9.2正弦定理与余弦定理的应用第二课时课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第2课时 解三角形在实际测量中的应用(二) 第九章　9.2　正弦定理与余弦定理的应用 讲课人：XXX 考点衔接 年份 卷别 题号 分值 核心考点（正 / 余弦定理应用） 2025 新高考 Ⅱ 卷 第 5 题 5 分 余弦定理：已知三边求角 2025 全国甲卷 第 16 题 5 分 正余弦定理 + 面积公式：三角形面积最值 2025 全国乙卷 第 17 题 12 分 正弦定理 + 余弦定理综合：边角互化、求周长 / 面积 2025 北京卷 第 16 题 10 分 正余弦定理 + 三角恒等变换：解三角形、求角 2025 天津卷 第 15 题 5 分 正弦定理：边化角、判断三角形形状 题型1 距离 题型2 高度 题型3 角度 例3 题型1 距离 题型2 高度 题型3 角度 练习 C 一、角度问题 例1　甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解　如图所示.设经过t小时两船在C点相遇， 则在△ABC中， BC＝at海里， B＝180°－60°＝120°， ∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝60°－30°＝30°， ∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇. 解决实际问题应注意的问题 (1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步. (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题. 二、平面图形中线段长度的计算 例2　如图，在△ABC中，AB＝2，cos B＝ ，点D在线段BC上. 解　∵BD＝2DC， ∴S△ABD＝2S△ADC，S△ABC＝3S△ADC， ∴BC＝6， 在△ABC中，由余弦定理得， 三角形中几何计算问题的解题要点及关键 (1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决. (2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件. 跟踪训练2　如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，CD是AB边上的中线. (1)求证：sin∠BCD＝2sin∠ACD； 证明　在△DBC中，由正弦定理得， 即BCsin∠BCD＝DBsin∠CDB， ACsin∠ACD＝ADsin∠CDA. ∵sin∠CDA＝sin∠CDB， CD是AB边上的中线且AC＝2BC， ∴sin∠BCD＝2sin∠ACD. (2)若∠ACD＝30°，求AB的长. 解　∵∠ACD＝30°， 由(1)可得sin∠BCD＝2sin∠ACD＝1， 即∠BCD＝90°，∴∠ACB＝120°， 三、多边形面积问题 例3　已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积S. 在△ABD中，由余弦定理， BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝22＋42－2×2×4cos A＝20－16cos A， 在△CDB中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcos C＝62＋42－2×6×4cos C＝52－48cos C， ∴20－16cos A＝52－48cos C， ∵cos C＝－cos A， ∴A＝120°， 跟踪训练3　如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于 . 解析　连接BD(图略). ∵∠ABC＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2， 1.在某次高度测量中，在A处测得B点的仰角为60°，在同一铅垂平面内测得C点的俯角为70°，则∠BAC等于 A.10° B.50° C.120° D.130° √ 1 2 3 4 5 解析　如图所示∠BAC＝130°. 课堂练习 2.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 A.北偏西5° B.北偏西10° C.南偏东5° D.北偏西20° √ 1 2 3 4 5 解析　由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°. ∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°， 从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°. √ 1 2 3 4 5 21 4.(多选)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m，下底长为10 m，高为 m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角是 1 2 3 4 5 √ 解析　如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB＝10 m，CD＝6 m， ∴∠DAE＝60°. √ 1 2 3 4 5 5.某人从A处出发，沿北偏东60°行走3公里到B处，再沿正东方向行走 公里到C处，则A，C两地的距离为 公里. 解析　如图所示，由题意可知 7 所以A，C两地的距离为7公里. 1.知识清单： (1)测量角度问题. (2)求解平面图形中的长度问题. (3)多边形的面积. 2.方法归纳：数形结合、转化与化归. 3.常见误区： (1)易忽略隐含条件导致出错. (2)解三角形问题中整除因式时忽略讨论. 课堂小结 谢谢大家 ! AC＝at海里， 由＝，得 sin∠CAB＝＝＝＝， 在△ABD中，由正弦定理得＝， 又AB＝2，∠ADB＝，sin B＝. ∴AD＝＝. (1)若∠ADC＝，求AD的长； 解　∵cos B＝，∴sin B＝. (2)若BD＝2DC，△ADC的面积为，求的值. 又S△ADC＝，∴S△ABC＝4， ∵S△ABC＝·AB·BC·sin B， ∵S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD，S△ADC＝AC·AD·sin∠CAD，S△ABD＝2S△ADC， ∴＝2·， AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，∴AC＝4， ∴＝2·＝4. ＝， 在△ACD中，由正弦定理得＝， 由余弦定理得AB＝＝＝. 解　如图，连接BD，则有四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△CDB＝AB·ADsin A＋BC·CDsin C.∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C. ∴S＝(AB·AD＋BC·CD)sin A＝(2×4＋6×4)·sin A＝16sin A. ∴64cos A＝－32，∴cos A＝－， ∴S＝16sin 120°＝8. ∴四边形ABCD的面积S为8. 5 ∴在△BCD中，BD＝＝2， ∴S△ABD＝AB·BDsin(120°－30°)＝×4×2＝4， S△BCD＝BC·CDsin 120°＝×2×2×＝. ∴四边形的面积S＝S△ABD＋S△BCD＝4＋＝5. 解析　因为在△ABC中，a＝2，B＝60°，b＝， 所以cos 60°＝，解得c＝3或c＝－1(舍去)， 则边BC上的高为csin 60°＝.故选A. 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，B＝60°，b＝，则边BC上的高为 A. B. C.3 D. 高DE＝2m，则AE＝＝2 (m)， ∴tan∠DAE＝＝＝， 2 A.30° B.60° C. D. 3 AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°. 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝27＋4－2×3×2·cos 150°＝49，AC＝7. $