2026年中考数学赋能卷（安徽专用）

2026中考数学赋能卷（安徽专用） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（本题4分）的绝对值是（    ） A． B． C．2 D． 2．（本题4分）年厦门马拉松比赛吸引了来自个国家和地区的名选手参赛，可以将参赛人数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（本题4分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）柘沟澄泥是山东泗水县柘沟镇特有的陶土资源．用柘沟澄泥制作的壶，具有独特的质感和色泽，可能会呈现出紫砂色、青铜器色等，且因窑变而具有丰富的色彩变化．如图是一把做工精湛的澄泥壶，下面四幅图中哪一个是该壶的俯视图（   ） A． B． C． D． 5．（本题4分）定义运算：．例如：，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 6．（本题4分）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（本题4分）已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则a的值为（    ）    A． B． C． D． 8．（本题4分）如图，在中，，点是斜边的中点，平分，，则的长是（    ） A．8 B．5 C．3 D．2 9．（本题4分）如图1，在中，，，动点从点开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，点为中点．设时间为，为，关于的函数图象如图2所示，有下列结论：①当时，；②；③连接，有最小值为；④当与相似时，．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（本题4分）如图，在中，，是的中点，是上一个动点，过点分别作、，垂足分别为、，与交于点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为6 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）比较大小： _____（填“”、“”、或“”符号）． 12．（本题5分）如图，是的直径，，则的度数为________度． 13．（本题5分）反比例函数的图象如图，在中，，边轴，边轴且与函数图象交于E点，边AC与此函数图象交于C、D两点，且，，则k的值为______． 14．（本题5分）如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中是图象上的最低点，则（1）菱形的边长为________，（2）的值为________．      三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分） 15．（本题8分）解方程： 16．（本题8分）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上． (1)请在如图所示的网格中，找一点（点在格点上），画出四边形，使四边形是凸四边形且； (2)请在（1）的基础上，画出以为直角边的等腰直角三角形，且．若在直线上存在动点，请直接写出的最小值． 17．（本题8分）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器.我市飞龙商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共100台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是250元/台，购进两种型号的家用净水器共用去19000元. (1)求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台； (2)为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这100台家用净水器的毛利润不低于5600元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元? (注：毛利润=售价一进价) . 18．（本题8分）如图，一次函数的图象过、两点，与x轴交于A点．    (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积． 19．（本题10分）如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，分别与交于点. （1）过点作于点，求证：是的切线； （2）连接，若，求的长. 20．（本题10分）每年12月4日为国家宪法日，为了解初中生对宪法知识的了解情况，青岛某中学利用法治教育课，采取满分为100分的宪法知识竞赛活动，对全校学生进行测试，将测试成绩按A，B，C，D，E这5个小组分别进行统计（A.0≤x＜60；B.60≤x＜70；C.70≤x＜80；D.80≤x＜90；E.90≤x≤100），其中得分在B组这一范围内的成绩（单位：分）分别是62，64，65，66，67，68，68，68，69，69，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图和统计表． 调查结果统计表 组别 分数分组 频数 频率 A 0≤x＜60 2 0.1 B 60≤x＜70 10 0.5 C 70≤x＜80 　 　 　 　 D 80≤x＜90 3 0.15 E 90≤x≤100 1 0.05 请根据以上信息解答下列问题： (1)补全调查结果统计表以及频数分布直方图； (2)被随机抽取的20名学生成绩的中位数为 　 　； (3)若在扇形统计图中，C组所在扇形圆心角的度数是 　 　； (4)规定成绩大于等于80分以上者学校将进行表彰，若该校共有1260人参加测试，请估计学校这次表彰的人数是多少？ 21．（本题12分）【项目式学习】 项目主题：车轮的形状 项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理． 【合作探究】 (1)探究A组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为______； (2)探究B组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为6cm，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为______； (3)探究C组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为6cm，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长． 探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动． 【拓展延伸】 如图4，分别以正三角形的三个顶点，，为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定． (4)探究D组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，应大致为______． A．    B． C．    D． (5)已知、分别是、上的两个动点：点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，连接．请简要说明此时线段的中点的运动轨迹． 22．（本题12分）在中，，D是上一点，，垂足为点E． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，F是的中点，，猜想与的数量关系，并证明该结论； (3)如图3，，，F是直线上一动点，将沿翻折得到连接，G是的中点，连接，当最小时，直接写出的面积． 23．（本题14分）在平面直角坐标系中，抛物线．分别过点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点．记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点）．记图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为． (1)若，为任意实数，直接写出的取值范围． (2)①若存在实数，使得，直接写出的取值范围． ②对于任意的实数，存在实数，使得，求出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026中考数学赋能卷（安徽专用） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（本题4分）的绝对值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 解：根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，，． 2．（本题4分）年厦门马拉松比赛吸引了来自个国家和地区的名选手参赛，可以将参赛人数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解：， 故选 ：B． 3．（本题4分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：A、，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算正确，符合题意； C、，故本选项计算错误，不符合题意； D、，故本选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 4．（本题4分）柘沟澄泥是山东泗水县柘沟镇特有的陶土资源．用柘沟澄泥制作的壶，具有独特的质感和色泽，可能会呈现出紫砂色、青铜器色等，且因窑变而具有丰富的色彩变化．如图是一把做工精湛的澄泥壶，下面四幅图中哪一个是该壶的俯视图（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解：从上面看的图形如下： 故选：B． 5．（本题4分）定义运算：．例如：，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 解：由题意可知：4☆x=4x2-4x+1=0， ∴△=16-4×4×1=0， ∴有两个相等的实数根， 故选：B． 6．（本题4分）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 解：列表如下： 共有6种等可能的情况，必须闭合开关灯泡才亮，能让灯泡发光的有4种情况， 则能让灯泡发光的概率是． 故选：A． 7．（本题4分）已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则a的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 解：解不等式得， ， 由图像得，不等式的解集为：， ∴， 解得：， 故选B； 8．（本题4分）如图，在中，，点是斜边的中点，平分，，则的长是（    ） A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】D 解：∵点D是斜边AB的中点，， ∴AD=CD=BD ， ∵DE平分∠ADC， ∴DE⊥AC，且AE=CE， ∴DE为△ABC的中位线， ∵， ∴DE==2． 故选D． 9．（本题4分）如图1，在中，，，动点从点开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，点为中点．设时间为，为，关于的函数图象如图2所示，有下列结论：①当时，；②；③连接，有最小值为；④当与相似时，．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 解：由图2知，当时，， 时，，故① 错误； 时，，，， 在中，， ， ， ，故②正确； 如图，连接， ，点为中点， ， ， ， 当时，取最小值，最小值为8， 的最小值为， 有最小值为，故③正确； 当与相似时， ， 或， 或， 解得或，故④ 错误； 综上可知，正确结论的个数是2． 10．（本题4分）如图，在中，，是的中点，是上一个动点，过点分别作、，垂足分别为、，与交于点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为6 【答案】D 解：，，， 四边形 是矩形， 与 互相平分，即 是 的中点，， ， 到直线 的距离最短时，， 此时 ， 的最小值为 ，选项A正确； 如图，连接，则， 在中，，， ，， ， ． 当时，有最小值， 在中，， 最小值为2，则的最小值为4，故选项B正确； 如图2，在中，， 是的中点， 点位于的中位线上． ， 作点关于直线的对称点，则， 当点，，共线时，有最小值，此时， 在中，，故选项C正确； ， ， ，故选项D错误． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）比较大小： _____（填“”、“”、或“”符号）． 【答案】 解：，， 且， ， 即， 故答案为：． 12．（本题5分）如图，是的直径，，则的度数为________度． 【答案】50 解：∵是的直径， ∴， ， ， ， 故答案为：． 13．（本题5分）反比例函数的图象如图，在中，，边轴，边轴且与函数图象交于E点，边AC与此函数图象交于C、D两点，且，，则k的值为______． 【答案】3 解：设点A的坐标为则，，， ，， ， ， ， 解得， 故答案为： 14．（本题5分）如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中是图象上的最低点，则（1）菱形的边长为________，（2）的值为________．      【答案】 4 16 解：连接，，设交于点Q， 在菱形中，，，且， ， 为等边三角形， ∴， 点E是边的中点， ∴， ∵A、C关于对称， ， ， ∴当A、P、E共线时，，的值最小． 观察图象可知，当点P与B重合时，， ， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的边长为4； ∴在中，， 的最小值为， 点H的纵坐标， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点H的横坐标， ． 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分） 15．（本题8分）解方程： 【答案】， 解： 16．（本题8分）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上． (1)请在如图所示的网格中，找一点（点在格点上），画出四边形，使四边形是凸四边形且； (2)请在（1）的基础上，画出以为直角边的等腰直角三角形，且．若在直线上存在动点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 解：（1）解：如图，点D即为所作； （2）解：如图，点E即为所作； 作点关于的对称点，连接交于点， ∴， 由“两点之间，线段最短”可知的最小值为的长， 由勾股定理得， 所以，的最小值为． 17．（本题8分）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器.我市飞龙商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共100台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是250元/台，购进两种型号的家用净水器共用去19000元. (1)求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台； (2)为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这100台家用净水器的毛利润不低于5600元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元? (注：毛利润=售价一进价) . 【答案】（1）A：60台，B：40台；（2）190元 解：（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台， 根据题意得 计算得出： 答：A种型号家用净水器购进了60台，B种型号家用净水器购进了40台； (2)设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元， 根据题意得：60a+40×2a5600 计算得出：a≥40 ∴150+40＝190(元) 答：每台A型号家用净水器的售价至少是190元． 18．（本题8分）如图，一次函数的图象过、两点，与x轴交于A点．    (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 解：（1）解：把、代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ． 19．（本题10分）如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，分别与交于点. （1）过点作于点，求证：是的切线； （2）连接，若，求的长. 【答案】（1）见解析；（2） 解：如图 连接，， 在中，为斜边中线， ∴， ∵是的直径. ∴， ∴， ∵等腰三线合一， ∴， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线. （2）连接， 则四边形为矩形， ， ∴ , ， ∴ ∴ 20．（本题10分）每年12月4日为国家宪法日，为了解初中生对宪法知识的了解情况，青岛某中学利用法治教育课，采取满分为100分的宪法知识竞赛活动，对全校学生进行测试，将测试成绩按A，B，C，D，E这5个小组分别进行统计（A.0≤x＜60；B.60≤x＜70；C.70≤x＜80；D.80≤x＜90；E.90≤x≤100），其中得分在B组这一范围内的成绩（单位：分）分别是62，64，65，66，67，68，68，68，69，69，并将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图和统计表． 调查结果统计表 组别 分数分组 频数 频率 A 0≤x＜60 2 0.1 B 60≤x＜70 10 0.5 C 70≤x＜80 　 　 　 　 D 80≤x＜90 3 0.15 E 90≤x≤100 1 0.05 请根据以上信息解答下列问题： (1)补全调查结果统计表以及频数分布直方图； (2)被随机抽取的20名学生成绩的中位数为 　 　； (3)若在扇形统计图中，C组所在扇形圆心角的度数是 　 　； (4)规定成绩大于等于80分以上者学校将进行表彰，若该校共有1260人参加测试，请估计学校这次表彰的人数是多少？ 【答案】(1)4，0.2，图见解析 (2)68.5 (3)72° (4)252人 解：（1）总人数为：2÷0.1＝20， ∴C组的频数为20﹣2﹣10﹣3﹣1＝4，频率为：4÷20＝0.2， 故答案为：4，0.2； 补全直方图如下： （2）由表格可知， 这组数据的中位数在B组，是B组的第10个和11个数据的平均数， 则被随机抽查的20名学生成绩的中位数为：(68+69)÷2＝68.5， 故答案为：68.5； （3）在扇形统计图中，B组所在扇形圆心角的度数是， 故答案为：72°； （4）（人）， 答：学校这次表彰的人数是252人． 21．（本题12分）【项目式学习】 项目主题：车轮的形状 项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理． 【合作探究】 (1)探究A组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为______； (2)探究B组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为6cm，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为______； (3)探究C组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为6cm，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长． 探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动． 【拓展延伸】 如图4，分别以正三角形的三个顶点，，为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定． (4)探究D组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，应大致为______． A．    B． C．    D． (5)已知、分别是、上的两个动点：点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，连接．请简要说明此时线段的中点的运动轨迹． 【答案】(1)8 (2) (3) (4)A (5)点在以的中点为圆心，以为半径的圆心角为的弧上 解：（1）解：最高点到地面距离为； （2）解：轴心最低点高度是正方形中心（轴心）到边的距离为边长一半， 轴心最高点高度为到顶点的距离为对角线一半， 因此高度差为． （3）解：如图，连接，过点作， ∵正三角形边长为，， ∴， ∴， ∴其中心（轴心）到顶点的距离（外接圆半径）． ∴正三角形滚动一周，每经过一个顶点，绕该顶点旋转，共旋转3次，总旋转角度为． ∴经过的路径长为一个整圆的周长：． （4）解： 莱洛三角形滚动时始终夹在两条平行线之间，最高点到地面距离不变，因此最高点轨迹为水平直线，排除最高点是曲线的选项B、D； 滚动过程中，轴心在顶点接触地面时高度最高，共出现3次高度峰值，轨迹为三段起伏的波浪线，符合的是选项A． （5）解：连接，，，，，取、的中点R、S，连接，，， ∵点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、的中点为，的中点为， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，点为中点，当点与点重合时，点为中点，此时，， 故点在以的中点为圆心，以为半径的圆心角为的弧上； 22．（本题12分）在中，，D是上一点，，垂足为点E． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，F是的中点，，猜想与的数量关系，并证明该结论； (3)如图3，，，F是直线上一动点，将沿翻折得到连接，G是的中点，连接，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 解：（1）解：设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，延长至点P，使，连接， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质得， 取的中点O，连接， ∵G是的中点， ∴， ∴点G在以点O为圆心，1为半径的圆上运动， ∴，当、、共线时，取得最小值， 由其中是定值， ∴当、、共线时，取得最小值， 则连接交于点G，此时最小，如图， 过点O作于点M，过点G作于点N， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（本题14分）在平面直角坐标系中，抛物线．分别过点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点．记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点）．记图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为． (1)若，为任意实数，直接写出的取值范围． (2)①若存在实数，使得，直接写出的取值范围． ②对于任意的实数，存在实数，使得，求出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或． 解：（1）解：当时，抛物线， 对称轴为直线，顶点坐标为， 分别过点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点， ，， 当，即时，，， ， ； 当时，，， ， ； 当时，，， ， ； 当时，，， ， ； 综上所述，； （2）①分别过点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点， ，， 又，抛物线对称轴为直线， 当，即时，，， ， ， ， ； 当时，，， ， ，即， ； 当时，，， ，即， ； 当时，，，， ， ，即， ； 综上所述，； ②当，即时，，， ， ， ， ， ， 解得，不合题意，舍去； 当时，，， ， ，即， ； 解得或或， ； 当时，，， ， ， 解得，或， ； 当时，，， ， ， 解得， ∴； 综上所述，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $