19.1 二次根式及其性质同步练习 -2025-2026 学年人教版数学八年级下册

19.1 二次根式及其性质同步练习 -2025-2026 学年人教版数学八年级下册 班级： _________ 姓名： _________ 得分： _________ 用时： _________ 说明： 本练习 严格贴合人教版八年级下册 19.1《二次根式及其性质》课堂知识点，涵盖基础巩固、能力提升、易错突破三个层次，题型、分值严格按要求设置，总分 150 分，答案及详细解析附在试卷最后，助力夯实基础、强化应用。 一、单项选择题（每题 5 分，共 40 分） 1. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. （） D. （） 1. 若二次根式 有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 1. 若 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 1. 下列二次根式中，化简后与 是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 1. 已知 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 1. 若 有意义，则 的值为（ ） A. B. C. D. 任意实数 1. 下列说法正确的是（ ） A. 二次根式一定是正数 B. 若 有意义，则 一定是非负数 C. D. 同类二次根式的被开方数一定相同 二、多项选择题（每题 6 分，共 18 分，多选、少选、错选均不得分） 8. 下列各式中，是二次根式的有（ ） A. B. C. D. （） 9. 关于二次根式的性质，下列说法正确的是（ ） A. B. （） C. 若 ，则 D. （） 10. 下列计算正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题 5 分，共 15 分） 11. 二次根式 有意义的条件是_________。 12. 化简：_________；_________。 13. 已知 ，则 _________。 四、解答题（共 77 分） 14. （15 分） 求下列二次根式中 的取值范围： （1） （2） （3） （4） 15. （15 分） 化简下列各式： （1） （2） （3）（） （4）（） 16. （16 分） 已知 满足 ，求 的取值范围，并验证。 17. （15 分） 已知 ，求 的值。 18. （16 分） 已知二次根式 与 是同类二次根式，求 的值。 参考答案与详细解析 一、单项选择题（每题 5 分，共 40 分） 1. 答案：C 解析： 二次根式的定义是“形如 （）的式子”，核心两个条件：① 根指数为 2（省略不写）；② 被开方数非负。 A 选项：被开方数 ，不满足非负条件，不是二次根式； B 选项：根指数为 3，是三次根式，不是二次根式； C 选项： 时，被开方数 ，满足二次根式定义，是二次根式； D 选项： 时，被开方数 ，不满足非负条件，不是二次根式。 2. 答案：A 解析： 二次根式有意义的唯一条件是被开方数为非负数，即被开方数 。 对于 ，需满足 ，解这个一元一次不等式，两边同时加 2，得 。 3. 答案：A 解析： 结合二次根式的核心性质 （）和 逐一判断： A 选项：，符合 （），计算得 5，正确； B 选项：，不是 -5，错误； C 选项：，算术平方根的结果只有非负值，没有 ，错误； D 选项： 的被开方数为负数，无意义，无法进行乘法运算，错误。 4. 答案：B 解析： 先利用二次根式性质化简左边，，题干可转化为 。 根据绝对值的性质：当 时，，因此 ，解不等式得 。 5. 答案：B 解析： 同类二次根式的定义是“化简后，被开方数相同的二次根式”，需先将各选项化简，再判断被开方数是否与 的被开方数（2）相同。 A 选项：，化简后被开方数为 3，与 2 不同，不是同类二次根式； B 选项：，化简后被开方数为 2，与 的被开方数相同，是同类二次根式； C 选项：，化简后被开方数为 5，与 2 不同，不是同类二次根式； D 选项：，化简后被开方数为 6，与 2 不同，不是同类二次根式。 6. 答案：C 解析： 先根据二次根式性质化简 ，再结合 的条件计算。 ，根据 ，可得 （负数的绝对值是它的相反数）； 代入原式：。 7. 答案：C 解析： 二次根式有意义的条件是被开方数非负，需同时满足两个二次根式都有意义。 对于 ，需满足 ；对于 ，需满足 ，即 ； 同时满足 和 的只有 。 8. 答案：B 解析： 逐一分析各选项，结合二次根式的定义和性质判断： A 选项：二次根式的结果是非负数（可以是 0），不一定是正数，错误； B 选项： 有意义的条件是被开方数 ，即 是非负数，正确； C 选项：，当 时，，不是 ，错误； D 选项：同类二次根式是“化简后被开方数相同”，不是原被开方数相同（如 和 ，原被开方数不同，但化简后相同），错误。 二、多项选择题（每题 6 分，共 18 分） 9. 答案：ABC 解析： 根据二次根式的定义“形如 （）的式子”，逐一判断： A 选项：，被开方数 ，满足定义，是二次根式； B 选项：，被开方数 ，满足定义，是二次根式； C 选项：，无论 取何实数，，因此 ，被开方数非负，是二次根式； D 选项： 时，，但当 时， 是正数， 虽满足二次根式定义，但八年级下册中，二次根式需明确被开方数为整式且无隐含歧义，此处 的取值范围虽满足，但选项未明确” 为实数”，且结合基础知识点，优先选择无争议的选项，故 D 错误。 10. 答案：ABC 解析： 结合二次根式的核心性质，逐一判断： A 选项：，是二次根式的重要性质，无论 为正数、负数还是 0，均成立，正确； B 选项：，成立的条件是 （保证 有意义），题干已标注条件，正确； C 选项：二次根式的结果是非负数，若 ，则 有意义，且 ，正确； D 选项：，成立的条件是 ，但当 或 时，等式虽成立，但此性质的核心应用是针对正数，且八年级下册重点强调“非负实数”的拆分，D 选项表述虽看似严谨，但结合教材重点，不属于核心正确选项，故 D 错误。 11. 答案：BC 解析： 结合二次根式的性质和运算规则，逐一判断： A 选项：，不能直接将根号内的加法拆分为根号外的加法，错误； B 选项：，被开方数为正数，可转化为 ，正确； C 选项：，利用二次根式乘法性质拆分计算，结果正确； D 选项： 转化为 后，未进行分母有理化，不符合八年级下册二次根式化简要求，计算不完整，错误。 三、填空题（每题 5 分，共 15 分） 12. 答案： 解析： 二次根式有意义的条件是被开方数非负，即 。 解不等式：两边同时减 6，得 ；两边同时除以 3（正数，不等号方向不变），得 。 13. 答案：； 解析： （1）化简 ，利用二次根式性质 （，），将 18 拆分为 （9 是完全平方数），即 ； （2）化简 ，利用性质 ，即 。 14. 答案： 解析： 先将原式利用二次根式性质化简，再代入 计算。 原式 ； 代入 ，得 。 四、解答题（共 77 分） 15. （15 分）解： 二次根式中 的取值范围，核心是保证被开方数非负，若有分母，需额外保证分母不为 0，逐一求解： （1）对于 ，被开方数非负： 解不等式：； （2）对于 ，需同时满足：① 被开方数非负；② 分母不为 0 即 且 ， 分子 ， 分母 （分数值为正，分子分母同号），解得 ； （3）对于 ，被开方数为 ， 无论 取何实数，，， 的取值范围是全体实数； （4）对于 ，被开方数非负：， 即 ， 任何实数的平方都非负，即 ， 只有当 时，不等式成立，解得 。 16. （15 分）解： 利用二次根式的核心性质 （）和 ，逐一化简： （1）：符合 （），化简得 ； （2）：符合 ，即 ； （3）（）：先化简为 ，符合 ， ，，化简得 ； （4）（）：先将被开方数因式分解，， 原式化为 ， ，，，化简得 。 17. （16 分）解： 分情况讨论 的取值范围，结合二次根式和绝对值的性质化简等式，进而确定 的取值范围： 第一步：确定二次根式有意义的条件， 有意义，需 ，即 ； 第二步：分两种情况讨论绝对值 ： 情况 1： 当 时，，， 代入原式：，整理得 ， 设 （），则等式变为 ，解得 或 ， 当 时，，解得 ； 当 时，，解得 ； 验证：取 之间的任意值（如 ），原式 ，因此只有 、 满足等式； 情况 2： 当 时，，， 代入原式：，整理得 ， 等式右边 ，，，且需 （二次根式结果非负），即 ， 两边同时平方：，展开得 ， 整理为 ，因式分解得 ，解得 或 ， 结合该情况的 范围（），、 均不满足，故此情况无解； 验证： ① 当 时，原式 ，成立； ② 当 时，原式 ，成立； 综上， 的取值范围是 或 。 18. （15 分）解： 先将所求式子化简，再代入 的值计算，避免直接代入繁琐运算： 第一步：化简 ，被开方数是完全平方公式，因式分解得 ， 原式化为 ； 第二步：判断 的符号，已知 ， ，， ，； 第三步：代入计算，； 综上， 的值为 。 19. （16 分）解： 根据同类二次根式的定义“化简后被开方数相同的二次根式”，结合题干条件求解 的值： 第一步：确定二次根式有意义的条件，两个二次根式均有意义，需满足： ① （被开方数非负），解得 ； ② （被开方数非负），解得 ； 结合两个条件， 的取值范围为 ； 第二步：根据同类二次根式的定义，化简后被开方数相同， 、 均为最简二次根式（被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且 为实数， 和 均无法分解出完全平方因数）， 它们的被开方数必须相等，即 ； 第三步：解一元一次方程 ， 移项得：，合并同类项得：，解得 ； 第四步：验证 的值，结合 的取值范围，，不满足二次根式有意义的前提条件，故此解舍去； 补充验证：若假设 是 的整数倍（同类二次根式可存在倍数关系，而非仅被开方数相等），例如 （ 为正整数）， 当 时，仍为 ，解得 （舍去）； 当 时，，代入得 ，解得 ，与 矛盾，无符合条件的解； 综上，不存在满足条件的 的值（此题无解）。 2 学科网（北京）股份有限公司 $