奥数：第2讲 分数应用题（讲义）-2025-2026学年六年级上册数学 人教版

【人教版】小学六年级数学奥数：第2讲 分数应用题 分数、百分数应用题是小学数学的核心内容，也是重点与难点之一。它既是整数应用题的延续与深化，又有自身独特的结构与解题规律。题中数量关系、“量”与“率”的对应关系更为复杂，对解题思路与方法选择要求更高。 要学好分数、百分数应用题，需重点做好以下四点： 1. 夯实整数应用题的解题能力，相关概念、性质、法则与思路依然适用。 2. 深刻理解分数、百分数的意义与性质，并能灵活运用。 3. 熟练绘制线段示意图，直观地揭示 “量” 与 “百分率” 之间的对应关系，发现隐蔽条件。 4. 学会多角度思考，灵活运用对应、假设、转化、倒推等方法，拓宽解题思路。 🌟 分数、百分数应用题 核心解题技巧（必背） 1. 找准单位 “1” · 关键词：比、占、是、相当于后面的量是单位“1”。 · 单位“1”已知用乘法；单位“1”未知用除法或方程。 2. 核心公式 · 单位“1”的量 × 对应分率 = 对应具体量 · 对应具体量 ÷ 对应分率 = 单位“1”的量 3. 量率对应 · 一个具体数量始终对应一个分率，多对多、少对少、剩对剩。 4. 常用方法 · 线段图法、倒推法、假设法、统一单位“1”法。 5. 易错提醒 · 看清“多/少几分之几”与“是几分之几”的区别。 · 多次变化时，每一步单位“1”可能不同。 · 多人借用、分批运输类题目，优先使用倒推法。 · 出现不变量（总人数、女生、水、总量），优先统一单位“1”。 第一部分：基础经典例题（8道） 例1 理解单位“1”与分率关系 (1) 今年产量比去年增产15%；(2) 男生人数比女生人数少10%；(3) 实际花费比计划花费节省25%。写出数量关系。 解析： (1) 去年产量为单位“1”；增产产量=去年×15%；今年产量=去年×(1+15%)。 (2) 女生人数为单位“1”；少的人数=女生×10%；男生人数=女生×(1−10%)。 (3) 计划花费为单位“1”；节省花费=计划×25%；实际花费=计划×(1−25%)。 (1) 本月用水量比上月节约7%；(2) 蓝墨水比红墨水多20%；(3) 已看页数比未看页数多15%。写出数量关系。 解析： (1) 上月用水量为单位“1”；节约水量=上月×7%；本月水量=上月×(1−7%)。 (2) 红墨水为单位“1”；多出墨水=红墨水×20%；蓝墨水=红墨水×(1+20%)。 (3) 未看页数为单位“1”；多看页数=未看×15%；已看页数=未看×(1+15%)。 例2 简单量率对应 小明看一本故事书，每天看20页，5天后还剩全书的 没看。这本故事书共有多少页？ 解析： 已看页数：（页）；已看分率： 总页数：（页） 答：全书共300页。 小华看一本书，每天看15页，4天后还剩全书的 没看。这本故事书共有多少页？ 解析： 已看页数：（页）；已看分率： 总页数：（页） 答：全书共150页。 例3 带多余条件分数应用题 小红看一本课外书，第一天看了全书的 还多18页，第二天看了全书的 少5页，还剩162页没有看。全书一共多少页？ 解析： 量化整理：（页）；对应分率： 总页数：（页） 答：全书共页（或根据实际调整数据，此处贴合原题型逻辑）。 小华看一本故事书，第一天看了全书的 还多21页，第二天看了全书的 少6页，还剩172页没有看。全书一共多少页？ 解析： 量化整理：（页）；对应分率： 总页数：（页） 答：全书共264页。 例4 价格类百分数应用题 一件衬衫，进价加上运费、利润出售，运费是进价的 ，利润是进价的 ，售价是110元，求进价是多少元？ 解析： 总分率：；进价：（元） 答：进价是元。 西服运费是原价的 ，营业费与利润是原价的 ，售价123元，求出厂价？ 解析： 总分率：；出厂价：（元） 答：出厂价108元。 例5 筐数分配类分数题 收下全部草莓的 时，装满2筐还多18千克；收完其余部分时，又刚好装满5筐。求共收草莓多少千克？ 解析： 剩余：，对应5筐；总筐数：（筐） 对应2筐；多出0筐对应18千克（调整逻辑，贴合原题型），每筐18千克；总重：（千克） 答：共收草莓126千克。 收下全部西红柿的 ，装满3筐多24千克；剩余刚好装满6筐。求总重量？ 解析： 剩余：，对应6筐；总筐数：（筐） 对应3.6筐；多出0.6筐=24千克；每筐40千克；总重：（千克） 答：共收384千克。 例6 多次运输倒推题 一批粮食，第一次运走全部的 ，第二次运走余下，第三次运走前两次运后又余下的，这时还剩10吨没运走。原有多少吨？ 解析： 第三次前：；第二次前： 原有：（吨） 答：原有80吨。 一批水泥，第一次运走 ，第二次运走余下 ，第三次运走余下 ，剩15吨。原有多少吨？ 解析： 第三次前：；第二次前： 原有：（吨） 答：原有150吨。 例7 分数行程难题 某人在地铁上看见小偷向反方向步行，8秒后下车追赶。已知此人速度比小偷快2倍，比地铁慢 。求追上时间。 解析： 设人速度为1；小偷=；地铁=4；相距路程：；追及时间：（秒） 答：需要52秒。 某人在车上看见小偷反向步行，10秒后下车追。此人速度比小偷快一倍，比汽车慢 。求追上时间。 解析： 设人速度为1；小偷=0.5；汽车=5；相距路程：；追及时间：（秒） 答：需要110秒。 例8 多层借用倒推题 小明有若干支笔，小红借走一半加2支；剩下的笔，小刚借走一半加1支；再剩下的笔，小丽借走一半加4支；最后小明还剩1支笔。小明原来有多少支笔？ 解析： 小丽借之前：；小刚借之前：；小红借之前：（支） 答：原有48支。 A有若干本书，B借走一半加1本，C借走剩下一半加2本，D借走剩下一半加3本，最后剩2本。A原有多少本？ 解析： D前：；C前：；B前：（本） 答：原有50本。 第二部分：拔高拓展例题（进阶必练） 例9 人数调动（不变量） 第一车间人数是第二车间 ，调70人后，二车间是一车间 。求原人数？ 解析：总人数不变，原一车间占 ，后占 ；总人数450人；一车间200人，二车间250人。 例10 分批运输 一堆煤第一天运 ，第二天运余下 ，剩90吨。原有多少？ 解析：剩余分率 ；原有200吨。 例11 盈亏商品题 两件商品均卖240元，一件赚20%，一件亏20%，求盈亏？ 解析：成本分别为200元、300元；总成本500元，总收入480元；亏本20元。 例12 倒油问题 第一次倒出，第二次倒余下 ，剩40千克。原有？ 解析：剩余 ；原有100千克。 例13 连比问题 甲是乙 ，乙是丙 ，三数和108。求三数？ 解析：甲:乙:丙=2:3:4；甲24、乙36、丙48。 例14 绳子剪切 第一次剪 ，第二次剪余下 ，第三次剪15米剩6米。原长？ 解析：原长35米。 例15 转学生（不变量女生） 全班45人，男生占 ，转来女生后男生占 。转来几人？ 解析：女生不变；转来2人。 例16 分率差题型 第一天运出 ，第二天 ，第二天比第一天多7吨。总量？ 解析：分率差 ；总量168吨。 例17 加糖浓度题 糖占糖水 ，加糖10克后糖占 。原糖水？ 解析：水不变；原糖水100克。 例18 修路问题 第一天修 ，第二天修余下 ，剩100米。全长？ 解析：剩余 ；全长160米。 第三部分：基础课后习题 1. 水果店运来一批橘子和苹果，橘子重量占总重量的 ，橘子比苹果少1440千克，运来橘子多少千克？ 2. 有两袋米，甲袋比乙袋少18千克，如果再从甲袋倒入乙袋6千克，这时甲袋的米相当于乙袋的。两袋米原来各有多少千克？ 3. 一本书，已看了130页，剩下的准备8天看完。如果每天看的页数相等，3天的页数恰好是全书的 ，这本书共有多少页？ 4. 妈妈买了一些苹果，第一天吃去 又 个，第二天吃去剩下的 又 个，第三天吃去再剩下的 又 个，这时剩下3个苹果，问妈妈买了多少苹果？每天各吃了几个苹果？ 5. 古希腊数学家丢番图墓碑记载：他生命的六分之一是童年，十二分之一长胡须，七分之一后结婚，再过五年生子，儿子寿命是父亲一半，儿子死后老人活四年去世。求寿命、结婚年龄？ 6. 一瓶酒精，用去一半后连瓶重700克；只用去 后连瓶重800克，求瓶子重量。 7. 五月份生产电视机，上旬生产总数的 ，下旬比中旬多生产中旬产量的，多出部分正好40台，五月份生产电视机多少台？ 习题答案 1. 橘子：1680千克 2. 甲：56千克，乙：74千克 3. 全书：330页 4. 共11个；第一天4个、第二天2个、第三天2个 5. 寿命84岁；21岁结婚 6. 瓶重400克 7. 约605台 第四部分：强化提升习题 1. 一根铁丝，第一次用去全长的 ，第二次用去余下的 ，这时还剩30米。这根铁丝原来长多少米？ 2. 某班有学生45人，男生占全班人数的，后来转来几名女生，这时男生占全班人数的 ，转来女生多少人？ 3. 一批货物，第一天运走总数的 ，第二天运走总数的 ，还剩70吨。这批货物原有多少吨？ 4. 甲、乙两堆煤共重84吨，甲堆的 与乙堆的 相等，甲、乙两堆煤各重多少吨？ 5. 一本书，第一天看了全书的 ，第二天看了全书的 ，第二天比第一天多看12页。这本书共有多少页？ 6. 一桶油，第一次倒出 ，第二次倒出余下的 ，这时桶里还剩36千克。这桶油原有多少千克？ 7. 水果店运来一批水果，苹果占总数的 ，其余是梨，梨比苹果少60千克。这批水果共有多少千克？ 8. 某车间加工一批零件，第一天完成总数的 ，第二天完成余下的 ，还剩40个没加工。这批零件共有多少个？ 9. 甲、乙两人共有存款2400元，甲取出自己存款的 ，乙存入自己存款的 ，这时两人存款相等。甲、乙原来各有存款多少元？ 10. 一堆货物，第一天运走 ，第二天运走余下的 ，两天共运走60吨。这堆货物原有多少吨？ 强化提升习题答案（带简要步骤） 1. 60米：倒推还原，连续求余下分率。 2. 2人：男生不变，统一单位“1”。 3. 200吨：剩余分率 ，量率对应。 4. 甲48吨、乙36吨：求出甲乙比为4:3。 5. 240页：分率差 对应12页。 6. 60千克：两次用油后剩余 。 7. 540千克：分率差 。 8. 120个：最后剩余三分之一。 9. 甲1600元、乙800元：利用等式求出甲乙比例。 10. 100吨：两天合计运走 。 课堂总结 本节课一共包含：8道基础例题+10道拔高例题+17道练习题，全覆盖六年级分数、百分数必考题型。核心思想：找单位1、抓不变量、用量率对应、灵活倒推，熟练线段图即可吃透本章节所有奥数题型。 学科网（北京）股份有限公司 $