精品解析：河北定州中学2026届高三下学期二模数学试题

高三数学试题 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. {1} B. C. {x|0≤x<2} D. {x|0<x≤2} 2. 已知，其中是实数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知各项不全为零的数列满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数的最小正周期为1，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，点 在Γ上，斜率为负的直线l与双曲线、的两条渐近线、x轴的交点从左到右依次为A，B，C，D，E，且，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（ ） A. B. C. D. 10. 为助力“北斗卫星导航系统”相关科普项目的校园推广，某校“科创社”统计了8个小组完成北斗卫星模型拼装的时长(单位：分，)，同时统计了另一所学校“科创社”8个小组完成同款模型拼装的时长(单位：分，).已知点与点关于直线对称，且的中位数为，极差为，平均数为，方差为，则关于数据，下列说法正确的是（ ） A. 中位数为 B. 极差为 C. 平均数为 D. 方差为 11. 如图，已知圆台的轴截面为四边形EFGH，FG=4，EH=2，EF=3，沿着该圆台侧面从E到G的路径的长度为a.在该圆台内有一个棱长为b的正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则（ ） A. 圆台的高为 B. 圆台的体积为 C. a的最小值为 D. b的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，则其展开式中x² 的系数为________.(用数字作答) 13. 已知向量满足，，则的取值范围是________. 14. 记函数的最小值为，数列的前n项和为，若 ，则实数t的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）求A. （2）已知点D在边 BC上，且 当 的面积最小时，判断 是否为等腰三角形? 若是，给出证明；若不是，请说明理由. 16. 已知抛物线 上的点到Γ焦点的距离为． （1）求Γ的方程； （2）若直线与Γ交于A，B两点， 求t的取值范围． 17. 如图，在长方体中， ， E为线段上一点. （1）若E为线段的中点，证明：平面平面. （2）若 （i）求平面 与平面 BDE 所成二面角的正弦值； （ii）求点 A到平面 BDE 的距离. 18. 某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元. （1）求顾客第2次取出红球的概率. （2）记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X). （3）该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由. 19. 已知函数 （1）若，讨论的单调性； （2）若的极小值点为 求的值； （3）若，且 证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. {1} B. C. {x|0≤x<2} D. {x|0<x≤2} 【答案】B 【解析】 【详解】，所以 2. 已知，其中是实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， ，解得. . 3. 已知各项不全为零的数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得数列为等差数列， 则，又，所以， 由于数列各项不全为零，则等差数列为递增数列或递减数列，即其他项均不为0. 4. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时，，求导得 ， 在上单调递增； 当时，，函数单调递增，则， 当时，，当时，， 则，解得， ，即． 5. 已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ，，，故与相交， 则与的公切线的数量为，故选项B正确. 6. 已知函数的最小正周期为1，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数的最小正周期为1，所以 ，得. 所以. 令 ，得， 所以的对称中心为 . 因为将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象， 所以的对称中心向右平移个单位长度得到函数g(x)的对称中心， 所以函数g(x)的图象的对称中心为 . 7. 若，，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将式子进行化简构造函数，利用构造的函数得到的关系，将化为关于的函数解析式，利用求导研究函数的单调性和最值，从而求出的取值范围． 【详解】由变形可得：，即， 故； 令，则 由得： 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 因为，，故，故在上， 可得：，故； 令，，； 则，令，解得：； 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 故，综上； 故． 8. 已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，点 在Γ上，斜率为负的直线l与双曲线、的两条渐近线、x轴的交点从左到右依次为A，B，C，D，E，且，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题设求出双曲线，及双曲线的渐近线方程为，结合可得，设直线l的方程为，进而求得，设，联立直线l与双曲线方程，结合韦达定理及列方程求解即可. 【详解】由题意，得，即，则， 所以双曲线，且双曲线的渐近线方程为， 由，得，设直线l的方程为， 联立，解得，即， 联立，消去得， 设，则①，， 因为，所以， 而，， 则，即， 结合①得，， 则， 即， 则，即，又，则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，则，， 且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则， 即，解得， ，故选项BD正确. 10. 为助力“北斗卫星导航系统”相关科普项目的校园推广，某校“科创社”统计了8个小组完成北斗卫星模型拼装的时长(单位：分，)，同时统计了另一所学校“科创社”8个小组完成同款模型拼装的时长(单位：分，).已知点与点关于直线对称，且的中位数为，极差为，平均数为，方差为，则关于数据，下列说法正确的是（ ） A. 中位数为 B. 极差为 C. 平均数为 D. 方差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】理解点关于直线对称的性质，以及这些统计量在数据变换下的变化规律，对于中位数，需要考虑数据的排序和对称关系；极差是最大值与最小值的差，要分析对称对极差的影响；平均数和方差则要根据定义和性质来判断. 【详解】对于A，已知点与点关于直线对称，则，即， 因为的中位数为，将从小到大排序， 设为，则， 那么从小到大排序为，， 其中位数为，所以选项A正确. 对于B，设中的最大值为，最小值为，则极差， 因为，所以中的最大值为，最小值为， 极差为，所以选项B错误； 对于C，已知的平均数为，则的平均数为 ，所以选项C正确； 对于D，已知的方差为， 则的方差为 ，所以选项D正确. 11. 如图，已知圆台的轴截面为四边形EFGH，FG=4，EH=2，EF=3，沿着该圆台侧面从E到G的路径的长度为a.在该圆台内有一个棱长为b的正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则（ ） A. 圆台的高为 B. 圆台的体积为 C. a的最小值为 D. b的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据高与上下底面半径以及母线的几何关系可判断A；根据圆台的体积公式可判断B；根据侧面展开图结合弦长公式以及余弦定理可判断C；根据正方体的外接球直径不大于圆台的内切球直径可判断D . 【详解】已知圆台的轴截面是等腰梯形，下底 底半径，上底 上底半径，母线长， 圆台的高，A错误； 圆台的体积 ，B正确； 将圆台补成圆锥，由相似比得小圆锥母线长，大圆锥母线长， 侧面展开圆心角。 设圆锥顶点为，展开后，，， 由余弦定理： 得， 故，C正确； 正方体能任意转动等价于：正方体的外接球完全容纳在圆台内，且圆台恰好有内切球（满足母线长 ）， 内切球半径， 正方体外接球直径等于体对角线：，解得， 故最大值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，则其展开式中x² 的系数为________.(用数字作答) 【答案】 【解析】 【详解】由题可知展开式共项，所以， 又的展开式的通项为， 令，解得，所以x² 的系数为 13. 已知向量满足，，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】通过已知条件得到的表达式，利用向量三角不等式确定的范围进行求解. 【详解】因为，两边平方得到， 整理得， 又根据向量三角不等式， 代入，，解得， 所以 14. 记函数的最小值为，数列的前n项和为，若 ，则实数t的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式及二倍角的正弦公式求得的最小值，从而得到数列通项公式，根据等比数列的前n项和公式，求得，分离参数，并构造函数，利用导数分析其单调性，并求得的最大值，进而得到实数t的取值范围. 【详解】， 函数， 当且仅当时，等号成立. 所以. 所以，所以. 所以，所以. 若 ，则. 令，则. 令， 因为是单调递减函数， 且，， 所以在上存在唯一零点，记为， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，，所以， 即的最大值为. 所以实数t的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）求A. （2）已知点D在边 BC上，且 当 的面积最小时，判断 是否为等腰三角形? 若是，给出证明；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理结合条件得，再利用三角形的面积公式和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得：， 所以， 又由余弦定理得：， 又，所以； 【小问2详解】 在中，由正弦定理得①， 在中，由正弦定理得②， 又，所以， 由①②得：， 又，所以， 所以， 又，所以，即为的角平分线， 所以， 所以， 又， 所以， 所以，又，即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以当的面积取最小值时，为等腰三角形. 16. 已知抛物线上的点到Γ焦点的距离为． （1）求Γ的方程； （2）若直线与Γ交于A，B两点， 求t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义和几何性质，结合已知条件构造方程求出，进而求出Γ的方程； （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理化简，结合已知条件构造不等式，解不等式求出的取值范围． 【小问1详解】 已知点在抛物线上，则，解得， 抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线定义得，解得， 抛物线的方程为． 【小问2详解】 联立直线与抛物线得 ， 直线与抛物线交于A，B两点，则 ，解得， 设，由韦达定理得， ， ， ， ， ，即，解得， 综上可得，t的取值范围为． 17. 如图，在长方体中， ， E为线段上一点. （1）若E为线段的中点，证明：平面平面. （2）若 （i）求平面与平面 BDE 所成二面角的正弦值； （ii）求点 A到平面 BDE 的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）先利用向量法及线面垂直的判定定理证明 平面 ，进而利用面面垂直的判定定理证明平面 平面 ； （2）（i）先分别求出平面与平面 BDE 的一个法向量，再求出所成二面角的余弦值，从而得到正弦值； （ii）利用点面距离的向量公式求解即可. 【小问1详解】 以D为坐标原点，以,,的方向分别为,,轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， 所以 ， ， ， 因为 ， ， 所以，，即 ， ， 又因为， 平面 , 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 . 【小问2详解】 设 ，则 ， ， 因为，所以 ，解得，所以 . （i） ， ，设平面 BDE的一个法向量是 ， 则，即，令，得 ， 易知平面的一个法向量是 ， 设平面与平面 BDE 所成二面角的大小为， 则，所以， 所以平面与平面 BDE 所成二面角的正弦值是； （ii）由（i）知，平面 BDE的一个法向量是 ， ， 设点 A到平面 BDE 的距离为，则， 所以点 A到平面 BDE 的距离为. 18. 某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元. （1）求顾客第2次取出红球的概率. （2）记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X). （3）该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由. 【答案】（1） （2）10 （3）顾客甲应该选择新增抽奖方案，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）根据题意，写出离散型随机变量求出 的分布列，从而利用期望公式即可求解. （3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元，写出离散型随机变量求出的分布列，求得关于的期望，比较即可. 【小问1详解】 设＂第1次取出红球＂为事件 ，则 ， 设＂第2次取出红球＂为事件 ， 若第1次取出红球，则箱子中有 6 红 12 白，共 18 个球，此时 ， 若第1次取出白球，则箱子中有4红14白，共18个球，此时 ， 由全概率公式得： 答：顾客第2次取出红球的概率为 . 【小问2详解】 由题意知， 的可能取值为0,20,40； ， ， 所以 的分布列为： 0 20 40 , 【小问3详解】 设顾客甲获得奖励的总金额为 元。 由题意， 的可能取值为。 ， ， ， ， 所以 的分布列为： 0 6 12 18 ， 因为 ， 所以顾客甲应该选择新增抽奖方案. 19. 已知函数 （1）若，讨论的单调性； （2）若的极小值点为 求的值； （3）若，且 证明：. 【答案】（1）在上单调递增. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论即可； （2）利用极小值点的必要条件求出，然后检验充分性即可； （3）等式变形为，利用比值代换法把 转化为证明 ，最后利用（1）的结论即可证明. 【小问1详解】 的定义域为， ， 令： 判别式 ， 若即，，恒成立，故，单调递增； 若，，令，得，两根均为负数， 因此时，，故，单调递增. 综上，当时，在上单调递增. 【小问2详解】 极小值点是的正根，即满足，将代入得： ，化简得，验证可知确为极小值点，故. 【小问3详解】 对已知等式两边取自然对数得： ，整理得：， 令 ，若则 ，右边 ，矛盾，故， 则 ，代入得： ， 要证，即证 ，代入得： ， 由（1）知，当时， 在单调递增， 因此时， ，不等式成立， 故成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $