，结合间接法，即可求解. 【详解】由6名演员站成一排表演，共有种排法， 甲站在最左边，有种排法，乙站在最右边，有种排法， 甲站在最左端且乙站在最右端，有种排法， 所以甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有种排法. 故选：B. 题型六：相邻问题的排列问题 【例6】．（25-26高二上·江苏南通·期末）2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．72 【答案】A 【分析】根据相邻问题捆绑法求解即可. 【详解】把2个男生看作一个整体，内部有种排列方式 将这个男生整体和2个女生一起排列，相当于3个元素，有种排列方式, 所以，根据乘法原理，总的排法有：种不同排法. 故选：A 【举一反三】 1．（25-26高二上·江西南昌·期末）甲、乙、丙等5人站成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙相邻的排法有（    ） A．24种 B．36种 C．42种 D．48种 【答案】B 【分析】先使用捆绑法求出甲、丙相邻的所有排法，再利用排除法，减去其中甲、乙也相邻的排法，即可得解. 【详解】将甲、丙进行捆绑，形成一个“大元素”，再将这个“大元素”与其他3个人进行排序，共有种排法． 接下来考虑甲与乙、丙都相邻的情形， 需将甲、乙、丙进行捆绑，且甲位于中间， 然后将这个“大元素”与其他2个人进行排序，此时共有种排法． 综上，共有种不同的排法． 故选：B. 2．（25-26高二上·北京海淀·期末）五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土、水”相邻的排法种数为（   ） A．12 B．24 C．72 D．48 【答案】D 【分析】用排列中的捆绑法直接求出即可. 【详解】由题意知：则“土、水”相邻的排法种数为. 故选：D. 3．（25-26高二上·甘肃平凉·期末）某学校组织学生体检，高二年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队的不同安排方案共有（    ） A．240种 B．120种 C．188种 D．156种 【答案】B 【分析】分别分析甲在第一位、第二位和第三位三种情况，结合捆绑法，分析计算，即可得答案. 【详解】甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有（种），将剩余的三个班全排列， 安排到剩下的3个位置，有（种）情况，此时有（种）安排方案； 甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有（种），将剩下的三个班全排列， 安排到剩下的三个位置，有（种）情况，此时有（种）安排方案； 甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有（种），将剩下的三个班全排列， 安排到剩下的三个位置，有（种）情况，此时有（种）安排方案 由分类加法计数原理可知共有（种）方案． 故选：B． 题型七：不相邻的排列问题 【例7】．（25-26高二上·江西南昌·期末）三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（    ） A．144 B．72 C．36 D．12 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式求解. 【详解】排3名学生有种方法，再将3名老师插入3名学生每个排列形成的间隙中， 由任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，得3名学生每个排列形成的中间两个间隙必排，有种方法， 所以不同的排法总数为种. 故选：B 【举一反三】 1．（25-26高二上·福建宁德·期末）宁德市举办大黄鱼产业推介会，某展台需要展示“清蒸大黄鱼“黄鱼鲞”“黄鱼饺”3道菜品和“大黄鱼鱼丸”“大黄鱼鱼松”2种加工制品，若要求2种加工制品在展台上不相邻摆放则不同的摆放方案有（    ） A．36种 B．48种 C．72种 D．120种 【答案】C 【分析】先用全排列排好道菜品，再用插空法将种加工制品插入菜品形成的空隙中，最后将两步结果相乘得到总方案数. 【详解】道菜的全排列数为种； 排列好后，它们之间会形成个空隙(包括两端)； 从个空隙中选2个来放加工制品，排列数为：种； 总方案数为：种. 故选：C 2．（25-26高二上·北京·期末）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学不相邻的站法种数共有（　　） A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 【答案】C 【分析】利用插空法结合排列组合的知识即可求解. 【详解】先排乙班和丙班的学生，有（种）， 又甲班的2名同学不相邻，利用插空法得（种）， 综上，共有（种）. 故选：C. 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（   ） A．720种 B．360种 C．288种 D．144种 【答案】D 【分析】根据题意分步进行分析：①用倍分法分析《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《赋得古原草送别》与《念奴娇》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意分步进行分析： ①将《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的首诗词全排列，则有种顺序， 因为《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，所以这首诗词的排法有种； ②这首诗词排好后，不含最后有个空位，在个空位中任选个， 安排《赋得古原草送别》与《念奴娇》，有种安排方法； 则后六场的排法有种 . 故选：D 题型八：排列的综合问题 【例8】．（25-26高二下·全国·课后作业）8个人排队： (1)排成一排共有多少种不同的排法？ (2)排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？ (3)排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用排列的定义，计算8个不同元素的全排列数； （2）将前后两排视为一排，或用分步乘法计数原理先选前排再排后排，均转化为8个元素的全排列问题； （3）沿用前后排等价于一排的分析思路，分步排列前排3人和后排5人，结果仍为8个元素的全排列数. 【详解】（1）由排列的定义知共有种不同的排法． （2）8人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其排列数等于8人排成一排的排列数； 也可以分步进行，第一步：从8人中任选4人放在前排共有种排法， 第二步：剩下的4人放在后排共有种排法， 由分步乘法计数原理知共有种排法． （3）同（2）的分析可知，共有（种）． 【举一反三】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数． (1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生不能站在一起； (4)全体站成一排，男女相间排列． 【答案】(1)（种）； (2)（种）； (3)（种）； (4)（种）. 【分析】（1）直接按相邻问题的排列计算，先分别排男生和女生，然后再男女各视成一整体再排可得； （2）直接按捆绑法计算，先排3名男生，然后再把男生看成一个整体和4名女生进行全排列可得； （3）直接按插空法排列计算，先排4名女生，再由这4名女生产生5个空中排3名男生可得； （4）先排3名男生，再由这3名男生产生的4个空中排4名女生可得. 【详解】（1）分三步完成：第一步：3名男生必须站在一起是男生的全排列，有种排法； 第二步：4名女生必须站在一起是女生的全排列，有种排法； 第三步：全体男生、女生各视为一个元素，有种排法． 由分步乘法计数原理知，共有（种）排队方法． （2）因为三名男生全排列有种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有种排法． 故有（种）排队方法． （3）先安排女生，共有种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有种排法，故共有（种）排法． （4）先排男生有种排法，产生4个空然后让4名女生插空有种排法，共有（种）排法． 2．（25-26高二上·江西吉安·期末）某社区文化节需安排4个不同节目（古筝演奏、相声、吉他弹唱、民族舞），按表演先后顺序排定4个时段，每个时段表演一个节目，且节目不重复．请根据以下不同条件，分别计算符合要求的节目安排方案总数： (1)民族舞节目不能安排在第一个表演时段； (2)古筝演奏节目与相声节目必须相邻. 【答案】(1)18 (2)12 【分析】（1）先从古筝演奏、相声、吉他弹唱选一个安排第一个表演，再对剩下3个全排列即可求解； （2）将古筝演奏和相声看作一个整体，再和吉他弹唱、民族舞全排列即可求解. 【详解】（1）先安排第一个表演时段，有古筝演奏、相声、吉他弹唱3种选择； 剩下3个时段，对剩下3个节目全排列，有种， 所以总数为种； （2）将古筝演奏和相声看作一个“整体”，内部有种排列方式； 再把这个“整体”和吉他弹唱、民族舞进行全排列，有种排法， 所以总数为种. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）六人按下列要求站成一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． 【答案】(1)（种） (2)（种） (3)（种） 【分析】（1）解法一：特殊元素优先排法，先安排甲再排其余人可得；解法二：特殊位置优先考虑法，先排两端的再排其余的可得；解法三：间接法，先不考虑限制计算总数，再考虑减去甲在两端的情况可得； （2）先排甲乙两个人再排其余人可得； （3）解法一：间接法，先计算总数有种排法，再减去甲站左端有，乙站右端有，再加上甲站左端且乙站右端有，从而可得结果；解法二：以甲的位置分两类计算，一类甲站右端有，二类甲在中间四个位置且乙不站右端有，进而可得结果. 【详解】（1）法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有种站法， 然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数原理， 共有（种）站法． 法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有种站法， 然后其余4人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有（种）站法． 法三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法， 从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有（种）． （2）首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种， 再让其他4人在中间位置作全排列，有种，根据分步乘法计数原理， 共有（种）站法． （3）法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种， 甲在左端且乙在右端的站法有种，共有（种）站法． 法二：以元素甲分类可分为两类：第一类，甲站右端有种； 第二类，甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有种， 故共有（种）站法． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（   ） A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 【答案】C 【分析】根据题意，结合枚举法一一列出，即可求解. 【详解】根据题意，从甲、乙、丙三人中选两人站成一排， 若选甲乙两人，则站法为甲乙，乙甲； 若选甲丙两人，则站法为甲丙，丙甲； 若选乙丙两人，则站法为乙丙，丙乙， 所以所有站法为“甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙”. 故选：C. 2．（25-26高二上·江苏常州·期末）若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据组合数与排列数的计算公式，将原方程化简整理，即可求出结果. 【详解】由，可得：,且， 解得：. 故选：A 3（25-26高二下·全国·课堂例题）某班下午有三节课，欲从语文、数学、英语、物理、化学中任选三科来安排，则不同排课法的种数是（   ） A．15 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的定义计算即可 【详解】把下午三节课看成“3个位置”，把语文、数学、英语、物理、化学看成“5个元素”， 分别用来表示， 一种排课法可看作是从中取出3个按顺序分给三节课， 分配的时候有顺序之分，故所有不同排课法的种数是． 故选：B. 4．（25-26高二上·山东德州·期末）如图，一个地区分为4个区域，现给该地区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有3种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（    ）种. A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【分析】讨论用3种颜色和2种颜色两种情况，分别求解，综合即可得答案. 【详解】若用3种颜色，则需AD同色，或BC同色，则有种选择， 若用2种颜色，则需AD同色并且BC同色，则有种选择， 综上，不同的着色方法共有种. 故选：B 5．（25-26高二上·上海·期末）年月，国产AI视频生成模型“通义万相”上线“角色一致性”功能，支持在多个场景中保持主角形象不变.现有个互不相同的场景模板，需从中选出个并按顺序生成短视频，每个模板至多使用一次.则不同的生成方案共有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排列计数原理可得结果. 【详解】因为现有个互不相同的场景模板，需从中选出个并按顺序生成短视频，每个模板至多使用一次. 则不同的生成方案种数为种. 故选：B. 6．（25-26高二上·湖南长沙·期末）有一对双胞胎学生和3位老师站成一排拍照，双胞胎不站在一起的不同排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先排无限制条件的元素，分析空隙数量，再插入不相邻元素，最后计算总排法数量． 【详解】先排3位老师，3人全排列的方法为：； 3位老师形成4个空隙，将2个双胞胎插入4个空隙的方法数为：， 总的排列法为：种，故B正确． 故选：B． 7．（25-26高二上·江西抚州·期末）某教室有一排个座位，4位男同学和3位女同学要坐下，但为了减少聊天，规定同性别的同学不能相邻而坐（即任意两位男生不相邻，任意两位女生不相邻）的坐法总数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位，再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种坐法. 故选：D. 二、多选题 8．（25-26高二下·全国·）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 【答案】AD 【分析】根据排列的定义，逐个选项判断即可. 【详解】选项A是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关； 选项B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关； 选项C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关； 选项D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列． 故选：AD 9．（25-26高二上·江西九江·期末）现用数字1，2，3，4填如图所示的四宫格，每格均填1个数字，则下列结论正确的是（   ） A．若数字可以重复使用，则共有256种填法 B．若4个数字均使用，则共有18种填法 C．若4个数字均使用且第2行的数字之和大于第1行的数字之和，则共有8种填法 D．若数字可以重复使用且相邻的两个格子不能填相同的数字，则共有84种填法 【答案】ACD 【分析】对于A，每个位置的数字均有4种选法； 对于B，四个空格1、2、3、4四个数字都要填一次，即全排列； 对于C，列出满足条件的数字组合分别讨论； 对于D，根据数字可重复、相邻不同按位置分类计算. 【详解】对于A，若数字可以重复使用，则共有种填法，故A正确； 对于B，若4个数字均使用，则共有种填法，故B错误； 对于C，若4个数字均使用且第2行的数字之和大于第1行的数字之和， 则可以1，2在第1行，3，4在第2行，或1，3在第1行，2，4在第2行， 共有种填法，故C正确； 对于D，分4步，设四宫格4个位置如下： ①（左上）、②（右上）、③（左下）、④（右下）， 第1步，填①，有1，2，3，4共4种选法； 第2步，填②，由于和①相邻，所以不能与①相同，故有3种选法； 第3步，填③，因其与①相邻，所以不能与①相同，故又分2种情况， 情况1，③与②数字相同，此时只限制③与①不同，而②本身就与①不同， 故仅1种选法（和②一致）， 情况2，③与②数字不同，此时③需同时满足与①不同、与②不同，所以有2种选法； 第4步，填④，因④与②、③都相邻，所以必须和②、③都不同， 所以选法由②和③是否相同决定， 情况1，②与③相同时，④只需与②（即③）不同，此时有3种选法， 情况2，②与③不同时，④需同时与②不同、与③不同，此时有2种选法 所以利用分步乘法与分类加法计数原理（种），故D正确 故选：ACD 10．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（    ） A．女生排在中间的排法有种 B．女生不在头尾的排法有种 C．女生不相邻的排法有种 D．女生甲在女生乙右边的排法有种 【答案】AC 【分析】按照分步乘法计数原理判断A，首先排两个男生在头尾、其余人全排列即可判断B，利用插空法判断C，定序问题用倍缩法，即可判断D. 【详解】对于A：首先将名女生排在中间的三个位置，再将名男生排在其余四个位置， 则有种排法，故A正确； 对于B：首先排两个男生在头尾、其余人全排列，则有种排法，故B错误； 对于C：首先将名男生全排列，再将名女生插空排列，则有种排法，故C正确； 对于D：女生甲在女生乙右边属于定序问题，则有种排法，故D错误； 故选：AC 11．（25-26高二上·辽宁大连·期末）某产品的加工需要经过道工序，下列说法正确的是（   ） A．其中某道工序放在最前，有种不同的加工顺序 B．其中某道工序不放在最前，也不放在最后，有种不同的加工顺序 C．其中某两道工序必须相邻，有种不同的加工顺序 D．其中某两道工序不能相邻，有种不同的加工顺序 【答案】ABD 【分析】根据排列的定义，结合捆绑法、插空法逐一判断即可. 【详解】A：某道工序放在最前，其他道工序进行排列即可， 则有种方法，因此本选项说法正确； B：因为某道工序不放在最前，也不放在最后，所以从其他道工序中选出道工序放在最前最后两个位置， 这道工序和剩下的道工序进行排列，则有种方法，因此本选项说法正确； C：因为某两道工序必须相邻，所以把这两道工序捆绑，连同其他道工序进行排列， 则有种方法，因此本选项说法不正确； D：因为某两道工序不能相邻，所以首先其他道工序进行排列，形成个空，然后这两道工序进行插空， 则有种方法，因此本选项说法正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（25-26高二下·全国·课后作业）计算：________． 【答案】 【分析】利用排列数公式直接计算化简即可. 【详解】． 故答案为： 13．（25-26高二下·全国·课堂例题）从2，3，5，7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有________种． 【答案】 【分析】根据题意，利用排列数公式，即可求解. 【详解】根据题意，由2，3，5，7四个数中任选两个分别相除，其结果各不相同， 所以得到结果数为. 故答案为：. 14．（24-25高二下·重庆渝中·月考）某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有__________种排法（数字作答）. 【答案】 【分析】根据特殊元素优先法分步完成即可. 【详解】依题意，完成这件事共分两步完成， 第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法； 第二步：剩下的2个语言类节目和2个唱歌节目共4个节目在中间4个位置全排有种排法， 由分步乘法计数原理得一共种排法． 故答案为：. 15．（25-26高二上·陕西商洛·期末）王老师与甲、乙等6名同学进行毕业合照，照相时他们站成一排，同学们要让王老师站在中间，甲同学与王老师站在一起，乙同学不站在左右两端，则他们不同的站法有_____种. 【答案】144 【分析】根据分步计数乘法原理计算即可. 【详解】总共有人，王老师必须站在中间，即第 4 个位置，只有1种选择， 甲必须与王老师站在一起，只能在第 3 或第 5 个位置，有 2种选择， 乙不能站在左右两端（第 1、7 位），此时已占用 2 个位置（王老师和甲），剩余 5 个位置中排除 2 个端点， 有 个可选位置，即3种选择， 剩下的 4 名同学可以在剩余的 4 个位置上全排列，有种方式. 因此，共有种站法. 故答案为：144. 四、解答题 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）写出下列问题的所有排列． (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． 【答案】(1)12个 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，利用枚举法，一一列举，即可求解； （2）根据题意，利用树形图法，进行列举，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数， 则所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43， 共有12个不同的两位数． （2）解：由题意作树形图，如图所示， 故所有的排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24个． 17．（25-26高二下·全国·课堂例题）判断下列问题是不是排列问题： (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 【答案】(1)是排列问题 (2)不是排列问题 (3)是排列问题 【分析】根据排列的定义，逐个分析判断，即可求解. 【详解】（1）解：由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关， 所以这是一个排列问题． （2）解：因为从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序， 所以这不是排列问题． （3）解：因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． 所以（1）（3）是排列问题，（2）不是排列问题． 18．（25-26高二上·江西景德镇·月考）为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展.若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画、素描画六件艺术作品的展出顺序. (1)若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？ (2)若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用间接法以及排列知识求出； （2）利用捆绑法以及排列的知识解决. 【详解】（1）将六件艺术作品展出，则展出顺序共有种， 若第一件展出的艺术作品是国画，则展出顺序共有种， 则第一件展出的艺术作品不是国画，共有种不同的安排方案； （2）因油画和插画的展出顺序相邻，则将其捆绑为一个整体，再将其与剩下的四件艺术作品一起排序，共有种不同的安排方案. 19．（25-26高二上·陕西渭南·期末）元旦假期，陕西各地举办丰富多彩、各具特色的活动，相关数据显示，西安入围全国十大热门目的地，西安本地热门景区前六名依次为秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆、西安城墙、大唐不夜城、华清宫、大唐芙蓉园，游客甲计划用六天时间参观这六个景区，每天参观一个景区. (1)求不同的参观顺序的方案数； (2)若甲第一天和第二天均不参观大唐不夜城和大唐芙蓉园，求不同的参观顺序的方案数； (3)若甲参观秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆的顺序不相邻，求不同的参观顺序的方案数. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用全排列直接求解； （2）利用特殊元素优先安排的方法求解； （3）利用插空法求解. 【详解】（1）六天时间参观这六个景区的不同的参观顺序的方案数为； （2）第一天和第二天不同的参观顺序的方案数为种； 后四天安排剩下的四个景区，共有种， 所以共有：种方案； （3）先排列除秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆的另外四个景区， 有种方案，产生个空， 利用插空法：再安排秦始皇帝陵博物院和陕西历史博物馆， 所以共有种方案. 2 学科网（北京）股份有限公司 $