5.1.2 第2课时 导数的几何意义-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

5.1　导数的概念及其意义 5.1.2　导数的概念及其几何意义 第2课时　导数的几何意义 第五章　一元函数的导数及其应用 学习单元3　导数的概念及其意义　导数的运算 知识点1　导数的几何意义 内容索引 知识点2　利用导数的几何意义判断函数的变化 知识点3　导函数(导数) 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 2 知识点1　导数的几何意义 如图,割线P0P的斜率k=　 .  记Δx=x-x0,当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时,即当Δx→0时,k无限趋近于函数y=f(x)在x=x0处的导数,因此,函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k0,即k0==f'(x0). 　 相应地,切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).   　已知曲线C:y=x3. (1)求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线方程; [分析]　(1)曲线f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程:求出函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0),即为曲线y=f(x)在x=x0处的切线斜率,所求曲线的切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0). 例1 [解]　(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,所以切点P(1,1). y'|x=1=[3+3Δx+(Δx)2]=3. 所以所求切线的斜率为k=y'|x=1=3, 所以曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1), 即3x-y-2=0. [解]　(2)设切点为Q(x0,y0),可得所求切线斜率为y', 所以由题意可知,即y-(x-x0). 又切线过点(1,1),则有1-(1-x0), 即(x0-1)(2-x0-1)=0,解得x0=1或x0=-. ①当x0=1时,切点坐标为(1,1),相应的切线方程为3x-y-2=0. ②当x0=-时,切点坐标为,相应的切线方程为y+, 即3x-4y+1=0. 所以,曲线C过点(1,1)的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.   求曲线过某点的切线方程,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程. 思维提升 1.曲线f(x)=在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于(　　) A.45°　　　　　　　　　　 B.60° C.135° D.120° 跟踪训练 C f'(x)= =9, 所以f'(3)=-1.又切线的倾斜角α的范围为0°≤α≤180°,所以所求倾斜角为135°. 2.曲线y=-2x2+x在点(1,-1)处的切线方程为　　 　　　.  3x+y-2=0 切线的斜率为 = =(-3-2Δx)=-3, 所以切线方程为y+1=-3(x-1),即3x+y-2=0. 知识点2　利用导数的几何意义判断函数的变化 若f'(x0)=0,则函数在x=x0处切线斜率k=　　　;  若f'(x0)>0,则函数在x=x0处切线斜率k　　　0,且函数在x=x0附近　　　　　,且f'(x0)越大,说明函数图象变化得越快;  若f'(x0)<0,则函数在x=x0处切线斜率k　　　0,且函数在x=x0附近　　　　　,且|f'(x0)|越大,说明函数图象变化得越快.  0　 >　 单调递增　 <　 单调递减 　如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于 水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的 图象.根据图象,请描述、比较曲线h(t)在t=t0,t1,t2附近 的变化情况.  [分析]　曲线h(t)在t=t0,t1,t2附近的变化情况,可以近似地由曲线h(t)在相应三点处的切线的变化情况加以描述.根据导数的几何意义,主要考虑切线斜率的大小. 例2 [解]　我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切线斜率,刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况. ①当t=t0时,曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴,h'(t0)=0. 这时,在t=t0附近曲线比较平坦,几乎没有升降. ②当t=t1时,曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(t1)<0. 这时,在t=t1附近曲线下降,即函数h(t)在t=t1附近单调递减. ③当t=t2时,曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h'(t2)<0. 这时,在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 从题图可以看出,直线l1倾斜程度小于直线l2倾斜程度,这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢. 1.导数的几何意义就是切线的斜率,因此比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决. 2.曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度,可以判断出曲线升降的快慢. 思维提升 3.已知y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是(　　)   A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA)<f'(xB) C.f'(xA)=f'(xB) D.不能确定 跟踪训练 B 由导数的几何意义,f'(xA),f'(xB)分别是在点A,B处切线的斜率,由图象可知f'(xA)<f'(xB). 4.已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系中正确的是(　　) A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2) B.0<f'(2)≤f(3)-f(2)<f'(3) C.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3) D.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2) D 割线AB的斜率为=f(3)-f(2), f'(2)为函数图象在点B(2,f(2))处切线的斜率,f'(3)为函数图象在点C(3,f(3))处切线的斜率,结合图象可得0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2). 知识点3　导函数(导数) 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看出,当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的　　　(简称导数).y=f(x)的导函数记作　　或　　　　,即f'(x)=y'=.  导函数　 f'(x) 　y' 微思考:函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)、导函数f'(x)之间有什么区别与联系? 提示:(1)区别:①f'(x0)是在x=x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限,是一个常数,不是变量. ②f'(x)是函数f(x)的导函数,是对某一区间内任意x而言的. (2)联系:函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在x=x0处的函数值. 　已知函数f(x)=x2-x. 求:(1)f'(x); 例3 [解]　(1)∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=(Δx)2+2x·Δx-Δx, ∴,∴f'(x)=. (2)f(x)在x=1处的导数. [解] (2)f'(1)=2×1-. 5.已知函数f(x)=x2+x-5. (1)利用导数的定义求导函数f'(x); 跟踪训练 解:(1)因为f(x+Δx)-f(x)=[(x+Δx)2+(x+Δx)-5]-(x2+x-5) =(Δx)2+(2x+1)Δx, 所以f'(x)= ==2x+1. (2)求曲线y=f(x)在点(2,1)处的切线的方程. 解: (2)因为f(2)=22+2-5=1,故点(2,1)在曲线y=f(x)上, 又因为f'(2)=2×2+1=5, 所以,曲线y=f(x)在点(2,1)处的切线的方程为y-1=5(x-2),即5x-y-9=0. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y+2=0,则f'(1)等于(　　) A.4　　　　　　　　　　B.-4 C.-2 D.2 D 由导数的几何意义知f'(1)=2. 2.曲线y=x3-3x在点(2,2)处的切线斜率是(　　) A.9 B.6 C.-3 D.-1 A ∵Δy=(2+Δx)3-3(2+Δx)-23+6=9Δx+6(Δx)2+(Δx)3, ∴=9+6Δx+(Δx)2, ∴[9+6Δx+(Δx)2]=9, 由导数的几何意义可知,曲线y=x3-3x在点(2,2)处的切线斜率是9. 3.如图,曲线y=f(x)在点(2,2)处的切线为直线l,直线l经过原点O,则f'(2)+f(2)=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 由题意,f(2)=2,且f'(2)==1, 所以f'(2)+f(2)=1+2=3. 4.已知曲线y=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则P点坐标为　　　　　.  (3,30) 令f(x)=2x2+4x,设点P(x0,2+4x0), 则f'(x0)= ==4x0+4, 令4x0+4=16,得x0=3,∴P(3,30). 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.若=x2,则f(x)的导函数f'(x)等于(　　) A.2x　　　　　　　　　 B.x3 C.x2 D.3x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 由导数的定义可知,f'(x)==x2. 2.已知曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线斜率为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 k==5. 3.设f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a=(　　) A.2 B.-2 C.3 D.不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 因为f'(1)==a=2,所以a=2. 4.在区间(0,1)上,若f'(x)>1,则下列四个图中,能表示函数y=f(x)的图象的是 (　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 根据导数值与切线斜率的关系可知,在区间(0,1)上时,函数图象在任意一点处的切线斜率恒大于1,则显然B,C,D不合题意,对A选项,函数在(0,0)处的切线斜率等于1,且在(0,1)上,切线斜率不断增大,则f'(x)>1恒成立,故A正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是-1,那么在点A的切线方程是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x+y-3=0 13 ∵切线的斜率为k=-1,∴在点A(1,2)的切线方程为y-2=-(x-1), 即x+y-3=0. 6.已知直线AB是函数y=f(x)图象的一条割线(如图所示),f'(x)是函数f(x)的导函数,若a=2f'(3),b=2f'(5),c=f(5)-f(3),则关于a,b,c排序正确的是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a<c<b 13 由图象知f(x)在(0,+∞)上单调递增,又过点(3,f(3))和点(5,f(5))的直线的斜率为,由导数的几何意义,知f'(3)为曲线y=f(x)在(3,f(3))处的切线方程的斜率,f'(5)为曲线y=f(x)在(5,f(5))处的切线方程的斜率,得f'(3)<<f'(5), 即2f'(3)<f(5)-f(3)<2f'(5),即a<c<b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.已知曲线y=2x2-7在点P处的切线方程为8x-y-15=0,求切点P的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:设切点P(m,n),切线斜率为k, 由y'=(4x+2Δx)=4x, 得k=y'|x=m=4m.由题意可知4m=8,∴m=2. 代入y=2x2-7得n=1,故所求切点P为(2,1). 8.函数y=f(x)的图象如图所示.   (1)求割线PQ的斜率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)由题设,割线PQ过(1,1),(5,4),则斜率kPQ=. (2)当点Q沿曲线向点P运动时,割线PQ的斜率会变大还是变小? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解: (2)由曲线从左到右,由陡变缓,即P到Q过程中的切线斜率在变小,而PQ间任意两点的割线斜率都在Q,P处切线斜率范围内, 对于割线PQ,Q向P运动过程中其斜率逐渐变大,并无限接近P点处切线斜率, 所以当点Q沿曲线向点P运动时,割线PQ的斜率会变大. [B组　关键能力练] 9.若曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是(　　) A.(-∞,-1) B.(-1,1) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 y=x+上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率 k=y' <1,即k<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知f(x)=3x2,f'(x0)=6,则x0的值为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 ∵f'(x0)=(6x0+3Δx)=6, ∴x0=1. 11.若可导函数f(x)的图象过原点,且满足=-1,则f'(0)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 13 ∵f(x)图象过原点,∴f(0)=0, ∴f'(0)==-1. 12.已知曲线f(x)=. (1)求过点A(1,0)的切线方程; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)f'(x)=, 设过点A(1,0)的切线的切点为P, 则f'(x0)=-,即该切线的斜率k=-, 因为点A(1,0),P在切线上,所以, 解得x0=,故切线的斜率k=-4, 故曲线过点A(1,0)的切线方程为y=-4(x-1),即4x+y-4=0. 13 解: (2)设斜率为-, 由(1),知k=f'(a)=-,得a=±, 所以切点坐标为, 故满足斜率为-(x-)或y+(x+), 即x+3y-2=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)求满足斜率为-的曲线的切线方程. [C组　素养培优练] 13.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:由=2x+Δx, 得y'= (2x+Δx)=2x. 设切点为P(x0,y0), 则切线斜率为k=y'=2x0, 由点斜式得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0). 又因为切线过点(1,a),且y0=+1, 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以a-(+1)=2x0(1-x0), 即-2x0+a-1=0. 因为切线有两条, 所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0, 解得a<2. 故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,且实数a的取值范围是(-∞,2). 13 (2)求曲线C过点(1,1)的切线方程. [分析] (2)曲线f(x)过点M(x0,y0)的切线方程:可设切点为(x1,y1),由解出x1,进而确定过点M的切线方程为y-y0= f'(x1)(x-x0),再化为一般式即可.特别地,如果曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线垂直于x轴,则此时导数f'(x0)不存在,由切线定义可知,切线方程为x=x0. $$