9.1.2 余弦定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第九章 解三角形 9.1.2 余弦定理 《人教B版2019高中数学必修第四册》 探究新知 情境中的问题可以转化为：已知a,b和角C，如何求c？类似的问题可以通过构造直角三角形来解决，也可以借助向量来求解. 如图9-1-7所示，注意到 ||=b,||=a,<,>=C 所以·=||||cos<abcosC 而且=，因此 ||2=||2=||2-2·+||2=a2-2abcosC+b2,又因为||=c，因此 探究新知 类似地，可得 这就是余弦定理：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍． 从余弦定理可以看出，已知三角形两边及其夹角，可以求出该三角形的第三边. 探究新知 例1 在ΔABC中，已知a=3，b=6，C=60∘，求c. 解 由余弦定理可知 c2=a2+b2−2abcosC =32+62−2×3×6×cos60∘ =27 因此c= 从例1可以看出，已知三角形的两边及其夹角时，三角形唯一确定，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理SAS一致. 探究新知 例2  在ΔABC中，已知a=6，b=4，c=2，求C. 解  由c2=a2+b2−2abcosC可得 (2)2=62+42−2×6×4cosC 可解得cosC=. 又因为0∘<C<180∘，所以C=60∘ 由例2可以看出，已知三角形的3条边时，可以求出该三角形的3个角，而且该三角形也唯一确定，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理SSS 一致. 探究新知 事实上，余弦定理可以改写为如下形式. 探究新知 例3  在ΔABC中，已知acosA=bcosB，试判断这个三角形的形状. 解  利用余弦定理可知 a×=b×, 因此 a2(b2+c2−a2)=b2(a2+c2−b2), 即a2c2−b2c2−a4+b4=0，从而(a2−b2)c2−(a2−b2)(a2+b2)=0,所以 (a2−b2)(c2−a2−b2)=0, 因此a2−b2=0或c2−a2−b2=0. 当a2−b2=0时，a=b，此时ΔABC是等腰三角形； 当c2−a2−b2=0时，a2+b2=c2，此时ΔABC是直角三角形. 故ΔABC是等腰三角形或直角三角形. 探究新知 例3  在ΔABC中，已知acosA=bcosB，试判断这个三角形的形状. 解法二：  根据正弦定理：==2R ∴a=2RsinA,B=2RsinB 代入acosA=bcosB得 2RsinAcosA=2RsinBcosB sin2A=sin2B ∴2A=2B 或 2A=-2B 即A=B或A+B= ∴ΔABC是等腰三角形或直角三角形. 探究新知 例4  如图9-1-8所示平面四边形ABCD中，已知B+D=180∘,AB=2,BC=4,CD=4,AD=2,求四边形ABCD的面积. 解  连接点A,C，如图9-1-8所示． 在ΔABC 的ΔADC中分别使用余弦定理可得 AC2=AB2+BC2−2AB×BCcosB, AC2=AD2+CD2−2AD×CDcosD. 又因为B+D=180∘，所以cosD=cos(180∘−B)=−cosB，因此 22+(4)2−2×2×4cosB=(2)2+42+2×2×4cosB. 解得cosB=0，因此cosD=0，则B=D=90∘ 从而可知四边形的面积为 ×2×4+×4×2=4(+). 例4说明，与平面多边形有关的问题，有时可以转化为三角形的问题来求解. 探究新知 例5  在ΔABC中，求证：a=bcosC+ccosB. 证明 如图9-1-9所示， + 因此+ )·=·+ · 又由图可知 ||=a，·=bacosC， ·=cacosB, 所以 a2=bacosC+cacosB， 即a=bcosC+ccosB. 探究新知 例5  在ΔABC中，求证：a=bcosC+ccosB. 例5的结果也可用向量数量积的几何意义来解释．事实上，bcosC＋ccosB是， b=acosC+ccosA, c=acosB+bcosA. 利用这些结果也可推导出余弦定理，请读者自行尝试. 提示：把三个式子两边平方，然后计算b2 + c2 - 2bccosA ，可得 b2 + c2 - 2bccosA=a2 练习A ①已知ΔABC，求证： （1）若a2+b2=c2，则C为直角； （2）若a2+b2>c2，则C为锐角； （3）若a2+b2<c2，则C为钝角. 求证： （1）若a2+b2=c2，则cosC==0，∵0o<c<180o,∴C=90o,即C为直角. （2）若a2+b2>c2，则cosC=>0，∵0o<c<180o,∴0o<C<90o,即C为锐角. （3）若a2+b2<c2，则cosC=<0，∵0o<c<180o,∴90o<C<180o,即C为钝角. 练习A ②已知ΔABC中，a=10,b=5,C=120∘，求c. 解 已知a=10，b=5，C=120∘，用余弦定理： c2 = a2 + b2 - 2abcos C = 102+ 52 - 2× 10×5 ×cos120∘ = 100 + 25 - 100×（-） = 125 + 50 = 175 ∴ c = 5 练习A ③已知ΔABC中，a=8,b=6,c=2，求角C. 解 已知a=8，b=6，c=2，用余弦定理： cosC= = = = = ∵ 0∘ < C < 180∘， ∴C = 60∘ 练习A ④已知ΔABC中，a=3,b=2,c=，求角C以及三角形的面积. 解 已知a=3，b=2，c=， 用余弦定理： cos C = = = = = - ∵ 0∘ < C < 180∘， ∴C = 120∘ S =× 3 ×2 ×sin120∘ = 3× = 练习A ⑤在ΔABC中，已知a:b:c=3:4:5，试判断这个三角形的形状. 设a=3k，b=4k，c=5k(k>0)，验证： a2 + b2 = (3k)2 + (4k)2 = 9k2 + 16k2 = 25k2 c2 = (5k)2 = 25k2 ∴ a2 + b2 = c2， 根据第 1 题结论，C为直角， ∴ 这个三角形是直角三角形。 练习B ①求证：在ΔABC中，有a2+b2+c2=2(bccosA+accosB+abcosC). 证明： 根据余弦定理知： 2bccosA=b2+c2-a2 2accosB=a2+c2-b2 2abcosC=a2+b2-c2 ∴2(bccosA+accosB+abcosC)=b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2 右边=a2+b2+c2 即a2+b2+c2=2(bccosA+accosB+abcosC) 练习B ② 已知ΔABC中，a=2,c=,A=45∘，求b及角C. 解 由正弦定理得 sinC=== ∵ 0∘ < C < 180∘， ∴C = 60∘或C = 120∘ 当C = 60∘，B=180∘−45∘−60∘=75∘，由正弦定理= 代入已知，可求得b= 同理，当C=120∘时，可求得b= 练习B ③在ΔABC中，已知A:B=1:2,a:b=1:，求ΔABC的3个内角． 解 根据正弦定理： 代入已知得，= 由二倍角公式sin 2A=2sinAcosA，代入得： cosA=, 0∘ < C < 180∘ ∴A=30∘,故B=60∘,则c=90∘ 练习B ④在ΔABC中，分别根据下列条件求c. (1)a=4,b=2,A=60∘; (2)a=4,b=3 A=45∘ 解 根据余弦定理：a2=b2+c2−2bccosA 代入已知得 42=22+c2-2bccos60∘ 16=9+c2-3 c2-37=0 解一元二次方程得 c=，∵c>0 ∴c=1+ 同理，可求得（2）的c= 小结 1.余弦定理：三角形任意一边的平方，等于另两边平方和，减去这两边与夹角余弦乘积的两倍。在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边： a2 = b2 + c2 - 2bccos A b2 = a2 + c2 - 2accos B c2 = a2 + b2 - 2abcos C 2.推论（求角公式）： cosA=, cosB=,cosC= 3.两类基本应用 已知两边及夹角（SAS）：先用定理求第三边，再用推论求其余角（唯一解）。 已知三边（SSS）：直接用推论求三个角（唯一解）。 巩固提升 1.利用余弦定理解三角形 （1）在△ABC中，a:b:c=2:,求△ABC中各角的度数. 解析 由题意得a:b:c=2:，令a=2k,b=k(k>0) 则cosA===,∵0∘ < A < 180∘,∴A=45∘ 又cosB===,∵0∘ < B < 180∘,∴B=60∘ ∴C=180∘-45∘-60∘=75∘ 巩固提升 1.利用余弦定理解三角形 （2）在△ABC中，AB=4,AC=7,BC边上得中线AD=，则BC= . 解析 设BD=DC=x，∠ADB= △ADC中，72=x2+()2-2x·a ① △ABD中，42=x2+()2-2x·() ② ①+②得 x=（负值舍去） ∴BC=9 9 巩固提升 2.与三角形面积有关得问题 在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且B为锐角，若=，sinB=，S△ABC=，则b的值为 . 解析 由正弦定理及=，得 = ,即a= ① 由S△ABC= =acsinB且sinB=，得ac=5 ② 联立①②得a=5，c=2.由sinB=，且B为锐角知cosB=，由余弦定理知 b2=25+4-2×5×2×=14,解的b= 巩固提升 3.判断三角形的形状 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为 . 解析 方法一： 由正弦定理的sin(每一项里都有边可利用边长与三角形外接圆半径和角的正弦值的关系，将边换成对角的正弦） ∴sin(B+C)=,即sin(-A)=,∴sinA=,即sinA(sinA-1)=0, ∴sinA=0或sinA=1. ∵0 < A < ,∴sinA>0,∴sinA=1,即A=，∴△ABC为直角三角形 直角三角形 巩固提升 3.判断三角形的形状 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为 . 解析 方法二： ∵bcosC+ccosB=b·=+C·=a ∴asinA=a，即sinA=1，又0 < A < ，故 A=，∴△ABC为直角三角形 直角三角形 提示：首先要化边为角，或者化角为边，转化为同一属性后再研究 $