5.2.3 简单复合函数的导数 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.2.3 简单复合函数的导数 01 复习导入 导数的四则运算法则 一般地，对于两个可导函数和， 复习导入 02 简单复合函数的导数 探究1：如何求函数的导数? 现有方法无法求出它的导数.主要原因如下： (1)用定义不能求出极限； (2)该函数不是基本初等函数，没有求导公式； (3)该函数不是基本初等函数的和、差、积、商形式． 新知讲解 问题：函数可以用基本初等函数表示吗? 若设，则可以看成是由 和经过“复合”得到的，即可以通过中间变量表示为 自变量的函数. 如果把与的关系记作，和的关系记作， 那么这个“复合”过程可表示为 新知讲解 复合函数 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数. 记作：. 新知讲解 【例1】指出下列函数的复合关系. (1) (2) (3) (4) 例题剖析 举一反三 【练习】指出下列函数的复合关系. (1) (2) 探究2：如何求函数的导数? 方法一： 方法二：令，. 则 故. 新知讲解 复合函数的导数法则 一般地，对于由和复合而成的函数， 它的导数与函数，的导数间的关系为 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 新知讲解 【例2】求下列函数的导数： (1) (2) (3) 例题剖析 规律方法 求复合函数的导数的步骤： (1)分层.选择中间变量，写出内、外层函数； (2)分别求导.分别求内、外层函数的导数； (3)相乘.将求导结果相乘； (4)回代变量.把中间变量回代. 举一反三 【练习】求下列函数的导数： (1) (2) 【例3】求曲线上的点到直线的最短距离. 例题剖析 举一反三 【练习】曲线在点(0，1)处的切线与直线平行，且与 直线的距离为，求直线的方程. 03 课堂小结 课堂小结 简单复合函数的导数 $