9.1.2 余弦定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦余弦定理，系统呈现其两种表示形式、向量法推导过程及两类解三角形应用，通过问题链导入，从向量数量积切入推导公式，关联勾股定理作为特例，搭建与正弦定理的知识支架，帮助学生构建解三角形知识体系。 其亮点在于以逻辑推理为核心，通过一题多解（如例1参数法解三边问题）和规律方法总结（如已知两边一角的解题步骤）培养数学运算素养，结合自主检测、随堂演练强化应用，易错点分析（如忽视三角形构成条件）助力学生规避误区。学生能提升推理与运算能力，教师可依托系统资源高效教学。

9.1.2　余弦定理 　 第九章　9.1　正弦定理与余弦定理 知识层面 1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法． 2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 3．能应用余弦定理判断三角形形状． 4．能利用正弦定理、余弦定理解决解三角形的有关问题． 素养层面 借助余弦定理的推导，提升逻辑推理素养；通过余弦定理的应用的学习，培养数学运算素养． 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题导思 问题1．在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c? 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，联想到数量积的性 质c·c＝|c|2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算． 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C． 所以c2＝a2＋b2－2ab cos C，同理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B． 问题2．在问题1的探究成果中，若C＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：a2＋b2＝c2，即勾股定理；勾股定理是余弦定理的一个特例． 问题3．在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何求角A，B，C呢？ 新知构建 b2＋c2－2bc cos A 知识点一　余弦定理 文字表述 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍 公式表述 a2＝_____________________，b2＝_____________________，c2＝_______________________ 推论 cos A＝__________，cos B＝__________，cos C＝__________ c2＋a2－2ca cos B a2＋b2－2ab cos C 微提醒 对余弦定理的理解 (1)余弦定理对任意的三角形都成立． (2)关键词：“平方”“夹角”“余弦”． (3)在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得三角形中未知的量． (4)余弦定理的第二种形式适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题． (5)余弦定理的常见变式：b2＋c2－a2＝2bc cos A，a2＋c2－b2＝2ac cos B，a2＋b2－c2＝2ab cos C． 知识点二　余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： (1)已知三边，解三角形； (2)已知两边及其夹角，解三角形． 微提醒 (1)余弦定理把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式． (2)余弦定理及其变形在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时，要根据条件灵活选择． (3)因为余弦函数在[0，π]上是单调减函数，所以由cos α＝m(－1≤m≤1)确定的角α是唯一的，因此用余弦定理求解三角形的内角更合适. 自主检测 1．在△ABC中，若C＝ ，a＝2，b＝3，则边c＝ A．4 B．16 C． D．10 √ 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4＋9－2×2×3× ＝7，所以c＝ .故选C． √ 设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，结合余弦定理，可得19＝a2＋4－2×a×2×cos 120°，即a2＋2a－15＝0，解得a＝3，或a＝－5(舍去)，所以BC＝3．故选D． 3．在△ABC中，已知B＝120°，AC＝ ，AB＝2，则BC＝ A．1 B． C． D．3 √ 4．在△ABC中，如果(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，那么角A等于 A．30° B．60° C．120° D．150° √ 由题意a2＋c2＝(a＋c)2－2ac＝72－2×8＝33，由余弦定理b2＝a2＋c2－ 2accos B＝33－2×8× ＝25，所以b＝5． 5．在△ABC中，若ac＝8，a＋c＝7，B＝ ，则b＝____． 返回 5 合作探究 返回 例1 题型一　已知三边解三角形 (一题多解)已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶ ∶( ＋1)，求△ABC中各角的度数． 点拨： 引入参数k表示三边长 → 由余弦定理求其中两角 → 由A＋B＋C＝180°求余下的角 因为0°<A<180°，所以A＝45°. 规律方法 已知三角形的三边解三角形的方法 基本解法是先用余弦定理求出一角，然后用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形内角和定理求出第三个角．在用正弦定理求第二个角时，要借助“大角对大边”，提前判断所求角是否为锐角，一般先求较小边对应的角． √ 例2 题型二　已知两边及一角解三角形 (1)在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝_____；sin A＝______. 点拨：利用余弦定理求出c的值及cos A，再由同角三角函数关系求sin A. 2 (2)(一题多解)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝30°，a＝8，b＝8 ，求△ABC的面积． 点拨：思路一　用余弦定理求出c，直接代入三角形面积公式即可． 思路二　可先根据 ＝ ，求出B，再由A＋B＋C＝180°求出C，进而用面积公式求解． 方法一　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，代入数据得c2－24c＋128＝0，解得c＝8或c＝16．当c＝8时，S△ABC＝16 ；当c＝16时，S△ABC＝32 . 规律方法 1．已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法 先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形内角和定理求出第三个角． 2．已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)先利用正弦定理求出另一条边所对角，再利用三角形内角和定理求出第三个角(这里注意对角的判断)，最后用正弦定理求出第三边． (2)先利用余弦定理列一元二次方程，求出第三边，再利用正弦定理求其他的两个角． 对点练2．已知a，b，c是△ABC中A，B，C的对边，a＝4 ，b＝6，cos A ＝－ . (1)求c； 解：因为a＝4 ，b＝6，cos A＝－ ， 所以在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，可得48＝36＋c2 －2×6×c× ，即c2＋4c－12＝0， 所以c＝2，或－6，负值舍去． 所以c＝2． (2)求cos 4B的值． 所以cos 2B＝2cos2B－1＝－ ， 所以cos 4B＝2cos22B－1＝－ . 例3 题型三　判断三角形的形状 (一题多解)(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，2cos A sin B＝sin C，则△ABC是 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 点拨：(1)题中条件既含边又含角，可利用正、余弦定理转化为边之间的关系或利用三角恒等变换转化为角之间的关系，从而可判断三角形的形状． √ 方法二(利用角的关系判断)　因为A＋B＋C＝180°，所以sin C＝sin (A＋B).因为2cos A sin B＝sin C，所以2cos A sin B＝sin A cos B＋cos A sin B，所以sin A cos B－cos A sin B＝0，所以sin (A－B)＝0.因为0°<A< 180°，0°<B<180°，所以－180°<A－B<180°，所以A－B＝0°，即A＝B.又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以a2＋b2－c2＝ab，所以cos C ＝ .因为0°<C<180°，所以C＝60°，所以△ABC为等边三角形. (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2 ＝ ，则△ABC是 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 点拨：(2)题需先利用二倍角的降幂公式将 化成A． √ 规律方法 判断三角形形状的方法 从研究三角形边与边的关系或角与角的关系入手，充分利用正、余弦定理进行边角互化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，发现边与边或角与角的关系，从而做出正确判断． 对点练3．在△ABC中，a，b分别是角A，B的对边，若 ＝ 成立，那么△ABC的形状是 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．无法判断 √ 例4 题型四　余弦定理的综合应用 (一题多解)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2a cos B＝b cos C＋c cos B． (1)求B； 点拨：利用已知条件进行边角互化即可求B． (2)试求函数f(A)＝2sin2(A＋ )－cos(2A＋ )的最大值及取得最大值时A的值． 点拨：(2)化简f(A)，结合三角形内角和定理求最值． 规律方法 余弦定理与同角三角函数基本关系、两角和与差的三角函数、向量等知识综合命题是高考的一种趋势．通常此类问题的第一问考查正弦或余弦定理，一般是利用定理进行边角互化求解；第二问通常求最值、面积，一般需利用向量运算、三角恒等变换等来化简函数解析式，或用正弦或余弦定理、三角恒等变换的思想将有关问题转化为某一个角的三角函数，再利用相应公式及性质求解． 对点练4．△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C． (1)求A； 解：在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 因为sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C， 由正弦定理得a2－b2－c2＝bc， 即b2＋c2－a2＝－bc， 因为0<A<π，所以A＝ . (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 解：由(1)知，A＝ ，因为BC＝3，即a＝3， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以9＝b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc， 由基本不等式可得bc≤ ， 所以9＝(b＋c)2－bc≥ (b＋c)2， 所以b＋c≤2 (当且仅当b＝c＝ 时取得等号)， 所以△ABC周长的最大值为3＋2 . 易错精析 易错点　忽视构成三角形的条件而致误 已知钝角三角形ABC的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求实数k的取值范围． 正解：因为c>b>a>0，且△ABC为钝角三角形， 所以C为钝角． 所以k2－4k－12<0，解得－2<k<6． 由三角形的两边之和大于第三边，得k＋(k＋2)>k＋4， 所以k>2． 综上所述，实数k的取值范围为(2，6). 典例 易错探因：忽略三角形的构成条件——两边之和大于第三边． 误区警示：由于余弦定理及其推论的变形较多，且涉及平方和开方等运算，所以可能会扩大解的范围．在利用余弦定理求出三角形的三边后，需判断是否满足构成三角形的条件． 返回 随堂演练 返回 √ 2．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角之和为 A．90° B．120° C．135° D．150° √ 由余弦定理有c＝b× ，整理得b2＝a2＋c2，故△ABC一定是直 角三角形．故选C． 3．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝b cos A，则△ABC一定是 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 √ 4．在△ABC中，若c2＝a2＋b2＋ab，则C＝________． 120° 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，因为b＝c，a2＝b2＋c2－2b2sin A， 所以sin A＝cos A，所以tan A＝1，又角A为△ABC的内角，所以A＝ . 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝c，a2＝b2＋c2－2b2sin A，则A＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由余弦定理得 ＝cos 60°，即b2＋c2－bc＝a2＝(2b－c)2，整理 得b2＝bc，所以b＝c.又A＝60°，所以a＝b＝c.故△ABC的形状为等边三角形．故选D． 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，且a＝2b－c，则△ABC的形状为 A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝ ，b＝2，c＝1，则B＋C＝ A．90° B．120° C．60° D．150° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是 A．在△ABC中，若a2＋b2－c2＞0，则C是锐角 B．在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则A＞B＋C C．在△ABC中，若4sin A cos A＝0，则△ABC一定是直角三角形 D．任何三角形的三边之比不可能是1∶2∶3 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意，得a＋b＝5，ab＝2．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝ . 6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝bccos A＋ac cos B＋abcos C，则△ABC是________三角形． 直角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：因为△ABC的周长为 ＋1， 所以a＋b＋c＝ ＋1， 因为sin A＋sin B＝ sin C， 所以由正弦定理得a＋b＝ c， 所以c＝1． (1)求边c的长；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若△ABC的面积为 sin C，求角C的度数．(6分) 所以ab＝ ， 所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝ ， 因为C∈(0，π)， 所以C＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．(10分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b2＝a2＋c2－ac. (1)求角B的大小；(2分) 又0°<B<180°，所以B＝60°. (2)若a＝c＝2，求△ABC的面积；(3分) 解：由(1)知B＝60°，又a＝c＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)求sin A＋sin C的取值范围．(5分) 因为0°<A<120°，所以30°<A＋30°<150°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．(5分)在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，cos ∠B＝ － ，AB＝BC＝2，则sin ∠BAC＝________，DC＝________． 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：在△ABC中，因为2cos2 －cos2C＝1， 所以2sin2 －cos 2C＝1， 所以cos 2C＋1－2sin2 ＝cos 2C＋cos C＝0， 所以2cos2C＋cosC－1＝0，解得cos C＝ 或cos C＝－1(舍去). 又因为0<C<π，所以C＝ . 13．(13分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b ＝2，2cos2 －cos2C＝1． (1)求C的大小；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求 的值．(8分) 解：因为a＝3，b＝2． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．(17分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝ . (1)若cos A＝ ，求cos C；(7分) 解：因为cos B＝ ，B∈(0，π)， 所以cos C＝－cos (A＋B) ＝sin A sin B－cos A cos B＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)已知b＝4，求 · 的最小值．(10分) 解：由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，可得a2＋c2－ ac＝16． 因为a2＋c2≥2ac，所以ac≤13，当且仅当a＝c时等号成立， 所以 · 的最小值为－5． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 九 章 　 解 三 角 形 返回 方法一(利用边的关系判断)　由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab可得a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝.又0°<C<180°，所以C＝60°.因为2cos A sin B＝sin C，所以cos A＝＝.又cos A＝，所以＝，所以a2＝b2，所以a＝b，所以△ABC为等边三角形． 解：由题意得，sin A＋sin C＝sin A＋sin (120°－A)＝sin A＋cos A＝sin (A＋30°)， $