第07讲 排列与排列数（七大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第三册）

本讲义聚焦高中数学“排列与排列数”核心知识点，先通过定义阐释排列的内涵与判断标准，再系统讲解排列数公式及性质，最后延伸至有限制条件、相邻、不相邻、定序等排列应用问题，构建从概念到计算再到应用的完整知识支架。 资料以实际问题情境（如竞赛选法、坐标点确定等）引导学生用数学眼光观察现实，通过公式推导与证明培养逻辑推理的数学思维，总结捆绑法、插空法等解题策略强化数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后通过例题变式与综合练习帮助学生查漏补缺，提升解题能力。

第07讲 排列与排列数 【人教A版】 模块一 排列 1．排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2．排列概念的理解 (1)排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. (2)两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. (3)定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意. 3．排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(m≤n，n,m∈N*)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 【题型1 排列的概念与判断】 【例1】（24-25高二下·上海闵行·月考）下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【解题思路】排列是要求有顺序的，故而只需看每个选项中的是否和顺序有关即可. 【解答过程】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误； B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确； C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误； D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误. 故选：B. 【变式1.1】（24-25高二上·全国·课后作业）下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【答案】B 【解题思路】排列问题是与顺序有关的问题，据此对四个选项进行判断即可解决. 【解答过程】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序， 因而不是排列问题，不合题意； 选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人， 是排列问题，适合题意； 选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点 即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意； 选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果， 这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意. 故选：B． 【变式1.2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知下列问题： ①从甲､乙､丙三名同学中选出两名分别参加数学､物理兴趣小组； ②从甲､乙､丙三名同学中选出两人参加一项活动； ③从a，b，c，d中选出3个字母； ④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数. 其中是排列问题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解题思路】根据排列的定义分别判断即可. 【解答过程】①选出的两名同学分别参加数学､物理兴趣小组与顺序有关，所以①是排列问题；②选出两人参加一项活动与顺序无关，所以②不是排列问题；③选出3个字母与顺序无关，所以③不是排列问题；④选出两个数字组成两位数与顺序有关，所以④是排列问题.所以①④是排列问题，共2个. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二·全国·课后作业）下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④ B．①② C．③④ D．①③④ 【答案】A 【解题思路】根据已知条件，结合排列的定义，逐项分析判断即可. 【解答过程】①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序，①属于排列问题； ②选出的2人劳动内容相同，无顺序，②不属于排列问题， ③选出5人组成一个篮球队，无顺序，③不属于排列问题， ④选出的两个数作为底数或指数，其结果不同，有顺序，④属于排列问题， 所以属于排列问题的为①④. 故选：A. 模块二 排列数 1．排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 n(n-1)(n-2)…(n-m+1).这里，n,m∈N*，并且m≤n. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；…；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. (4)排列数的性质 排列数的性质：①；②. 2．全排列和阶乘 (1)全排列 特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n，即有n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1. (2)阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示，将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示 . 【题型2 排列数的计算与证明】 【例2】（24-25高二下·广东清远·期末）（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 【答案】D 【解题思路】根据排列数公式计算即可. 【解答过程】. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高二下·四川成都·期末）（   ） A．0 B．56 C．1 D．42 【答案】A 【解题思路】根据排列数计算公式，化简求值. 【解答过程】由题意得， 故选：A. 【变式2.2】（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【解答过程】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 【变式2.3】（24-25高二·江苏·课后作业）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立； （2）利用排列数公式化简可证得等式成立. 【解答过程】（1）证明：. （2）证明：. 【题型3 排列数方程和不等式】 【例3】（24-25高二下·福建莆田·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用排列数公式展开化简，得，再结合即可. 【解答过程】则，得， 得，又因为，则. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解. 【解答过程】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 【变式3.2】（24-25高二下·江苏盐城·月考）（1）计算：； （2）解不等式：. 【答案】（1）64；（2）3或4 【解题思路】（1）利用排列数公式计算即可； （2）根据排列数公式运算求解即可. 【解答过程】（1）. （2）因为，可知，且， 整理可得，解得， 且，所以或. 【变式3.3】（24-25高二下·江苏苏州·月考）（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）（2）将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算即可得解， 【解答过程】（1）依题意，有，， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又得， 所以的解集为. （2）因为， 所以，即， 整理得，解得，故， 所以不等式解集为. 模块三 排列的应用问题 1．排列应用问题的分类与求解思路 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. (5)间接法：正面分类太多从反面入手. 【题型4 元素（位置）有限制的排列问题】 【例4】（2025·陕西咸阳·模拟预测）甲、乙、丙等6名同学站成一排，甲、乙不站在两端，丙站在甲、乙之间，则不同的站法有（   ） A．60种 B．48种 C．36种 D．24种 【答案】B 【解题思路】根据题意，先从剩余的3人中选取2人，再分甲乙站在2号和4号位置，甲乙站在2号和5号位置和甲乙站在3号和5号位置，三种情况讨论，结合分步计数原理，即可求解. 【解答过程】根据题意，先从剩余的3人中选取2人，站在两端，由种站法， 若甲乙站在2号和4号位置，则丙和剩余1人，只有一种站法，共有种站法； 若甲乙站在2号和5号位置，则有种站法； 若甲乙站在3号和5号位置，则丙和剩余1人，只有一种站法，共有种站法， 综上可得，共有种不同的站法. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高二下·北京·期中）甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学演讲比赛，若安排上场顺序时甲、乙均不能第一个上场，且乙不能最后一个上场，则这5人上场顺序的不同排法种数为（   ） A．27 B．48 C．54 D．72 【答案】C 【解题思路】利用特殊元素法，分两种情况：甲最后一个上场和甲不能最后一个上场，再安排其他人，计算即可得出结果. 【解答过程】甲、乙均不能第一个上场，且乙不能最后一个上场， 可以先排甲分两种情况进行考虑： 甲最后一个上场，则乙有3个位置可选，再排另外3人有种，共有种排法， 甲不能最后一个上场，则甲、乙从3个位置可选2个进行排列，有种， 再排另外3人有种，共有种排法， 所以，这5人上场顺序的不同排法种数为种. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高二下·广西河池·月考）现有3名男生、3名女生站成一排照相.（用数字作答） (1)6人一起排，有多少种不同的站法？ (2)三名女生不相邻，有多少种不同的站法？ (3)男生甲不在左端，男生乙不在右端，有多少种不同的站法？ 【答案】(1)720； (2)144； (3)504. 【解题思路】（1）将6人作全排列即可得； （2）应用插空法，先排男生，再排女生即可得； （3）应用间接法，分别求出甲在左端、乙在右端、甲在左端且乙在右端，结合（1）结果作差即可得. 【解答过程】（1）将6个人作全排列有种站法； （2）将3名男生先排成一排，再把3名女生插入其中的4个空有种站法； （3）甲在左端共有种，乙在右端共有种，其中甲在左端且乙在右端有种， 所以种站法. 【变式4.3】（24-25高二下·湖北孝感·月考）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． (1)比20000大的五位偶数共有多少个； (2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ (3)能被6整除的五位数有多少个． 【答案】(1)240 (2)352 (3)108 【解题思路】（1）分首位是2，4，3，5四种情况，得到每种情况下的结果数，相加即可； （2）分首位数字为1、2和3，求出相应的比35214小的个数，从而得到答案； （3）能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，分2种情况，结合须为偶数，分类讨论，求出每种情况下的个数，相加即可. 【解答过程】（1）根据题意，符合题意的五位数的首位只能是2，3，4，5，共4种可能， 末位数字必须是0、2或4； 当首位是2时，末位是4或0，有种结果，当首位是4时，同样有48种结果， 当首位是3或5时，末位数字必须是0、2或4，共有种结果， 综上，可知共有种结果，即比20000大的五位偶数有个； （2）根据题意，当五位数首位数字为1、2时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为0、1、2、4时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为，第3位数字为0、1时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为0时，有2个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为1时，比35214小的还有35210，1个数； 则比35214小的五位数有个，故35214是第位； （3）根据题意，被6整除的数必须是既能被2整除，也能被3整除， 若能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，有2种情况， ①当五个数字由、、、、组成时，其末位数字为、，有个， ②当五个数字由、、、、组成时，首位数字为或时，末位有种选择，共有个， 首位数字为或时，末位有种选择，共有个，此时共有个， 则被整除的五位数有个． 【题型5 相邻问题的排列问题】 【例5】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【答案】D 【解题思路】应用捆绑法及特殊位置优先处理计算求解 【解答过程】甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演， 若甲和乙相邻，则有种排法，且甲和乙都不站在两端丙、丁、戊、己4名同学选2人在两端有种排法， 所以不同的排列方式有种排法. 故选：D. 【变式5.1】（24-25高二下·贵州六盘水·期末）将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【解题思路】利用相邻问题捆绑法求解. 【解答过程】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放， 所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法， 所以共有种不同的停放方法. 故选：B. 【变式5.2】（24-25高二下·山东临沂·期末）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（    ） A．24 B．36 C．40 D．48 【答案】C 【解题思路】设最后两人为丁和戊，然后分甲、乙在丁、戊之间和丁、戊在甲、乙一侧时讨论即可. 【解答过程】设剩下的两人分别为丁和戊， ①甲、乙在丁、戊之间，将甲、乙捆绑成一个元素， 丁、戊两人有种排法，甲、乙内部有种排法，丙有4个位置可站， 则共有种； ②丁、戊在甲、乙一侧时，丁、戊可选择甲、乙左侧或右侧，则有种排法， 丁、戊排列有种排法， 甲、乙之间排列也有种排法， 丙有3个位置可站， 则该种情况共有种， 则总共有种不同安排方法. 故选：C. 【变式5.3】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）甲、乙、丙、丁、戊、戌名同学相约到电影院观看电影《哪吒》，他们恰好买到了六张连号且在同一排的电影票，若甲不坐在个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用捆绑法和插空法列式求解即可. 【解答过程】先将乙和丙看成一个人与丁，戊，戌排列，有种排法， 再将甲插入这四个人中间的三个空位，有种排列方式， 最后考虑乙和丙的顺序有种方式， 故共有种排列方式. 故选：D. 【题型6 不相邻排列问题】 【例6】（24-25高二下·重庆·期中）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（    ）种. A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法，结合排除法列式计算. 【解答过程】将甲乙丙三人视为整体与丁戊排列，有种， 当甲乙丙相邻，丙不在甲乙的中间，丙丁相邻时，甲乙丙丁视为一个整体与戊排列，有种， 所以不同的座位排列方法的种数是. 故选：B. 【变式6.1】（24-25高二下·四川绵阳·期中）甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（   ） A． 种 B． 种 C． 种 D．种 【答案】D 【解题思路】根据相邻捆绑，不相邻插空和分步乘法计数原理即可分析计算求解. 【解答过程】甲、乙必须相邻，先将甲、乙两人捆绑作为一人有种排列方法， 接着和除丙、丁外的2人一起进行排列有种排列方法， 最后上述排列种形成的4个空中选出两个空给丙、丁插入排列有种方法， 所以总的不同的安排方法有种. 故选：D. 【变式6.2】（24-25高二下·陕西榆林·月考）某班进行“数学与生活”演讲，有4名男生和3名女生参加，现要排出一个演讲次序．（结果用数字作答） (1)若4名男生相邻，共有多少种不同的排法？ (2)若3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？ (3)若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 【解题思路】（1）利用“元素相邻捆绑法”求排法种数. （2）利用“元素不相邻插空法”求排法种数. （3）方法一：利用“特殊元素（位置）优先法”求排法种数；方法二：利用“间接法”求排法种数. 【解答过程】（1）若4名男生相邻，有种情况， 将4名男生看为一个整体，和3名女生进行排列，有种情况． 所以共有种不同的排法． （2）若3名女生不相邻，先安排4名男生，有种情况， 再将3名女生插入到4名男生形成的5个空中，有种， 所以共有种情况． （3）方法一：男生甲排第一名时，其他人可全排，有种排法； 男生甲不排第一名时，可从余下不含中间的5个位置任选1个，有种， 而女生乙可从除去第一名和男生甲的位置后剩下的5个中任选1个，有种， 其他人全排列，只有种不同排法， 共有种排法． 综上所述，男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有种不同的排法. 方法二：7名学生全排列，有种排法， 其中男生甲排中间，有种排法， 女生乙排第一名，有种排法， 其中都包含了男生甲排中间且女生乙排第一名的情形，有种， 所以男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有种不同的排法． 【变式6.3】（24-25高二下·河北保定·期中）为庆祝校庆，5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式并计算结果） (1)若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？ (2)若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？ (3)同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 【解题思路】（1）利用捆绑法，将男生、女生分别捆绑在一起，求出各自的排列数，然后将捆绑后的男生、女生视为一个整体进行排列，最后根据分步乘法计数原理得到结果. （2）利用插空法，先求出3名男生的排列种数，然后利用插空法，将女生插入男生之间，进行排列，最后利用分步乘法计数原理求得答案. （3）先将甲乙丙以外的其余2人排好,然后根据题意将甲乙、丙排好，最后利用分步乘法计数原理求出答案. 【解答过程】（1）先将3名男生排在一起，有种排法， 再将2名女生排在一起，有种排法， 将排好的男生、女生分别视为一个整体，再进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理可知，共有种排法． （2）先将3名男生排好，共有种排法， 再在这3名男生中间的2个空位中插入2名女生，共有种排法， 再由分步乘法计数原理，共有种排法． （3）先将甲乙丙以外的其余2人排好，共有种排法， 由于甲乙相邻，则有种排法， 最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的2人的中间及两边共3个空位中，共有种排法， 由分步计数原理，共有种排法． 【题型7 定序问题】 【例7】（24-25高二下·陕西榆林·月考）高二（1）班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ） A．42 B．30 C．21 D．15 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用定序法列式计算得解. 【解答过程】7位同学排成一排照相，共有种排法，原来5位同学的排列方法有种， 所以保持原来5位同学的相对顺序不变的排法种数为. 故选：A. 【变式7.1】（24-25高二下·江苏南京·月考）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．36种 【答案】B 【解题思路】将香菌、新笋、豆腐干看作一个元素，利用捆绑法结合倍缩法求解. 【解答过程】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素， 此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 定序问题用倍缩法，共有种不同的排列方式. 故选：B. 【变式7.2】（24-25高二下·陕西安康·月考）某校将举行新学期的迎新晚会，已知初三､高一､高二分别选送了3､5､4个节目，现回答以下问题：（用排列组合数表示，不需要合并化简） (1)若初三的节目彼此都不相邻，共计有多少种出场顺序； (2)若高二的节目出场顺序固定，共计有多少种出场顺序； (3)高一的节目不能排最先出场且初三的节目不能最后出场，共计有多少种出场顺序. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】(1)用插空法解决不相邻问题； (2)用消序法解决定序问题； (3)用分类分步讨论法解决带限制条件的问题. 【解答过程】（1）由于初三的3个节目彼此都不相邻，则先安排高一和高二的9个节目，再用插空法安排初三的3个节目，所以共有：种出场顺序； （2）若高二的出场顺序固定，则用消序法，即共有种出场顺序； （3）第一类：在最后出场，则共有种； 第二类：既不在最先，也不在最后出场，则共有种； 所以根据分类加法原理共计有种出场顺序. 【变式7.3】（24-25高二下·陕西咸阳·月考）有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数． (1)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起； (2)全体排成一行，3名男生互不相邻； (3)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (4)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边． 【答案】(1)720 (2)1440 (3)840 (4)3720 【解题思路】（1）先将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，由分步计数原理计算可得答案； （2）先排女生，然后在空位中插入男生，由分步计数原理计算可得答案； （3）7名学生排成一行，分两步：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，计算可得答案； （4）先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排有种排法，但应剔除乙在最右边的排法种，相减可得答案. 【解答过程】（1）捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有（种）排法； （2）插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有（种）排法； （3）定序排列．7名学生排成一行，分两步： 第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N； 第二步，对甲、乙、丙进行全排列．由乘法原理得， 所以（种）； （4）位置分析法．先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排有种排法， 但应剔除乙在最右边的排法种，则符合条件的排法共有（种）. 一、单选题 1．（25-26高二上·辽宁大连·月考）可表示为排列数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据排列数公式计算求解. 【解答过程】. 故选：A. 2．（24-25高二下·广东揭阳·月考）满足不等式的的值可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用排列数公式可得出关于的不等式，结合的取值范围可得出的值. 【解答过程】，可得， 由题意可得且，故或. 故选：A. 3．（24-25高二下·广东肇庆·月考）用0，1，2，3，4五个数字，组成无重复数字的五位数，则下列说法不正确的是（   ） A．共有96个数 B．偶数有60个 C．大于31000的数有24个 D．数字2和数字4不相邻的数有60个 【答案】C 【解题思路】利用排列组合的相关知识运用分类和间接法等逐一进行判断即可. 【解答过程】对于A，首位不能为，故共有种；剩下的4个数全排列共有种，一共有种，故A正确， 对于B，末位为0时，剩下的4个数全排列共有种； 末位为2时，首位不能为，故共有种，剩下的3个数全排列共有种，一共有种； 末位为4时，首位不能为，故共有种，剩下的3个数全排列共有种，一共有种； 总计有种，故B正确， 对于C，首位为4时，剩下的4个数全排列共有种； 首位为3时，千位为，剩下的3个数全排列共有种，一共有种；千位为，剩下的3个数全排列共有种， 总计有种，故C错误， 对于D，一共的排列共有96个数，数字2和数字4相邻的数共有种，0在首位的情况有种， 数字2和数字4不相邻的数有种，故D正确. 故选：C. 4．（25-26高三上·湖南·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 【答案】C 【解题思路】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解. 【解答过程】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故选：C. 5．（2025·辽宁大连·一模）某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解题思路】按照甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，结合分类加法计数原理可得解. 【解答过程】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论， ①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有种情况； ②当甲不站在第二位时，甲有个位置可选，此时乙也有种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有种情况； 综上所述，一共有种情况， 故选：B. 6．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【解题思路】利用捆绑法和插空法，结合排列知识进行求解. 【解答过程】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有种放置方法， 捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有种方法， 再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有种方法， 综上，共有种放置方式. 故选：C. 7．（24-25高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【答案】C 【解题思路】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【解答过程】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 8．（24-25高二下·云南曲靖·月考）为庆祝七一建党节，某党支部举办了建党节演出活动，该活动要安排3个歌舞类节目、2个情景类节目和2个朗诵类节目的演出顺序.若朗诵类节目不在第一个出场，情景类节目演出顺序不相邻，则不同的演出顺序的种数为（   ） A．1560 B．2640 C．1360 D．2340 【答案】B 【解题思路】分情景类节目第一个出场、舞类节目第一个出场两种情况利用插空法可得答案. 【解答过程】若情景类节目第一个出场，有种，再安排3个歌舞类节目和2个朗诵类节目的演出顺序， 有种，最后再利用插空法安排一个情景类节目，有种， 则共有种演出顺序. 若歌舞类节目第一个出场，有种，再安排余下的2个歌舞类节目和2个朗诵类节目的演出顺序， 有种，最后再利用插空法安排2个情景类节目，有种， 则共有种演出顺序. 故不同的演出顺序的种数为. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二下·安徽·期中）已知m，n为正整数，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解题思路】根据阶乘和排列数运算公式，进行推理和判断选项中的运算是否正确即可. 【解答过程】，故A错误；，，则，故B错误；，故C正确；，故D正确. 故选：CD. 10．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期末）有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（     ） A．共有种不同的排法 B．当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C．当2名教师不相邻时，共有种不同的排法 D．当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法 【答案】AC 【解题思路】对于选项A，根据全排列的排列数进行求解；对于选项B，利用捆绑法和分步乘法计数原理进行求解；对于选项C，利用插空法和分步乘法计数原理进行求解；对于选项D，利用分步乘法计数原理进行求解即可. 【解答过程】对于选项A：3名学生和2名教师共5个人进行全排列，有种排法，所以A正确； 对于选项B：将2名老师看成一个整体，与3名学生全排列，有种排法， 2名教师内部有种排法，共有种排法，所以B错误； 对于选项C：3名学生全排列有种排法，形成4个空位，2名教师插入4个空位有种排法， 共有种排法，所以C正确； 对于选项D：从3名学生选2名学生排在两端，有种排法，剩下3人全排列有种排法. 共有种排法，所以D错误. 故选：AC. 11．（24-25高二下·湖北武汉·期中）将四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》，诗集《唐诗三百首》、《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（   ） A．戏曲书放在正中间位置的不同放法有种 B．诗集相邻的不同放法有种 C．四大名著互不相邻的不同放法有种 D．四大名著不放在两端的不同放法有种 【答案】BD 【解题思路】利用全排列可判断A；利用捆绑法可判断B；利用插空法可判断C；先将除四大名著外的3本书中，挑选2本放在两端，再将剩余的书和位置进行全排列可判断D. 【解答过程】对于A，戏曲书放在正中间，其余6本书和6个位置进行全排列，共有种不同放法， 故A错误； 对于B，将两本诗集进行捆绑，有种放法，再将捆绑的诗集和剩余的5本书， 进行全排列，此时有种放法，故诗集相邻的不同放法有种，故B正确； 对于C，先将诗集和戏曲进行全排列，有种方法，且3本书之间产生4个空位， 将4大名著进行插空，有种方法，故共有种放法，故C错误； 对于D，将除四大名著外的3本书中，挑选2本放在两端，有种放法， 再将剩余5本书和5个位置进行全排列，有种放法，故四大名著不放在两端的不同放法有 种，D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（24-25高二下·吉林·期末）若，则_________. 【答案】3 【解题思路】应用排列公式解排列数方程即可. 【解答过程】由题设，且，， 则， 所以，则， 所以，可得（非整数解舍）. 故答案为：3. 13．（24-25高二下·江苏南通·月考）现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有___________种． 【答案】24 【解题思路】根据排列数以及分步计数原理即可求解. 【解答过程】根据题意，将，看成一个整体，，的排列方法有种方法， 然后将这个整体与进行全排列，即不同的排列方式有， 最后将，插入到三个空中的两个中，有种方法， 根据分步计数原理可知排法种数为， 故答案为：24. 14．（2025高三·全国·专题练习）在我市的一项竞赛活动中，某县的三所学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意2名学生不能相邻，那么不同的排法有_________种．（用数字作答） 【答案】120 【解题思路】根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理进行求解即可. 【解答过程】记有1名、2名、3名学生获奖的学校分别为． 先排学校的3名学生，有种；再对学校的学生进行排列： ①若校的1名与校2名中的1名相邻，则有种排法； ②若校的1名与校的2名均间隔，则有种排法． 由加法原理得（种）． 故答案为：120. 四、解答题 15．（24-25高二下·江苏徐州·月考）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）（2）（3）应用排列数公式化简求值、证明恒等关系及解不等式； 【解答过程】（1）； （2），. （3）依题意，有，可得， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又，得，所以的解集为. 16．（24-25高二下·全国·课后作业）让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲在乙的左边； (2)甲在乙的左边，乙在丙的左边． 【答案】(1)360 (2)120 【解题思路】（1）［方法一］结合排列数，利用倍缩法求解即可； ［方法二］结合排列数，利用空位法求解即可. （2）［方法一］结合排列数，利用倍缩法求解即可； ［方法二］结合排列数，利用空位法求解即可. 【解答过程】（1）［方法一］倍缩法：不考虑甲、乙顺序，有种排法，甲、乙全排有（种）排法， 所以甲在乙的左边的排法共有（种）． ［方法二］空位法：从6个位置中选择4个位置把除甲、乙外的其余4人放入，共有种排法， 再将甲、乙按序排入余下的2个位置，因此共有（种）排法． （2）［方法一］倍缩法：不考虑甲、乙、丙顺序，有种排法，甲、乙、丙全排有（种）排法， 所以甲在乙的左边，乙在丙的左边共有（种）排法． ［方法二］空位法：从6个位置中选择3个位置把除甲、乙、丙外的其余3人放入，共有种排法， 再将甲、乙、丙按序排入余下的3个位置，因此共有（种）排法． 17．（24-25高二下·湖北武汉·月考）有六个数字．（运算结果以数字作答） (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？ (3)能组成多少个恰有三个重复数字的四位数？ 【答案】(1)156个 (2)284个 (3)100个 【解题思路】（1）利用分类计数加法原理，来计算四位偶数的个数； （2）利用分类计数加法原理，来计算比1230大的四位数个数； （3）利用分类计数加法原理，来计算恰有三个重复数字的四位数个数. 【解答过程】（1）由题意组成无重复数字的四位偶数分为三类： 第一类：0在个位时，有个； 第二类：2在个位时，首位从中选定1个，有种，十位和百位从余下的数字中选，有种，共有个； 第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个． 由分类加法计数原理知，共有个无重复数字的四位偶数． （2）组成无重复数字且比1230大的四位数分为四类： 第一类：形如，，，，共个； 第二类：形如，，，共有个； 第三类：形如，，共有个； 第四类：形如，共有个． 由分类加法计数原理知，共有个无重复数字且比1230大的四位数． （3）组成恰有三个重复数字的四位数分为三类： 第一类：重复数字为0时，再从剩余的5个数中选择1个放在千位，故有个； 第二类：重复数字不为0，但数中有0时，0可以从百位，十位，个位选择一个数位，有种，再从5个数中选择1个，有种，故此时有个； 第三类：重复数字不为0，数中也无0时，先从5个数中选择1个不重复的数字，且可放在任意一个数位上，有种，再从剩余的4个数中选择一个可重复的数，有种，故此时有个． 由分类加法计数原理知，共有个恰有三个重复数字的四位数． 18．（25-26高二上·陕西汉中·月考）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）先排两头的唱歌节目，再排中间的5个节目，即可得解； （2）第一步，先将2个唱歌节目全排列，再将这2个唱歌节目看成一个整体，第二步，先将3个舞蹈节目全排列，再将这3个舞蹈节目看成一个整体，第三步，把这两个整体进行全排列，此时这两个整体的全排列，形成3个空，将2个小品节目插入这3个空中，即可得解； （3）先将7个节目进行全排列，再由3个舞蹈节目出场顺序固定，就是7个节目的全排列数除以3个舞蹈节目的全排列数，即为所求. 【解答过程】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； （2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； （3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 19．（24-25高二下·重庆·期中）有名男生和名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？ (1)男生甲不站排头和排尾． (2)两名女生必须相邻． (3)甲、乙、丙三名同学两两不相邻． (4)甲不站排头，乙不站排尾． 【答案】(1)种 (2)种 (3)种． (4)种 【解题思路】（1）先考虑甲的位置，再全排列即可求解， （2）根据相邻问题捆绑法即可求解， （3）根据不相邻问题插空法即可求解， （4）根据全排列，结合正难则反即可求解. 【解答过程】（1）由于甲不站排头也不站排尾，所以甲要站在除去排头和排尾的四个位置， 余下的五个位置使五个元素全排列， 根据分步计数原理知共有种； （2）两名女生必须相邻，利用捆绑法，有种 （3）甲、乙、丙不相邻，可以采用甲，乙和丙插空法， 首先排列除去甲，乙和丙之外的三个人，有种结果， 再在三个元素形成的四个空中排列个元素，共有， 根据分步计数原理知共有种． （4）甲不站排头，乙不站排尾．利用间接法，可得有种． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 排列与排列数 【人教A版】 模块一 排列 1．排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2．排列概念的理解 (1)排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. (2)两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. (3)定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意. 3．排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(m≤n，n,m∈N*)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 【题型1 排列的概念与判断】 【例1】（24-25高二下·上海闵行·月考）下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【变式1.1】（24-25高二上·全国·课后作业）下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【变式1.2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知下列问题： ①从甲､乙､丙三名同学中选出两名分别参加数学､物理兴趣小组； ②从甲､乙､丙三名同学中选出两人参加一项活动； ③从a，b，c，d中选出3个字母； ④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数. 其中是排列问题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1.3】（24-25高二·全国·课后作业）下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④ B．①② C．③④ D．①③④ 模块二 排列数 1．排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 n(n-1)(n-2)…(n-m+1).这里，n,m∈N*，并且m≤n. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；…；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. (4)排列数的性质 排列数的性质：①；②. 2．全排列和阶乘 (1)全排列 特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n，即有n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1. (2)阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示，将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示 . 【题型2 排列数的计算与证明】 【例2】（24-25高二下·广东清远·期末）（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 【变式2.1】（24-25高二下·四川成都·期末）（   ） A．0 B．56 C．1 D．42 【变式2.2】（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【变式2.3】（24-25高二·江苏·课后作业）求证： (1)； (2)． 【题型3 排列数方程和不等式】 【例3】（24-25高二下·福建莆田·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二下·江苏盐城·月考）（1）计算：； （2）解不等式：. 【变式3.3】（24-25高二下·江苏苏州·月考）（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 模块三 排列的应用问题 1．排列应用问题的分类与求解思路 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. (5)间接法：正面分类太多从反面入手. 【题型4 元素（位置）有限制的排列问题】 【例4】（2025·陕西咸阳·模拟预测）甲、乙、丙等6名同学站成一排，甲、乙不站在两端，丙站在甲、乙之间，则不同的站法有（   ） A．60种 B．48种 C．36种 D．24种 【变式4.1】（24-25高二下·北京·期中）甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学演讲比赛，若安排上场顺序时甲、乙均不能第一个上场，且乙不能最后一个上场，则这5人上场顺序的不同排法种数为（   ） A．27 B．48 C．54 D．72 【变式4.2】（24-25高二下·广西河池·月考）现有3名男生、3名女生站成一排照相.（用数字作答） (1)6人一起排，有多少种不同的站法？ (2)三名女生不相邻，有多少种不同的站法？ (3)男生甲不在左端，男生乙不在右端，有多少种不同的站法？ 【变式4.3】（24-25高二下·湖北孝感·月考）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． (1)比20000大的五位偶数共有多少个； (2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ (3)能被6整除的五位数有多少个． 【题型5 相邻问题的排列问题】 【例5】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【变式5.1】（24-25高二下·贵州六盘水·期末）将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【变式5.2】（24-25高二下·山东临沂·期末）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（    ） A．24 B．36 C．40 D．48 【变式5.3】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）甲、乙、丙、丁、戊、戌名同学相约到电影院观看电影《哪吒》，他们恰好买到了六张连号且在同一排的电影票，若甲不坐在个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为（    ） A． B． C． D． 【题型6 不相邻排列问题】 【例6】（24-25高二下·重庆·期中）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（    ）种. A．32 B．28 C．24 D．20 【变式6.1】（24-25高二下·四川绵阳·期中）甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（   ） A． 种 B． 种 C． 种 D．种 【变式6.2】（24-25高二下·陕西榆林·月考）某班进行“数学与生活”演讲，有4名男生和3名女生参加，现要排出一个演讲次序．（结果用数字作答） (1)若4名男生相邻，共有多少种不同的排法？ (2)若3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？ (3)若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？ 【变式6.3】（24-25高二下·河北保定·期中）为庆祝校庆，5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式并计算结果） (1)若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？ (2)若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？ (3)同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？ 【题型7 定序问题】 【例7】（24-25高二下·陕西榆林·月考）高二（1）班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ） A．42 B．30 C．21 D．15 【变式7.1】（24-25高二下·江苏南京·月考）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．36种 【变式7.2】（24-25高二下·陕西安康·月考）某校将举行新学期的迎新晚会，已知初三､高一､高二分别选送了3､5､4个节目，现回答以下问题：（用排列组合数表示，不需要合并化简） (1)若初三的节目彼此都不相邻，共计有多少种出场顺序； (2)若高二的节目出场顺序固定，共计有多少种出场顺序； (3)高一的节目不能排最先出场且初三的节目不能最后出场，共计有多少种出场顺序. 【变式7.3】（24-25高二下·陕西咸阳·月考）有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数． (1)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起； (2)全体排成一行，3名男生互不相邻； (3)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (4)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边． 一、单选题 1．（25-26高二上·辽宁大连·月考）可表示为排列数（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东揭阳·月考）满足不等式的的值可以为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东肇庆·月考）用0，1，2，3，4五个数字，组成无重复数字的五位数，则下列说法不正确的是（   ） A．共有96个数 B．偶数有60个 C．大于31000的数有24个 D．数字2和数字4不相邻的数有60个 4．（25-26高三上·湖南·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 5．（2025·辽宁大连·一模）某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 7．（24-25高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 8．（24-25高二下·云南曲靖·月考）为庆祝七一建党节，某党支部举办了建党节演出活动，该活动要安排3个歌舞类节目、2个情景类节目和2个朗诵类节目的演出顺序.若朗诵类节目不在第一个出场，情景类节目演出顺序不相邻，则不同的演出顺序的种数为（   ） A．1560 B．2640 C．1360 D．2340 二、多选题 9．（24-25高二下·安徽·期中）已知m，n为正整数，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期末）有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（     ） A．共有种不同的排法 B．当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C．当2名教师不相邻时，共有种不同的排法 D．当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法 11．（24-25高二下·湖北武汉·期中）将四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》，诗集《唐诗三百首》、《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（   ） A．戏曲书放在正中间位置的不同放法有种 B．诗集相邻的不同放法有种 C．四大名著互不相邻的不同放法有种 D．四大名著不放在两端的不同放法有种 三、填空题 12．（24-25高二下·吉林·期末）若，则_________. 13．（24-25高二下·江苏南通·月考）现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有___________种． 14．（2025高三·全国·专题练习）在我市的一项竞赛活动中，某县的三所学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意2名学生不能相邻，那么不同的排法有_________种．（用数字作答） 四、解答题 15．（24-25高二下·江苏徐州·月考）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 16．（24-25高二下·全国·课后作业）让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲在乙的左边； (2)甲在乙的左边，乙在丙的左边． 17．（24-25高二下·湖北武汉·月考）有六个数字．（运算结果以数字作答） (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？ (3)能组成多少个恰有三个重复数字的四位数？ 18．（25-26高二上·陕西汉中·月考）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 19．（24-25高二下·重庆·期中）有名男生和名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？ (1)男生甲不站排头和排尾． (2)两名女生必须相邻． (3)甲、乙、丙三名同学两两不相邻． (4)甲不站排头，乙不站排尾． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $