21.3.1 矩形（第1课时）课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

矩形（第1课时） 数学人教版八年级下册 1 本章对四边形的研究，是按照从一般到特殊的思路进行的． 只有一组对边平行 两组对边分别平行 四边形 平行四边形 梯形 角或边满足 某些特殊条件 ? 问题 请你观看演示，注意观察角的变化，当平行四边形的角满足什么样的条件时，它会变成特殊的平行四边形？ 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形， 矩形也就是长方形． 如图所示的矩形记作矩形 ABCD． 问题1 什么是矩形？如何表示矩形？ 矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形． 问题1 矩形也是常见的几何图形．门窗框、书桌面、地砖（如图）等都有矩形的形象．你还能举出一些例子吗？ 黑板、课本封面、信封、身份证等 结合平行四边形的研究经验，想一想，学习了矩形的定义之后，接下来可以怎样研究矩形？ 研究定义 研究性质 研究判定 （1）矩形是平行四边形，具有平行四边形的所有性质（对边平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分）． （2）矩形有一个角为直角，必然具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质． 从边、角、对角线三个角度进一步研究 问题2 请你根据定义画一个矩形并进行观察，除了平行四边形的性质，矩形还有哪些特殊性质？量一量，和你的猜想一致吗？ 　　∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． └ A B C D 　　AC＝BD． 猜想1：矩形的四个角都是直角． 猜想2：矩形的对角线相等． 如何证明？ 问题2 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠A＝90°． 求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． 分析： 矩形是特殊的平行四边形 平行线的性质 对角相等、对边平行 同旁内角互补 矩形的四个角都是直角 └ A B C D 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∠A＝90°， ∴ AD∥BC，∠A＝∠C＝90° ，∠B＝∠D． ∴ ∠A＋∠B＝180°． ∴ ∠B＝∠D＝90°． ∴ ∠A＝ ∠B＝∠C＝∠D＝ 90°． 问题2 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠A＝90°． 求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． └ A B C D 矩形的四个角都是直角． 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形． 求证：AC＝BD． A 问题2 B C D 分析： 证明三角形全等 线段相等 A 问题2 B C D 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝BC． 在△DAB 和△CBA 中， 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形． 求证：AC＝BD ． ∴ △DAB≌△CBA（SAS）． ∴ BD＝AC． 矩形的对角线相等． 问题3 观察矩形，结合轴对称图形的定义，想一想，矩形是不是轴对称图形？如果是，它有几条对称轴？ 问题3 观察矩形，结合轴对称图形的定义，想一想，矩形是不是轴对称图形？如果是，它有几条对称轴？ 问题3 A B C D 矩形是轴对称图形，它有2条对称轴，每组对边中点连线所在的直线是它的对称轴． 观察矩形，结合轴对称图形的定义，想一想，矩形是不是轴对称图形？如果是，它有几条对称轴？ 问题4 如图，BO 是Rt△ABC 斜边 AC 上的中线，BO 与 AC 有什么关系？你能证明你发现的结论吗？ A B C O └ 　　BO＝ ． 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如何证明？ 问题4 如图，BO 是Rt△ABC 斜边 AC 上的中线，求证：BO＝ A B C O └ 分析：类似于证明三角形中位线定理． 作辅助线 构造矩形 矩形的性质 对角线相等 问题4 如图，BO 是Rt△ABC 斜边 AC 上的中线，求证：BO＝ A B C O └ D 证明： 如图，延长 BO 到点 D，使 OD＝OB，连接 AD，CD． ∵ BO 是 Rt△ABC 斜边 AC 上的中线， ∴ OA＝OC，又 OD＝OB， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． 又 ∠ABC＝90°，∴ 四边形 ABCD 是矩形． ∴ BD＝AC，∴ BO＝ 新知 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 这是直角三角形非常重要的性质，具有广泛的应用． 例 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，已知∠AOB＝60°，AB＝4．求矩形 ABCD 的对角线的长． 解：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC 与 BD 相等且互相平分． ∴ OA＝OB． 又 ∠AOB＝60°， ∴ △OAB 是等边三角形． ∴ OA＝AB＝4． ∴ AC＝BD＝2OA＝8． 19 归纳 1．矩形的对角线相等且互相平分，当矩形的对角线所成角是 60°或 120°时，可以利用等边三角形的性质求解对角线的长或者边长． 2．矩形的对角线将矩形分成四个等腰三角形，可以利用等腰三角形的性质分析问题． 20 　　1．一个矩形的一条对角线长为 8，两条对角线相交所成的角中有一个为120°．求这个矩形相邻两边的长． 解：如图，四边形 ABCD 是矩形， AC＝8，∠AOD＝120°． ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC＝BD＝8，OA＝OC＝OB＝OD＝4，∠ABC＝90°． 　　∵ ∠AOD＝120°，∴ ∠AOB＝60°， 等边三角形 O 　　1．一个矩形的一条对角线长为 8，两条对角线相交所成的角中有一个为120°．求这个矩形相邻两边的长． ∴ △OAB是等边三角形． ∴ AB＝OA＝4． 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， BC＝ ∴ 这个矩形相邻两边的长分别为 4 和 O 　　2．如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BC 的延长线上，已知DE∥AC．△DBE 是等腰三角形吗？试说明理由． AD∥BC，AC＝BD AC＝DE 四边形 ACED 是平行四边形 　　2．如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BC 的延长线上，已知DE∥AC．△DBE 是等腰三角形吗？试说明理由． 解：△DBE 是等腰三角形． 理由：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥BC，AC＝BD． 又 DE∥AC， ∴ 四边形 ACED 是平行四边形． ∴ AC＝DE，∴ BD＝DE． ∴ △DBE 是等腰三角形． 矩形 定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 四个角都是直角，对角线相等 直角三角形的性质 具有平行四边形所有的性质 是轴对称图形，有 2 条对称轴 性质 斜边上的中线等于斜边的一半 $