精品解析：吉林长春市九台区第一中学、农安县实验中学等校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试卷

高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章8.5. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，用斜二测画法画出的水平放置的直观图为，且，则（ ） A. 8 B. 4 C. 6 D. 3 4. 三棱柱的9条棱所在的直线中，与直线是异面直线的直线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 某游艇从地出发向北航行了一段距离到达地，然后从地向东偏南方向航行了40到达地，且地在地北偏东方向上，则地与地之间的距离为（取）（ ） A. 30 B. 50 C. 60 D. 80 6. 已知圆锥和圆台的高相等，圆锥的底面半径与圆台的上底面半径相等，圆台的下底面半径等于圆台的上底面半径的2倍，则该圆锥与该圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 从长度为2，4，5，7的4条线段中选出3条线段首尾相连构成三角形，则该三角形的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定的 8. 若向量，满足，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点P，直线l，n，平面，则下列结论正确的是（ ） A. 经过P和l，有且只有一个平面 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则l平行于内的任意一条直线 10. 已知点，向量，且是直角三角形，则t的值可能为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 11. 已知的内角的对边分别为，且，为线段上的一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周长为 C. 若为的中线，则 D. 若为的角平分线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________． 13. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则解的个数为________． 14. 在正四棱锥中，，是侧棱上靠近的四等分点，一只蚂蚁从出发沿该正四棱锥的表面爬行到，设该蚂蚁爬行的最短路径长度为，则_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求外接圆的面积； （2）若，求的面积． 16. 已知复数． （1）若为实数，求m的值； （2）若为纯虚数，求； （3）证明：在复平面内对应的点位于第四象限． 17. 如图，在正方体中，、、分别是、、的中点． （1）证明：，，、四点共面． （2）若是线段CG上的动点，证明：平面． 18. 如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点均在圆O上，E为边BC的中点． （1）用表示． （2）求． （3）若P为圆O上的一个动点，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求a． （2）已知． （i）证明：． （ii）求bc的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章8.5. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法和除法运算及共轭复数的定义求解即可. 【详解】， 故共轭复数为. 2. 若向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若向量， 则在上的投影向量为. 3. 如图，用斜二测画法画出的水平放置的直观图为，且，则（ ） A. 8 B. 4 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】斜二测画法中，轴与轴的夹角为，即， 已知，，则， 又因在轴上，则在中，. 4. 三棱柱的9条棱所在的直线中，与直线是异面直线的直线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】三棱柱如图， 与直线是异面直线的直线为，，共2条. 5. 某游艇从地出发向北航行了一段距离到达地，然后从地向东偏南方向航行了40到达地，且地在地北偏东方向上，则地与地之间的距离为（取）（ ） A. 30 B. 50 C. 60 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由题意知，，，. 在中，由正弦定理得，， 所以， 即地与地之间的距离为60. 6. 已知圆锥和圆台的高相等，圆锥的底面半径与圆台的上底面半径相等，圆台的下底面半径等于圆台的上底面半径的2倍，则该圆锥与该圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥及圆台的体积公式求解即可. 【详解】由题意可设圆锥和圆台的高为，圆锥的底面半径与圆台的上底面半径为， 则圆台的下底面半径为. . . 所以. 7. 从长度为2，4，5，7的4条线段中选出3条线段首尾相连构成三角形，则该三角形的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定的 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形两边的关系可知能构成三角形的组合有,两种，利用余弦定理求出最大角的余弦值即可判断. 【详解】根据三角形两边的关系可知能构成三角形的组合有：,， 当三边分别为时，最大角的余弦值为,此时该三角形为钝角三角形； 当三边分别为时，最大角的余弦值为,此时该三角形为钝角三角形. 综上,该三角形的形状为钝角三角形. 8. 若向量，满足，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，夹角为， 因为， 所以 解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点P，直线l，n，平面，则下列结论正确的是（ ） A. 经过P和l，有且只有一个平面 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则l平行于内的任意一条直线 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间中线面关系的性质依次判断选项即可. 【详解】对于A，当点时，则经过P和l有无数个平面；故A错误； 对于B，根据空间中交点在交线可得：若，则，故B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则与内的直线平行或者异面，故D错误. 10. 已知点，向量，且是直角三角形，则t的值可能为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 【答案】BD 【解析】 【详解】，； ，. 为直角三角形，或或. 当时，，即，，解得. 当时，，即，，解得. 当时，，即，，即， ，方程无解. 综上所述，t的值为1或5. 11. 已知的内角的对边分别为，且，为线段上的一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周长为 C. 若为的中线，则 D. 若为的角平分线，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，所以，A正确． 由，得．由余弦定理，得， 所以的周长为，B正确． ，得，C错误． 由，得，得，D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则和模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数 13. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则解的个数为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，结合，得到只有一解，即可得到答案. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得， 因为，所以只有一个解，所以解的个数为1个. 14. 在正四棱锥中，，是侧棱上靠近的四等分点，一只蚂蚁从出发沿该正四棱锥的表面爬行到，设该蚂蚁爬行的最短路径长度为，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】把正四棱锥的侧面或底面，展成一个平面图形，利用余弦定理，即可求解. 【详解】根据题意，若该蚂蚁从侧面爬行，把正四棱锥的侧面和，沿展开成一个平面图形， 如图1所示，可得， 因为点是上靠近的四等分点，且，可得， 在中，由余弦定理得， 即该蚂蚁爬行的最短路径长度为； 若该蚂蚁经过底面，把正四棱锥的侧面和底面，沿展开成一个平面图形， 如图2所示，可得，， 因为点是上靠近的四等分点，且， 在中，由余弦定理得， 即该蚂蚁爬行的最短路径长度为； 则. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求外接圆的面积； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得答案； （2）利用正弦定理和和角公式求出，结合三角形的面积公式可得答案. 【小问1详解】 设外接圆的半径为，由正弦定理可得，即， 所以外接圆的面积为. 【小问2详解】 由可得，因为，所以为锐角， 所以， 所以， 所以的面积为. 16. 已知复数． （1）若为实数，求m的值； （2）若为纯虚数，求； （3）证明：在复平面内对应的点位于第四象限． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据实数的定义即可求解； （2）根据纯虚数的定义即可求解； （3）根据复数的几何意义即可证明. 【小问1详解】 ， 因为为实数，所以，得． 【小问2详解】 因为为纯虚数，所以 解得．故． 【小问3详解】 ． 因为， 所以在复平面内对应的点位于第四象限． 17. 如图，在正方体中，、、分别是、、的中点． （1）证明：，，、四点共面． （2）若是线段CG上的动点，证明：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，得到，即可证明四点共面. （2）取中点，连接，，根据面面平行的判定定理得到平面平面，即可得到平面. 【小问1详解】 证明：连接，正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为、分别是、的中点，所以， 所以. 又两条平行线确定一个平面，所以，，、四点共面. 【小问2详解】 取中点，连接，. 正方体中，、为中点，则，， 所以四边形为平行四边形，所以. 正方形中，，， 又、为中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以. 又平面，平面，所以平面. 由（1）知，，同理可得，平面. 又，，平面，所以平面平面. 又平面，所以平面. 18. 如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点均在圆O上，E为边BC的中点． （1）用表示． （2）求． （3）若P为圆O上的一个动点，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）是， 【解析】 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则，结合E为边BC的中点、O是对角线中点，将用线性表示； （2）将（1）中的向量表达式代入点积运算，利用与垂直、模长已知的条件，得到的计算结果 （3）建立平面直角坐标系，设出各点与P点坐标，展开模长平方和，代入圆方程化简，得定值. 【小问1详解】 根据向量加法的三角形法则，是中点，， 因此. 是正方形中心，也是对角线中点，， 因此. 【小问2详解】 正方形边长为2，故，且，即，. 展开点积计算得 . 【小问3详解】 建立平面直角坐标系，设，则圆心，圆半径为， 则圆方程为. 设动点，展开模长平方和 . 代入，得. 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求a． （2）已知． （i）证明：． （ii）求bc的最大值． 【答案】（1） （2）(i) 证明见上述过程；(ii)的最大值为 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理，将已知等式中的正弦转化为边，进而求解； （2）（i）先利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再使用三角形内角和，结合三角函数的半角公式、和角公式，将已知的正弦关系转化为半角正切的形式； （ii）将化为，结合以及基本不等式可得到，从而推出，再结合余弦定理以及基本不等式即可求解的最大值． 【小问1详解】 由正弦定理，可得， 已知，三角形中，得：； 【小问2详解】 （i）已知，在中，， 故，得， 左边变形： ， 右边变形：， 左右相等，且，约去公因子得：， 又，代入上式得： 两边同除以，得： ，得证； （ii） ， 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立，则， 所以， 又，则， 而，当且仅当时，等号成立， 故，当且仅当时，两等号同时成立， 故可得，即的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $