6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理6题型分类(讲+练）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理6题型分类 一、分类加法计数原理 1．分类加法计数原理的概念 完成一件事直两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. 概念推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=+++种不同的方法. 2．分类加法计数原理的特点 分类加法计数原理又称分类计数原理或加法原理，其特点是各类中的每一种方法都可以完成要做的事情，我们可以用第一类有种方法，第二类有种方法，，第n类有种方法，来表示分类加法计数原理，即强调每一类中的任一种方法都可以完成要做的事，因此一共有+++种不同方法可以完成这件事. 3．分类的原则 分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏. 二、分步乘法计数原理 1．分步乘法计数原理的概念 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法. 概念推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=×××种不同的方法. 2．分步乘法计数原理的特点 分步乘法计数原理的特点是在所有的各步之中，每一步都要使用一种方法才能完成要做的事，可以利用图形来表示分步乘法计数原理，图中的“”强调要依次完成各个步骤才能完成要做的事情，从而共有×××种不同的方法可以完成这件事. 3．分步的原则 ①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才能完成这件事； ②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成；不能缺少步骤. ③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤既不能重复也不能遗漏. 三、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别 1．联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决有关做一件事的不同方法种数的问题，它们都是把一个原始事件分解成若干个事件来完成． 2．区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 完成一件事，共有类办法，关键词是“分类” 完成一件事，共分步骤，关键词是“分步” 区别二 每类办法都能独立第完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的都是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步都只是中间过程，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步就不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事 区别三 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 （一） 分类加法计数原理 应用分类计数原理，应注意： ①分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类； ②每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；它的起点、终点就是完成这件事情的开始和结束. 题型1：分类加法计数原理 1．（2026高二·全国·单元测试）家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，若从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳的不同的方法有（    ） A．240种 B．180种 C．120种 D．90种 2．（2026高二·青海西宁·期末）在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．19 C．90 D．200 3．（2026·全国）如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B单位时间内传递的最大信息量为（    ）    A．26 B．24 C．20 D．19 4．（2026高二·安徽·期中）某合唱队有男队员15人，女队员20人，现需从中选出一名同学担任指挥，则不同的选法共有（    ）. A．15种 B．20种 C．35种 D．300种 5．（2026高二·河北邯郸·期中）已知书架上仅有，，，四类杂志，其数量分别为6，4，5，4，且每类杂志中的每一本都不同.若小张要从该书架选一本杂志，则他的选法数为（   ） A．4 B．19 C．60 D．480 6．（2026高二·江苏无锡·期中）集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 （二） 分步乘法计数原理 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积． 解决这类问题的关键是搞清分类还是分步．用分步乘法计数原理解决问题时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次还要注意完成这件事情必须且只需连续完成这n个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时才能使用分步乘法计数原理．同时，要弄清每一步骤中完成本步骤的方法种数． 题型2：分步乘法计数原理 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 8．【多选】（2026高二·重庆万州·月考）设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（    ） A．从东面上山有20种走法 B．从西面上山有27种走法 C．从南面上山有30种走法 D．从北面上山有32种走法 9．（2026高二·江苏镇江·期中）5名运动员争夺4项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（    ） A． B． C． D． 10．（2026高二·安徽蚌埠·阶段检测）李芳有4件不同颜色的衬衣，3条不同花样的裤子，另有两条不同样式的连衣裙.李芳需选择一套服装（一件衬衣和一条裤子为一套，一条连衣裙为一套）参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式有（   ）种 A．24 B．14 C．10 D．9 11．（2026高二·山东济南·期中）5名大学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有（   ） A．8种 B．15种 C．种 D．种 12．（2026高二·河南新乡·期中）河南集历史人文与自然风光于一体，旅游资源丰富，核心景点有洛阳龙门石窟，洛阳老君山，登封少林寺，开封清明上河园，开封万岁山武侠城．小张和小王准备从以上5个景点中各自选择一个去游玩，则选择方案种数为（    ） A．30 B．25 C．20 D．10 （三） 两个原理的综合应用 1．“类中有步”计数问题：完成一件事有几类方案，每一类方案中分若干步，利用分步乘法计数原理求出每一类方案中的方法数，再利用分类加法计数原理把各类方案的方法数相加，即可得出结果. 2．“步中有类”计数问题：完成一件事的过程分成若干步，完成每一步的方法分成若干类，利用分类加法计数原理求出完成每一步中的方法数，再利用分步乘法计数原理把每一步的方法数相乘，即可得出结果. 题型3：数字问题 13．（2026高二·江苏淮安·月考）自然数是一个三位数，其十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把叫做“集中数”.那么，大于600的“集中数”的个数是（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 14．（2026高三·四川雅安·开学考试）已知集合，非空集合，且中所有元素之和为奇数，则满足条件的集合共有（    ） A．12个 B．14个 C．16个 D．18个 15．（2026高二·黑龙江鸡西·期中）从0、1、2、3、4这五个数字中任取三个不同的数字组成三位数，求： (1)组成的三位数偶数的个数； (2)组成的三位数中大于200的个数. 16．（2026高二·北京延庆·期中）由数字，，，构成的三位数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 17．（2026高二·山东枣庄·期中）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（   ） A．24 B．30 C．36 D．60 18．（2026高二·山东济南·月考）用数字，组成四位数，且，都至少出现一次，则共有__________个四位数. 19．（2026高二·全国·专题练习）用数字，，，，，，，组成没有重复数字且至多有一位数字是偶数的四位个数，那么这样的四位数一共有_____个. 题型4：涂色问题 20．（2026高二·江西景德镇·期末）在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种. 21．（2026高二·全国·专题练习）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为，，，的个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为，，的小正方形涂相同的颜色，则共有（    ）种涂法， A． B． C． D． 22．（2026高二·江苏南京·期中）用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 23．（2026高二·宁夏吴忠·期中）现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种. A．1440 B．120 C．720 D．1560 24．（2026高二·天津南开·期中）将图中四棱锥的五个顶点涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，每条棱的两个端点不同色，共有______种不同涂法；若要求4种颜色全部使用，则共有______种不同涂法． 题型5：几何计数问题 25．（2026高三·全国·专题练习）以1，1，1，，，为六条棱长的四面体个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 26．（2026·上海）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 27．（2026·全国）在直角坐标系中，已知三边所在直线的方程分别为，则内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（    ） A．95 B．91 C．88 D．75 28．（2026高二·上海宝山·期中）直线（不全为 0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（  ） A．60 条 B．66 条 C．72 条 D．78 条 题型6：实际问题中的计数问题 29．【多选】（2026高二·山东枣庄·月考）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（    ） A．选1人为负责人的选法种数为30 B．每组选1名组长的选法种数为3024 C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335 D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种 30．（2026高一·山东德州·期末）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为（    ）    A． B． C． D． 31．（2026高二·湖南长沙·月考）某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙处，需要经过6个转运环节，其中第1，6个环节有a，b两种运输方式，第2，3，5个环节有b，c两种运输方式，第4个环节有c，d，e，f四种运输方式，则快件从甲送到乙使用4种运输方式的不同的方法种数是（   ） A．60 B．70 C．77 D．78 32．（2026高二·山东泰安·月考）有一项活动，要从2位老师，2名男同学，3名女同学中指定人员参加. (1)只需一人，有多少种不同的选法？ (2)需要两人，一位老师，一位学生，有多少种不同的选法？ (3)需要三人，一位老师，两位学生，有多少种不同的选法？ 1．（2026高二·江苏·课后作业）现有3名老师、8名男生和5名女生共16人.若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为（　　） A．39 B．24 C．15 D．16 2．（2026高二·全国·课堂例题）在如图所示的电路（规定只能闭合其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有______种． 3．（2026高二·全国·课后作业）一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有________种不同的取法． 4．（2026高二·天津红桥·期末）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有________． 5．（2026高二·江苏·课前预习）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个？ 6．（2026高二·全国·课后作业）用1，2，3这3个数字可写出没有重复数字的整数有________个． 7．（2026高三·全国·一轮复习）从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（    ） A．26 B．60 C．18 D．1080 8．（2026高二·江苏常州·期中）已知两条异面直线a，b上分别有4个点和7个点，则这11个点可以确定不同的平面个数为（    ） A．4 B．7 C．11 D．126 9．（2026高二·全国·课堂例题）3个不同的球分别放入5个不同的盒子，每个盒子至多放1个球，共多少种放法？ 10．（2026高二·全国·课堂例题）3个不同的球放入5个不同的盒子，每个盒子放球的数量不限，共多少种放法？ 11．（2026高二·全国·专题练习）从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？ (1)三位数； (2)三位数的偶数． 12．（2026高二·江西九江·期中）现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组． （1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法? （2）每班选一名组长，有多少种不同的选法? （3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法? 13．（2026高二·全国·课堂例题）某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地． (1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？ (3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？ 14．（2026高三·全国·专题练习）已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为 A．40 B．16 C．13 D．10 15．（2026高二·福建福州·期末）从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数，组成复数，其中虚数有（ ） A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 16．（2026高二·全国·课堂例题）在如图所示的电路（规定只能闭合其中2个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有______种． 17．（2026高三·全国·专题练习）某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息． (1)若小明爸爸任选一个凳子坐下（小明不坐），有多少种不同的坐法？ (2)若小明与爸爸分别就座，有多少种不同的坐法？ 18．（2026高二·全国·课后作业）现有A，B两种类型的车床各一台，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从这三名工人中选两名分别去操作以上车床，不同的选派方法有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 19．（6.1.2两个计数原理的综合应用）某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项至多报1人，每人只参加1项，则这 3名学生的参赛的不同方法有（   ） A．24种 B．48种 C．64种 D．81种 20．（2026高三·陕西西安·月考）将摆放在编号为五个位置上的件不同商品重新摆放，则恰有一件商品的位置不变的摆放方法数为_________．（用数字作答） 21．（2026高三·全国·一轮复习）用0,1,2,3,4五个数字． （1）可以排成多少个三位数字的电话号码？ （2）可以排成多少个三位数？ （3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 22．（2026高三·全国·专题练习）用五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？ 23．（2026高三·河南南阳·月考）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（    ）． A．18个 B．15个 C．12个 D．9个 24．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）已知数学0，1，2，3，4，用它们组成四位数，下列说法正确的有（   ） A．可以组成无重复数字的四位数96个 B．可以组成有重复数字的四位数404个 C．可以组成无重复数字的四位偶数66个 D．可以组成百位是奇数的四位偶数28个 25．（2026高二·四川攀枝花·月考）高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）. A．16种 B．18种 C．37种 D．48种 26．（2026·浙江金华·模拟预测）联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种． 27．（2026高二·广西南宁·月考）如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（ ） A．280 B．180 C．96 D．60 28．（2026·天津）．将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有__________种.（以数字做答） 29．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，要给“同”“步”“练”“测”四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？ 30．（2026高二·全国·课后作业）由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（    ） A．15 B．12 C．10 D．5 31．（2026·山东泰安·模拟预测）某新闻采访组由名记者组成，其中甲､乙､丙､丁为成员，戊为组长.甲､乙､丙､丁分别来自四个地区.现在该新闻采访组要到四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同.则所有采访的不同安排方法有___________种. 32．（2026高二·全国·课堂例题）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有______种报名方法．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有______种可能的结果． 33．（2026高二·全国·课堂例题）将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有______种不同的涂色方法． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理6题型分类 一、分类加法计数原理 1．分类加法计数原理的概念 完成一件事直两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. 概念推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=+++种不同的方法. 2．分类加法计数原理的特点 分类加法计数原理又称分类计数原理或加法原理，其特点是各类中的每一种方法都可以完成要做的事情，我们可以用第一类有种方法，第二类有种方法，，第n类有种方法，来表示分类加法计数原理，即强调每一类中的任一种方法都可以完成要做的事，因此一共有+++种不同方法可以完成这件事. 3．分类的原则 分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏. 二、分步乘法计数原理 1．分步乘法计数原理的概念 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法. 概念推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=×××种不同的方法. 2．分步乘法计数原理的特点 分步乘法计数原理的特点是在所有的各步之中，每一步都要使用一种方法才能完成要做的事，可以利用图形来表示分步乘法计数原理，图中的“”强调要依次完成各个步骤才能完成要做的事情，从而共有×××种不同的方法可以完成这件事. 3．分步的原则 ①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才能完成这件事； ②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成；不能缺少步骤. ③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤既不能重复也不能遗漏. 三、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别 1．联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决有关做一件事的不同方法种数的问题，它们都是把一个原始事件分解成若干个事件来完成． 2．区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 完成一件事，共有类办法，关键词是“分类” 完成一件事，共分步骤，关键词是“分步” 区别二 每类办法都能独立第完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的都是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步都只是中间过程，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步就不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事 区别三 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 （一） 分类加法计数原理 应用分类计数原理，应注意： ①分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类； ②每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；它的起点、终点就是完成这件事情的开始和结束. 题型1：分类加法计数原理 1．（2026高二·全国·单元测试）家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，若从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳的不同的方法有（    ） A．240种 B．180种 C．120种 D．90种 【答案】D 【分析】运用分类加法计数原理计算即可. 【详解】根据分类加法计数原理，得方法种数为30+20+40=90. 故选：D. 2．（2026高二·青海西宁·期末）在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．19 C．90 D．200 【答案】B 【分析】由分类加法计数原理运算即可. 【详解】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为. 故选：B. 3．（2026·全国）如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B单位时间内传递的最大信息量为（    ）    A．26 B．24 C．20 D．19 【答案】D 【分析】根据题意，结合图形得出从A到B传播路径有4条，写出每条途径传播的最大信息量，再求和，即得答案． 【详解】解：根据题意，结合图形知， 从A到B传播路径有4条，如图所示；    途径①传播的最大信息量为3，途径②传播的最大信息量为4； 途径③传播的最大信息量为6，途径④传播的最大信息量为6； 所以从A向B传递信息，单位时间内传递的最大信息量为， 故选：D． 4．（2026高二·安徽·期中）某合唱队有男队员15人，女队员20人，现需从中选出一名同学担任指挥，则不同的选法共有（    ）. A．15种 B．20种 C．35种 D．300种 【答案】C 【详解】选一名指挥，可以从15名男队员中选，有15种选法； 也可以从20名女队员中选，有20种选法. 根据分类加法计数原理，总选法数为种. 5．（2026高二·河北邯郸·期中）已知书架上仅有，，，四类杂志，其数量分别为6，4，5，4，且每类杂志中的每一本都不同.若小张要从该书架选一本杂志，则他的选法数为（   ） A．4 B．19 C．60 D．480 【答案】B 【分析】由分类加法计数原理即可直接求解. 【详解】选类，有6种选法， 选类，有4种选法， 选类，有5种选法， 选类，有4种选法， 故共有种. 【点睛】 6．（2026高二·江苏无锡·期中）集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据第二象限坐标特征分类结合分类加法原理计算求解. 【详解】第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数． 若集合M提供横坐标，集合N提供纵坐标，则符合题意的点有，，共2个； 若集合M提供纵坐标，集合N提供横坐标， 则符合题意的点有，，，，共4个． 综上，在第二象限内的点的个数为． （二） 分步乘法计数原理 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积． 解决这类问题的关键是搞清分类还是分步．用分步乘法计数原理解决问题时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次还要注意完成这件事情必须且只需连续完成这n个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时才能使用分步乘法计数原理．同时，要弄清每一步骤中完成本步骤的方法种数． 题型2：分步乘法计数原理 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得. 【详解】依题意，每个人的选购方式有3种，所以不同的选购方式有种. 故选：A 8．【多选】（2026高二·重庆万州·月考）设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（    ） A．从东面上山有20种走法 B．从西面上山有27种走法 C．从南面上山有30种走法 D．从北面上山有32种走法 【答案】ABD 【分析】利用分步乘法原理求解即可. 【详解】若从东面上山，则上山走法有2种，下山走法有10种，由分步计数原理可得共有20种走法； 若从西面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法； 若从南面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法； 若从北面上山，则上山走法有4种，下山走法有8种，由分步计数原理可得共有32种走法； 故选：ABD 9．（2026高二·江苏镇江·期中）5名运动员争夺4项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于每项冠军，都有5种选择， 根据分步计数原理，可得获得冠军的可能种数是种. 10．（2026高二·安徽蚌埠·阶段检测）李芳有4件不同颜色的衬衣，3条不同花样的裤子，另有两条不同样式的连衣裙.李芳需选择一套服装（一件衬衣和一条裤子为一套，一条连衣裙为一套）参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式有（   ）种 A．24 B．14 C．10 D．9 【答案】B 【分析】分类讨论利用分步乘法原理和分类加法计数原理计算即可. 【详解】分两类： 第一类：选衬衣加裤子，共有种选法； 第二类：选连衣裙，共有种选法， 根据分类加法计数原理共有种选法. 11．（2026高二·山东济南·期中）5名大学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有（   ） A．8种 B．15种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】由题意知，每位大学生都有3种选择，根据分步乘法计数原理，共有种选法. 12．（2026高二·河南新乡·期中）河南集历史人文与自然风光于一体，旅游资源丰富，核心景点有洛阳龙门石窟，洛阳老君山，登封少林寺，开封清明上河园，开封万岁山武侠城．小张和小王准备从以上5个景点中各自选择一个去游玩，则选择方案种数为（    ） A．30 B．25 C．20 D．10 【答案】B 【详解】因小张和小王可以从5个景点中各自选择一个去游玩， 故选择方案种数为． （三） 两个原理的综合应用 1．“类中有步”计数问题：完成一件事有几类方案，每一类方案中分若干步，利用分步乘法计数原理求出每一类方案中的方法数，再利用分类加法计数原理把各类方案的方法数相加，即可得出结果. 2．“步中有类”计数问题：完成一件事的过程分成若干步，完成每一步的方法分成若干类，利用分类加法计数原理求出完成每一步中的方法数，再利用分步乘法计数原理把每一步的方法数相乘，即可得出结果. 题型3：数字问题 13．（2026高二·江苏淮安·月考）自然数是一个三位数，其十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把叫做“集中数”.那么，大于600的“集中数”的个数是（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【分析】根据已知条件，一一列举即可. 【详解】当百位为6时，十位可以为5，6，7，当十位为5时，个位可以为4，5，6； 当十位为6时，个位可以为5，6，7；当十位为7时，个位可以为7，8，9； 共9个； 当百位为7时，十位可以为6，7，8，当十位为6时，个位可以为5，6，7； 当十位为7时，个位可以为6，7，8；当十位为8时，个位可以为7，8，9； 共9个； 当百位为8时，十位可以为7，8，9，当十位为7时，个位可以为6，7，8； 当十位为8时，个位可以为7，8，9；当十位为9时，个位可以为8，9； 共8个； 当百位为9时，十位可以为8，9，当十位为8时，个位可以为7，8，9； 当十位为9时，个位可以为8，9；共5个； 综上，总共9+9+8+5=31个，故A，C，D错误. 故选：B. 14．（2026高三·四川雅安·开学考试）已知集合，非空集合，且中所有元素之和为奇数，则满足条件的集合共有（    ） A．12个 B．14个 C．16个 D．18个 【答案】C 【分析】分类讨论即可求解. 【详解】， 由于中所有元素之和为奇数，且非空集合， 当中只有一个元素时，则或或， 当中有2个元素时，则中的元素必为一偶一奇，故有个满足条件的， 当中有3个元素时，则中的元素必为2偶一奇或者三个元素均为奇数，故有4个满足条件的， 当中有4个元素时，则中的元素必为一偶3奇，故有2个满足条件的， 当中有5个元素时，则满足条件， 故共有， 故选：C 15．（2026高二·黑龙江鸡西·期中）从0、1、2、3、4这五个数字中任取三个不同的数字组成三位数，求： (1)组成的三位数偶数的个数； (2)组成的三位数中大于200的个数. 【答案】(1)30 (2)36 【分析】（1）组成三位数的偶数，需要分个位是 0 和个位不是 0 两种情况讨论； （2）组成大于 200 的三位数，百位数字只能是 2、3、4 ，进而求解即可 【详解】（1）当个位数字为 0 时 百位数字可以从 1、2、3、4 这 4 个数字中任选一个，有 4 种选法； 十位数字可以从剩下的 3 个数字中任选一个，有 3 种选法. 根据乘法原理，此时组成的偶数个数为个. 当个位数字不为 0 时 个位数字只能从 2、4 中选一个，有 2 种选法； 百位数字不能为 0，所以百位数字可以从剩下的 3 个非0 数字中选一个，有 3 种选法；十位数字可以从剩下的 3 个数字中选一个，有 3 种选法. 根据乘法原理，此时组成的偶数个数为，. 将两种情况的个数相加，得到组成的三位数是偶数的总个数为个. （2）百位数字可以从 2、3、4 这 3 个数字中任选一个，有 3 种选法； 十位数字可以从剩下的 4 个数字中任选一个，有 4 种选法； 个位数字可以从剩下的 3 个数字中任选一个，有 3 种选法. 根据乘法原理，组成的三位数中大于 200 的个数为个. 16．（2026高二·北京延庆·期中）由数字，，，构成的三位数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】百位有4种选择，十位有4种选择，个位有4种选择，故构成的三位数共有个， 故选：A 17．（2026高二·山东枣庄·期中）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（   ） A．24 B．30 C．36 D．60 【答案】A 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】个位只能是2和4，十位和百位可以从剩下的数字中选择， 故符合条件的偶数有， 故选：A 18．（2026高二·山东济南·月考）用数字，组成四位数，且，都至少出现一次，则共有__________个四位数. 【答案】14 【详解】由题意，每一位都可以从数字4，5中任选1个，因此由数字4，5组成的四位数共有个． 其中，不符合条件的只有两种：一种是四位都取4，另一种是四位都取5． 所以满足4，5都至少出现一次的四位数共有14个． 19．（2026高二·全国·专题练习）用数字，，，，，，，组成没有重复数字且至多有一位数字是偶数的四位个数，那么这样的四位数一共有_____个. 【答案】 【分析】根据特殊元素“”是否被选择进行分类讨论，根据分类加法计数原理可得解. 【详解】以特殊元素“”为研究对象分类讨论. （1）若四位数中有“”，则“”有种放法， 其他位置上的数字从，，，中挑选，故共有种； （2）若四位数中无“”，则这四位数字可以全为奇数或者有个偶数. ①全为奇数，有种； ②有个偶数，则必从，，中选个并可放置在任意数位上，其余位置填奇数，共有种； 故满足条件的四位数有个， 故答案为：. 题型4：涂色问题 20．（2026高二·江西景德镇·期末）在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种. 【答案】18 【分析】根据区域种花情况，分两类情况求解，根据分类加法计数原理可得答案. 【详解】区域种同一种花，不同的种植方法有：； 区域种不同的花，不同的种植方法有：； 由分类加法计数原理可得，共有18种方法. 故答案为：18 21．（2026高二·全国·专题练习）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为，，，的个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为，，的小正方形涂相同的颜色，则共有（    ）种涂法， A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分类加法与分步乘法计数原理直接计算. 【详解】把区域分成三部分，第一部分为，，，有种涂法. 第二部分为，，.当，同色时，，各有2种涂法；当，异色时，有种涂法，，均只有种涂法. 故第二部分共有种涂法. 第三部分为，，，与第二部分一样，共有种涂法. 因此根据分步乘法计数原理，共有种涂法， 故选：D. 22．（2026高二·江苏南京·期中）用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由每块区域都与其他三块区域有公共边，故用分步乘法计算即可. 【详解】区域①有n种，区域②有种，区域③有种，区域④有种， 舍去，得(负数解舍去). 故选：C. 23．（2026高二·宁夏吴忠·期中）现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种. A．1440 B．120 C．720 D．1560 【答案】D 【分析】分别用5种颜色，4种颜色和3种颜色，根据相邻的区域不能涂同一种颜色求解. 【详解】如图所示： 当选择5种颜色时，从6种颜色中选5种共有种方法, 将选出的5种颜色分配给5个区域有种方法,总方法数为种， 当选择4种颜色时，从6种颜色中选4种共有种方法, 从（A,D）或（B,C）中选择一组涂同一颜色，有2种选择， 比如选择（A,D）组，将选出的4种颜色分配有种方法, 总方法数为种， 当选择3种颜色时，从6种颜色中选3种共有种方法, 则（A,D），（B,C）各涂同一颜色，有1种选择， 将选出的3种颜色分配有种方法, 总方法数为种， 则所有的方法数为种. 24．（2026高二·天津南开·期中）将图中四棱锥的五个顶点涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，每条棱的两个端点不同色，共有______种不同涂法；若要求4种颜色全部使用，则共有______种不同涂法． 【答案】 72 48 【分析】分两种情况：用三种颜色和四种颜色，分别求出每种情况数即可得到答案． 【详解】当只用三种颜色时， 同色、 同色且P与两组皆异色， 而从4种颜色选择3种，有种选择； 当用四种颜色时，同色或同色，所以从和中二选一，涂相同颜色，看成一组，再将四种颜色进行全排列，故有种选择； 综上，共有种选择，其中4种颜色全部使用时，有种． 题型5：几何计数问题 25．（2026高三·全国·专题练习）以1，1，1，，，为六条棱长的四面体个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由这些边为三角形仅有四种，，，，讨论底面三角形为、，结合对称性确定四面体个数. 【详解】以这些边为三角形仅有四种，，，． 固定四面体的一面作为底面： 当底面的三边为时，另外三边的取法只有一种情况，即； 当底面的三边为时，另外三边的取法有两种情形，即，． 其余情形得到的四面体均在上述情形中． 由此可知，四面体个数有3个． 故选：B 26．（2026·上海）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答. 【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线， 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）； 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个， 不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直， 所以正方体中“正交线面对”共有（个）. 故选：D 27．（2026·全国）在直角坐标系中，已知三边所在直线的方程分别为，则内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（    ） A．95 B．91 C．88 D．75 【答案】B 【分析】首先确定以为对角线的矩形中整点的个数，再确定上的整点数，最后根据对称性求出△中整点的个数. 【详解】由题设，直线分别交x、y轴于、，    以高为10，宽为15的矩形内（含边）整数点有176个，其中直线上的整数点有、、、、、，共6个， 所以，矩形对角线两侧的三角形中整点的个数为个， 综上，△中整点的个数为个. 故选：B 28．（2026高二·上海宝山·期中）直线（不全为 0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（  ） A．60 条 B．66 条 C．72 条 D．78 条 【答案】D 【分析】由题确定圆上的整点，然后由两点确定一条直线及过圆整点的切线条数可得答案. 【详解】因，，则公共点为： ，共12个. 若这样的直线为圆的切线，则满足题意的切线有12条； 若这样的直线不为圆的切线，则由两点确定一条直线，满足的直线有条. 则这样的直线有78 条. 故选：D 题型6：实际问题中的计数问题 29．【多选】（2026高二·山东枣庄·月考）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（    ） A．选1人为负责人的选法种数为30 B．每组选1名组长的选法种数为3024 C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335 D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种 【答案】ABC 【分析】利用加法计数原理判断选项A；利用乘法计数原理判断选项B；利用乘法及加法计数原理判断选项C；利用间接法并结合乘法计数原理判断选项D. 【详解】对于A，选1人为负责人的选法种数：，故A正确； 对于B，每组选1名组长的选法：，故B正确； 对于C，2人需来自不同的小组的选法：，故C正确； 对于D，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有种选择， 所以不同的选法有：，故D错误； 故选：ABC. 30．（2026高一·山东德州·期末）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出一共摆出的两位数的个数，再求出个位和十位上的算筹不一样多的两位数的个数，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式， 共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种， 个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种， 个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种， 共有种，所以个位和十位上的算筹不一样多的有种， 所以个位和十位上的算筹不一样多的概率为. 故选：B 31．（2026高二·湖南长沙·月考）某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙处，需要经过6个转运环节，其中第1，6个环节有a，b两种运输方式，第2，3，5个环节有b，c两种运输方式，第4个环节有c，d，e，f四种运输方式，则快件从甲送到乙使用4种运输方式的不同的方法种数是（   ） A．60 B．70 C．77 D．78 【答案】A 【分析】利用分步计数，先确定第4环节不能使用c运输方式，从而确定3种运输方式，再分类讨论第1，6两个环节的两类运输方式，从而可用间接法来确定第2，3，5环节的运输方式，最后利用分步计数乘法原理即可求解. 【详解】若第4个环节使用c运输方式，由题意可得快件从甲送到乙至多使用3种运输方式， 故第4个环节必须使用d，e，f三种运输方式中的1种， 若第1，6两个环节都使用b运输方式，则快件从甲送到乙至多会使用3种运输方式， 故从甲送到乙要使用4种运输方式，则满足条件的运输方法可分为两类． 第一类：第1和第6环节都用a运输方式，则第2，3，5环节必须使用两种不同的运输方式， 第4环节必须使用d，e，f中的一种运输方式，故满足条件的运输方式有（种）； 第二类：第1和第6环节运输方式不同，则第2，3，5环节只需至少一个环节使用c运输方式， 第4环节必须使用d，e，f中的一种运输方式，故满足条件的运输方式有（种）． 由分类加法计数原理可得，满足条件的运输方式有（种）． 32．（2026高二·山东泰安·月考）有一项活动，要从2位老师，2名男同学，3名女同学中指定人员参加. (1)只需一人，有多少种不同的选法？ (2)需要两人，一位老师，一位学生，有多少种不同的选法？ (3)需要三人，一位老师，两位学生，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)7 (2)10 (3)20 【分析】（1）若只需选1人参加，用分类加法计数原理求出全部不同选法即可； （2）将男生女生归为一类，再用分步乘法计数原理求出所有不同选法即可. （3）用分步乘法计数原理，求出所有不同的选法； 【详解】（1）； （2）； （3）. 1．（2026高二·江苏·课后作业）现有3名老师、8名男生和5名女生共16人.若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为（　　） A．39 B．24 C．15 D．16 【答案】A 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从13名学生中任选1名，有13种选法. 由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×13＝39. 故选：A 2．（2026高二·全国·课堂例题）在如图所示的电路（规定只能闭合其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有______种． 【答案】5 【分析】应用分类加法原理计算求解. 【详解】要完成的事是闭合开关使灯泡发光，完成这件事的方案可分两类： 第1类，闭合开关组中的一个开关，有2种方法． 第2类，闭合开关组中的一个开关，有3种方法． 因此接通电源使灯泡发光的方法种数为． 故答案为： 5. 3．（2026高二·全国·课后作业）一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有________种不同的取法． 【答案】48 【分析】利用分步乘法原理求取法数. 【详解】从两个袋子里各取一个球，可分为两步完成，第一步，从第一个袋中取一个球，共有6种取法，第二步，从另一个袋子里任取一球，共有8种取法，由分步乘法原理可得共有48种取法. 故答案为：48. 4．（2026高二·天津红桥·期末）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有________． 【答案】36 【详解】根据题意个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9共8种情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)． 5．（2026高二·江苏·课前预习）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个？ 【答案】25 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理求解即得. 【详解】当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个； 当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个； 当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个； 同理可知，当个位数字是2时，共7个， 当个位数字是0时，共9个. 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25（个）. 6．（2026高二·全国·课后作业）用1，2，3这3个数字可写出没有重复数字的整数有________个． 【答案】15 【分析】按一位整数、两位整数与三位整数分类讨论即可得到结果． 【详解】分三类： 第一类为一位整数，有3个； 第二类为两位整数，有12，13，21，23，31，32，共6个； 第三类为三位整数，有123，132，213，231，312，321，共6个． ∴可写出没有重复数字的整数有3＋6＋6＝15(个)． 故答案为：15 7．（2026高三·全国·一轮复习）从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（    ） A．26 B．60 C．18 D．1080 【答案】A 【分析】按照分类加法计数原理计算可得； 【详解】解：由分类加法计数原理知有（种）不同走法. 故选：A 8．（2026高二·江苏常州·期中）已知两条异面直线a，b上分别有4个点和7个点，则这11个点可以确定不同的平面个数为（    ） A．4 B．7 C．11 D．126 【答案】C 【分析】由题意，第1类，直线a分别与直线b上的7个点可以确定7个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的4个点可以确定4个不同的平面，再根据分类计数原理，即可求解． 【详解】分两类情况讨论： 第1类，直线a分别与直线b上的7个点可以确定7个不同的平面； 第2类，直线b分别与直线a上的4个点可以确定4个不同的平面． 根据分类加法计数原理知，共可以确定7＋4＝11个不同的平面. 故选：C． 9．（2026高二·全国·课堂例题）3个不同的球分别放入5个不同的盒子，每个盒子至多放1个球，共多少种放法？ 【答案】 【分析】根据题意分析可知需要三步，应用分步计数乘法原理计算求解. 【详解】根据题意，第一个球有5种放法，第二个球有4种放法，第三个球有3种放法． 由分步乘法计数原理，可知共有种放法． 10．（2026高二·全国·课堂例题）3个不同的球放入5个不同的盒子，每个盒子放球的数量不限，共多少种放法？ 【答案】 【分析】应用分步计数乘法原理计算求解. 【详解】∵3个不同的球放入5个不同的盒子，每个盒子放球的数量不限， ∴每个球都有5种放法． 由分步乘法计数原理，可知共有种放法. 11．（2026高二·全国·专题练习）从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？ (1)三位数； (2)三位数的偶数． 【答案】(1)24 (2)12 【分析】（1）根据乘法原理分步完成即可； （2）先排个位，再排十位与百位,根据乘法原理得出结果即可. 【详解】（1）三位数有三个数位，故可分三个步骤完成： 第1步，排个位，从1，2，3，4中选1个数字，有4种方法； 第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法； 第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理， 共有4×3×2＝24个满足要求的三位数． （2）分三个步骤完成： 第1步，排个位，从2，4中选1个，有2种方法； 第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法； 第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法． 故共有2×3×2＝12个三位数的偶数． 12．（2026高二·江西九江·期中）现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组． （1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法? （2）每班选一名组长，有多少种不同的选法? （3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法? 【答案】（1）34种；（2）5040种；（3）431种. 【分析】（1）从34人中任选1人即可， （2）先求出从每个班选组长的方法数，然后由分步乘法原理求解， （3）分六种情况：从一、二班学生中各选1人，从一、三班学生中各选1人，从一、四班学生中各选1人，从二、三班学生中各选1人，从二、四班学生中各选1人，从三、四班学生中各选1人，求出各种情况的方法数，然后利用分类加法原理求解 【详解】解：（1）根据题意，四个班共34人，要求从34人中，选其中一人为负责人， 即有种选法 （2）根据题意，分析可得：从一班选一名组长，有7种情况， 从二班选一名组长，有8种情况，从三班选一名组长，有9种情况， 从四班选一名组长，有10种情况， 所以每班选一名组长，不同的选法共有：（种）． （3）根据题意，分六种情况讨论， ①从一、二班学生中各选1人，有种不同的选法； ②从一、三班学生中各选1人，有种不同的选法， ③从一、四班学生中各选1人，有种不同的选法； ④从二、三班学生中各选1人，有种不同的选法； ⑤从二、四班学生中各选1人，有种不同的选法； ⑥从三、四班学生中各选1人，有种不同的选法， 所以不同的选法共有： （种）． 13．（2026高二·全国·课堂例题）某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地． (1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？ (3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分从一班的8名优秀团员中产生、从二班的10名优秀团员中产生和从三班的6名优秀团员中产生三类即可求解； （2）按从一班的8名优秀团员中选1名小组长、从二班的10名优秀团员中选1名小组长和从三班的6名优秀团员中选1名小组长三步即可求解； （3）分从一班、二班的优秀团员中各选1人、从二班、三班的优秀团员中各选1人和从一班、三班的优秀团员中各选1人三类即可. 【详解】（1）第一类是从一班的8名优秀团员中产生， 有8种不同的选法，第二类是从二班的10名优秀团员中产生， 有10种不同的选法，第三类是从三班的6名优秀团员中产生， 有6种不同的选法，种不同的选法； （2）第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长， 有8种不同的选法，第二步从二班的10名优秀团员中选1名小组长， 有10种不同的选法，第三步是从三班的6名优秀团员中选1名小组长， 有6种不同的选法，共有种不同的选法； （3）每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人， 有种不同的选法， 第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人， 有种不同的选法， 第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人， 有种不同的选法，共有种不同的选法. 14．（2026高三·全国·专题练习）已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为 A．40 B．16 C．13 D．10 【答案】C 【分析】由题意，第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面，再根据分类计数原理，即可求解． 【详解】分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面． 根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面，故选C． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理分类求解，再利用分类计数原理是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 15．（2026高二·福建福州·期末）从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数，组成复数，其中虚数有（ ） A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 【答案】C 【详解】解：∵a，b互不相等且为虚数， ∴所有b只能从{1，2，3，4，5，6}中选一个有6种， a从剩余的6个选一个有6种， ∴根据分步计数原理知虚数有6×6=36（个）． 故选C 16．（2026高二·全国·课堂例题）在如图所示的电路（规定只能闭合其中2个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有______种． 【答案】6 【分析】根据题意可知要完成这件事，需要分两步，结合分步乘法计数原理运算求解. 【详解】由题意可知，在该电路中，只有先闭合组2个开关中的任意1个， 再闭合组3个开关中的任意1个后，接通电源，灯泡才能发光． 因此要完成这件事，需要分两步，所以接通电源使灯泡发光的方法种数为． 故答案为：6. 17．（2026高三·全国·专题练习）某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息． (1)若小明爸爸任选一个凳子坐下（小明不坐），有多少种不同的坐法？ (2)若小明与爸爸分别就座，有多少种不同的坐法？ 【答案】(1)14 (2)182 【分析】（1）分两种情况讨论，选东面的空闲凳子，选西面的空闲凳子，利用分类加法计数原理计算可得； （2）分两步，先小明就座，再小明爸爸就座，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】（1）小明爸爸选凳子可以分两类： 第一类：选东面的空闲凳子，有种坐法； 第二类：选西面的空闲凳子，有种坐法． 根据分类加法计数原理知，小明爸爸共有（种）不同的坐法． （2）小明与爸爸分别就座，可以分两步完成： 第一步，小明先就座，从东、西面共（个）空闲凳子中选一个坐下，共种坐法； 第二步，小明爸爸再就座，从东、西面共个空闲凳子中选一个坐下，共种坐法． 由分步乘法计数原理知，小明与爸爸分别就座共有（种）不同的坐法． 18．（2026高二·全国·课后作业）现有A，B两种类型的车床各一台，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从这三名工人中选两名分别去操作以上车床，不同的选派方法有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理即可得出选项. 【详解】若选甲、乙两人，包括甲操作A车床，乙操作B车床， 或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法. 若选甲、丙二人，则只有甲操作B车床， 丙操作A车床这1种选派方法.若选乙、丙二人， 则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法， 故共有2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法. 故选：C 19．（6.1.2两个计数原理的综合应用）某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项至多报1人，每人只参加1项，则这 3名学生的参赛的不同方法有（   ） A．24种 B．48种 C．64种 D．81种 【答案】A 【分析】由乘法原理即可求解； 【详解】由于每班每项至多报1人，每人只参加1项， 故当前面的学生报了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有种不同的参赛方法. 故选：A 20．（2026高三·陕西西安·月考）将摆放在编号为五个位置上的件不同商品重新摆放，则恰有一件商品的位置不变的摆放方法数为_________．（用数字作答） 【答案】45 【分析】先选出件，放回原来的位置，有5种，再将剩下的四件都不在原来位置. 【详解】根据题意，分步进行分析： （1）将件不同商品中选出件，放回原来的位置，有种情况，假设编号为的位置不变， （2）剩下四件都不在原来位置，即编号为的四件商品都不在原来位置， 编号为的商品有种放法，假设其放在了号商品原来的位置，则号商品有种放法， 剩下编号为3，4的两件商品只有种放法， 则其余四件商品的放法有种， 故恰有一件商品的位置不变的摆放方法有种， 故答案为：45． 21．（2026高三·全国·一轮复习）用0,1,2,3,4五个数字． （1）可以排成多少个三位数字的电话号码？ （2）可以排成多少个三位数？ （3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 【答案】（1）125个；（2）100个；（3）30个. 【分析】（1）由分步乘法计数原理计算； （2）由分步乘法计数原理计算，只要首位不为0． （3）确定末位为奇数，然后首位不为0，中间两位任意排可得． 【详解】（1）三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个)． （2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个)． （3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法； 一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位， 所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法． 因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． 22．（2026高三·全国·专题练习）用五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？ 【答案】 【分析】完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：先排个位，再排千位，再排百位，最后排十位，结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步： 第一步从中任取一个排在个位上，有2种方法； 第二步，从中除去用过的一个，从剩下的3个数中任取一个排千位，有3种方法； 第三步，从剩下的3个数字中任取一个排百位，有3种方法； 第四步，从剩下2个数字任取一个排十位，有2种方法． 由分步乘法计数原理知利用可以排出个无重复数字的四位奇数． 23．（2026高三·河南南阳·月考）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（    ）． A．18个 B．15个 C．12个 D．9个 【答案】B 【分析】首位数字是2，则后三位数字之和为4，然后分类排列即可求解. 【详解】由题知后三位数字之和为4， 当一个位置为4时有004，040，400，共3个； 当两个位置和为4时有013，031，103，301，130，310，022，202，220，共9个； 当三个位置和为4时112，121，211，共3个， 所以一共有15个. 故选：B 24．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）已知数学0，1，2，3，4，用它们组成四位数，下列说法正确的有（   ） A．可以组成无重复数字的四位数96个 B．可以组成有重复数字的四位数404个 C．可以组成无重复数字的四位偶数66个 D．可以组成百位是奇数的四位偶数28个 【答案】AB 【分析】由两个计数原理逐个判断即可； 【详解】对于A，可以组成无重复数字的四位数（个），A正确； 对于B，可以组成有重复数字的四位数（个），B正确； 对于C，若个位数为0，则有（个）， 若个位数不为0，则有（个）， 所以可以组成无重复数字的四位偶数（个），C错误； 对于D，可以组成百位是奇数的四位偶数（个），D错误． 故选：AB 25．（2026高二·四川攀枝花·月考）高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）. A．16种 B．18种 C．37种 D．48种 【答案】C 【分析】按照去工厂甲的班级数进行分类讨论，由此计算出总的分配方案. 【详解】三个班有一个班去甲，方法数有；三个班有两个班去甲，方法数有；三个班都去甲，方法数有，故总的方法数为种，故选C. 【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，考查组合数的计算，属于基础题. 26．（2026·浙江金华·模拟预测）联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种． 【答案】25. 【详解】分析：按照每个国家都要有物资援助，分类型，求解即可． 详解：联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资， 每种物资既可以全部给一个国家， 也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助， 需要分为：粮食和药品都有，方法1种； 一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法； 一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法； 两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法； 两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法； 一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有3×（2+2）=12种方法； 方法总数是：25． 故答案为25． 点睛：本题考查排列组合的实际应用，注意分类方法，考查分析问题解决问题的能力． 27．（2026高二·广西南宁·月考）如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（ ） A．280 B．180 C．96 D．60 【答案】B 【分析】按区域分四步，由分步乘法计数原理，即可求得结论. 【详解】按区域分四步：第1步，A区域有5种颜色可选； 第2步，B区域有4种颜色可选； 第3步，C区域有3种颜色可选； 第4步，D区域也有3种颜色可选. 由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案. 选选：B. 【点睛】本题主要考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确分步是关键，属于基础题. 28．（2026·天津）．将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有__________种.（以数字做答） 【答案】42 【详解】 29．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，要给“同”“步”“练”“测”四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？ 【答案】 【分析】由乘法计数原理分四步解题即可； 【详解】“同”“步”“练”“测”四个区域依次涂色，分四步． 第1步，涂“同”区域，有3种选择； 第2步，涂“步”区域，有2种选择； 第3步，涂“练”区域，由于它与“同”“步”区域颜色不同，有1种选择； 第4步，涂“测”区域，由于它与“同”“练”区域颜色不同，有1种选择． 所以根据分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有（种） 30．（2026高二·全国·课后作业）由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（    ） A．15 B．12 C．10 D．5 【答案】D 【分析】首先根据题意分成一位偶数，二位偶数和三位偶数三类，再利用分类加法原理求解即可. 【详解】分三类，第一类组成一位整数，偶数有2，共1个； 第二类组成两位整数，其中偶数有12和32，共2个； 第三类组成三位整数，其中偶数有132和312，共2个． 由分类加法计数原理知共有偶数5个． 故选：D 31．（2026·山东泰安·模拟预测）某新闻采访组由名记者组成，其中甲､乙､丙､丁为成员，戊为组长.甲､乙､丙､丁分别来自四个地区.现在该新闻采访组要到四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同.则所有采访的不同安排方法有___________种. 【答案】 【分析】通过分类计数原理将问题分成甲，乙，丙，丁都不到自己的地区和甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区两类进行讨论，然后通过分步计数原理得到每一类的答案，最后求和即可. 【详解】分两类： ①甲，乙，丙，丁都不到自己的地区，组长可任选一地有； ②甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区，并有组长陪同有. 所以总数. 故答案为：44. 32．（2026高二·全国·课堂例题）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有______种报名方法．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有______种可能的结果． 【答案】 81 64 【分析】由乘法计数原理逐空计算即可； 【详解】要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事， 因为每人必报一项，4名同学都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步． 又每人可在三项中选一项，选法为3种， 所以共有种报名方法． 要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事， 因为每项冠军只能由一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步， 而每项冠军是4人中的某一人，有4种可能的情况， 于是共有种可能的结果． 故答案为：81；64 33．（2026高二·全国·课堂例题）将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有______种不同的涂色方法． 【答案】260 【分析】将四个小格编号，分2，3同色或不同色两类，结合两个计数原理求解即可； 【详解】如图所示，将4个小方格依次编号为1，2，3，4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法，第2个、第3个小方格涂色可分两类： 第1类，当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有种不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有种不同的涂法； 第2类，当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有种不同的涂法． 由分类加法计数原理可得共有种不同的涂法． 故答案为：260 1 2 3 4 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $