5.1.2 导数的概念及其几何意义（第2课时）课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1.2 导数的概念及其几何意义 (第2课时) 01 复习导入 复习导入 导数 求某点处导数值的步骤 (1)求增量： (2)求平均变化率： (3)求极限： 一差、二比、三极限 02 导数的几何意义 我们知道，导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况. 探究：导数的几何意义是什么? 新知讲解 平均变化率的几何意义 观察函数的图象，平均变化率表示什么? 容易发现，平均变化率表示割线的斜率. 新知讲解 导数的几何意义 函数在处的导数就是切线的斜率. 新知讲解 例题剖析 【例1】已知曲线上一点P(2，)，求在点处的切线方程. 求曲线在某点处的切线方程： (1)求该点处的导数，即曲线在该点处的切线斜率； (2)根据点斜式写出切线方程，并化成一般式. 【练习】求曲线在点处的切线方程. 举一反三 例题剖析 【例2】已知曲线，求曲线过点处的切线方程. 求曲线过某点P处的切线方程： (1)设切点，利用所设切点求斜率； (2)用，表示斜率； (3)根据斜率相等求出，进而求出； (4)根据点斜式写出切线方程，并化成一般式. 【练习】已知曲线，过点M(0，32)作曲线的切线， 则切线的方程为____________. 举一反三 03 函数的单调性与导数 探究：下图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间 变化的函数的图象，比较曲线在 、、、、附近的变化情况. 新知讲解 函数的单调性与导数的关系 (1)若，则函数在处切线的斜率； (2)若，则函数在处切线的斜率，且函数 在附近单调递增，越大，说明函数图象变化得越快； (3)若，则函数在处切线的斜率，且函数 在附近单调递减，越大，说明函数图象变化得越快. 新知讲解 例题剖析 【例3】如图，点，在函数的图象上， 且，则与的大小关系是(　 ) A. B. C. D.不能确定 04 导函数 新知讲解 导函数 从求函数在处导数的过程可以看出，当时，是一个唯一确定的数. 这样，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数 (简称导数).的导函数记作y′ 或，即 问题：函数在点处的导数、导函数、导数之间有 什么区别与联系? (1)函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与 自变量的改变量之比的极限，它是一个常数. (2)函数的导数，是指某一区间内任意点而言的， 就是函数 的导函数，它是一个变量. (3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值. 新知讲解 【例4】已知函数，求. 【练习】求函数的导函数. 05 课堂小结 课堂小结 导数的几何意义 $