6.1平行四边形性质定理（2）-【导学练评】 2025--2026学年北师大版数学八年级下册

6.1平行四边形性质定理（2）-【导学练评】北师大版数学八年级下册 学习目标： 1、 探索并证明平行四边形的对角线互相平分的性质，并能进行平行四边形性质的简单应用。 2、 掌握解决平行四边形问题的基本思路是化为三角形问题来处理，渗透转化思想。 3、通过小组交流合作探究学习，促进同学间的情感交流，体会学习的乐趣，在自我评价中学会自我肯定，增强学习的自信心。 学习重点： 平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用。 学习难点： 运用平行四边形的性质解决有关的计算和证明 1.平行四边形的定义: . 2、 平行四边形的性质： 边的性质： . 符号语言： . 角的性质： . 符号语言: . 一、合作交流、新知探究 探究一：探究平行四边形性质定理3 1、平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。（课件演示：发现对角线互相平分) 如图 ， ▱ABCD 的两条对角线AC、BD相交于点O。 （1） 图中有哪些三角形是全等的？ 有哪些线段是相等的？ （2） 能设法验证你的结论吗？ 2、验证结论 ①、计算验证 OA= OC= OB= OD= ②推理验证 已知：如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB=CD ，AB//DC ∴ ∠BAO=∠DCO ，∠ABO=∠CDO ∴ △AOB≌△COD（ASA） ∴ OA=OC，OB=OD. 【强调】 总结归纳：平行四边形的性质3，平行四边形的对角线互相平分。 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC，OB=OD 探究二、梯形的性质 1、梯形的定义： 一组对边平行， . 2、等腰梯形的定义： . 3、直角梯形的定义： . 3、 怎样的梯形对角线相等？ . 证明等腰梯形的底角相等，对角线相等， 已知等腰梯形ABCD,AB=CD, 求证：∠ABC=∠DCB,AC=BD 证明：在BC上取一点E,使CE=AD ∵AD∥EC,AD=EC ∵ABCE是平行四边形,AE∥CD,AE=CD ∠DCB=∠AEB AB=CD=AE ∴△ABE是等腰三角形 ∠ABE=∠AEB ∴∠ABC=∠DCB ∵∠ABC=∠DCB BC=BC AB=DC ∴△ABC≌△DCB ∴AC=BD 例题1 1．如图，平行四边形 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC交于点E、F. 求证：OE=OF. 例题2 2．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于O，OA，OB，AB的长度分别为3、4、5，求其它各边以及两条对角线的长度. 1、平行四边形的对角线互相平分， 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC，OB=OD 2、等腰梯形的底角相等，对角线相等 几何语言： ∵四边形ABCD是等腰梯形 ∴AC=BD，∠ABC=∠DCB 一、基础练习1： 3． 下列性质中，平行四边形不一定具备的是（　　）   A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．是轴对称图形 4． 已知一个平行四边形相邻的两边长不相等且都为整数，若它的两条对角线长分别为 8 cm 和 12 cm，则它相邻两边长的长度可以分别是 （ ) A．4cm，6cm B．5cm，6cm C．6cm，8cm D．8cm， 10cm 5．如图，平行四边形 ABCD 的周长为 14，BE=2，AE 平分 ∠BAD 交 BC 边于点 E，则 CE 的长等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线将它分成四个小三角形 △AOB，△AOD，△DOC，△BOC，以下说法正确的是（　　） A．四个小三角形全等 B．四个小三角形是等腰三角形 C．四个小三角形是直角三角形 D．四个小三角形的面积相等 7．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4，BC=6，AC 的垂直平分线交 AD 于点 E，则 △CDE 的周长是（ ） A．7 B．10 C．11 D．12 8． 在平行四边形ABCD 中，AB：BC=2：3，周长是40cm ，则 AB=　 　. 9． 在平行四边形 ABCD 中，∠B+∠D=200∘，则 ∠A=　 　 ． 10． 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ODA=90∘，AC=10 cm，BD=6 cm，则 AD 的长为　 　 .    二、能力提升1： 11．如图，平行四边形 ABCD 的周长为 30 cm，AB，CD 相交于点 O，OE⊥AC 交 AD 于 E，则 △DCE 的周长为　 　 cm． 三、拓展迁移1： 12． 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6，BC=9，以点 B 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 BA，BC 于 点 M，N，再分别以 M，N 为圆心，以大于MN 的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线 BP 交 AD 于点 E，交 CD 的延长线于点 F，则 DF 的长度为　 　 .    13．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE，DF 分别是 ∠ABC，∠ADC 的平分线，且与对角线 AC 分别相交于点 E，F．求证：AE=CF. 14． 如图，在平行四边形 ABCD 中，DM⊥AC，BN⊥AC，M，N 为垂足．求证：DM=BN． 四、基础练习2： 15．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（　　） A．（4，2） B．（2，4） C．（2，5） D．（5，2） 16．如图，点E为▱ABCD的边BC上的一点，连接AE，满足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（　　） A．80° B．81° C．82° D．83° 17．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，4），将线段AB水平向右平移5个单位，则在此平移过程中，线段AB扫过的区域的面积为（　　） A．2.5 B．5 C．10 D．15 18．如图，在中，∠ABC ，∠BCD 的平分线分别交AD于点E，F，若，AB=3，AD=4，则EF的长是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 19．如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，AE⊥BC于点E，连接AC，若AC＝5，AE＝3，则AD的长为 　 　． 20．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若BD=10，AC=6，则CD的长是　 　． 21．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，0），B（0，4），若以点 A，B，O，C 为顶点的四边形是平行四边形，则点 C 的坐标是　 　． 五、能力提升2： 22．在探究折叠问题时，小华进行了如下操作：如图，F为直角梯形ABCD边AB的中点，将直角梯形纸片ABCD分别沿着EF，DE所在的直线对折，点B，C恰好与点G重合，点D，G，F在同一直线上，若四边形BCDF为平行四边形，且AD=6，则四边形BEGF的面积是　 　 六、拓展迁移2： 23．如图，在□ABCD中，E是边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△FCE ； （2）当∠BAF=90° ，CD=3，AD=2.5时，求AF的长； （3）在（2）的条件下，连接BE，求△BEF的面积． 24．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F． （1）求证：BC＝CD+ED； （2）若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的 答案解析部分 1．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD//BC ， OA=OC ∴ ∠OAE=∠OCF 又∵∠AOE=∠COF ∴△AOE≌△COF（ASA) ∴OE=OF 2．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AD=BC， OA=OC，OB=OD 又∵OA=3，OB=4，AB=5 ∴AC=6，BD=8，CD=5 在△AOB中，∵OA+OB=3+4=25， AB=5=25 ∴OA+OB=AB ∴∠AOB =90° ∴AC⊥BD ∴在Rt△AOD中，∴BC=5 答：这个平行四边形的其它各边都是5，两条对角线长分别为6和8. 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】8cm 9．【答案】80° 10．【答案】5cm 11．【答案】-15 12．【答案】3 13．【答案】证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB=CD，AB∥CD， ∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD， ∠BAE=∠DCE， ∵BE，DF 分别是 ∠ABC，∠ADC 的平分线 ∴ ∠ABE=∠CDF， ∴△ABE≌△CDF（ASA)， 所以 AE=CF． 14．【答案】证明 ∵DM⊥AC，BN⊥AC， ∴∠AMD=∠CNB=90∘， ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD=BC 且 AD∥BC，∠DAM=∠BCN． 在 △ADM 与 △CBN 中， ∠AMD=∠CNB，∠DAM=∠BCN，AD=BC， ∴△ADM≌△CBNAAS， ∴DM=BN 15．【答案】D 16．【答案】B 17．【答案】C 18．【答案】A 19．【答案】7 20．【答案】4 21．【答案】（3，4)或（-3，4）或（3，-4） 22．【答案】 23．【答案】（1）证明：∵E是边CD的中点， ∴CE=DE 四边形ABCD是平行四边形，BF∥AD ∴∠CFE=∠DAE ∠FEC=∠AED（对顶角） △ADE≌△FCE（AAS) （2）解：四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD ∠BAF=90° ∴∠FEC==∠AED=90° DE=EC=1.5 ∵△ADE≌△FCE ∴EF=AE ∴AF=2AF=4 （3）解：AE=2 ，AB=CD=3 E是AF的中点 24．【答案】（1）证明：∵ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AB=CD ∠ABE=∠AEB ∴AB=AE BC=AD=AE+ED=AB+ED=CD+ED ∴BC=CD+ED （2）解：过F作FG垂直BC ∵BE是∠ABC的角平分线，AF⊥AB，FG⊥BC ∴AF=FG=3，AB=BG 在直角三角形GFC中，FC=AC-AF=5，FG=3 ∴CG=4 设AB=AE=BG=x 解得x=6 ∴AE=6 学科网（北京）股份有限公司 $