6.2平行四边形的判定定理（2）-【导学练评】 2025--2026学年北师大版数学八年级下册

本讲义聚焦“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一核心判定定理，前承“两组对边分别平行、相等及一组对边平行且相等”的已有判定方法，通过动手探究与逻辑证明构建完整知识支架，帮助学生系统掌握平行四边形判定体系。 资料亮点在于以“两根细木条摆放”实验培养几何直观与空间观念（数学眼光），通过定理证明及例题推理发展逻辑推理能力（数学思维），分层练习（基础达标到拓展迁移）兼顾不同水平，课中助力教师引导探究，课后便于学生巩固提升，弥补知识盲点。

6.2平行四边形的判定定理（2）-【导学练评】北师大版数学八年级下册 学习目标： 1、理解、证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理,并学会简单运用. 2、经历平行四边行判别条件的探索过程,在探究活动中发展学生的合情推理意识.进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力. 3、通过平行四边形判别条件的探索,培养学生面对挑战,勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,激发学生的学习热情 学习重点： 平行四边形判定方法的探究、运用. 学习难点： 对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用. 平行四边形的判定定理 1、 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 几何语言描述为： . 2、 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 几何语言描述为： . 3、 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 几何语言描述为： . 任务一：探究平行四边形的对角线 工具:两根不同长度的细木条. 动手:能否合理摆放这两根细木条,使得连接四个顶点后成为平行四边形？ 思考：你能说明你得到的四边形是平行四边形吗？ 已知：在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明: ∵ OA=OC,OB=OD 且 ∠AOB=∠COD ∴ △AOB≌△COD ∴ AB=CD 同理可得:BC=AD ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形判定定理3： 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 用数学语言描述为： ∵OA=OC,OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形。 例1 1．已知，如图6-13(1)，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形. 一、基础达标1： 2．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（　　） A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对角相等 3．▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　） A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE 4．在四边形ABCD中，AD∥CB，分别添加下列条件：①AB∥CD，②AB=CD，③AD=CB，④∠B=∠D，⑤∠A=∠C，其中能使四边形成为平行四边形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，增加下列条件，不一定能得出BE∥DF的是（　　） A．AE＝CF B．BE＝DF C．∠EBF＝∠FDE D．∠BED＝∠BFD 6．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（　　）个. A．1 B．2 C．3 D．无数 7．有两块全等的含30°角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 8． 如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．如图，在▱ABCD 中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且，CG=3BG，平行四边形BGPE的面积是1.5，则平行四边形AEPH的面积是 　 　。 二、能力提升1： 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋与y＝x相交于点A，与x轴交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由． 三、拓展迁移1： 11． 如图，点E、F分别在平行四边形ABCD边BC和AD上（E，F都不与两端点重合），连结AE，DE，BF，CF，其中AE和BF交于点G，DE和CF交于点H令若且 求四边形FGEH的面积． 12．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，连接BE，过点D作DF∥BE，交BC于点F，点G，H分别是BE，DF的中点，连接EH，GF．若BC=8，AB=6，∠BCD=120°．延长FG交AB于点P，连接AG，记△APG的面积为，△BPG的面积为，若，FP⊥AB ，则 =　 　. 平行四边形的判定定理（3） 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 用数学语言描述为： ∵OA=OC,OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形。 四、基础达标2： 13．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F，则∠1=（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 14．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　） A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠ABE＝∠CDF 15．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系为（　　） A．S1＝S2 B．S1＞S2 B．S1＜S2 C．不能确定 16． 如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，则图中平行四边形共有(　　) A．2个 B．4个 C．6个 　 D．3个 17． 在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，则下列结论中错误的是(　　) A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．∠A＝∠B D．对角线互相平分 18．在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABD=∠CDB，要使四边形ABCD是平行四边形只须添加一个条件，这个条件可以是　 　（只需写出一种情况）． 19．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件： ①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC. 其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有 　 　（添序列号即可 五、能力提升2： 20．如图，在△ABD中，∠A=90°，AD=AB=3，将△ABD沿射线BD平移，得到△GEF，再将△ABD沿射线BD翻折，得到△CBD，连接EC，CG，则 的最小值为　 　。 六、拓展迁移2： 21．如图，已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC，求证：四边形ABDF是平行四边形． 22．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，EF∥AC.求证：BE＝AF. 答案解析部分 1．【答案】证明： 如图，连接BD. ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA=OC OB=OD 又∵AE=CF ∴OA-AE=OC-CF ∴OE=OF ∴四边形BFDE是平行四边形 2．【答案】B 【解析】【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故本选项符合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意. 故答案为：B. 【分析】平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形. 故答案为：C. 【分析】分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，据此可得平行四边形的个数. 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】4.5 10．【答案】（1）解：把y=0代入y＝－ x＋ 可求B点坐标； 把两直线解析式联立起来，解二元一次方程组，可求A点坐标。 答案是A(1，1)；B(3，0) （2）解：三种情况 C点在AB的右侧；C点在OA的左侧；C点在B的下方； 根据平行四边形的性质，求出C（－2，1）或（4，1）或（2，－1）； （3）解：分二种基本情况： D在第一象限；OB=OD或OD=BD或OB=BD D在第三象限：OB=OD 根据等腰三角形性质求解，答案是： D 或 或（3，3））或 11．【答案】解：连接EF ∵ ∴AF=m×BC，EC=n×BC ∴AF+EC=BC(m+n)=BC=BE+EC ∴AF=BE而AD=BC ∴DF=EC ∴四边形ABEF，ECDF是平行四边形 ， 12．【答案】 13．【答案】B 14．【答案】B 15．【答案】A 16．【答案】B 17．【答案】C 18．【答案】AB=CD或AD∥BC 【解析】【解答】解：∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添AB=CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可使四边形ABCD是平行四边形；或添AD∥BC，根据由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可使四边形ABCD是平行四边形． 【分析】用反推法，如果四边形ABCD是平行四边形，会推出什么结论，那么这些结论就是我们要添加的条件． 19．【答案】①②③ 20．【答案】45 21．【答案】证明：∵AF⊥AC，BD⊥AC， ∴AF∥BD，∴∠DAF＝∠ADE， 易知AD＝CD，BD⊥AC， ∴∠CDB＝∠ADE，∴∠DAF＝∠CDB. 又∵∠BCD＝∠ADF，AD＝DC， ∴△ADF≌△DCB， ∴AF＝BD， ∴四边形ABDF是平行四边形 22．【答案】证明：∵DE∥AB，EF∥AC， ∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD＝∠BDE， ∴AF＝DE. ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBE， ∴∠DBE＝∠BDE， ∴BE＝DE，∴BE＝AF 学科网（北京）股份有限公司 $