专题12 四边形（安徽专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题12 四边形（原卷版） 一、单选题 1．（2025·安徽·中考真题）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 2．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 3．（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 4．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 5．（2022·安徽·中考真题）两个矩形的位置如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2021·安徽·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2024·安徽·中考真题）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边上，且，则 （用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为 ． 8．（2022·安徽·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1） °； （2）若，，则 ． 三、解答题 9．（2025·安徽·中考真题）已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接，． (1)如图1，若的延长线经过点D，，求的长； (2)如图2，点F是的延长线与的交点，连接． ①求证：； ②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，判断的形状，并说明理由． 10．（2024·安徽·中考真题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． (1)求证：； (2)连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 11．（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE． (1)如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形； (2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC． （ⅰ）求∠CED的大小； （ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF． 12．（2021·安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 一、单选题 1．（2025·安徽阜阳·二模）如图，在菱形中，点在的延长线上，连接交于点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2025·安徽亳州·三模）如图，正方形ABCD中，，E为AD的中点，P为BC边上一动点，连接DP，过P点作，且，连接EF，则线段EF长度的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（2025·安徽阜阳·二模）如图，是的角平分线，平分交于点，是的外角平分线，交的延长线于点，且，连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 4．（2025·安徽合肥·二模）如图，正方形中，E为对角线上一点，过B点作，且，连接，若，则长为（   ） A． B． C．3 D． 5．（2025 安徽合肥· 一模）正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则△APF的面积最大值为(     ) A．8 B．6 C．4 D． 6．（2025·安徽合肥·一模）如图所示，在中进行折叠操作，使得点恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为（  ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽合肥·一模）点是对角线上一点，连接并延长至点，使，交于点，连接．若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 8．（2025·安徽合肥·二模）如图，矩形中，，点P为上一动点（不与端点重合），连接，将沿折叠，点A落在点E处，连接，连接交于点F，交于点G，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则的长为 C．若，则长度的最小值为1.8 D．和不可能全等 9．（2025·安徽合肥·一模）如图1，在中，连接，，．动点从点出发，沿边匀速运动．运动到点停止．过点作交边于点，连接，．设，，与的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（  ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽合肥·三模）如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2025·安徽合肥·二模）如图，正方形的边长为8，点E，P在边上运动，点F在边上运动，，连接交于点G，过点C作于点H，连接，下列结论中错误的是（    ） A． B．的面积有最大值为16 C．有最大值为 D．的最小值为 12．（2025·安徽合肥·二模）如图，点E是矩形的边上一个动点，且与点A、D不重合，连接、，过点B作，过点C作，交点为F，连接、交于点G、H，、、的面积分别记为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若四边形是矩形，则 D．若点为中点，则四边形是菱形 二、填空题 13．（2025·安徽合肥·一模）矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行于交于M，N．若，则四边形的面积等于 ． 14．（2024·安徽·二模）如图，在正方形中，点分别为边上的点，将，分别沿折叠，点恰好落在上的点处，再将沿折叠，点落在上的点处，连接与交于点． （1） ； （2）若，则的长为 ． 15．（2025·安徽池州·三模）如图，菱形中，是边上一点，是边上一点，，连接交于点． （1）若，则 （用表示）； （2）若，则的最大值是 ． 16．（2023·安徽宿州·三模）如图，正方形的边长为4，点M，N分别在，上．将该正方形沿折叠，使点D落在边上的点E处，折痕与相交于点Q．    （1）若E是的中点，则的长为 ． （2）若G为的中点，随着折痕位置的变化，的最小值为 ． 17．（2025·安徽淮北·三模）如图，折叠正方形纸片，点A，C两点均落在G处，分别得到抓痕，然后还原．已知． （1）的值为 ． （2）连接交于P，若，则的长为 ． 18．（2025·安徽合肥·三模）如图，在菱形中，点是边的中点，点是线段的中点，的延长线交边于点，连接．则 （1） ； （2）若，则 ． 19．（2025·安徽阜阳·二模）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点． （1）若，则 °． （2）若，则的值是 ． 三、解答题 20．（2025·安徽合肥·一模）已知：如图，在矩形中，，对角线交于点，点为对角线上一动点（不与端点重合），连接，过点作．交线段于点． (1)当点与点重合时，则___________ (2)求证：； (3)求的值． 21．（2025·安徽合肥·一模）如图1，正方形中，点，分别在边，上，且，点是对角线、的交点，连接，交于点，，交于点． (1)求证：； (2)如图2．连接，，； ①若，求证：； ②若，，求线段的长． 22．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中为对角线上一动点，过点作交于点，作交于点，连接、． (1)若， ①求证：平分； ②求证：； (2)已知，且为的中点，求矩形的周长． 23．（2025·安徽池州·三模）如图，已知在矩形中，点F，G分别在边上，是的中点，连接，与交于点，且． (1)求证：； (2)连接，求证：是等腰三角形； (3)连接，当，求的值． 24．（2025·安徽合肥·三模）如图1，点E为矩形边上一点，连接交对角线于点F，且 (1)求证： (2)当点E为中点时，如图2，连接． （i）求证： （ii）求的值． 25．（2025·安徽合肥·三模）已知正方形中，E为边上一点，E点关于直线的对称点为F点，射线交的延长线于点G，连接交延长交于点H，连接交于点M． (1)若， ①求证：； ②求的值； (2)求证：M为的中点． 26．（2025·安徽安庆·一模）已知：在矩形中，点是边上中点． (1)如图1，连接并延长交延长线于点，连接交于点． ①求证： ②求的值； (2)如图2，过点作直线分别与、的延长线交于点、点，连接、．求证：． 27．（2025·安徽铜陵·一模）如图，四边形中，，，、相交于点，，垂足为点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求的值； (3)求证：． 28．（2025·安徽合肥·一模）如图1，四边形的对角线，相交于点O，． (1)在图1中，过点A作交于点E，求证：； (2)如图2，将沿AB翻折得到． ①求证：； ②若，，求的长． 29．（2025·安徽阜阳·二模）已知点，分别在矩形的边，上，以为折痕，将四边形翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，，． (1)如图，当点在上，与交于点时， 若点为的中点，求的长； 若与全等，求和的长； (2)如图，的对应边恰好经过点，过点作于点，交于点，连接，若，求的长． 30．（2025·安徽合肥·二模）【阅读理解】如图1，在矩形中，由勾股定理得，，于是可得结论． (1)【探究发现】如图2，在平行四边形中，善于思考的小聪同学说：“结论也成立”，请你给予证明； (2)【拓展提升】如图3，已知是的中线，，，，求证： (3)【尝试应用】如图4，在平行四边形中，点是边上一动点，连接、．若，平行四边形面积为24，则的最小值为__________． 31．（2025·安徽安庆·二模）如图，正方形中，点是线段的中点，点是线段上的动点，连接与交于点，连接并延长交于点． (1)①如图1，当点与点重合时，求证：． ②如图2，当点是线段的中点时，的值： (2)如图3，若，求证：． 32．（2025·安徽合肥·二模）综合实践 纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准某数学兴趣小组通过折叠纸来探究其中的数学奥秘． 【操作与发现】 如图1，矩形是一张标准的纸，取，边的中点M、N，以直线为轴进行对折，同学们发现对折后的矩形与原矩形相似，由此我们得到： 又因为，所以 于是我们得出如下结论：（1）纸的长与宽之比为_______． 【探究与计算】 矩形是一张标准的纸，E为边上一点，以直线为轴，将进行翻折，B点的对应点为． （2）如图2，若点在边上时，则的值为_______； （3）如图3，若E为边的中点，连接，求的值． 【拓展与证明】 （4）如图4，矩形纸片中，，E为边上一点，以直线为轴，将进行翻折，C点的对应点落在边上的点，然后把纸片展平，再以为轴，将进行翻折，点D的对应点落在直线上的处，折痕与相交于点O，与相交于点F，若．求的面积． 33．（2025·安徽合肥·一模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)如图1，在菱形中，E是的中点，连接，将沿翻折到，延长交于点P，请写出图中的所有“筝形”； (2)如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”其他条件不变，求的值； (3)如图3，在矩形中，是边的中点，连接，将沿翻折到，点P是线段上一点，若四边形是“筝形”，请直接写出的长． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 四边形（解析版） 一、单选题 1．（2025·安徽·中考真题）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， ， 同理，且． ∴四边形是平行四边形， 则与的面积分别为与面积的一半， 四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误． 选项B：随位置改变，错误． 选项D：长度随、移动改变，错误． 综上，四边形的面积是定值， 故选：． 2．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】A 【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ∴． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， 当点与点重合时，与重合时，最小此时，，故错误，符合题意；故B正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值故正确，不符合题意； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键． 3．（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 【答案】A 【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解． 【详解】解：如图所示，    延长， 依题意 ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 则为的中点 如图所示，    设的中点分别为， 则 ∴当点在上运动时，在上运动， 当点与重合时，即， 则三点共线，取得最小值，此时， 则， ∴到的距离相等， 则， 此时 此时和的边长都为2，则最小， ∴， ∴ ∴， 或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，    此时 故A选项错误， 根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确； 周长等于， 即当最小时，周长最小， 如图所示，作平行四边形，连接，    ∵，则 如图，延长,，交于点， 则， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，则， ∴是直角三角形，    在中， ∴当时，最短， ∵ ∴周长的最小值为，故C选项正确； ∵ ∴四边形面积等于    ∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合 ∴四边形面积的最小值为，故D选项正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键． 5．（2022·安徽·中考真题）两个矩形的位置如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用三角形外角性质得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定义得到∠2=90°-∠3=180°-α． 【详解】解：如图，∠3=∠1-90°=α-90°， ∠2=90°-∠3=180°-α． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了矩形，三角形外角，余角，解决问题的关键是熟练掌握矩形的角的性质，三角形的外角性质，互为余角的定义． 6．（2021·安徽·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长． 【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB, ∴∠BEO=∠BFO=90°， ∵∠A=120°， ∴∠B=60°， ∴∠EOF=120°，∠EOH=60°， 由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD， 因为O点是菱形ABCD的对称中心， ∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH， ∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°， ∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°， 所以四边形EFGH是矩形； 设OE=OF=OG=OH=x， ∴EG=HF=2x，， 如图，连接AC，则AC经过点O， 可得三角形ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AC=AB=2, ∴OA=1,∠AOE=30°， ∴AE=， ∴x=OE= ∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=, 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力． 二、填空题 7．（2024·安徽·中考真题）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边上，且，则 （用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为 ． 【答案】 / 【分析】①连接，根据正方形的性质每个内角为直角以及折叠带来的折痕与对称点连线段垂直的性质，再结合平行线的性质即可求解； ②记与交于点K， 可证：，则，，由勾股定理可求，由折叠的性质得到：，，，，，则，，由，得，继而可证明，由等腰三角形的性质得到，故． 【详解】解：①连接，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：； ②记与交于点K，如图： ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴，， 在中，由勾股定理得， 由题意得：，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，而， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 8．（2022·安徽·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1） °； （2）若，，则 ． 【答案】 45 【分析】（1）先证△ABE≌△GEF，得FG=AE=DG，可知△DFG是等腰直角三角形即可知度数． （2）先作FH⊥CD于H，利用平行线分线段成比例求得MH；再作MP⊥DF于P，证△MPF∽△NHF,即可求得NH的长度，MN=MH+NH即可得解． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°，AB=AD， ∴∠ABE+∠AEB=90°， ∵FG⊥AG， ∴∠G=∠A=90°， ∵△BEF是等腰直角三角形， ∴BE=FE，∠BEF=90°， ∴∠AEB+∠FEG=90°， ∴∠FEG=∠EBA， 在△ABE和△GEF中， ， ∴△ABE≌△GEF（AAS）， ∴AE=FG，AB=GE， 在正方形ABCD中，AB=AD ∵AD=AE+DE，EG=DE+DG， ∴AE=DG=FG， ∴∠FDG=∠DFG=45°． 故填：45°． （2）如图，作FH⊥CD于H， ∴∠FHD=90° 又∵∠G=∠GDH=90°， ∴四边形DGFH是矩形， 又∵DG=FG， ∴四边形DGFH是正方形， ∴DH=FH=DG=2， ∴ ∴， ∴DM=，MH=， 作MP⊥DF于P， ∵∠MDP=∠DMP=45°， ∴DP=MP， ∵DP2+MP2=DM2， ∴DP=MP=， ∴PF= ∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°， ∴∠MFP=∠NFH， ∵∠MPF=∠NHF=90°， ∴△MPF∽△NHF, ∴，即， ∴NH=， ∴MN=MH+NH=+=． 故填： ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及判定以及相似三角形的性质和判定，熟知相关知识点并能熟练运用，正确添加辅助线是解题的关键． 三、解答题 9．（2025·安徽·中考真题）已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接，． (1)如图1，若的延长线经过点D，，求的长； (2)如图2，点F是的延长线与的交点，连接． ①求证：； ②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)详见解析；为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得出，，证明，得出，结合正方形的性质可判断是等腰直角三角形，求出，然后根据勾股定理求出，即可求解； （2）①由正方形的性质和线段的垂直平分线的性质得出，根据等边对等角以及三角形内角和定理可求出，即可求解； ②（方法一）作交于点M，交于点N．根据三线合一的性质得出M为的中点．可证，根据平行线分线段成比例判断出N是的中点，根据三角形中位线定理得出．根据证明，得出，则E为的中点．结合，根据三角形中位线定理和平行线的性质得出．同理可证，得出，即可得出结论； （方法二）设，则．根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理求出，由（1）中，得出，则．根据等边对等角得出．根据三角形内角和定理求出，由角的和差关系求出，，根据证明，得出，．结合①中求出，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，的延长线经过点D， ∴，，， 由垂直平分线的性质知，，， 又， ∴， ∴． 又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． （2）解：①证明：由题意知，， ∴，． ∴ ， ∴． ②解：是等腰直角三角形． 理由如下： （方法一）作交于点M，交于点N． ∵， ∴M为的中点． 又， ∴， ∴， ∴N是的中点， ∴是的中位线，． ∵，，且， ∴， ∴， 即E为的中点． 又， ∴， ∴． 同理可证， ∴． ∴是等腰直角三角形． （方法二）设，则． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴， 又，， ∴． ∴，． 由①知， ∴． 又， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 10．（2024·安徽·中考真题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． (1)求证：； (2)连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)（ⅰ）见详解，（ⅱ） 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得出，再利用证明，利用全等三角形的性质可得出． （2）（ⅰ）由平行线截线段成比例可得出，结合已知条件等量代换，进一步证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出．（ⅱ）由菱形的性质得出，进一步得出，，进一步可得出，进一步得出，同理可求出，再根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在与中， ∴． ∴． （2）（ⅰ）∵ ∴， 又．， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （ⅱ）∵是菱形， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵．， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 故． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键． 11．（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE． (1)如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形； (2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC． （ⅰ）求∠CED的大小； （ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）见解析 【分析】（1）先根据DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根据“AAS”证明，得出DE=BC，得出四边形BCDE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，得出四边形BCDE为菱形； （2）（ⅰ）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根据∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出； （ⅱ）连接EF，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出，得出，证明，再证明，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵DC=BC，CE⊥BD， ∴DO=BO， ∵， ∴，， ∴（AAS）， ∴， ∴四边形BCDE为平行四边形， ∵CE⊥BD， ∴四边形BCDE为菱形． （2）（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO， ∴CE垂直平分BD， ∴BE=DE， ∵BO=DO， ∴∠BEO=∠DEO， ∵DE垂直平分AC， ∴AE=CE， ∵EG⊥AC， ∴∠AEG=∠DEO， ∴∠AEG=∠DEO=∠BEO， ∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°， ∴． （ⅱ）连接EF， ∵EG⊥AC， ∴， ∴， ∵ ∵AE=AF， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ∴（AAS）， ． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，作出辅助线，得出，得出，是解题的关键． 12．（2021·安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）6；（3） 【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证，，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得； （2）证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长BM、ED交于点G．易证，可得；设，，，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得．证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值． 【详解】（1）证明：， ； ， ，， ， ，， ，， ，， 四边形AFCD是平行四边形 在与中． ， （2）， ， 在中，， ， ， 又，， ， 在与中． ， ； ； ， ； ， ； ， ， 或（舍）； （3）延长BM、ED交于点G． 与均为等腰三角形，， ， ， 设，，， 则，， ， ， ； 在与中， ， ； ． ； ， ， ， ， ， ， ， ， （舍），， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键． 一、单选题 1．（2025·安徽阜阳·二模）如图，在菱形中，点在的延长线上，连接交于点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，根据四边形是菱形，得证明结合，得，解得，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·安徽亳州·三模）如图，正方形ABCD中，，E为AD的中点，P为BC边上一动点，连接DP，过P点作，且，连接EF，则线段EF长度的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，取的中点M，连接，，连接并延长交于点，设交于点，证明，，得出，进而可得，即可得出的值，进而可得点在上运动，证明四边形是平行四边形，得出，则当在上时，取得最小值，此时重合，进而解直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点M，连接，，连接并延长交于点，设交于点 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴点在上运动， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴ ∴当在上时，取得最小值，此时重合， ∵，则， 在中，， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴，即的最小值为 故选：A． 3．（2025·安徽阜阳·二模）如图，是的角平分线，平分交于点，是的外角平分线，交的延长线于点，且，连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据角平分线得到角度关系结合平角即可判断A，根据平行及角平分线得到相应的角度关系得到即可判断B，再证明是平行四边形即可判断C，最后证明垂直平分即可判断D，即可得到答案． 【详解】解平分，平分， ，，，选项A正确，不符合题意； ，平分， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，选项B正确，不符合题意； ，， 四边形是平行四边形． ，， 由上面知：， ，均为等边三角形， 由三线合一易知，， 在中，由角平分线定义知，， ， 易知， ，选项C错误，符合题意； ，平分， 结合易证全等于， 易知垂直平分， ， 又， ，选项D正确，不符合题意； 综上，故选C． 【点睛】本题考查角平分线，平行四边形判定与性质，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形性质和判定，解题的关键是从选项出发，找相应条件． 4．（2025·安徽合肥·二模）如图，正方形中，E为对角线上一点，过B点作，且，连接，若，则长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理．连接，证明，推出，，再证明是等腰直角三角形，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 故选：B． 5．（2025 安徽合肥· 一模）正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则△APF的面积最大值为(     ) A．8 B．6 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据AP=PF得到点P在AF的垂直平分线上，过P作PG⊥AF，G为垂足，则AG=GF，DG=PG，设DF=x，得到AG=，GD=PG=，利用三角形面积公式计算得到S△APF=，根据函数性质即可得到答案． 【详解】∵AP=PF， ∴点P在AF的垂直平分线上， 过P作PG⊥AF，G为垂足，则AG=GF，DG=PG， 设DF=x，则AG=， ∴GD=PG=， ∴S△APF=≤4， 所以△APF面积最大值为4； 故选：C． ． 【点睛】此题考查正方形的性质，线段垂直平分线的判定及性质，二次函数的最值问题，正确引出辅助线并设定未知数解决问题是解题的关键． 6．（2025·安徽合肥·一模）如图所示，在中进行折叠操作，使得点恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等；由平行四边形的性质及平行线的性质得，由折叠的性质得，由三角形的内角和定理即可求解；掌握平行四边形的性质，折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：， ， 故选：B． 7．（2025·安徽合肥·一模）点是对角线上一点，连接并延长至点，使，交于点，连接．若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】如图所示，连接，交于点O，首先得到，，然后证明出是的中位线，证明出，得到，设，则，然后得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，交于点O ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴是的中位线 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴设，则 ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8．（2025·安徽合肥·二模）如图，矩形中，，点P为上一动点（不与端点重合），连接，将沿折叠，点A落在点E处，连接，连接交于点F，交于点G，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则的长为 C．若，则长度的最小值为1.8 D．和不可能全等 【答案】B 【分析】本题考查矩形与折叠，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，矩形的性质，是解题的关键．根据数量关系和折叠的性质，得到，判断A，设，，得到，，根据矩形的性质，折叠的性质，以及等角的余角相等，推出，进而得到，求出，进而得到，根据，得到，进而推出，在中，由勾股定理求出的值，进而求出的值，得到的值，再利用勾股定理求出的长，判断B，连接，勾股定理求出的长，利用，判断C，根据折叠的性质，结合对顶角相等，得到当时，，判断D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴；故选项A错误，不符合题意； 同上可知：，， ∵， ∴设，，则：，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：（舍去）或或（舍去）； ∴， ∴， 在中，；故选项B正确，符合题意； 当时，连接，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴的最小值为2；故选项C错误，不符合题意； ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴当时，；故选项D错误，不符合题意； 故选B． 9．（2025·安徽合肥·一模）如图1，在中，连接，，．动点从点出发，沿边匀速运动．运动到点停止．过点作交边于点，连接，．设，，与的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使，连接，连接交于， 当、、三点共线时，最小，即最小，当运动到时，最小，由图得当时，，此时与重合，与重合，结合平行四边形的判定方法及性质和勾股定理，即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接，连接交于， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 当、、三点共线时，最小， 即最小， 当运动到时，最小， 由图得：当时，， 此时与重合，与重合， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 当时， ， 函数图象最低点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，线段和最小值的典型问题，平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，勾股定理，正切函数等；掌握平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解及找到取得最小值的条件是解题的关键． 10．（2025·安徽合肥·三模）如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定得到，可判断①；根据全等三角形的性质得出，，进而得到，设正方形的边长为，利用勾股定理表示出、的长，可判断②；根据中点四边形的性质，结合和，利用正方形的判定可判断③；延长和交于点，通过证明，得到，利用斜边中线定理得到，则有，再利用角的和差和等量代换可判断④，即可得出答案． 【详解】解：正方形， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， ，故①正确； ，， ， ， ，即， 设正方形的边长为，则， ， ， ， ，故②正确； 点，，，分别是，，，的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ，即， 菱形是正方形，故③正确； 延长和交于点， ，，， ， ，， ，， ，即， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，说法正确的个数为4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质和判定、中点四边形、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于正方形综合题，有一定难度，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 11．（2025·安徽合肥·二模）如图，正方形的边长为8，点E，P在边上运动，点F在边上运动，，连接交于点G，过点C作于点H，连接，下列结论中错误的是（    ） A． B．的面积有最大值为16 C．有最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】先证明得到，根据即可判断A；取中点G，连接，证明，得到，设点G到的距离为h，根据，得到，据此可判断B；证明，得到，则；设，由勾股定理得，再由三角形面积计算公式得到，即，则可求出，据此可判断C；作点C关于的对称点N，连接，则当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为；过点O作于M，则四边形是矩形，可得，利用勾股定理求出的长即可判断D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故A结论正确，不符合题意； 如图所示，取中点O，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点G到的距离为h， 由垂线段最短可知， ∴， ∴的面积有最大值为16，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 设， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为，的最大值为，故C结论正确，不符合题意； 如图所示，作点C关于的对称点N，连接， ∴， ∴， ∴当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为； 如图所示，过点O作于M，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质等等，通过证明三角形全等转换线段之间的关系是解题的关键． 12．（2025·安徽合肥·二模）如图，点E是矩形的边上一个动点，且与点A、D不重合，连接、，过点B作，过点C作，交点为F，连接、交于点G、H，、、的面积分别记为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若四边形是矩形，则 D．若点为中点，则四边形是菱形 【答案】C 【分析】过点F作于点M，交于点N，可证，再证明，可证四边形是菱形，证明是的中位线，可证，证明，无法判定，解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 过点F作于点M，交于点N， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故B正确； ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 故D正确； 连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A正确； 当四边形是矩形，则，无法判定， 故C错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 二、填空题 13．（2025·安徽合肥·一模）矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行于交于M，N．若，则四边形的面积等于 ． 【答案】3 【分析】本题主要查了矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 根据旋转的性质以及勾股定理可得的长，再证明四边形是矩形，可得，，设，则，然后根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵矩形绕点B旋转得到矩形，， ∴， ∴， ∵平行于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴四边形的面积等于． 故答案为：3 14．（2024·安徽·二模）如图，在正方形中，点分别为边上的点，将，分别沿折叠，点恰好落在上的点处，再将沿折叠，点落在上的点处，连接与交于点． （1） ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形： （1）根据折叠的性质可得，由平角的定义求得，进而求得，根据正弦的概念计算即可； （2）解求得，，进而求得，由折叠的性质可得，，求得，再解，即可求得． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ； 故答案为：； （2）解：，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 15．（2025·安徽池州·三模）如图，菱形中，是边上一点，是边上一点，，连接交于点． （1）若，则 （用表示）； （2）若，则的最大值是 ． 【答案】 3 【分析】（1）先证明是等边三角形；得出，再利用三角形的内角和定理进一步可得答案； （2）设，，根据，根据二次函数性质，说明有最大值，求出最大值为3即可． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴， 设，， ∴ ， ∴当时，取最大值， ∴此时， ∴此时， ∵为等边三角形， ∴此时，， ∴此时， ∴平分， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最大值为3． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，二次函数的最值，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 16．（2023·安徽宿州·三模）如图，正方形的边长为4，点M，N分别在，上．将该正方形沿折叠，使点D落在边上的点E处，折痕与相交于点Q．    （1）若E是的中点，则的长为 ． （2）若G为的中点，随着折痕位置的变化，的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）设，则，求出，然后在中，利用勾股定理列方程可得的长； （2）取中点P，连接、、，可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而求出，然后利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：（1）由折叠得：是的中垂线， ∴， 设，则， ∵E是的中点， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， 即的长为， 故答案为：； （2）如图，取中点P，连接、、，    由折叠的性质可知，，O为中点， ∵为直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质以及直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是取中点，利用轴对称的性质得出，属于中考常考题型． 17．（2025·安徽淮北·三模）如图，折叠正方形纸片，点A，C两点均落在G处，分别得到抓痕，然后还原．已知． （1）的值为 ． （2）连接交于P，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，求角的正切值，一次函数与几何综合，坐标系中两点距离计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）设，则．进而得到．由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）以点B为原点，以所在的直线为y轴，x轴建立平面直角坐标系，则，求出直线解析式，进而求出点P的坐标即可得到答案． 【详解】解：（1）设，则． ∴． 在直角中，由勾股定理得， 解得， ， ， 故答案为：． （2）如图所示，以点B为原点，以所在的直线为y轴，x轴建立平面直角坐标系， 由（1）可得，则， 设直线解析式为，则，解得， ∴直线解析式为， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（2025·安徽合肥·三模）如图，在菱形中，点是边的中点，点是线段的中点，的延长线交边于点，连接．则 （1） ； （2）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线截线段成比例，掌握以上知识是关键． （1）如图所示，过点作，可得，即点是中点，，根据平行线截线段成比例得到，即可求解； （2）如图，延长交的延长线于点，延长交于点，设，可证，得，，同理，，则，由，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，过点作， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，即点是中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，即， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，延长交的延长线于点，延长交于点， ，点是边的中点， ， ∵点是的中点， ， 令，则， 四边形为菱形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， 是的中线， ， ， 故答案为：①；②． 19．（2025·安徽阜阳·二模）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点． （1）若，则 °． （2）若，则的值是 ． 【答案】 75 【分析】本题考查了三角形的外角性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形的性质得，运用外角性质列式计算，即可作答． （2）根据正方形的性质得，证明再结合，故，证明，把数值代入，即，进行化简，即可作答． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴ 即， ． 故答案为：75； （2）如下图，过点作于点． ． 四边形为正方形， ． ， ∴与均为等腰直角三角形． ． ． 设， ． 由题意，知， ． ， ∴， ∴， ． ， 解得（负值舍去）． 故答案为：． 三、解答题 20．（2025·安徽合肥·一模）已知：如图，在矩形中，，对角线交于点，点为对角线上一动点（不与端点重合），连接，过点作．交线段于点． (1)当点与点重合时，则___________ (2)求证：； (3)求的值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)的值为． 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． （1）由直角三角形的性质求出，证明D，E，F，C四点共圆，得出； （2）过点E作交于点G，交于点H．证明，得出，．则可得出结论； （3）证明，得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴D，E，F，C四点共圆， ∴； 故答案为：； （2）证明：过点E作交于点G，交于点H． ∵，， ∴， 由矩形性质，得， 在中，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴D，E，F，C四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（2025·安徽合肥·一模）如图1，正方形中，点，分别在边，上，且，点是对角线、的交点，连接，交于点，，交于点． (1)求证：； (2)如图2．连接，，； ①若，求证：； ②若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据正方形的性质，得到，，结合，得到≌，进一步根据全等三角形的性质进行证明． （2）①根据全等三角形证得，再证明，，推出，由此推出，得到，由此证明，证明，即可得到结论； ②由，得到，，，由①知，得到，即可求出． 【详解】（1）解：证明：∵四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①∵≌， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵O为中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ②∵， ∴，，， ∴ 由①知， ∴ ∴， 解得 【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各图形的判定和性质定理是解题的关键． 22．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中为对角线上一动点，过点作交于点，作交于点，连接、． (1)若， ①求证：平分； ②求证：； (2)已知，且为的中点，求矩形的周长． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2) 【分析】（1）①由矩形得到，然后根据等边对等角和平行线得到，等量代换得到，然后结合即可求解； ②证明出，得到，然后等量代换即可证明； （2）如图所示，过点D作，由相似得到，代数求出，利用三线合一求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）①∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴整理得，； （2）如图所示，过点D作， ∵，且为的中点， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的周长． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23．（2025·安徽池州·三模）如图，已知在矩形中，点F，G分别在边上，是的中点，连接，与交于点，且． (1)求证：； (2)连接，求证：是等腰三角形； (3)连接，当，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，根据，易证，即可证明结论； （2）延长交于点，利用矩形的性质证明，推出，进而得到即是的中点，再根据直角三角形的性质得到，即可得出结论； （3）先证明，推出，求出，设，则，进而求出，证明，推出，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2）证明：延长交于点， 是中点， ， ， ， ， 又， 即是的中点， 即， 在中，， 是等腰三角形； （3）解：是的中点， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用以上知识点是解题的关键． 24．（2025·安徽合肥·三模）如图1，点E为矩形边上一点，连接交对角线于点F，且 (1)求证： (2)当点E为中点时，如图2，连接． （i）求证： （ii）求的值． 【答案】(1)见解析 (2)（i）见解析；（ii） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用上述性质是解题的关键． （1）证，得，即可解答； （2）（i）连接，证明四点共圆，可得，再证明即可解答； （ii）设，则，得，在利用勾股定理和相似三角形的性质求得即可解答． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， ， ， ， ； （2）证明：（i）如图，连接， ， 四点共圆，如图， ， E为中点， , ， ， ， ， ， 解：（ii）如图，设，则， 由（1），得， 在中，， ， ， ， ， ， ． 25．（2025·安徽合肥·三模）已知正方形中，E为边上一点，E点关于直线的对称点为F点，射线交的延长线于点G，连接交延长交于点H，连接交于点M． (1)若， ①求证：； ②求的值； (2)求证：M为的中点． 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 【分析】（1）①利用正方形的性质进一步证明，由全等三角形的性质得出，最后利用轴对称的性质即可得出． ②证明，由相似三角形的性质得出，即，设即，解得，再根据正切的定义求解即可． （2）延长、交于点P．由平行线的性质得出 ，根据等腰三角形的判定和性质即可得出，再根据相似三角形的性质可得出进而可得出M为的中点． 【详解】（1）①证明：∵是正方形， ∴， ， ， 又， ， 在和中 ， ， ． 又E点与F点关于对称， ； ②， ， ， 又∵， ， ， 即， 设， 则， 解得， ； （2）证明：如图，延长、交于点P． ， ，， ∵， ， ， 又， D为的中点，即， ∵， ∴， ∴， ， 即M为的中点． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，求角的正切值，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线截线段成比例，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，掌握这些判定定理和性质是解题的关键． 26．（2025·安徽安庆·一模）已知：在矩形中，点是边上中点． (1)如图1，连接并延长交延长线于点，连接交于点． ①求证： ②求的值； (2)如图2，过点作直线分别与、的延长线交于点、点，连接、．求证：． 【答案】(1)①证明见解析；②； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①由矩形的性质得到，再得出，由点是中点，得到，即可证明； ②由，得到，再证明，即可求解； （2）延长交延长线于点，由  得到，，，，得出，再得到，即可得出结论． 【详解】（1）①证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 在与中， ， ， ②解：由①可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长交延长线于点， ∵   ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（2025·安徽铜陵·一模）如图，四边形中，，，、相交于点，，垂足为点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求的值； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）如图，过点作于点，证明四边形是矩形，得，进一步证明垂直平分，即可得证； （2）证明得，推出，证明，由相似三角形的性质可得结论； （3）证明得，设，则，得，进一步推出，得，推出，得，再推出，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∴垂直平分， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：由（2）知，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，平行线的判定和性质等知识点．掌握相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 28．（2025·安徽合肥·一模）如图1，四边形的对角线，相交于点O，． (1)在图1中，过点A作交于点E，求证：； (2)如图2，将沿AB翻折得到． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）①过点A作交于E，交于F，由题意易得，，则有，然后问题可求证； ②由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后可得，进而可得，，最后根据方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ， ， ， ， ， ， ； （2）①证明：过点A作交于E，交于F，如图2， 由（1）知，． ， 是翻折得到的， ， ， ， ， ； ②解：，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， 又， ， ，即， ， ，即， ， ，， ，， ， 解得（负值舍去）． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、平行线的性质及判定及折叠的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、平行线的性质及判定及折叠的性质是解题的关键． 29．（2025·安徽阜阳·二模）已知点，分别在矩形的边，上，以为折痕，将四边形翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，，． (1)如图，当点在上，与交于点时， 若点为的中点，求的长； 若与全等，求和的长； (2)如图，的对应边恰好经过点，过点作于点，交于点，连接，若，求的长． 【答案】(1)；，； (2)． 【分析】（）由折叠性质可知，，，设，则，，再由勾股定理得，即，求出的值即可； 由四边形是矩形，得，所以，则与全等的情况只能为，设，则，，由勾股定理，得，即，求出的值即可，再证明，所以，即，求出，再由折叠性质即可求解； （）连接，，，由点，关于直线对称，则，证明，，设，则，在中，，在中，，求出的值即可． 【详解】（1）解：由折叠性质可知，，， ∵点为的中点， ∴， 设，则，， 由勾股定理，得，即， 解得 ∴的长为； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴与全等的情况只能为， ∴，， 设，则，， 由勾股定理，得，即， 解得或（舍去）， ∴的长为， ∴，，． ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 由折叠性质可知，， ∴， （2）如图，连接，，， ∵点，关于直线对称， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，轴对称性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 30．（2025·安徽合肥·二模）【阅读理解】如图1，在矩形中，由勾股定理得，，于是可得结论． (1)【探究发现】如图2，在平行四边形中，善于思考的小聪同学说：“结论也成立”，请你给予证明； (2)【拓展提升】如图3，已知是的中线，，，，求证： (3)【尝试应用】如图4，在平行四边形中，点是边上一动点，连接、．若，平行四边形面积为24，则的最小值为__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)50 【分析】（1）过点A作交延长线于于，过点D作交于，利用平行四边形的性质，矩形判定和性质，勾股定理证明即可． （2）延长到点D使得，连接，，根据，可以判断四边形是平行四边形，利用结论变形计算即可． （3）设边上的高为h，根据，平行四边形面积为24，得；取的中点N，连接，延长到点Q使得，连接，根据，得到四边形是平行四边形，利用（1）中结论，得到 ，故当最小时，取得最小值，根据垂线段最短，得当时最短，故时，取得最小值，解答即可． 【详解】（1）证明：过点A作交延长线于于，过点D作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ． （2）证明：延长到点D使得，连接，， ∵， ∴四边形是平行四边形， 根据（1）中结论，得， ∴， ∴， ∴． （3）解：设边上的高为h，根据，平行四边形面积为24，得； 取的中点N，连接，延长到点Q使得，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， 根据（1）中结论，得， ∴， 故当最小时，取得最小值，根据垂线段最短，得当时最短，故时，取得最小值， 故． 故答案为：50． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 31．（2025·安徽安庆·二模）如图，正方形中，点是线段的中点，点是线段上的动点，连接与交于点，连接并延长交于点． (1)①如图1，当点与点重合时，求证：． ②如图2，当点是线段的中点时，的值： (2)如图3，若，求证：． 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 【分析】①证明，得出，再证出，即可得出； ②如图2，连接．交于点．证明四边形是平行四边形，得出，证明，得出，证明，得出，即可求解． （2）证明，得出，再证明，得出，证明，即可证明． 【详解】（1）解：①如图1，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； ②如图2，连接．交于点． 四边形是正方形， ， 点、分别是、的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图3， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，又， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定等知识，用到的知识点较多，难度较大，属于中考压轴题． 32．（2025·安徽合肥·二模）综合实践 纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准某数学兴趣小组通过折叠纸来探究其中的数学奥秘． 【操作与发现】 如图1，矩形是一张标准的纸，取，边的中点M、N，以直线为轴进行对折，同学们发现对折后的矩形与原矩形相似，由此我们得到： 又因为，所以 于是我们得出如下结论：（1）纸的长与宽之比为_______． 【探究与计算】 矩形是一张标准的纸，E为边上一点，以直线为轴，将进行翻折，B点的对应点为． （2）如图2，若点在边上时，则的值为_______； （3）如图3，若E为边的中点，连接，求的值． 【拓展与证明】 （4）如图4，矩形纸片中，，E为边上一点，以直线为轴，将进行翻折，C点的对应点落在边上的点，然后把纸片展平，再以为轴，将进行翻折，点D的对应点落在直线上的处，折痕与相交于点O，与相交于点F，若．求的面积． 【答案】（1）纸的长与宽之比为；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据已有的过程得，整理得，即可作答． （2）结合矩形的性质与折叠的性质，证明四边形是正方形，，再代入数值进行化简，即可作答． （3）结合矩形的性质与折叠的性质，得，则，故，在中，，代入数值化简得，故，则，即可作答． （4）因为与关于直线对称，与关于直线对称，得，证明四边形是菱形，故是等腰直角三角形，证明，则，再证明，得，化简，即可作答． 【详解】解：（1）依题意， ∴或（舍去）， 即， 即纸的长与宽之比为， 故答案为：； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵矩形是一张标准的纸，且（1）得纸的长与宽之比为， ∴， 故答案为：． （3）过点作，交于一点，垂足为点， ∵矩形是一张标准的纸， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∴； （4）连接，如图所示： ∵与关于直线对称， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， 即， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，折叠性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 33．（2025·安徽合肥·一模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)如图1，在菱形中，E是的中点，连接，将沿翻折到，延长交于点P，请写出图中的所有“筝形”； (2)如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”其他条件不变，求的值； (3)如图3，在矩形中，是边的中点，连接，将沿翻折到，点P是线段上一点，若四边形是“筝形”，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得到，即四边形是“筝形”；再根据菱形的性质结合折叠的性质得到，连接，由E是的中点，得到，推出，求出，得到，即四边形是“筝形”； （2）同理（1）可证四边形是“筝形”，设，则正方形边长为，利用勾股定理求出，连接，证明是直角三角形，利用正切的定义可得，求出，勾股定理求出，即可解答； （3）延长交于点，连接，同理（1）可证四边形是“筝形”，当重合时，四边形是“筝形”，同理（2）得是直角三角形，，，求出，勾股定理求出，即可得到此时的长． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，即四边形是“筝形”； 由折叠的性质得：， 即四边形是“筝形”； 由折叠的性质得：， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即四边形是“筝形”； 综上，图中的“筝形”有； （2）解：同理（1）得：四边形是“筝形”， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 连接， ∵四边形是“筝形”， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∵，即， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长交于点，连接， 同理（1）可证四边形是“筝形”， 当重合时，四边形是“筝形”， 同理（2）得是直角三角形，， ∴， ∵在矩形中，是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时． 【点睛】本题考查四边形综合题，涉及菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线，理解“筝形”的定义是解题的关键． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$