专题13 规律探索与逻辑推理（安徽专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题13 规律探索与逻辑推理（原卷版） 1．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 2．（2025.安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 3．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 4．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 5．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 6．（2021·安徽·中考真题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． [观察思考] 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推， [规律总结] （1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块； （2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）． [问题解决] （3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少？ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2023·安徽合肥·二模）中国数字文化源远流长，“万物莫逃乎数”，“一切皆有定数”…，是古人对自然、社会的一种观察和思考．古籍《孙子算经》中也记录了很多古人发现的数字规律．现在请你根据所学知识观察：（1）；（2）；（3）根据规律写出第（n）个等式： ； 2．（2025·安徽池州·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中，“”的个数为 ； （2）第个图案中，“”的个数可表示为 ； 【规律应用】 （3）结合图案中的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得“”的个数是“”的个数2倍？若存在，求出的值，若不存在，请说出理由． 3．（2025·安徽合肥·三模）【问题提出】 因式分解： 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ① ②由①知，继续添加下一项得： （1）仿照②，把代数式进行因式分解． 【发现规律】 （2）推广到一般形式：______； 【问题解决】 （3）化简：______． 4．（2025.安徽合肥.一模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 按照上述规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：__________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 5．（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 6．（2025·安徽安庆·一模）设表示两位数，如：当时，表示82；数学兴趣小组研究的平方规律，依次计算发现个位上数字是2的两位数平方的规律： 第1个等式， 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按照以上规律，完成下列问题： (1)写出第5个等式：________． (2)写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明． 7．（2024·安徽安庆·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空：． （1）第n个图案中，“▲”的个数为______； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4． 8．（2025·安徽合肥·一模）数学兴趣小组开展了一项探究活动，主题是“两个相邻奇数/偶数的平方差”．相关内容如下表所示： 类型 两个相邻奇数的平方差 两个相邻偶数的平方差 表示结果 ___________ ．．．．．． ．．．．．． 一般结论 ___________      (1)完成上述表格内容； (2)兴趣小组发现：这些形如（是正整数）的数都可以用两个相邻奇数/偶数的平方差来表示，分析过程如下： ①设两个相邻奇数分别为：（为正整数）， 则：； ②设两个相邻偶数分别为：（为正整数）， 则：___________ 而能取到所有的正整数，由此可证明结论正确． 9．（2025·安徽宣城·三模）数学兴趣小组发现在实数范围内不能因式分解，接着他们研究的因式分解问题，过程如下． (1)当x为正整数时： ； ； ； ； …… 按照以上规律，回答下列问题： （ⅰ）__________=____________； （ⅱ）_________=___________． (2)在（1）的研究基础上，请你猜想：当x为任意实数时，因式分解所得的结果．并证明该因式分解结果的正确性． 10．（2025·安徽亳州·三模）数学兴趣小组开展探究活动：研究一个判断正整数能否被7整除的规律． 观察归纳： ；；． ；；． ；；． ；；． … 规律发现：对于一个正整数x，有如下判断正整数x能否被7整除的方法：划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉的数字的两倍相减得到它们的差．若该差能被7整除，则正整数x能被7整除．否则，正整数x不能被7整除． 规律应用： (1)请用上述方法验证266能否被7整除． (2)兴趣小组的同学按规律把一些三位数整理成如下表格，请你填写表格中横线上的内容： x x的表示 按（2）中操作得到的差，记为M（x） 217      945 ______ ______ … … … (3)表示，其中，，，且a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当能被7整除时，也能被7整除． 11．（2025·安徽阜阳·三模）某数学社团有如下项目研究，请解答相应问题． 【项目主题】两位数之间的运算与数位上数字的关系． 【项目研究的内容】某些特殊的两个两位数的积与交换这两个两位数数字得到的新两位数积的差． 【项目研究的过程】 （1）特例观察： ； ； ； ___________________； … （2）等式左边的算式可表示为的形式，观察这些式子可以发现：①数a，b十位上的数字相同，不妨设为且为正整数）；②若设数个位上的数字为且为正整数），则个位上的数为______________；③将数的十位上的数与个位上的数字对调得到数，将数的十位上的数与个位上的数字对调得到数；… （3）在（2）的前提下，数可以表示为，数可以表示为，数可以表示为，数可以表示为______________ 【归纳与证明】请你根据“项目研究的过程”的内容，用含m，n的等式归纳“这种特殊的两个两位数的积与交换这两个两位数数字得到的新两位数积的差”的规律，并证明． 12．（2025·安徽合肥 一模）观察以下等式： 第1个等式： 第个等式： 第3个等式： 第个等式： 第5个等式： ······ 按照以上规律．解决下列问题： 写出第个等式____________； 写出你猜想的第个等式： (用含的等式表示)，并证明． 13．（2025.安徽宿州·三模）观察下列图形与等式的关系： 第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 …… 根据图形及等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图中空白部分小正方形的个数是______，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：______； (2)用含的等式表示第个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：______； (3)运用上述规律计算：． 14．（2025·安徽阜阳·二模）阅读与思考： 站队问题问题提出：即将离开生活了3年的母校，几位同学站在一排在教学楼前合影．他们共有多少种站法？ 问题探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一： 当只有、两人时，此时站法有：、两种． 探究二： 当有三人时，我们把位置命名为第1位、第3位． 进行如下分析： 此时站法有6种． 探究三： 当有三人时，我们把位置命名为第1位、第2位、第3位；当安排第1位同学时，我们有3种选择；第1位同学安排好后，再来安排第2位同学，此时我们有2种选择；剩下的一位同学只有一种选择，故站法共有（种）． 任务： (1)探究二中问题的分析方法为_____； (2)按照上面的分析方法，若四位同学站在一排照相，则共有_____种站法； (3)现有四位男同学和一名女同学共五位同学站在一排照相，其中这名女生必须站在第1位或者最后一位，求他们共有多少种站法？ 15．（2025·安徽合肥·二模）在数学活动课上，某活动小组用棋子摆出了下列图形：                   （1）探索新知： ①第个图形需要_________枚棋子；②第个图形需要__________枚棋子． （2）思维拓展： 小明说：“我要用枚棋子摆出一个符合以上规律的图形”，你认为小明能摆出吗？如果能摆出，请问摆出的是第几个图形；如果不能，请说明理由． 16．（2025·安徽合肥·二模）如图，将一张等边三角形纸片剪成4个大小、形状一样的小等边三角形，记为第1次操作，然后将其中左下角的等边三角形又按同样的方法剪成四个小等边三角形，共得到7个等边三角形，记为第2次操作，若每次都把左下角的等边三角形按此方法剪成四个小等边三角形，如此循环进行下去…． (1)第4次操作后共得到等边三角形的个数为______，第n次操作后共得到等边三角形的个数为______； (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第n次操作后所得的最小等边三角形的边长，例如：，，求： （ⅰ）______； （ⅱ）______． 17．（2025·安徽合肥·二模）某园林公司举行盆景展览，如图所示是用这两种盆景摆成的图案，黑色圆点为六月雪盆景，黑色正方形为九里香盆景．图1中六月雪盆景数量为4，九里香盆景数量为2；图2中六月雪盆景数量为6，九里香盆景数量为6；图3中六月雪盆景数量为8，九里香盆景数量为12；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)图5中，六月雪盆景数量为_______，九里香盆景数量为_______； (2)若园林公司用这两种盆景共132盆按如上规律摆成一个图案，请求出该图案中六月雪和九里香这两种盆景分别多少盆？ 18．（2025·安徽淮北·三模）数学兴趣小组开展探究活动，很快就发现这3个数的平均数是，他们继续探究这3个数的平均数与的关系．他们发现如下结论． 表1 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 表2 1 2 3 4 5 _____ ．．． ．．． 继续探究，他们发现，表1中N可改写，改写后可得表2． 按照表1和表2的规律，回答下列问题： (1)补充表2． (2)请你猜想的平均数与之间存在的等量关系（用含的式子表示），并证明你的猜想． 19．（2025·安徽合肥·一模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据上面等式的规律，回答下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 20．（2025·安徽合肥·一模）【问题呈现】我们知道，，那么如何求的值？ 【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系： 【归纳猜想】 （1）______． （2）______． 【拓展应用】 （3）求的值． 21．（2025·安徽合肥·一模）在数学活动课中，某兴趣小组研究一种公式，写出了下列几组等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式规律： （i）第4个等式为：； （ii）第n个等式为：___________________． (2)小组成员小明和小华进一步探索上述规律： 小明同学猜想，其中a，b为正整数．小华同学提出反对意见，并通过如下计算进行了证明：（①__________________） 不一定等于． 请你补全①中所缺内容，并直接写出当小明同学想成立时，a、b需要满足的数量关系． 22．（2025·安徽合肥·一模）宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞”数字，数学兴趣小组在研究“黑洞”数字时，在0到9之间，任取一组不全相等的三个数字，从大到小排列得到最大数，再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，再按照上述方式重新排列，再相减，再得到一个新数…一直重复操作， 例如． 第1组：数字1，2，0，则； 第2组：数字1，9，8，则； 第3组：数字7，9，2，则； 第4组：数字6，9，3，则_________________． (1)根据规律，补充第4组横线的内容； (2)小组成员发现：任取这样一组不全相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个确定的“黑洞”数字，这个数是________________； (3)小组成员发现：在上述“重排求整”操作中，最大数和最小数的差能被99整除，推过程如下： 设一组三个数字为，，，不妨设，且，，不全相等，最大数可表示为__________________，最小数可表示为___________________，则最大数最小数（____________），所以最大数和最小数的差能被99除． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 规律探索与逻辑推理（解析版） 1．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 【答案】 2 11 【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数； （2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案． 【详解】解；（1）∵， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行二次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为， 故答案为；11． 2．（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【答案】；；；；； 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，通过观察图4所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出长度的增加量，进而得出y个拼接单元拼成一行的长度．涉及根据给定的拼接条件进行不等式计算，以确定拼接单元数量、组件数量， 进而计算每行成本和总成本．方案二的计算方法与方案一类似． 【详解】解：项目主题： 观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角 形； 由正六边形和正三角形组件的边长均为，观察图4可得 增加的长度为3个边长，即 计算 y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的，每增加一个拼接单元长度增加，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为 项目分析： 计算方案二每行可拼接的单元数量令， 移项可得，即， 两边同时除以，解得， 每行可以先拼块拼接单元． 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量 拼块拼接单元， 共用去个正六边形和个正三角形组件． 由知，所拼长度为， 剩余，无法再摆放组件． 由知，方案二每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行， 则， 两边同时除以，， 故需铺17行． 计算方案二的总成本． 方案二所需的总成本为元． 项目实施： 两种方案比较可知：． 选方案二完成实践活动． 故答案为：；；；；；． 3．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 4．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1） 解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：． （2）第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， （3）解：依题意，， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． 5．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答； （2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明． 【详解】（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 证明如下： 等式左边：， 等式右边： ， 故等式成立． 【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 6．（2021·安徽·中考真题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． [观察思考] 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推， [规律总结] （1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块； （2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）． [问题解决] （3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？ 【答案】（1）2 ；（2）；（3）1008块 【分析】（1）由图观察即可； （2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可； （3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量． 【详解】解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖； 故答案为：2 ； （2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖； 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4； 所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有（）块； 故答案为：； （3）令    则 当时， 此时，剩下一块等腰直角三角形地砖 需要正方形地砖1008块． 【点睛】本题为图形规律题，涉及到了一元一次方程、列代数式以及代数式的应用等，考查了学生的观察、发现、归纳以及应用的能力，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的规律等． 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2025安徽合肥·二模）中国数字文化源远流长，“万物莫逃乎数”，“一切皆有定数”…，是古人对自然、社会的一种观察和思考．古籍《孙子算经》中也记录了很多古人发现的数字规律．现在请你根据所学知识观察：（1）；（2）；（3）根据规律写出第（n）个等式： ； 【答案】 【分析】观察已知的三个等式可得第n个等式． 【详解】解：∵第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； ∴第n个等式：； 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，观察所给的等式得到规律是解题关键． 2．（2025·安徽池州·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中，“”的个数为 ； （2）第个图案中，“”的个数可表示为 ； 【规律应用】 （3）结合图案中的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得“”的个数是“”的个数2倍？若存在，求出的值，若不存在，请说出理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不存在，见解析 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中数量关系的增加情况，找出规律是解题的关键． （1）根据图形中数量的增加情况，找出规律即可求解； （2）根据图形中数量的增加情况，找出规律即可求解； （3）根据题意，假设“”的个数是“”的个数倍，由题意得： ，由此即可求解． 【详解】[规律发现] （1）第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， ∴第一个图案中：“”有个， 故答案为：； （2）第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， ∴第一个图案中：“”有个， 故答案为：； [规律应用 （3）不存在， 理由如下：假设“”的个数是“”的个数倍，由题意得： ，        整理得：， 解得， 不是正整数，与题意中的是正整数不符， ∴不存在正整数，使得“”的个数是“”的个数倍． 3．（2025·安徽合肥·三模）【问题提出】 因式分解： 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ① ②由①知，继续添加下一项得： （1）仿照②，把代数式进行因式分解． 【发现规律】 （2）推广到一般形式：______； 【问题解决】 （3）化简：______． 【答案】1） ；（2）；（3） 【分析】本题考查了数字类规律，解题的关键是从简单情形出发，找出规律，解决问题． （1）直接利用题意规律求出结果； （2）利用题意规律求出结果； （3）利用提公因式和题意规律求出结果． 【详解】解：（1） ． （2）， 故答案为：． （3） ， 故答案为：． 4．（2025.安徽合肥.一模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 按照上述规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：__________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】此题考查数字的变化规律，根据数字的特点，得出分式运算的规律；利用规律解决问题是解题的关键． （1）根据规律，进行解答便可； （2）把得出的规律用字母n表示出来，并运用分式的运算法则进行验证． 【详解】（1）解：； （2）第个等式是． 左边右边， 猜想成立． 5．（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】对于（1），根据前四个式子的规律得出第5个等式； 对于（2），根据前5个式子的规律写出第n个式子，再证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 即； 故答案为：； （2）解：第n个等式： ； ． 6．（2025·安徽安庆·一模）设表示两位数，如：当时，表示82；数学兴趣小组研究的平方规律，依次计算发现个位上数字是2的两位数平方的规律： 第1个等式， 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按照以上规律，完成下列问题： (1)写出第5个等式：________． (2)写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知的平方等于乘以的积加上4，据此写出第5个等式即可 （2）根据（1）的规律写出第n个等式，再利用完全平方公式把等式左边展开，利用单项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开即可证明结论． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为 （2）解：猜想，证明如下： ∵左边， 又∵右边， ∴左边右边， ∴． 7．（2025·安徽安庆·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空：． （1）第n个图案中，“▲”的个数为______； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4． 【答案】（1）；（2）；（3）n的值为2或7 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图形个数的变化规律，得出第n个图案中，“▲”的个数为，即可作答． （2）结合题干条件，直接得出第n个图案中，“★”的个数可表示为； （3）根据条件以及（1），（2）的结论进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）观察图形，得出 第1个图案中，“▲”的个数为； 第2个图案中，“▲”的个数为； 第3个图案中，“▲”的个数为； 第4个图案中，“▲”的个数为； 以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为， 第2个图案中，“★”的个数可表示为， 第3个图案中，“★”的个数可表示为， …， 第n个图案中，“★”的个数可表示为； （3）∵“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4 ∴ ∴ 解得 ∴n的值为2或7 8．（2025·安徽合肥·一模）数学兴趣小组开展了一项探究活动，主题是“两个相邻奇数/偶数的平方差”．相关内容如下表所示： 类型 两个相邻奇数的平方差 两个相邻偶数的平方差 表示结果 ___________ ．．．．．． ．．．．．． 一般结论 ___________      (1)完成上述表格内容； (2)兴趣小组发现：这些形如（是正整数）的数都可以用两个相邻奇数/偶数的平方差来表示，分析过程如下： ①设两个相邻奇数分别为：（为正整数）， 则：； ②设两个相邻偶数分别为：（为正整数）， 则：___________ 而能取到所有的正整数，由此可证明结论正确． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题主要考查平方差公式； （1）根据表格得出规律即可； （2）根据平方差公式得出结论即可． 【详解】（1）解：根据表格得出： ； ； （2）解：①设两个相邻奇数分别为：（为正整数）， 则 而能取到所有的正整数，由此可证明结论正确； ②设两个相邻偶数分别为：（为正整数）， 则 而能取到所有的正整数，由此可证明结论正确． 9．（2025·安徽宣城·三模）数学兴趣小组发现在实数范围内不能因式分解，接着他们研究的因式分解问题，过程如下． (1)当x为正整数时： ； ； ； ； …… 按照以上规律，回答下列问题： （ⅰ）__________=____________； （ⅱ）_________=___________． (2)在（1）的研究基础上，请你猜想：当x为任意实数时，因式分解所得的结果．并证明该因式分解结果的正确性． 【答案】(1)（ⅰ），；（ⅱ）， (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查因式分解的规律问题．熟练使用因式分解方法是解答关键． （1）通过观察已给出的等式，找出相应的规律求解即可． （2）利用（1）得出的规律来进行猜想，证明求解即可． 【详解】（1）解：（1）（ⅰ）； 故答案为：，； （ⅱ）； 故答案为：，； （2）猜想：因式分解的结果为．     证明：∵， ∴是正确的． 10．（2025·安徽亳州·三模）数学兴趣小组开展探究活动：研究一个判断正整数能否被7整除的规律． 观察归纳： ；；． ；；． ；；． ；；． … 规律发现：对于一个正整数x，有如下判断正整数x能否被7整除的方法：划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉的数字的两倍相减得到它们的差．若该差能被7整除，则正整数x能被7整除．否则，正整数x不能被7整除． 规律应用： (1)请用上述方法验证266能否被7整除． (2)兴趣小组的同学按规律把一些三位数整理成如下表格，请你填写表格中横线上的内容： x x的表示 按（2）中操作得到的差，记为M（x） 217      945 ______ ______ … … … (3)表示，其中，，，且a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当能被7整除时，也能被7整除． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)见解析． 【分析】本题考查了整式的加减运算，数字规律类探索，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意给出的方法即可解答； （2）根据题意给出的规律即可解答； （3）由题意得，得到，由，则，当能被7整除时，也是的倍数，即是的倍数，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， ∴能被整除； （2）解：由题意可得： ， ， 故答案为：，； （3）解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， 当能被7整除时，也是的倍数，即是的倍数， ∴也是的倍数，能被整除， ∴当能被7整除时，也能被7整除． 11．（2025·安徽阜阳·三模）某数学社团有如下项目研究，请解答相应问题． 【项目主题】两位数之间的运算与数位上数字的关系． 【项目研究的内容】某些特殊的两个两位数的积与交换这两个两位数数字得到的新两位数积的差． 【项目研究的过程】 （1）特例观察： ； ； ； ___________________； … （2）等式左边的算式可表示为的形式，观察这些式子可以发现：①数a，b十位上的数字相同，不妨设为且为正整数）；②若设数个位上的数字为且为正整数），则个位上的数为______________；③将数的十位上的数与个位上的数字对调得到数，将数的十位上的数与个位上的数字对调得到数；… （3）在（2）的前提下，数可以表示为，数可以表示为，数可以表示为，数可以表示为______________ 【归纳与证明】请你根据“项目研究的过程”的内容，用含m，n的等式归纳“这种特殊的两个两位数的积与交换这两个两位数数字得到的新两位数积的差”的规律，并证明． 【答案】项目研究的过程：（1）；（2）；（3）；归纳与证明：规律：，见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． 项目研究的过程：（1）根据题干中所给式子得出规律即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）根据题意列出代数式即可； 归纳与证明：得出规律，根据整式的运算法则证明即可． 【详解】解：项目研究的过程： （1）由题干中所给式子可得： （2）由题意可得个位上的数为： （3）由题意可得：数可以表示为 归纳与证明： 规律： 证明：左边 右边； 原等式成立． 12．（2025·安徽合肥 一模）观察以下等式： 第1个等式： 第个等式： 第3个等式： 第个等式： 第5个等式： ······ 按照以上规律．解决下列问题： 写出第个等式____________； 写出你猜想的第个等式： (用含的等式表示)，并证明． 【答案】（1）；（2），证明见解析． 【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可； （2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可． 【详解】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：； （2）， 证明：∵左边==右边， ∴等式成立． 【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来． 13．（2025.安徽宿州·三模）观察下列图形与等式的关系： 第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 …… 根据图形及等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图中空白部分小正方形的个数是______，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：______； (2)用含的等式表示第个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：______； (3)运用上述规律计算：． 【答案】(1)11， (2) (3)2025 【分析】本题考查图形变化的规律，有理数的混合运算等知识点， （1）根据题图找出规律即可得解； （2）根据题图找出规律即可得解； （2）根据题图找出的规律计算即可得解； 能根据所给等式写出图n空白部分小正方形个数满足的等式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图知：第5个空白小正方形的个数为，第6个空白小正方形的个数算式应为：， 故答案为：11，； （2）解：由题图知， 图①空白部分小正方形的个数是； 图②空白部分小正方形的个数是； 图③空白部分小正方形的个数是； …， 所以图n空白部分小正方形的个数是：， 故答案为：； （3）解：由（2）问规律可计算得， ． 14．（2025·安徽阜阳·二模）阅读与思考： 站队问题问题提出：即将离开生活了3年的母校，几位同学站在一排在教学楼前合影．他们共有多少种站法？ 问题探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一： 当只有、两人时，此时站法有：、两种． 探究二： 当有三人时，我们把位置命名为第1位、第3位． 进行如下分析： 此时站法有6种． 探究三： 当有三人时，我们把位置命名为第1位、第2位、第3位；当安排第1位同学时，我们有3种选择；第1位同学安排好后，再来安排第2位同学，此时我们有2种选择；剩下的一位同学只有一种选择，故站法共有（种）． 任务： (1)探究二中问题的分析方法为_____； (2)按照上面的分析方法，若四位同学站在一排照相，则共有_____种站法； (3)现有四位男同学和一名女同学共五位同学站在一排照相，其中这名女生必须站在第1位或者最后一位，求他们共有多少种站法？ 【答案】(1)树状图分析法 (2)24 (3)48种 【分析】本题主要考查了排列问题，掌握分布乘法原理是解题的关键． （1）根据题中的图即可解答； （2）根据探究三中的分布乘法原理解答即可； （3）结合第二小问，分析当女生站在第1位时和最后一位时的站法，相加即可． 【详解】（1）解：由题意可知探究二中问题的分析方法为树状图分析法， 故答案为：树状图分析法． （2）解：安排第1位同学有四种选择，安排第2位同学有三种选择，安排第3位同学有2种选择，安排第4位同学有1种选择，因此共有（种）站法． 故答案为：24． （3）解：当女生站在第1位时，其余四位男生站4个位置共有24种站法；同理当女生站在最后一位时，其余四位男生站4个位置共有24种站法，因此共有（种）站法，即共有48种站法． 15．（2025·安徽合肥·二模）在数学活动课上，某活动小组用棋子摆出了下列图形：                   （1）探索新知： ①第个图形需要_________枚棋子；②第个图形需要__________枚棋子． （2）思维拓展： 小明说：“我要用枚棋子摆出一个符合以上规律的图形”，你认为小明能摆出吗？如果能摆出，请问摆出的是第几个图形；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）①16；②；（2）不能，见解析 【分析】（1）①观察4个图形中的变化，得到变化规律，得到第5个图形的数量； ②根据前面发现的规律即可列式表示； （2）将第n个图形的代数式等于360，计算出n的值，判断是否符合题意. 【详解】（1）①第1个图需要棋子枚数：1+3， 第2个图需要棋子枚数：， 第3个图需要棋子枚数： ， 第4个图需要棋子枚数： ， ∴第5个图需要棋子枚数： ， 故答案为：16； ②由①得到：第n个图需要棋子枚数： ， 故答案为：； （2）不能， 当=360时，得， ∵n为正整数， ∴不能摆出符合以上规律的图形. 【点睛】此题考查图形类规律的探究，能观察图形得到图形的变化规律并列式表示是解题的关键. 16．（2025·安徽合肥·二模）如图，将一张等边三角形纸片剪成4个大小、形状一样的小等边三角形，记为第1次操作，然后将其中左下角的等边三角形又按同样的方法剪成四个小等边三角形，共得到7个等边三角形，记为第2次操作，若每次都把左下角的等边三角形按此方法剪成四个小等边三角形，如此循环进行下去…． (1)第4次操作后共得到等边三角形的个数为______，第n次操作后共得到等边三角形的个数为______； (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第n次操作后所得的最小等边三角形的边长，例如：，，求： （ⅰ）______； （ⅱ）______． 【答案】(1)， (2)； 【分析】本题主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每剪一次，等边三角形的个数增加3，据此写出代数式即可； （2）（ⅰ）依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答； （ⅱ）运用（ⅰ）中的结论进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 剪1次共得到的等边三角形个数为：； 剪2次共得到的等边三角形个数为：； 剪3次共得到的等边三角形个数为：； 剪3次共得到的等边三角形个数为：； …， 所以剪n次共得到的等边三角形个数为个． 故答案为：，． （2）解：（ⅰ）因为原等边三角形的边长为1， 所以第1次所剪出的小等边三角形的边长为：； 第2次所剪出的小等边三角形的边长为：； 第3次所剪出的小等边三角形的边长为：； …， 所以第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，即， 故答案为：； （ⅱ）由（ⅰ）题可知： ； 令①， 则②， 得： ， 即． ∴ 故答案为：． 17．（2025·安徽合肥·二模）某园林公司举行盆景展览，如图所示是用这两种盆景摆成的图案，黑色圆点为六月雪盆景，黑色正方形为九里香盆景．图1中六月雪盆景数量为4，九里香盆景数量为2；图2中六月雪盆景数量为6，九里香盆景数量为6；图3中六月雪盆景数量为8，九里香盆景数量为12；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)图5中，六月雪盆景数量为_______，九里香盆景数量为_______； (2)若园林公司用这两种盆景共132盆按如上规律摆成一个图案，请求出该图案中六月雪和九里香这两种盆景分别多少盆？ 【答案】(1)12；30 (2)六月雪盆景有22盆，九里香盆景有110盆 【分析】本题考查了图形规律探索、一元二次方程的应用，观察图形的变化找到隐含的规律是解题的关键． （1）观察图形，得出第个图中六月雪盆景数量为，九里香盆景数量为，再代入即可求解； （2）设该图案为如上规律的第个图，根据题意列出方程，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：图1中六月雪盆景数量为，九里香盆景数量为， 图2中六月雪盆景数量为，九里香盆景数量为， 图3中六月雪盆景数量为，九里香盆景数量为， 图4中六月雪盆景数量为，九里香盆景数量为， … 第个图中六月雪盆景数量为，九里香盆景数量为， 当时，，， 图5中，六月雪盆景数量为12，九里香盆景数量为30． 故答案为：12；30． （2）解：设该图案为如上规律的第个图， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 此时六月雪盆景数量为盆，九里香盆景数量为盆， 答：六月雪盆景有22盆，九里香盆景有110盆． 18．（2025·安徽淮北·三模）数学兴趣小组开展探究活动，很快就发现这3个数的平均数是，他们继续探究这3个数的平均数与的关系．他们发现如下结论． 表1 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 表2 1 2 3 4 5 _____ ．．． ．．． 继续探究，他们发现，表1中N可改写，改写后可得表2． 按照表1和表2的规律，回答下列问题： (1)补充表2． (2)请你猜想的平均数与之间存在的等量关系（用含的式子表示），并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字规律探究，解题的关键是通过观察表1和表2的规律，找出数字之间的关系，并利用平均数的定义进行猜想与证明． （1）依据题意写出表2中第5行的数值即可； （2）猜想这3个数的平均数与n的等量关系，再通过计算进行证明． 【详解】（1）由题意可得，第5个等式为：； （2）证明：左边 右边， 左边右边， 即， 故猜想成立． 19．（2025·安徽合肥·一模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据上面等式的规律，回答下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题考查数字的变化、列代数式，整式的运算，明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式是解答本题的关键． （1）根据题目中等式的特点，可以写出第6个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等即可证明猜想． 【详解】（1）解：第6个等式：； 故答案为：． （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… ∴第个等式：； 左边 右边． 20．（2025·安徽合肥·一模）【问题呈现】我们知道，，那么如何求的值？ 【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系： 【归纳猜想】 （1）______． （2）______． 【拓展应用】 （3）求的值． 【答案】（1）225；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及规律型：图形的变化类，得出规律并运用规律解决实际问题是解本题的关键． （1）根据前四个图直接推出结论，即可； （2）由（1）发现规律可得，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ， ； 故答案为： 225 （2）解：由（1）发现： ； （2）解： ． 21．（2025·安徽合肥·一模）在数学活动课中，某兴趣小组研究一种公式，写出了下列几组等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式规律： （i）第4个等式为：； （ii）第n个等式为：___________________． (2)小组成员小明和小华进一步探索上述规律： 小明同学猜想，其中a，b为正整数．小华同学提出反对意见，并通过如下计算进行了证明：（①__________________） 不一定等于． 请你补全①中所缺内容，并直接写出当小明同学想成立时，a、b需要满足的数量关系． 【答案】(1)（i）5，4；（ii） (2)证明见解析， 【分析】本题考查了数式中的规律问题，解决这类问题的关键是找出式子中变化的数据与等式序号之间的关系． （1）（i）根据前3个等式的关系，直接写出第4个等式；（ii）由前四个等式，找到规律即可写出第n个等式； （2）利用多项式乘以多项式及完全平方公式将等号左边展开，再与等号右边对比即可． 【详解】（1）解：（i）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 第4个等式为：； （ii）由（i）可得第n个等式为：； （2）证明：左边 ， 右边， 不一定等于； 当时， 左边右边， ，其中a，b为正整数，且． 22．（2025·安徽合肥·一模）宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞”数字，数学兴趣小组在研究“黑洞”数字时，在0到9之间，任取一组不全相等的三个数字，从大到小排列得到最大数，再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，再按照上述方式重新排列，再相减，再得到一个新数…一直重复操作， 例如． 第1组：数字1，2，0，则； 第2组：数字1，9，8，则； 第3组：数字7，9，2，则； 第4组：数字6，9，3，则_________________． (1)根据规律，补充第4组横线的内容； (2)小组成员发现：任取这样一组不全相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个确定的“黑洞”数字，这个数是________________； (3)小组成员发现：在上述“重排求整”操作中，最大数和最小数的差能被99整除，推过程如下： 设一组三个数字为，，，不妨设，且，，不全相等，最大数可表示为__________________，最小数可表示为___________________，则最大数最小数（____________），所以最大数和最小数的差能被99除． 【答案】(1) (2)495 (3)，， 【分析】此题考查了数字规律问题，列代数式，有理数的减法，整式的加减的应用，解题的关键是正确分析题意． （1）根据题意列式求解即可； （2）根据题意继续写出第5组和第6组数字，进而找到规律求解即可； （3）根据题意得到最大数可表示为，最小数可表示为，然后作差求解即可． 【详解】（1）根据题意得， 第4组：数字6，9，3，则； （2）第5组：数字5，9，4，则； 第6组：数字5，9，4，则； ∴最终会得到一个确定的“黑洞”数字，这个数是495； （3）设一组三个数字为，，，不妨设，且，，不全相等， 最大数可表示为，最小数可表示为， ∴ ∴所以最大数和最小数的差能被99除． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$