5.2.3 简单复合函数的导数 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.2.3 简单复合函数的导数 学习目标 学科素养 1.进一步运用导数公式与导数运算法则求函数的导数.(重点) 2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.(重点、难点) 数学抽象 直观想象 数学运算 人教A版2019选择性必修第二册 基本初等函数的导数公式 复习导入 导数的四则运算法则 复习导入 探究新知 这个函数不是由基本初等函数通过四则运算得到的，因此无法通过导数的四则运算法则来求导，具体如何进行该函数的求导，下面，我们先分析这个函数的结构特点． 探究新知 探究新知 复合函数的概念 探究新知 探究新知 以表示的导数，表示的导数，表示的导数. 问题4：的导数与与这两个函数的导数有何关系？ = = = 探究新知 复合函数的求导法则 探究新知 例6 求下列函数的导数: 解: 教材P79 探究新知 例6 求下列函数的导数: 解: 教材P79 探究新知 例7 解: 教材P80 探究新知 题型一 复合函数与导数的四则运算综合求导问题 例题 求下列函数的导数： 解： 探究新知 题型一 复合函数与导数的四则运算综合求导问题 例题 求下列函数的导数： 解： 探究新知 题型一 复合函数与导数的四则运算综合求导问题 例题 求下列函数的导数： 解： 探究新知 题型二 复合函数导数在切线中的应用 例题 解： 探究新知 解： 题型二 复合函数导数在切线中的应用 练习 探究新知 题型三 抽象复合函数的导数 例题 探究新知 题型三 抽象复合函数的导数 例题 AC 探究新知 题型三 抽象复合函数的导数 例题 课堂小结 复合函数的概念 复合函数的求导法则 作业布置 1.教材P81练习2、3题. 2.导学案:P68-P70. 3.课时作业（十九）. 作业本：教材P81练习1. 变式训练 求下列函数的导数: 详解 作业本：教材P81练习1. 课后作业 变式训练 求下列函数的导数: 详解 作业本：教材P81练习1. 课后作业 变式训练 求下列函数的导数: 详解 作业本：教材P81练习1. 课后作业 变式训练 求下列函数的导数: 详解 作业本：教材P81练习1. 课后作业 变式训练 求下列函数的导数: 详解 作业本：教材P81练习1. 课后作业 变式训练 求下列函数的导数: 详解 作业本：教材P81练习1. 课后作业 问题1：如何求函数的导数呢? 若设，则． 从而可以看成是由 和经过 “复合”得到的，即可以通过中 间变量表示为自变量的函数． 如果把与的关系记作， 与的关系记作，那么 这个“复合”过程可表示为 问题2：函数的解析式具有怎样的结构特征？ 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数(composite function)，记作． 以表示对的导数,表示对的导数,表示对的导数． 问题3：如何求复合函数的导数呢? 你能用导数的运算法则求出函 数的导数吗?它与函数的导数有什么关系? 一般地，对于由函数和复合而成的函数， 它的导数与函数，的导数间的关系为 ． 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 某个弹簧振子在振动过程中的位移 (单位：mm)与 时间 (单位：s)之间的关系为 ． 求函数 在 时的导数，并解释它的实际意义． 函数 可以看作函数 和 的复合函数，根据复合函数的求导法则，有 ． 当 时， ． 它表示当 时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s． (1)；(2)；(3)；(4) (1) (2). (1)；(2)；(3)；(4) (3) (1)；(2)；(3)；(4) (4)方法一 ：设， 方法二：， 曲线在处的切线与直线平行，且与 直线的距离为，求直线l的方程． ， ． ∵切线与直线平行，∴设直线的方程为， 根据题意，得，或． ∴直线l的方程为或． 因为，所以，设切点为， 则， 所以，解得， 所以，即切线的斜率为. 故答案为： 曲线的一条切线经过点,则该切线的斜率为 . 一般地，对于由函数和复合而成的函数， 它的导数与函数，的导数间的关系为 ． 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数(composite function)，记作． (1)函数 可以看作函数 和 的复合函数． ． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． (2)函数 可以看作函数 和 的复合函数， ． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 函数 可以看作函数 和 的 复合函数， ． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． (4)函数 可以看作函数 和 的复合函数， ． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 函数 可以看作函数 和 的 复合函数， ． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． (6)函数 可以看作函数 和 的复合函数， ． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． $