6.1第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用同步练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1第2课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用 一．选择题 1.某学校有东、南、西、北四个校门,学校对进入四个校门做出如下规定:学生只能从东门或西门进入校园,教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园(不分先后顺序),请问进入校园的方式共有(　　) A.6种 B.12种 C.24种 D.32种 2.某班小张等4名同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每名同学限报其中的一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有(　　) A.27种 B.36种 C.54种 D.81种 3.设集合I={1,2,3,4},A与B是I的子集,若A∩B={1,3},则称(A,B)为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”(规定(A,B)与(B,A)是两个不同的“理想配集”)的个数是(　　) A.16 B.9 C.8 D.4 4.如图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法种数为(　　) A.180 B.240 C.420 D.480 5.某市安排3名校长和4名教师到甲、乙、丙3所学校进行轮岗交流,每所学校安排1名校长,每名教师去1所学校,则不同的安排方案种数是(　　) A.972 B.720 C.486 D.87 6.三位数中,如果百位数字、十位数字、个位数字刚好能构成等差数列,则称为“等差三位数”,例如:147,642,777,420等等.等差三位数的总个数为(　　) A.32 B.36 C.40 D.45 7.从颜色分别为黄、白、红、橙的4盆菊花和颜色分别为紫、粉红、白的3盆山茶花中任取3盆,其中至少有菊花、山茶花各1盆,则不同的选法种数为(　　) A.12 B.18 C.24 D.30 二．填空题 8.一系列函数若它们的定义域不同、对应关系相同、值域相同,则称这一系列的函数为“同族函数”.对应关系为y=x2-1,值域为{0,3,8}的“同族函数”有　　　　个.  9.A地分别与B,C,D三地交界(如右图),且B,C,D三地互不交界,在地图上分别给各地域涂色,要求相邻地域涂不同颜色,现有五种不同颜色可供选用,且颜色可以重复使用,则不同的涂色方法有　　　　　种.  10.高三年级有四个老师分别为a,b,c,d,这四位老师要去监考A,B,C,D四个班级,每个老师只能监考一个班级,一个班级只能有一个监考老师.现要求a老师不能监考A班,b老师不能监考B班,c老师不能监考C班,d老师不能监考D班,则不同的监考方式有　　　　种.  三．解答题 11.用n(n≥3,n∈N*)种不同的颜色给如图所示的A,B,C,D四个区域涂色. (1)若相邻区域能用同一种颜色,则图1有多少种不同的涂色方案? (2)若相邻区域不能用同一种颜色,当n=6时,图1、图2各有多少种不同的涂色方案? (3)若相邻区域不能用同一种颜色,图3有180种不同的涂色方案,求n的值. 图1 图2 图3 12.某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的6个点A,B,C,A1,B1,C1上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种? 13.(1)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2,且a3<a2,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数个数是多少? (2)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1>a2,且a3>a2,则称这样的三位数为凹数(如102,323,756等),那么所有凹数个数是多少? 6.1第2课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用 一．选择题 1. D 因为学生只能从东门或西门进入校园,所以3名学生进入校园的方式共23=8(种). 因为教师只可以从南门或北门进入校园,所以2名教师进入校园的方式共有22=4(种).所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有8×4=32种情况. 2. C 因为除小张外,每名同学都可以报A,B,C三个课外活动小组中的任意一个,都有3种选择,小张不能报A小组,只有2种选择,所以不同的报名方法有3×3×3×2=54(种). 3. B 由题意得,对子集A分类讨论:当集合A={1,3},集合B可以是{1,2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3},共4种结果;当集合A={1,2,3},集合B可以是{1,3,4},{1,3},共2种结果;当集合A={1,3,4},集合B可以是{1,2,3},{1,3},共2种结果;当集合A={1,2,3,4},集合B可以是{1,3},共1种结果.根据分类加法计数原理,可得共有4+2+2+1=9种结果. 4.C 按照S→A→B→C→D(如图)的顺序进行染色,按照A,C是否同色分为两类: 第1类,A,C同色,有5×4×3×1×3=180种不同的染色方法; 第2类,A,C不同色,有5×4×3×2×2=240种不同的染色方法. 根据分类加法计数原理,共有180+240=420种不同的染色方法. 5.C 先安排校长,每所学校安排1名校长,不同的安排方案种数是3×2×1=6;再安排教师,每名教师均有3所学校可以选择,所以不同的安排方案种数是3×3×3×3=81. 综上,不同的安排方案种数是6×81=486. 6.D 由题意得若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为0的“等差三位数”,则只要各位数字不为零即可,有9个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为1的“等差三位数”,则百位数字不大于7,有7个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为2的“等差三位数”,则百位数字不大于5,有5个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为3的“等差三位数”,则百位数字不大于3,有3个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为4的“等差三位数”,则百位数字只能为1,有1个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为-1的“等差三位数”,则百位数字不小于2,有8个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为-2的“等差三位数”,则百位数字不小于4,有6个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为-3的“等差三位数”,则百位数字不小于6,有4个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为-4的“等差三位数”,则百位数字不小于8,有2个. 综上所述,“等差三位数”的总个数为9+7+5+3+1+8+6+4+2=45. 7. D 选出符合要求的3盆花可分为两类:第1类,先从4盆菊花中选1盆,再从3盆山茶花中选2盆,有4×3=12种选法;第2类,先从4盆菊花中选2盆,再从3盆山茶花中选1盆,有6×3=18种选法.根据分类加法计数原理,不同的选法种数为12+18=30. 二．填空题 8.27 由题意得“同族函数”为对应关系相同,值域相同,但定义域不同的函数﹒ ∵对应关系为y=x2-1,值域为{0,3,8},∴由x2-1=0,解得x=±1,x2-1=3,解得x=±2,x2-1=8,解得x=±3知,定义域应为{±1,±2,±3}的子集,且±1,±2,±3这三组数中的每一组至少有1个.当定义域内有3个元素时,有2×2×2=8种组合方式,当定义域内有4个元素时,有3×2×2=12种组合方式,当定义域内有5个元素时,有3×2=6种组合方式,当定义域内有6个元素时,有1种组合方式,∴满足题意的定义域可以有8+12+6+1=27种,即“同族函数”有27个. 9.320 由题意知,本题是一个分步乘法计数问题,首先涂D,有5种涂法,再涂A,有4种涂法,然后涂B,有4种涂法,最后涂C,有4种涂法,即5×4×4×4=320(种). 10.9 当a老师监考B班时,剩下的三位老师有3种监考方式,当a老师监考C班时,剩下的三位老师有3种监考方式,当a老师监考D班时,剩下的三位老师有3种监考方式,共9种. 三．解答题 11. (1)由题意知题图1中的四个区域,每个区域有n种涂色方案,共有n4种不同的涂色方案; (2)题图1,分四步:第1步,涂A,有6种不同的涂法; 第2步,涂B,与A的颜色不相同,有5种不同的涂法; 第3步,涂C,与A,B的颜色都不相同,有4种不同的涂法; 第4步,涂D,只需与C的颜色不相同,有5种不同的涂法. 根据分步乘法计数原理得,共有6×5×4×5=600种不同的涂色方案. 题图2,分四步:第1步,涂A,有6种不同的涂法; 第2步,涂B,与A的颜色不相同,有5种不同的涂法; 第3步,涂D,与A,B的颜色都不相同,有4种不同的涂法; 第4步,涂C,与B,D的颜色都不相同,有4种不同的涂法. 根据分步乘法计数原理得,共有6×5×4×4=480种不同的涂色方案. (3)前3步与题图1的涂法类似,涂A,B,C分别有n,(n-1),(n-2)种不同的涂法, 第4步,涂D,与C,A的颜色都不相同,有(n-2)种不同的涂法. 所以共有n(n-1)(n-2)(n-2)种不同的涂色方案,所以n(n-1)(n-2)2=180,n∈N*, 所以n=5. 12. 第一步,在点A1,B1,C1上安装灯泡,A1有4种方法,B1有3种方法,C1有2种方法,4×3×2=24,即有24种方法. 第二步,从A,B,C中选一个点安装第4种颜色的灯泡,有3种方法. 第三步,再给剩余的两个点安装灯泡,共有3种方法. 由分步乘法计数原理可得,安装方法种数共为4×3×2×3×3=216. 13 (1)分8类:当中间数为2时,百位只能选1,个位可选1,0,由分步乘法计数原理,有1×2=2个; 当中间数为3时,百位可选1,2,个位可选0,1,2,由分步乘法计数原理,有2×3=6个; 同理可得:当中间数为4时,有3×4=12个; 当中间数为5时,有4×5=20个; 当中间数为6时,有5×6=30个; 当中间数为7时,有6×7=42个; 当中间数为8时,有7×8=56个; 当中间数为9时,有8×9=72个. 故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240个. (2)分8类:当中间数为0时,百位可选1~9,个位可选1~9,由分步乘法计数原理,有9×9=81个;当中间数为1时,百位可选2~9,个位可选2~9,由分步乘法计数原理,有8×8=64个; 同理可得:当中间数为2时,有7×7=49个; 当中间数为3时,有6×6=36个; 当中间数为4时,有5×5=25个; 当中间数为5时,有4×4=16个; 当中间数为6时,有3×3=9个; 当中间数为7时,有2×2=4个; 当中间数为8时,有1×1=1个. 故共有81+64+49+36+25+16+9+4+1=285个. 1 学科网（北京）股份有限公司 $