第 4 讲 分数与百分数应用题(一) （讲义）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

第 4 讲 分数与百分数应用题(一) 知识点、重点、难点 分数应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学的重点和难点之一.分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题基础上的延续和深化；另一方面，它有其自身的特点和解题规律.分数应用题涉及的知识面广，题目变化的形式多，解题的思路宽.它既有独特的思维方式，又有基本的解题思路，学好分数应用题对发展思维能力，提高解题技能，具有非常重要的作用. 例题精讲 领导 等候公共汽车的人整齐的排成一排，小明也在其中.他数了数人数，排在他前面的人数是总人数的 ，排在他后面的人数是总人数的 ，问小明排在第几个? 解 排在小明前面和后面的人数之和占总人数的 所以小明自己，即1人占总人数的 推知共有12人.排在小明前面的有12× (人)，小明排在第9名. 答：小明排在第9名. 小华看一本故事书，第一天看了全书的 多6页，第二天看了全书的 还少8页，最后还剩下172页，这本故事书一共有多少页? 分析 多6页，少8页和剩下的172页，这些量与分率中包含和不包含的关系是本题解题的关键，如图1所示，这个数量关系就很清楚了.22 如图1, 对应的页数显然是(172+6-8)(页). 解. (页). 答：这本故事书一共有240页. 例3 甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，甲行全程要6小时，两人相遇时所行路程的比是3：2，这时甲比乙多行18千米，求乙的速度. 甲、乙两人相遇时所行路程的比是3∶2，甲行了全程的 ，乙行了全程的 ，甲比乙多行了全程的 ，全程的 是18千米. 解 (千米). 甲的速度是90÷6=15(千米/小时)，甲、乙两人相遇的时间是 15 =54÷15 = 3.6(小时), 所以乙的速度是 10(千米/小时). 答：乙的速度是10千米/小时. (2)学校阅览室里有 36名学生在看书，其中女生占 ，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的 ，问后来又有几名女生来看书? 本题中男生人数不变，故可根据男生人数不变来解. 首先，女生占 ，则男生占 ，所以男生人数是： (人).后来又有 几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的 ，男生人数占所有看书人数的 ，这样就可以算出来了几名女生后所有看书的人数. 解 男生人数是 (人).来了几名女生后所有看书的人数有 (人),38-36 = 2(人). 答：后来又有2名女生来看书. 例5 菜地里黄瓜获得丰收，收下全部的 时，装满了4筐还多36千克，收完其余部分时，又刚好装满8筐，问共收黄瓜多少千克? 分析 装满了4筐还多36千克，即这36千克不能装满1筐.它占总数的 解 (千克). 答：共收黄瓜576 千克. A卷 一、填空题 1.小华看一本书，每天看16 页，5天后还剩下全书的 没看，这本书有 页. 2.工程队修一条公路，第一天修了全长的 ，第二天与第一天所修的长度的比是4：3，这时还剩下600米没修.这条公路全长 米. 3.加工一批零件，甲、乙两人合作需12天完成；现在甲先工作2天，然后 由乙工作3天，还剩这批零件的4/5没完成。已知乙每天比甲少加工6个，这批零件共有 个。 4.服装厂二车间人数占全厂人数的25%，三车间人数比二车间少1/5，一车间人数比三车间多3/10，一车间是156人。这个服装厂全厂共有 人。 5.甲有若干本书，乙借走了一半加3本，剩下的书丙借走了1/3加2本，再剩下的书丁借走了1/4加1本，最后甲还有2本书。甲原来有 本书。 6.某县城的常住人口于某年末调查，有107584人，如果每年增加2.5%，那么3年后比2年前增加 人(得数保留整数)? 7.某次会议，昨天参加会议的男代表比女代表多700人，今天男代表减少了10%，女代表增加了5%，今天共有1995人出席会议，昨天参加会议的有 人。 8.妈妈买了一些苹果，第一天吃去1/3又1/3个，第二天吃去剩下的1/4又1/4个，第三天吃去再剩下的1/3又1/3个，这时剩下3个苹果。妈妈买了 个苹果。 二、解答题 9.某中学初中共780人，该校去数学奥校学习的学生中，恰好有8/17是初一的学生，有9/23是初二的学生，那么该校初中学生中没进奥校学习的有多少人? 10.育英小学四、五、六年级共有615名学生。已知六年级学生的1/2，等于五年级学生的1/5，等于四年级学生的3/7，这三个年级各有多少名学生? B 卷 一、填空题 1.一列快车从甲城开往乙城要10小时到达，一列慢车从乙城开往甲城要15小时到达。两车同时从两城出发相向而行，相遇时距离两城中点60千米。甲、乙两城相距 千米。 2.一份稿件，甲单独打字需6小时完成，乙单独打字需10 小时完成.现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时，甲打字用了 小时. 3.某学校男生人数的 等于女生人数的 ，男生人数的 比女生人数的 少4人.这个学校共有学生 人. 4.有甲、乙两筐香蕉，如果从甲筐取出10千克放入乙筐，则两筐相等；如果从两筐中各取出10千克，这时甲筐余下的 比乙筐余下的 多5千克.甲筐有香蕉 千克.乙筐有香蕉 千克. 5.甲、乙、丙、丁合做一批零件，甲做的个数是其他三个人工作总量的一半，乙做的个数是其他三个人工作总量的 ，丙做的个数是其他三个人工作总量的 ，丁做了390个，四个人共做了 个零件. 6.甲、乙两人共存款2000元，后来甲又存入100元，乙取出自己存款数的 ，这时甲的存款数是乙的2倍.现在两人共存款 元. 7.有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个，为了使A堆中黑子占50%，B 堆中黑子占75%，要从B堆中拿到A堆黑子 个，白子 个. 8.某校六年级原有两个班，现在重新编为三个班，将原1班人数的 与原2班人数的 组成新1班，将原1班人数的 与原 2班人数的 组成新2班，余下的30人组成新3班.在新3班的人中，原1班的占 ，原1班、原2班各有 人. 9.甲、乙两个仓库，乙仓库原有存货1200 吨.当甲仓库的货物运走 ，乙仓库的货物运走 以后，再从甲仓库取出剩下货物的10%放入乙仓库，这时甲、乙两仓库的货物重量恰好相等.甲仓库原有存货 吨. 10.电影票原价每张若干元，现在每张降价3元出售，观众增加了一半，收入增加 .一张电影票原价 元. 二、解答题 11.某商店一个月内销售A、B、C、D四种商品，情况如下表所示： 商 品 单价(元) 数量(件) A 95.00 500 B 170.00 60 C 450.00 50 D 923.00 3 已知：商品销售的毛利率=销售价一进货价×100%，A、B、C、D四种商销售价品的毛利率依次为8%，13%，21%，28%.一个月中四种商品的毛利率是多少? 12.某种商品的平均价格在一月份上调了10%，二月份下降了10%，三月份又上调了10%，则这种商品从原价到三月底的价格平均上升了百分之几? C 卷 一、填空题 1.六年级选出男生的 和12名女生参加数学竞赛，剩下的男生人数是女生的2倍.已知六年级共有学生156人，其中男生有 人. 2.李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内.已知东院内养鸡40 只，现在把西院养鸡数的 卖给商店， 卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50%.原来东、西两院一共养鸡 只. 3.同学们乘汽车外出春游.开始上第一辆汽车的同学比上第二辆汽车的多8人，后来调走13个同学上第二辆汽车，这时第一辆汽车上的同学的人数是第二辆汽车上同学人数的 .参加这次春游活动的同学一共有 人. 4.某商店分别花同样多的钱，购进甲、乙、丙三种不同的糖果.已知甲、乙、丙三种糖果每千克的价格分别是9.60元、16元、18元.如果把这三种糖果混合成什锦糖，按20%的利润定价，那么这种什锦糖每千克定价 元. 5.元旦文艺演出，上场的同学共407人，其中未得奖的女同学占女同学人数的 ，未得奖的男同学有16人，得奖的男、女同学人数相等.问演出的女同学 有 人. 6.小亮看一本科技书，第一天看了全书的20%，第二天看的与第一天看的页数之比是3：2，第三天看了40页，这时还剩全书的 没看.这本科技书共有 页. 7.甲、乙两人各有人民币若干元.如果甲用去20元，余下的钱与乙相等.如果乙给甲 12元，则乙余下的钱的 与甲这时身上钱的 相等.甲、乙两人原来各有人民币 元. 8.一堆水果分装两袋，从甲袋取走 ，从乙袋取走12千克，则两袋所剩水果重量相等；这时如果从乙袋余下的水果中再取走 ，则乙袋中还剩下乙袋原来重量的 .原来这堆水果共重 千克. 9.王师傅要加工一批零件，若每小时多加工12个零件，则所用时间比原计划少 ；若每小时少加工16个零件，则所用的时间比原来多 小时.这批零件共有 个. 10.小敏读一本有趣的课外书，每天总是读完前几天读过页数的2倍，第6天他读了这本书的 .小敏第 天读完这本书. 二、解答题 11.九章书店对顾客实行一项优惠措施：每次买书200元至 499.99元者优惠5%，每次买书500元以上者(包括500元)者优惠10%.某顾客到店买了三次书，如果第一次与第二次合并一起买比分开买便宜13.5元，如三次合并一起买比三次分开买便宜39.4元.已知第一次的书价是第三次书价的 ，问这位顾客第二次买了多少钱的书? 12.如图2，三条环形跑道交于A 点，每条跑道周长均为 200米，三名运动员的速度分别为每小时5千米、7千米和9 千米.他们同时从A 点出发分别沿三条跑道跑步，三名运动员出发后第4次相遇时，已跑了多少分钟? 13.如图3，正方形ABCD是一条环形公路，已知汽车在AB上的时速是90千米，在 BC上的时速是120 千米，在 CD上的时速是60千米，在DA上的时速为80千米.从CD 上一点P 同时反向各发出一辆汽车，它们将在 AB 中点相遇；如果从 PC的中点M 同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点N 相遇，求∠EB的距离的值. 14. 甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即加速跑第二圈.跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 ，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了 乙跑第二圈时速度提高了 .已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问这条椭圆形跑道长多少米? A卷 1. 200. 小华5天看了16×5=80(页)，因为5天后还剩下全书的 没看，说明已看的80页占这本书的 所以这本书有 (页). 2. 1125. 第二天与第一天所修的长度的比是4：3，即第二天修的是第一天的 ，所以第二天修了 所以这条公路全长 (米). 3. 360. 甲、乙两人共完成了 乙每天完成这批零件的 ，甲每天完成这批零件的 这批零件共有 (个). 4. 600. 设全厂人数为“1”.二车间占 ；三车间占 ，即 一车间占 即 所以这个服装厂全厂有 (人). 5. 24. 丙借走后剩下 (本)，乙借走后剩⁻下 (本),甲原来有 (本). 6. 6(人). 7. 2100. 把昨天女代表人数看作标准量“1”.今天出席的男代表有(女+700)×(1-10%)=男×(1-10%)=(女+700)×(1-10%)=(女+700)×90%=女×90%+700×90%. 那么今天出席会议的1995人的数量关系图可以这样表示： 由图1可列式为(1995-700×90%)÷(1+5%+90%) = 700(人)……女代表,男代表 = 700+700 =1400(人),那么昨天参加会议的有1400+700 =2100(人). 8. 11. (个), (个), (个). 9.设该校去数学奥校学习的学生数为a人，那么0<a<780.参加学习的初一学生有 人，参加学习的初二学生有 人.这两个乘积的得数必须是整数，要保证这一点a必须是17和23的倍数.再考虑到0<a<780，a的值只能是17和23的最小公倍数，即17×23 = 391(人).所以没进奥校学习的有780-391 = 389(人). 10.已知六年级学生的 =五年级学生的 ，得五年级是六年级学生的- 又六年级学生的 四年级学生的- ，得四年级是六年级的- 所以六年级学生有 (名)，五年级学生有 (名)，四年级学生有180× (名). B卷 1. 600. 两车相遇需要 小时，快车比慢车每小时多走 相遇时快车比慢车多走 与60×2=120(千米)相对应.所以甲、乙两城相距 (千米). 乙7小时共打字 这样就差 的稿件.因为甲每天比乙多打全部稿件的 所以甲打字用了 (小时). 3. 310. 男生人数的 女生人数的 ，女生人数是男生人数的 (人),(4÷2)×77+78=310(人). 4. 60,40. 如果从甲筐取出10千克放入乙筐，则两筐相等，由此可知甲筐比乙筐多10×2 =20(千克).设如果设乙筐有香蕉x千克，那么甲筐就有(x+20)千克.根据题意，列出方程 得x= 40. 所以乙筐有香蕉40千克，甲筐有香蕉40+20=60(千克). 5. 1800. 甲做的个数是其他三个人工作总量的一半，也可以说甲做的个数的2倍等于其他三个人的工作总量，还可以说甲做的个数是四个人的工作总量的 .同理，乙做的个数的是四个人的工作总量的 ，丙做的个数的是四个人的工作总量的 所以 (个). 6. 1800. 设乙原来存款x元，则现在乙存款 x元,甲存款(2000-x+100)元.由现在甲存款数是乙的2倍，得到 解得x=900.所以两人共存款 (元). 7. 175,25. 设要从B堆中拿到A 堆黑子a个、白子b个.因为A堆中黑子占50%，所以A堆中黑子和白子有同样多个,即350+a=500+b. ① 因为B堆中黑子占75%，所以白子占25%，黑子是白子的(75%÷25%)倍，即 400-u=(100-b)×(75%÷25%). / 用①+②得350+a+400-a=500+b+(100-b)×(75%÷25%)750=500+b+300-3b,得b=25.把b=25代入①得a=175,所以要从B堆中拿到A堆黑子175个,白子25个. 8. 60, 40. 在新3班中，原1班的有 (人),占原1班的 所以原1班有 (人).同理，原2班有 (人).原1班有60人，原2班有40人. 9. 1875. 设甲仓库原有存货x吨. ，解得x=1875.甲仓库原有存货1875吨. 10. 15. 若不降价，观众增加一半，收入也应增加一半，实际只增加 ，少增加 这是因为一个半观众少收入3×1.5=4.5(元).所以原票价为 (元). 11. 四种商品总的毛利润(销售价-进货价)为95×500×8%+170×60×13%+450×50×21%+923×3×28% = 10626.32(元),总销售价为95×500+170×60+450×50+923×3= 82969(元). 所以四种商品的毛利润是10626.32÷82969×100%≈12.8%. 12.设某种商品的平均价格为a.一月份上调了10%，售价为a(1+10%)；二月份下降了10%,售价为a(1+10%)(1-10%);三月份又上调了10%,售价为a(1+10%)(1-10%)(1+10%),比原价a上升了 这种商品从原价到三月底的价格平均上升了8.9%. C卷 1. 99. 把男生人数看作“1”，则剩下的男生为 ，剩下的女生为 .全年级学生中除了参赛的12名女生外，就是全部男生和没参赛的女生，相当于男生的( 因此男生人数为 (人). 2. 640. 设原来西院养鸡x只. 解得x=600. 原来东、西两院一共养鸡600+40 = 640(只). 3. 102. 后来第一辆车上的同学比第二辆少13×2-8=18(人)，此时第二辆车上有18÷ (人).这次参加春游共有同学 (人). 4. 16.20. 设题中“同样多的钱”为x元，则 这种什锦糖每千克定价16.20元. 5. 207. 以上场的女同学为单位“1”，则得奖的男、女同学同为 所以上场的女同学有 (人).演出的女同学有207人. (页). 7. 164, 144. 乙给甲12元后,甲比乙多20+12×2=44(元),乙是甲的 所以此时甲有 (元). 甲原来有176—12=164(元),乙原来有164—20 = 144(元). 8. 84. 由题意知第二次从乙袋中取走的与剩下的一样多，都是乙袋原重量的 ，所以乙袋原有 (千克). 甲袋原有(36-12)×2 = 48(千克),原来这堆水果共重36+48=84(千克). 9. 288. 原计划每小时加工零件 (个)，原计划时间为 3(小时).这批零件共有96×3 = 288(个). 10. 8. 设第一天读a(页),则第二天读2a(页),第三天读(a+2a)×2=6a(页),第四天读(a+2a+6a)×2=18a(页),第五天读(a+2a+6a+18a)×2 = 54a(页),第六天读(a+2a+6a+18a+54a)×2=162a(页)，……通过观察不难发现，从第二天起后一天读的页数总是前一天的3倍，第六天读全书的 ，第七天一定读全书的- 第八天一定读全书页数的 所以小敏到第8天才能读完这本书. 11.设第一、二、三次买书的钱数分别是a、b、c元.因为三次合买便宜39.4元，比13.5×2 = 27(元)还多,所以c<500,并a+b<500.第一、二次中每次买的钱数至多5%的便宜,但是只有原来少于200元.第一、二次合买后超过200元才能得5%的便宜，每次买的钱数能得的便宜少于10元.现在得13.5元便宜，因此第一、二次每次买的钱数都少于200元.而a+b=13.5÷5%= 270(元),只有三次合买a+b+c>500,合买后才能得更多的便宜,因此c =(39.4-13.5×2)÷5%=248(元). 而 (元),因此b=270-155=115(元).第二次买了115 元钱的书. 12.三名运动员跑一圈所用时间分别为 (小时), (小时), (小时). 由于25、35、45的最大公约数为5,且25÷5=5,35÷5=7,45÷5=9，所以三名运动员员分别跑了5圈、7圈、9圈时第一次相遇用了 小时. (小时)，第四次相遇时所用时间为 (分钟). 13.由于是从同一地点同时出发，因而汽车行驶的路程与速度成正比例.比如：在同一时间内在AB、BC上行驶的距离比是90：120，也就是说在同一时间内在AB上行驶的距离是在BC上行驶的距离的 把正方形的边长看作单位“1”，“从CD上一点 P 同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇”.我们可以倒过来想，如果在AB中点同时反向各发出一辆汽车，它们就会在P 点相遇.在AB上行驶的速度一样，左边汽车到达A点，右边汽车同时到达B点，再往前走它们的速度就不同了.当右边汽车到达C点时，左边汽车在距离D点 处；当左边汽车到达 D点时，右边汽车在CD上行驶了 剩下的 路程两车行驶的速度就相同了，所以各行驶 这样就求出了 下面我们再考虑如果它们从PC的中点M同时反向发车，当右边车到达C点，左边汽车到达 P点；当左边汽车到达D点，右边汽车会到达距C点 处；当右边汽车到达B点，左边汽车会到达距D点( 处；当左边汽车到达A点时，右边汽车会到达距B点 处，所以 所以 14.把跑道全长看作“1”.根据题意，跑第一圈时甲速为1，则乙速为 .甲、乙第一次相遇时，甲跑了全长的 乙跑一圈用的时间为 当乙回到起点时，甲已经反方向加速跑，用的时间是 甲加速后速度是 因此乙回到起跑点时，甲已经加速跑了全长的 这时甲、乙相距为全长的 ，而乙加速跑的速度是 甲、乙第二次相遇又用的时间是 甲、乙第二次相遇时，乙又跑了 甲、乙第二次相遇点与第一次相遇点相距占全长的 所以跑道全长是 (米). 学科网（北京）股份有限公司 $