19.1　二次根式及其性质 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.1　二次根式及其性质 第1课时　二次根式的概念 知识点1　二次根式的定义 1．下列各选项是二次根式的是( ) A．10 B． C． D． 2．若是二次根式，则x应满足( ) A．x≥2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≠2 3．若是一个二次根式，求(x－2 026)x的值． 知识点2　二次根式有意义的条件 4．若二次根式有意义，则x的取值范围是( ) A．x≥0 B．x＞0 C．x≤ D．x＜ 5．若式子有意义，则实数x的取值范围是 ． 6．当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)； (4). 知识点3　二次根式的实际应用 7．两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，可得到一个大正方形，则大正方形的边长为 ． 8．一个长方形的面积为150 cm2，它的长和宽之比为5∶3，求这个长方形的长和宽． 易错易混点　忽视分式有意义的条件 9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( ) A．x≠－3 B．x≥－3 C．x≤－3 D．x＞－3 10．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 11．若x＞5时，二次根式(k为常数)有意义，则k的取值范围是( ) A．k≤－5 B．k＜－5 C．k＞－5 D．k≥－5 12．若式子有意义，则x的取值范围为( ) A．x≥2 B．x≠3 C．x≤2或x≠3 D．x≥2且x≠3 13．已知y＝＋－3，则2xy的值为 ． 14．当x取什么实数时，式子＋2的值最小？求出这个最小值． 15．已知a，b满足等式b＝＋－9. (1)求出a，b的值分别是多少？ (2)试求－＋的值． 【母题P3练习T2】当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3). 【变式】若a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足等式2＋3＝b－4，试求此等腰三角形的周长． 16．(运算能力)(河北张家口宣化区期末)先阅读，后回答问题：x为何值时，有意义？ 解：要使该二次根式有意义，需x(x－3)≥0，由乘法法则得或. 解得x≥3或x≤0. ∴当x≥3或x≤0时，有意义． 体会解题思想后，请你解答：x为何值时，有意义？ 第2课时　二次根式的性质 知识点1　二次根式的性质()2＝a(a≥0) 1．计算：()2＝( ) A． B．2 C．6 D．36 2．已知|m|＝4，()2＝2，且mn＜0，则m－n的值为( ) A．2 B．6 C．－2 D．－6 3．计算：(1)()2； (2)(2)2； (3)()2. 知识点2　二次根式的性质＝a(a≥0) 4．若＝x－3，则x的取值范围是( ) A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3 5．下列各式正确的是( ) A．＝±6 B．±＝6 C．＝－3 D．＝－ 6．(湖北宜昌伍家岗区模拟)计算|3－|＋的结果是 ． 7． 在数轴上表示a，b，c三数点的位置如图所示，化简：|c|－＋－|a－b|. 知识点3　二次根式的非负性 8．已知a，b，c为正整数且满足＝＋，则a，b，c的大小关系为 ． 9．已知|a－2|＋＋(c－4)2＝0，求a－b＋c的算术平方根． 10．(河北期末)对于式子m＋，有下面结论： 甲：当m＝3时，原式＝4； 乙：当m＜2时，原式＝3. 其中说法正确的是( ) A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 11．已知1＜m＜5，化简：＋|m－5|的结果为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 12．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简－＋b的结果是( ) A．1 B．b＋1 C．2a D．1－2a 13．已知a，b，c为三角形的三边，则＋＋＝ ． 14．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： 5＋2＝(2＋3)＋2＝()2＋()2＋2×＝(＋)2； 8＋2＝(1＋7)＋2＝12＋()2＋2×1×＝(1＋)2. 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将4＋2化成了(1＋)2，则x＝ ，＝ ． (2)请运用小明的方法化简. 15．如图是一个正方体展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数． (1)试确定a和b的值； (2)求的值． 【母题P4练习T2】化简： (1)； (2)； (3)－； (4). 【变式】计算： (1)； (2)； (3). 16．(推理能力)(江西宜春期末改编)【课本再现】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即＝0.所以被开方数a为非负数. 【探究新知】 (1)若()2＝a，则a的取值范围是 ． 【知识应用】 (2)若|a＋b＋1|＋＝0，求(a＋b)2 025的值. 【拓展应用】 (3)若|2 024－a|＋＝a，求a－2 0242的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 19．1　二次根式及其性质 第1课时　二次根式的概念 知识点1　二次根式的定义 1．下列各选项是二次根式的是(D) A．10 B． C． D． 2．若是二次根式，则x应满足(A) A．x≥2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≠2 3．若是一个二次根式，求(x－2 026)x的值． ∵是一个二次根式， ∴－(2 025－x)2≥0， ∴(2 025－x)2≤0， ∴(2 025－x)2＝0，解得x＝2 025， ∴(x－2 026)x＝(2 025－2 026)2 025＝(－1)2 025＝－1. 知识点2　二次根式有意义的条件 4．若二次根式有意义，则x的取值范围是(C) A．x≥0 B．x＞0 C．x≤ D．x＜ 5．若式子有意义，则实数x的取值范围是x＞3． 6．当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)；(2)；(3)；(4). (1)x≥0.(2)∵－x≥0，∴x≤0. (3)∵x＋2≥0，∴x≥－2. (4)∵1－2x≥0，∴x≤. 知识点3　二次根式的实际应用 7．两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，可得到一个大正方形，则大正方形的边长为． 8．一个长方形的面积为150 cm2，它的长和宽之比为5∶3，求这个长方形的长和宽． 设这个长方形的长为5x cm，宽为3x cm. 则5x·3x＝150，15x2＝150，x＝±. ∵x＞0，∴x＝，5x＝5，3x＝3， 答：这个长方形的长和宽分别为5 cm，3 cm. 易错易混点　忽视分式有意义的条件 9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是(D) A．x≠－3 B．x≥－3 C．x≤－3 D．x＞－3 10．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为(A) A．2 B．3 C．4 D．5 11．若x＞5时，二次根式(k为常数)有意义，则k的取值范围是(D) A．k≤－5 B．k＜－5 C．k＞－5 D．k≥－5 12．若式子有意义，则x的取值范围为(D) A．x≥2 B．x≠3 C．x≤2或x≠3 D．x≥2且x≠3 13．已知y＝＋－3，则2xy的值为－15． 14．当x取什么实数时，式子＋2的值最小？求出这个最小值． ∵≥0，∴＋2≥2， ∴当x＝时，式子＋2的值最小，最小值是2. 15．已知a，b满足等式b＝＋－9. (1)求出a，b的值分别是多少？ (2)试求－＋的值． (1)由题意，得2a－6≥0且9－3a≥0， 解得a≥3且a≤3，所以a＝3，b＝－9； (2)－＋ ＝－＋ ＝6－9－3＝－6. 【母题P3练习T2】当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)；(2)；(3). (1)a≥1；(2)a≤5；(3)a为任意实数． 【变式】若a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足等式2＋3＝b－4，试求此等腰三角形的周长． 根据题意，得3a－6≥0且2－a≥0， 解得a≥2且a≤2， ∴a＝2，b＝4， ①当a＝2是腰长时，三角形的三边长分别为2，2，4， ∵2＋2＝4，∴不能组成三角形， ②当a＝2是底边长时，三角形的三边长分别为2，4，4， 能组成三角形，周长＝2＋4＋4＝10， ∴此等腰三角形的周长为10. 16．(运算能力)(河北张家口宣化区期末)先阅读，后回答问题：x为何值时，有意义？ 解：要使该二次根式有意义，需x(x－3)≥0，由乘法法则得或. 解得x≥3或x≤0. ∴当x≥3或x≤0时，有意义． 体会解题思想后，请你解答：x为何值时，有意义？ 要使该二次根式有意义，需≥0， 由乘法法则，得或 解得x≥1或x＜－2， 当x≥1或x＜－2时，有意义． 第2课时　二次根式的性质 知识点1　二次根式的性质()2＝a(a≥0) 1．计算：()2＝(C) A． B．2 C．6 D．36 2．已知|m|＝4，()2＝2，且mn＜0，则m－n的值为(D) A．2 B．6 C．－2 D．－6 3．计算：(1)()2；(2)(2)2；(3)()2. (1)()2＝；(2)(2)2＝22×5＝20； (3)()2＝. 知识点2　二次根式的性质＝a(a≥0) 4．若＝x－3，则x的取值范围是(B) A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3 5．下列各式正确的是(C) A．＝±6 B．±＝6 C．＝－3 D．＝－ 6．计算|3－|＋的结果是π－． 7． 在数轴上表示a，b，c三数点的位置如图所示，化简：|c|－＋－|a－b|. 由数轴，可知c＜0，c＋a＜0，b＞0，a－b＜0， 则|c|－＋－|a－b| ＝－c＋c＋a＋b＋a－b＝2a. 知识点3　二次根式的非负性 8．已知a，b，c为正整数且满足＝＋，则a，b，c的大小关系为a＝b＝c． ∵a，b，c为正整数且满足＝＋，∴a－b≥0，b－c≥0，c－b≥0，∴a≥b≥c，c≥b，∴b＝c， ∴＝0，∴a＝b，即a＝b＝c. 9．已知|a－2|＋＋(c－4)2＝0，求a－b＋c的算术平方根． ∵|a－2|＋＋(c－4)2＝0， ∴a－2＝0，b－3＝0，c－4＝0， 解得a＝2，b＝3，c＝4， ∴a－b＋c＝2－3＋4＝3， 故a－b＋c的算术平方根为. 易错易混点　对二次根式的性质掌握不熟练 10．对于式子m＋，有下面结论： 甲：当m＝3时，原式＝4； 乙：当m＜2时，原式＝3. 其中说法正确的是(A) A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 11．已知1＜m＜5，化简：＋|m－5|的结果为(B) A．3 B．4 C．5 D．6 12．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简－＋b的结果是(A) A．1 B．b＋1 C．2a D．1－2a 13．已知a，b，c为三角形的三边，则＋＋＝a＋b＋c． 14.【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： 5＋2＝(2＋3)＋2＝()2＋()2＋2×＝(＋)2； 8＋2＝(1＋7)＋2＝12＋()2＋2×1×＝(1＋)2. 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将4＋2化成了(1＋)2，则x＝3，＝1＋． (2)请运用小明的方法化简. (1)原式＝(1＋3)＋2＝12＋()2＋2×1×＝(1＋)2，∴x＝3， ∴＝＝1＋； (2)＝＝＝＝2－. 15．(河北一模)如图是一个正方体展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数． (1)试确定a和b的值； (2)求的值． (1)由图可知－1与2a＋3相对，b与a相对， ∵正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数， ∴2a＋3－1＝0①，b＋a＝0②，由①得a＝－1， 把a＝－1代入②，得b＝，∴a＝－1，b＝； (2)由(1)可知a＝－1，b＝， ∴＝＝＝＝2. 【母题P4练习T2】化简： (1)；(2)； (3)－；(4). (1)0.3　(2)　(3)－π　(4) 【变式】计算： (1)；(2)；(3). (1)＝1.5.(2)＝.(3)＝3-1＝. 16．(推理能力)(江西宜春期末改编)【课本再现】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即＝0.所以被开方数a为非负数. 【探究新知】 (1)若()2＝a，则a的取值范围是a≥0． 【知识应用】 (2)若|a＋b＋1|＋＝0，求(a＋b)2 025的值. 【拓展应用】 (3)若|2 024－a|＋＝a，求a－2 0242的值． (2)由|a＋b＋1|＋＝0， 得解得 ∴(a＋b)2 025＝(－2＋1)2 025＝(－1)2 025＝－1. (3)∵|2 024－a|＋＝a， ∴a－2 025≥0，则a≥2 025，∴2 024－a＜0， 则原方程可化为a－2 024＋＝a， ∴＝2 024，则a＝2 0242＋2 025， ∴a－2 0242＝2 025. 学科网（北京）股份有限公司 $