2.3 一元一次不等式与一次函数（2）-【导学练评】 2025--2026学年北师大版数学八年级下册

2.3一元一次不等式与一次函数（2）-【导学练评】北师大版数学八年级下册 学习目标： 1．掌握一元一次不等式与一次函数的关系，通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系，会运用不等式解决函数有关问题。 2、感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，并渗透“数形结合”思想，体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，训练大家能利用数学知识去解决问题的能力。 学习重点： 1、理解一元一次不等式与一次函数的关系． 2、会根据题意列出函数关系式，画出函数图像，并利用不等关系进行比较． 学习难点： 会根据题意列出函数关系式，画出函数图像，并利用不等关系进行比较． 1．如图是一次函数y=kx+b的图象，当y<2时，x的取值范围是（　　) A．x<1 B．x>1 C．x<3 D．x>3 2．直线l1：y1=kx+b与直线l2：y2=x+a在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于kx+b>x+a的不等式的解为（　　) A．x＞3 B．x＜3 C．x=3 D．无法确定 3．若正比例函数y＝3x和一次函数y＝2x＋k的图象的交点在第三象限，则k的取值范围是　 　． 任务一：手机资费问题 某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定月租费10元，每通话1 min收费0.3 元；乙种业务不收月租费，但每通话1 min收费0.4 元. （1）若顾客每月通话时长80分钟，你认为选择 更合适？ （2）若时长120分钟，你又该选 更合适？ （3)你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？ 解:设顾客每月通话时长为x min，那么甲种业务每个月的消费额为y，乙种业务每个月的消费额为y，根据题意可知：y=10+0.3x y=0.4x 讨论： （1）当y= y，得10+0.3x=0.4x，解得x=100；此时甲乙两种业务消费额 一样。 （2）当y>y，得10+0.3x>0.4x，解得x<100；此时选择乙种业务比较合算. （3）当y< y，得10+0.3x<0.4x，解得x>100.此时选择甲种业务比较合算. 所以当顾客每个月的通话时长等于100 mini时，选择甲乙两种业务一样合算；如果通话时长大于100 min，选择甲种业务比较合算；如果通话时长小于100 min，选择乙种业务比较合算. 做一做； 某学校为打造“书香校园”，准备用2000元购买一批图书，甲书店的付款方式为：花20元办一张会员卡，所有图书总价可打八折。乙书店付款方式：花200元办一张会员卡，所有图书总价可打七折。你认为学校选哪个书店购书更合适。 解:设购买图书的原价为x 元， 当 20+0.8x=200+0.7x ， x=1800 20+0.8x＞200+0.7x ， x＞1800 20+0.8x＜200+0.7x ， x＜1800 因为学校准备2000元购买图书，2000＞18000 所以选择乙店购买合算。 任务二：那种方案更优惠 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元。经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y元，选择乙旅行社时，所需的费用为y元，则 y=200×0.75x=150x y=200×0.8（x－1）=160x－160 当y=y时，150x=160x－160，解得x=16; 当y＞y时，150x＞160x－160，解得x＜16; 当y＜y时，150x＜160x－160，解得x＞16. 因为参加旅游的人数为10~25人， 所以当x=16时，甲乙两家旅行社的收费相同； 当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少， 当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少. 【强调】方案选择问题： （1)根据题意分别写出方案A、B的函数解析式y、y； 2)将方案A、B进行比较：① y=y ; ② y>y ; ③ y<y ,从而分别得到自变量的取值范围； （3)根据实际情况选择方案。 一、基础达标1： 4．已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点（2，0)，且y随自变量x的增大而减小，则关于x的不等式kx+b≥0的解集是（　　) A．x≥2 B．x≤2 C．x>2 D．x<2 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 ，分别是函数y=kx+b 和y=kx+b的图象，则关于x的不等式kx+b>kx+b的解集为（　　) A．x<−2 B．x>−2 C．x≤2 D．x≥2 6．若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b﹣1＜0的解集为（　　） A．x＜0 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1， 7．如图. 反映了某公司产品的销售收入y（元）与销售量x（件）的关系；反映了该公司产品的销售成本y（元）与销售量x（件）的关系.根据图像判断该公司盈利时，销售量（　　) A．x＜10 B．x=10 C．x＞10 D．x≥10 8．如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象.给出下列说法： ①买2件时甲、乙两家售价相同；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元.其中正确的是（ ) A.①② B.②③④ C.②③ D.①②③ 二、能力提升1： 9．在市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程s（米)与时间t（分钟)之间的函数关系图象如图所示， 根据图象得到下列结论，你认为正确的结论是（　　) ①这次比赛的全程是500米 ②乙队先到达终点 ③比赛中两队从出发到1.1分钟时间段， 乙队的速度比甲队的速度快 ④乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟 ⑤在1.8分钟时，乙队追上了甲队 A．①③④ B．①②⑤ C．①②④ D．①②③④⑤ 三、拓展迁移1： 10．在“美丽江西，清洁乡村”活动中，李家村村长提出两种购买垃圾桶的方案：方案1，买分类垃圾桶需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用为250元；方案2，买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用为500元.设方案1的购买费用和每月垃圾处理费用共y元，方案2的购买费用和每月垃圾处理费用共y元，交费时间为x个月. （1）直接写出y，y与x的函数关系式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数 y，y 的图象； （3）在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案更省钱？ 11．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠。 甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%。那么甲商场的收费y（元)与所买电脑台数x之间的关系式是： 。 乙商场的优惠条件是：每台优惠20%。那么乙商场的收费y（元)与所买电脑台数x之间的关系式是： 。 Ⅰ、什么情况下到甲商场更优惠？ Ⅱ、什么情况下到乙商场更优惠？ Ⅲ、什么情况下两家商场的收费相同？ 【课堂总结】 解决实际问题步骤: （1）理清题目中的数量关系，把这些数量关系分解为几个函数关系； （2）列出这些函数关系式； （3）根据题意，将列出的函数关系式转化为不等式或方程； （4）解不等式或方程； （5）选择符合题意的方案. 四、基础达标2： 12．直线y=kx+b交坐标轴于A（3，0)、B（0，5)两点，则不等式kx+b<0解集为（　　) A．x<3 B．x>3 C．x<5 D．x>5 13．一次函数y＝ax＋b交x轴于点(－5，0)，则关于x的方程ax＋b＝0的解是（　　） A．x＝5 B．x＝－5 C．x＝0 D．无法求解 14．已知关于x的方程ax－5=7的解为x=1，则一次函数y=ax－12与x轴交点的坐标为　 　． 15．如图，直线y＝ax（a≠0）与y＝x+b交于点P，有四个结论：①a＜0；②b＜0；③当x＞0时，y＞0；④当x＜﹣2时，y＞y，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 16．学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元． （1）求A，B两种奖品的单价； （2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的 .请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 五、能力提升2： 17．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： （1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式； （2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算． 六、拓展迁移2： 18．某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程为x km计算，甲汽车租赁公司每月收取的租赁费为y1元，乙汽车租赁公司每月收取的租赁费为y2元，若y1，y2与x之间的函数关系如图所示，其中x＝0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是（　　) A．当月用车路程为2 000 km时，两家汽车租赁公司收取的租赁费用相同 B．当月用车路程为2 300 km时，租赁乙汽车租赁公司的车比较合算 C．除去月固定租赁费，甲租赁公司平均每千米收取的费用比乙租赁公司多 D．除去月固定租赁费，甲租赁公司平均每千米收取的费用比乙租赁公司少 19．为绿化校园，某校计划购进A，B两种树苗，共21棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． （1）y与x的函数关系式为　 　； （2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：直线向右倾斜，y随x增大而增大，当x=3时，y=2。根据图象的增减性可知，当x<3时，y<2。 故答案为：C. 【分析】根据一次函数的图象和给定的点，确定函数的表达式，然后根据函数表达式找出当y<2时x的取值范围。 2．【答案】B 【解析】【解答】解：由图象可知当x=3时，y1=y2。 观察可知，当x<3时，y1>y2 即 kx+b>x+a的解集为x<3。 故答案为：B. 【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，结合图象找到l1图象位于l2图象上方的区域对应的自变量取值即可。 3．【答案】k<0 【解析】【解答】解：联立 解得 ∵交点在第三象限 ∴ 解得k<0 故答案为：k<0 【分析】先联立两个函数的解析式求出交点坐标，再根据第三象限内点的横、纵坐标均为负数的特征，列出关于k的不等式组，解不等式组得到k的取值范围。 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵y随自变量x的增大而减小 ∴当x≤2时，y≥0 即关于x的不等式kx+b≥0的解集是x≤2 故答案为：B. 【分析】先根据一次函数的增减性判断k的符号，再结合函数与x轴的交点，确定y≥0时x的取值范围。 5．【答案】A 【解析】【解答】解：由图象可知直线l1和直线l2的交点坐标是(-2，1) 即当x=-2时，k1x+b1=k2x+b2 由图象可得：直线l1呈下降趋势，y随x的增大而减小直线l2呈上升趋势，y随x的增大而增大 ∴当x<-2时，k1x+b1>k2x+b2 即不等式k1x+b1>k2x+b2的解集是x<-2 故答案为：A. 【分析】利用一次函数图象的性质，通过观察直线l1和l2的交点以及它们的增减性来确定不等式的解集。 6．【答案】D 【解析】【解答】解：依题意画草图如下： 易知k>0，函数y=kx+b随x的增大而增大， ∵直线过点B（1，1） ∴当x=1时，kx+b=1 即kx+b-1=0 ∴不等式kx+b-1<0的解集为x<1 故答案为：D. 【分析】利用函数的增减性和x=1时的函数图象上点的位置来判断即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵该公司盈利需要销售收入大于销售成本 ∴l1的函数图象应高于l2的函数图象 ∴x>10. 故答案为：C. 【分析】理解图像中两条线l1和l2分别代表销售收入和销售成本与销售量的关系，通过比较两条线的位置来判断公司何时开始盈利。 8．【答案】①②③ 【解析】【解答】解：由图象可知，当x=2时，y甲=y乙，所以买两件时甲、乙两家售价相同，故①正确； 当x=1时，y甲 y乙，所以此时购买乙家的合算，故②正确； 当x=3时，y甲<y，所以此时购买甲家的合算，故③正确； 买乙家的1件售价约为1元，故④错误。 故答案为：D. 【分析】通过观察函数图象，根据图象上横、纵坐标的含义，分别判断在不同销售量下甲、乙两家商店售价的大小关系，从而确定说法的正确性。 9．【答案】C 【解析】【解答】解：由纵坐标看出，这次龙舟赛的全程是500m，故①正确； 由横坐标可以看出，乙队先到达终点，故②正确； 比赛中两队从出发到1.1min时间段，乙队的图象在甲图象的下面，乙队的速度比甲队的速度慢，故③错误； 由图象可知，乙队在1.1min后开始加速，加速的总路程是500-200=300（m），加速的时间是1.9-1.1=0.8（min），乙与甲相遇时，乙的速度是300÷0.8=375（m/min）故④正确。 甲队：500÷2×1.8=450（m），乙队：200+（500-200）÷（1.9-1.1）×（1.8-1.1）=462.5（m），故⑤错误. 故答案为：C. 【分析】由横纵坐标可判断①②；观察图象比赛中两队从出发到1.1min时间段，乙队的图象在甲图象的下面可判断③；由图象得乙队在1.1至1.9min的路程为300m，可判断④；分别求出在1.8min时，甲队和乙队的路程，可判断⑤. 10．【答案】（1）解： （x≥0，且x为整数）. （x≥0，且x为整数）. （2）解：函数y1，y2的图象如图所示. （3）解：①由250x+3000＜500x+1000 ，得x＞8， 所以当x＞8时，方案1更省钱； ②由250x+3000=500x+1000 得x=8， 所以当x=8时，两种方案一样； ③由250x+3000＞500x+1000，得x＜8， 所以当0≤x＜8时，方案2更省钱. 【解析】【解答】解：(1)依题意 （x≥0，且x为整数）. （x≥0，且x为整数）； (2)在中取(0，3000)，(4，4000)两点，在图中描点连线，在中取(0，1000)，(2，2000)两点，在图中描点连线即可； 【分析】(1)利用“总费用=购买垃圾桶的费用+每月垃圾处理费用”即可写出 y，y与x的函数关系式 ； (2)利用两点可以确定一条直线，分别在该坐标系中作图即可； (3)根据两种方案的费用大小关系，分三种情况建立相应的不等式或方程，求解即可。 11．【答案】解：Ⅰ、什么情况下到甲商场更优惠？ 当y<y时，4500x+1500<4800x 解得x>5 即当所购买电脑超过5台时，到甲商场购买更优惠； Ⅱ、什么情况下到乙商场更优惠？ 当y>y时，4500x+1500>4800x 解得x<5 即当所购买电脑小于5台时，到乙商场购买更优惠； Ⅲ、什么情况下两家商场的收费相同？ 当y=y时，4500x+1500=4800x 解得x=5 即当所购买电脑等于5台时，两家商场费用相同。 12．【答案】B 【解析】【解答】解：由图象可以看出，x轴下方的函数图象所对应自变量的取值为x>3， ∴不等式kx+b<0的解集是x>3. 故答案为：B. 【分析】利用一次函数与一元一次不等式解集的关系，通过观察函数图象在x轴下方部分对应的自变量取值来求解不等式的解集。 13．【答案】B 【解析】【解答】解：∵一次函数y＝ax＋b交x轴于点(－5，0)， ∴关于x的方程ax＋b＝0的解是x＝－5. 故答案为：B. 【分析】一次函数y=ax+b与x轴交点的横坐标即一元一次方程ax+b=0的解。 14．【答案】（1，0) 【解析】【解答】解：∵关于x的方程ax-5=7的解为x=1， ∴a-5=7， 解得a=12. ∴一次函数为y=12x-12， 令y=0得12x-12=0. 解得x=1， ∴一次函数y=ax-12与x轴交点的坐标为(1，0) 故答案为：(1，0). 【分析】先将x=1代入方程ax-5=7求出a的值，再将a代入一次函数y=ax-12，令y=0求出x的值，得到交点坐标。 15．【答案】C 【解析】【解答】解： 故答案为：. 【分析】 16．【答案】（1）解：设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意，得 ∴x=30，y=15， ∴A的单价30元，B的单价15元； （2）解：设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30−z)个，购买奖品的花费为W元， 由题意可知，z≥ （30−z)， ∴z≥7.5， W=30z+15（30−z)=450+15z， 当z=8时，W有最小值为570元， 即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少． 17．【答案】（1）解：设y=kx，根据题意得5k=100，解得k=20， ∴y=20x； 设y=kx+100，根据题意得：20k+100=300， 解得k=10， ∴y=10x+100； （2）解：)①y<y，即20x<10x+100，解得x<10， 当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算； ②y=y，即20x=10x+100，解得x=10， 当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样； ③y >y，即20x>10x+100，解得x>10， 当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算． 18．【答案】D 【解析】【解答】解：图象交点为(2000，2000)，那么当月用车路程为2000km时，两家汽车租赁公司收取的租赁费用相同，排除A； 由图象可得当月用车路程超过2000km时，相同路程下，乙公司收费便宜，排除B； 由图象易得乙的月固定租赁费较高，当月用车路程为2000km 时，总收费相同，那么可得甲租赁公司平均每千米收取的费用比乙租赁公司多，排除C。 故答案为：D. 【分析】分析函数图象交点、函数值大小关系及单位路程费用，逐一判断选项正误。 19．【答案】（1）y＝－20x＋1 890 （2）解：由题意x＜21－x， 解得x＜10.5. 又∵x≥1， ∴1≤x＜10.5且x为整数， 由一次函数的性质可知当x＝10时，y有最小值，为－20×10＋1 890＝1 690， ∴最省方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵， 所需费用为1 690元． 【解析】【解答】解：(1)依题意y=70x+90(21-x)=-20x+1890； 【分析】(1)利用等量关系“所需费用＝购进A，B两种树苗的费用和”即可列出函数关系式； (2)利用一次函数的增减性求最值即可。 学科网（北京）股份有限公司 $