5.1.2导数的概念及其几何意义(第2课时)导数的几何意义-2024-2025学年下学期高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修二）

5.1.2 第2课时 导数的概念及其几何意义 第1页 课内导航 导数的几何意义 利用导数几何意义判断函数变化 1 2 导函数（导数） 书读百遍 其义自现 3 4 第1页 1.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 学习目标 第1页 同学们，在前两节课的学习中，我们从物理中的瞬时变化率，到几何中切线的斜率，再到数学中函数在某点处的导数，逐步深入地探索了这些概念之间的联系。在这个过程中，我们不禁会思考：我们学习导数的意义到底是什么？其实，之前的学习都是为了今天做铺垫。今天，我们将揭开这个谜底，深入探究导数的几何意义。 导 语 第1页 一 导数的几何意义 第1页 导数f'(x0)的几何意义是什么？ 问题1 提示　我们知道导数f'(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，如下图. 第页 第1页 提示　我们知道导数f'(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，如下图. 第页 第1页 容易发现，平均变化率=表示的是割线P0P的斜率，当P点沿着曲线无限趋近于P0点时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线，因此函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0==f'(x0)，这就是导数的几何意义. 第页 第1页 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的__ .也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 .相应地，切线方程为 . 切 线的斜率 f'(x0) y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) 知识梳理 第页 第1页 9 题型一　已知点在曲线上的切线问题 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟1 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 题型二 已知点不在曲线上的切线问题 第页 第1页 反思感悟2 第页 第1页 第页 第1页 二 利用导数的几何意义判断函数的变化 第1页 函数的单调性和导数有什么关系？ 导数值的大小与函数变化的快慢有什么关系？ 问题2 提示　如图， 当t=t0时，函数的图象在t=t0处的切线l0平行于t轴，即h'(t0)=0，这时，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降. 当t=t1时，函数的图象在t=t1处的切线l1的斜率h'(t1)<0，这时，在t=t1附近曲线下降，即函数在t=t1附近单调递减. 第页 第1页 当t=t2时，函数的图象在t=t2处的切线l2的斜率h'(t2)<0，这时，在t=t2附近曲线下降，即函数在t=t2附近单调递减. 通过研究在t=t1和t=t2处的切线l1和l2，发现切线l1的倾斜程度小于切线l2的倾斜程度，这说明函数在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢. 第页 第1页 若f'(x0)=0，则函数在x=x0处切线斜率k= ； 若f'(x0)>0，则函数在x=x0处切线斜率k 0，且函数在x=x0附近单调递 ，且f'(x0)越大，说明函数图象变化得越快； 若f'(x0)<0，则函数在x=x0处切线斜率k 0，且函数在x=x0附近单调递 ，且越大，说明函数图象变化得越快. 0 > 增 < 减 知识梳理 第页 第1页 题型三　导数与函数图象的关系 √ 第页 第1页 反思感悟3 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 三 导函数(导数) 第1页 如何利用f'(x0)的定义以及函数的概念给出导函数的概念？ 问题3 提示　如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导数，即任给x0∈(a，b)，总有=f'(x0)，从而对开区间(a，b)内的每一个值x0，都有唯一确定的函数值f'(x0)与x0对应，所以在开区间(a，b)内，f'(x)构成一个新的函数——导函数f'(x). 第页 第1页 导函数的定义 从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的__ (简称导数).y=f(x)的导函数记作 或 ，即f'(x)=y'= __________________. 导 函数 f'(x) y' 知识梳理 第页 第1页 注意： 函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)、导函数f'(x)之间的区别与联系： (1)区别：①f'(x0)是在x=x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量. ②f'(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的. (2)联系：函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在x=x0处的函数值. 知识梳理 第页 第1页 30 题型四　求导函数 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟4 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 四 书读百遍 其义自现 第1页 切线的斜率 f′(x0) y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 第页 第1页 0 > 单调递增 < 单调递减 第页 第1页 导函数 f′(x) y′ 第页 第1页 反 思 总 结 入 木 三 分 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 课 后 巩 固 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 第页 第1页 2 0 2 4 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 第1页 例1　已知曲线y＝eq \f(1,3)x3上一点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3))). (1)求点P处切线的斜率； 【思路分析】　根据导数的几何意义知，函数f(x)在点x＝x0处的导数就是曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线的方程． 【解析】　(1)∵y＝eq \f(1,3)x3，∴y′＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(\f(1,3)（x＋Δx）3－\f(1,3)x3,Δx) ＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(x2Δx＋x（Δx）2＋\f(1,3)（Δx）3,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0))[x2＋xΔx＋eq \f(1,3)(Δx)2]＝x2， ∴y′|x＝2＝22＝4.∴点P处切线的斜率为4. (2)写出点P处的切线方程． 【解析】　(2)∵由(1)知点P处切线的斜率为4，且点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))，∴点P处的切线方程是y－eq \f(8,3)＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0. 求曲线上一点处的切线方程可按以下步骤进行： (1)求出该点的坐标． (2)求出函数在该点处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率． (3)利用点斜式写出切线方程． 思考题1　在曲线y＝f(x)＝x2上取一点，使得在该点处的切线： (1)平行于直线y＝6x－5； 【思路分析】　先求出函数的导函数f′(x)，再设切点为(x0，y0)，由导数的几何意义知切点(x0，y0)处的切线的斜率为f′(x0)，然后根据题意列方程，解关于x0的方程即可求出x0，又点(x0，y0)在曲线y＝x2上，易得y0. 【解析】　f′(x)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(（x＋Δx）2－x2,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) (2x＋Δx)＝2x.设点P(x0，y0)是满足条件的点． (1)因为点P处的切线与直线y＝6x－5平行，所以2x0＝6，解得x0＝3，所以y0＝9，即满足条件的点的坐标为P(3，9)． (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； 【解析】　(2)因为点P处的切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，且直线2x－6y＋5＝0的斜率为eq \f(1,3)，所以2x0·eq \f(1,3)＝－1，解得x0＝－eq \f(3,2)，所以y0＝eq \f(9,4)，即满足条件的点的坐标为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(9,4))). (3)倾斜角为135°. 分别求出满足上述条件的点的坐标． 【解析】　(3)因为点P处的切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为tan 135°＝－1，即2x0＝－1，解得x0＝－eq \f(1,2)，所以y0＝eq \f(1,4)，即满足条件的点的坐标为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))). 例2　求抛物线y＝－3x2＋1过点P(1，－1)的切线方程． 【解析】　设切点为Q(x0，y0)，则eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝－6x0－3Δx.则eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝－6x0. ∴切线方程为y＋1＝－6x0(x－1)． 又∵Q(x0，y0)既在切线上，又在曲线上， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＋1＝－6x0（x0－1），,y0＝－3x02＋1，))∴x0＝eq \f(3±\r(3),3). ∴切线方程分别为y＝－(6＋2eq \r(3))x＋5＋2eq \r(3)和y＝－(6－2eq \r(3))x＋5－2eq \r(3). 解答本题的过程中，易出现把“过点P的切线”与“曲线在点P处的切线”混淆的错误，导致该种错误的原因是没有分清已知点是否为切点． 思考题2　求抛物线y＝x2过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，6))的切线方程． 【解析】　设此切线过抛物线上的点(x0，x02)．由导数的意义知此切线的斜率为2x0. 又此切线过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，6))和点(x0，x02)，∴eq \f(x02－6,x0－\f(5,2))＝2x0， 即x02－5x0＋6＝0，解得x0＝2或3. 即切线过抛物线y＝x2上的点(2，4)或(3，9)． ∴切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)． 化简得y＝4x－4，y＝6x－9. 例3　如图，点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))在函数f(x)的图象上，且x2<x1，则f′(x1)与f′(x2)的大小关系是(　　) A．f′(x1)>f′(x2) B．f′(x1)<f′(x2) C．f′(x1)＝f′(x2) D．不能确定 【解析】　如图，根据导数的几何意义，f′(x1)为曲线f(x)在点A处切线的斜率，设该斜率为k1，f′(x2)为曲线f(x)在点B处切线的斜率，设该斜率为k2，由图象可得0>k1>k2，即有f′(x1)>f′(x2)． 曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表： f′(x0)的 符号 曲线f(x)在 x＝x0附近 的升降情况 切线的 斜率k 切线的 倾斜角 f′(x0)>0 上升 k>0 锐角 f′(x0)<0 下降 k<0 钝角 f′(x0)＝0 不升不降 k＝0 零角(切线与x轴平行或重合) 说明：切线斜率绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢 思考题3　(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　) 【解析】　由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先减后增，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先减小后增大，由f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝0，可知y＝f(x)的图象在x＝0处的切线的斜率为0，故B、C、D错误，A正确．故选A. (2) 如图，直线l为曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝(　　) A.eq \f(1,2)　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 【解析】　根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率k，由题图知k＝eq \f(5－3,4－0)＝eq \f(1,2)，所以f′(4)＝eq \f(1,2). (3) 已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设eq \f(f（2）－f（1）,2－1)＝a，则下列不等式正确的是(　　) A．f′(1)<f′(2)<a　　　 B．f′(1)<a<f′(2) C．f′(2)<f′(1)<a D．a<f′(1)<f′(2) 【解析】　由图象可知，函数在区间[1，2]上增长得越来越快，故函数在该区间内某点处的切线的斜率越来越大， ∵eq \f(f（2）－f（1）,2－1)＝a，∴f′(1)<a<f′(2)． 例4　(1)求函数y＝eq \f(4,x2)在x＝2处的导数． 【解析】　方法一：∵Δy＝eq \f(4,（Δx＋2）2)－eq \f(4,22)＝eq \f(4,（Δx＋2）2)－1＝－eq \f(（Δx）2＋4Δx,（Δx＋2）2)，∴eq \f(Δy,Δx)＝－eq \f(Δx＋4,（Δx＋2）2)，∴eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝－eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δx＋4,（Δx＋2）2)＝－1. 方法二：∵Δy＝eq \f(4,（x＋Δx）2)－eq \f(4,x2)＝－eq \f(4Δx（2x＋Δx）,x2（x＋Δx）2)， ∴eq \f(Δy,Δx)＝－eq \f(4（2x＋Δx）,x2（x＋Δx）2)，∴y′＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝－eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(4（2x＋Δx）,x2（x＋Δx）2)＝－eq \f(8,x3). ∴y′|x＝2＝－eq \f(8,23)＝－1. (2)已知函数f(x)＝x2－eq \f(1,2)x.求f′(x)． 【解析】　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2x·Δx－eq \f(1,2)Δx， ∴eq \f(Δy,Δx)＝2x＋Δx－eq \f(1,2).∴f′(x)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝2x－eq \f(1,2). 由导数的定义可知，求函数y＝f(x)的导数的一般方法是： (1)求函数的变化量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)． (2)求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx). (3)取极限，得导数y′＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx). 思考题4　(1)求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数． ` 【解析】　f′(x)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(2（x＋Δx）2＋4（x＋Δx）－（2x2＋4x）,Δx) ＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(4x·Δx＋2（Δx）2＋4Δx,Δx) ＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) (4x＋2Δx＋4)＝4x＋4， ∴y′|x＝3＝f′(3)＝4×3＋4＝16. (2)求函数y＝eq \r(x＋1)(x>－1)的导函数． 【解析】　令f(x)＝eq \r(x＋1)， 则f′(x)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx) ＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(\r(x＋Δx＋1)－\r(x＋1),Δx) ＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(x＋Δx＋1－（x＋1）,Δx（\r(x＋Δx＋1)＋\r(x＋1)）) ＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(1,\r(x＋Δx＋1)＋\r(x＋1))＝eq \f(1,2\r(x＋1)). 要点1　导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的___________，也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是______．相应地，切线方程为_____________________． 要点2　函数的单调性与导数的关系 若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线的斜率k＝____； 若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线的斜率k____0，且函数在x＝x0附近___________，f′(x0)越大，说明函数图象变化得越快； 若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线的斜率k____0，且函数在x＝x0附近____________，|f′(x0)|越大，说明函数图象变化得越快． 要点3　导函数 从求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的____________ (简称导数)．y＝f(x)的导函数记作______或_____，即f′(x) ＝y′＝______________________． eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx) 1．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？曲线在某一点处的切线一定与曲线只有一个公共点吗？与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线吗？ 答：由导数的几何意义知曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率为k＝f′(x0)，所以切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．曲线在某一点处的切线不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个甚至无数个．例如，曲线y＝x3在点(1，1)处的切线与曲线y＝x3有两个公共点；曲线y＝sin x在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))处的切线方程为y＝1，与曲线y＝sin x有无数个公共点．同时，与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．例如，直线x＝1与曲线y＝sin x只有一个公共点，但直线x＝1不是曲线y＝sin x的切线． 2．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线y＝f(x)过某点(x0，y0)的切线有何不同？ 答：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出切线的斜率k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点． 3．函数f(x)的导数是什么？f′(x)与f′(x0)有什么区别？ 答：函数f(x)的导数是其导函数的简称，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数；f′(x0)是f(x)在x＝x0处的导数值，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，是一个常量． 4．每一个函数在其定义域上都有导数吗？什么是可导函数？ 答：并不是每个函数在其定义域上都有导数．例如，函数y＝|x|在x＝0处的瞬时变化率eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（0＋Δx）－f（0）,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(|Δx|,Δx)，当Δx→0＋时，极限值为1，当Δx→0－时，极限值为－1.因为极限不是同一个确定的值，所以函数y＝|x|在x＝0处的导数不存在． 如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内的每一点处都有导数，我们就说这个函数在区间(a，b)上是可导函数． 1．曲线y＝eq \f(1,3)x3－2在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,3)))处的切线的倾斜角为(　　) A．30°　　　 B．45°　　　 C．135°　　　 D．60° 解析　∵eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(\f(1,3)（－1＋Δx）3－2＋\f(7,3),Δx)＝1，∴切线的斜率为1，倾斜角为45°. 2. 已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是(　　) A．f′(a)<f′(b)<f′(c) B．f′(b)<f′(c)<f′(a) C．f′(a)<f′(c)<f′(b) D．f′(c)<f′(a)<f′(b) 3.eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(（3＋Δx）2－9,Δx)表示(　　) A．曲线y＝x2切线的斜率 B．曲线y＝x2在点(3，9)处切线的斜率 C．曲线y＝－x2切线的斜率 D．曲线y＝－x2在(3，－9)处切线的斜率 解析　令f(x)＝x2，根据导数的概念，eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0))eq \f(（3＋Δx）2－9,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0))eq \f(f（3＋Δx）－f（3）,Δx)，可知eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0))eq \f(（3＋Δx）2－9,Δx)表示y＝f(x)＝x2在x＝3处的导数，由导数的几何意义可知，其表示曲线y＝x2在点(3，9)处的切线的斜率．故选B. 4．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线的倾斜角的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则点P横坐标的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))　　　　 B．[－1，0] C．[0，1] D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) 解析　y′＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(（x＋Δx）2＋2（x＋Δx）＋3－（x2＋2x＋3）,Δx)＝ eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) eq \f(（2x＋2）·Δx＋（Δx）2,Δx)＝eq \o(lim,\s\up6(　),\s\do14(Δx→0)) (Δx＋2x＋2)＝2x＋2，又曲线C在点P处切线的倾斜角的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以其斜率k≥1，即2xP＋2≥1，解得xP≥－eq \f(1,2).故选D. 5．生物学上的种群研究表明，很多物种的数量x与时间t的关系都存在下述规律：一开始，由于物种数量较少，因此物种数量的增加比较慢；随着物种数量的增加，又因为有大量的资源可以加以利用，物种数量的增加会越来越快；到了一定的程度之后，因为资源有限，再加上物种内部的竞争开始变得激烈，物种数量的增加将减缓．假设x是时间t的函数，而且认为它们都能在某一区间内任意取值，则如图所示的(1)(2)中，哪个能近似地表示上述规律？ 解析　一开始，物种数量的增加比较慢，表示曲线在对应点处的切线斜率比较小；之后，物种数量增加越来越快，表示曲线在对应点处的切线斜率越来越大；到了一定程度之后，物种数量增加减缓，表示曲线在对应点处的切线斜率越来越小．因此，图(2)能近似地表示上述规律． $$