10.1.4 概率的基本性质 知识归纳与试题检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以问题式知识归纳为引领，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖概率性质从单一应用到多性质综合的进阶路径，适配新授课知识内化与推理能力培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|概率性质1-4（单一应用）|通过次品率计算（单选1）、互斥事件概率（填空12）等题，强化定义理解与直接运算，培养抽象能力| |能力提升|性质3-6（互斥/对立/加法公式综合）|以事件关系辨析（多选9）、概率范围求解（单选4）为题，深化推理意识，提升逻辑思维| |综合应用|多性质交叉（含实际情境）|结合产品抽取（解答15）、射击命中（解答17）等模型，培养数据意识与实际问题解决能力，体现模型观念|

10.1.4　概率的基本性质 知识归纳与试题检测(学生版) 问题式教材知识归纳 概率的基本性质： 性质1对任意的事件，都有______. 性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即. 性质3如果事件与事件互斥，那么______ 推广：如果事件两两互斥，那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即 性质4如果事件与事件互为对立事件，那么  ，_______ 性质5如果，那么. 性质6设是一个随机试验中的两个事件，我们有______ 基于教材的检测题 一、单选题 1．某厂产品的次品率为2%，估算该厂8000件产品中合格品的件数为（   ） A．7840 B．160 C．7998 D．1600 2．设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 3．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 4．设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知事件，互斥，且，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知随机事件互斥，且，，则等于（   ） A． B．0.4 C．0.5 D．0.7 7．已知，则下列结果正确的是（） A． B． C． D． 8．已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数大于5”记为事件C．下列说法正确的是（   ） A． B． C．A与C互斥 D． 10．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记录每次朝上的点数，设事件为“没有出现3点”，事件为“至少出现一次5点”，事件为“两个点数之和为7”，则下列说法正确的有（　　） A．与不互斥 B． C． D． 11．已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A． B． C．若A与B互斥，则 D．一定有 三、填空题 12．已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则________． 13．已知A、B为互斥事件，且，则______． 14．设，是一个实验的两个事件，，，，则________． 四、解答题 15．从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件为“抽到的是一等品”，事件为“抽到的是二等品”，事件为“抽到的是三等品”，且已知，，，求下列事件的概率： (1)事件为“抽到的是一等品或三等品”； (2)事件为“抽到的是二等品或三等品”． 16．已知随机事件满足，若事件互斥，则和的关系是什么？的值是多少？ 17．某人射击1次命中7~10环的概率如下表： 命中环数 7 8 9 10 命中概率 0.23 0.27 0.19 0.16 (1)求射击1次，至少命中7环的概率； (2)求射击1次，命中不足7环的概率. 18．某商店月收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表： 月收入范围 概率 0.12 0.25 0.16 0.14 (1)求月收入在范围内的概率； (2)求月收入在范围内的概率； (3)求月收入不在范围内的概率． 19．一个袋中有12个小球，它们共有4种颜色，分别是红、黑、黄、绿．从中任取1球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是．试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1.4　概率的基本性质 知识归纳与试题检测(详解版) 问题式教材知识归纳 概率的基本性质： 性质1对任意的事件，都有______. 性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即. 性质3如果事件与事件互斥，那么______ 推广：如果事件两两互斥，那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即 性质4如果事件与事件互为对立事件，那么  ，_______ 性质5如果，那么. 性质6设是一个随机试验中的两个事件，我们有______ 【答案】 基于教材的检测题 一、单选题 1．某厂产品的次品率为2%，估算该厂8000件产品中合格品的件数为（   ） A．7840 B．160 C．7998 D．1600 【答案】A 【分析】利用概率的意义求解即可. 【详解】，所以估算该厂8000件产品中合格品的件数为. 故选：A. 2．设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，任意事件的概率都满足，故成立； 对于B，因是事件的对立事件，则，所以，故成立； 对于C，因为，则事件包含事件所有的样本点，所以，故成立； 对于D，由，仅能说明事件和事件的并集为样本空间，但并未说明事件和事件是否互斥， 由概率的加法公式，因此，只有当，即时，才成立，故不一定成立. 3．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ． 4．设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率的性质以及互斥事件的概率公式可得出关于实数的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】因为、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，， 由题意可得，解得， 由互斥事件的概率公式可得， 由题意可得，解得， 故的取值范围是. 故选：A. 5．已知事件，互斥，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由互斥事件的概率公式和对立事件概率计算公式即可求解. 【详解】， 又， 所以， 所以， 故选：D 6．已知随机事件互斥，且，，则等于（   ） A． B．0.4 C．0.5 D．0.7 【答案】D 【分析】因为和互斥，由求出，再由，可得到答案. 【详解】因为和互斥， 所以， 又，所以， 因为， 所以. 故选：D. 7．已知，则下列结果正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据事件的互斥，对立关系逐个分析选项. 【详解】对于A， ， ，A选项错误； 对于B，，B选项正确； 对于C，，C选项错误； 对于D，，D选项错误； 故选：B 8．已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由和事件概率计算公式即可求解. 【详解】要求事件至少有一个发生的概率，即求和事件， 根据容斥原理： ， 因为 ，且， 所以 ，概率非负，故， 代入已知条件：， 所以. 二、多选题 9．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数大于5”记为事件C．下列说法正确的是（   ） A． B． C．A与C互斥 D． 【答案】AC 【分析】用列举法列举出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得即可判断A、B、D选项，根据互斥事件的概念可判断C选项. 【详解】样本空间为，事件，事件，事件. ，A选项正确； ，B选项错误； ∵，∴与互斥，C选项正确； ∵，∴， 而，则D选项错误； 故选：AC. 10．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记录每次朝上的点数，设事件为“没有出现3点”，事件为“至少出现一次5点”，事件为“两个点数之和为7”，则下列说法正确的有（　　） A．与不互斥 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】列举所有基本事件，根据互斥事件的定义可判定A，由古典概型概率公式，即可结合选项逐一求解BCD. 【详解】根据题意，抛掷两次，则样本空间 ，共有36个样本点． 事件的样本空间 ； 事件的样本空间 ，， ； 事件的样本空间 ； 因为事件的样本空间， 事件与事件能同时发生，所以与不互斥，故A正确； 事件有11个样本点，所以，故B错误； 事件有6个样本点，所以，故C正确； 因为事件的样本空间，有2个样本点，所以故D正确； 故选：ACD 11．已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A． B． C．若A与B互斥，则 D．一定有 【答案】ABC 【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 又且，则， 所以，即，故B正确； 对于C，因为A与B互斥，所以， 则，故C正确； 对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”， 则满足，，但不成立，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 12．已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则________． 【答案】 【分析】利用对立事件和互斥事件的概率公式求解即可． 【详解】因为事件和互斥，， 所以， 因为事件和都不发生的概率为， 所以，所以， 所以． 13．已知A、B为互斥事件，且，则______． 【答案】0.2/ 【分析】利用互斥事件和的概率公式求得再利用对立事件的概率求解即得. 【详解】因为为互斥事件，则， 所以. 14．设，是一个实验的两个事件，，，，则________． 【答案】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式可得，再利用概率的基本公式，，，将其代入上式，建立关于的方程，进而求解。 【详解】因为和是互斥事件，根据互斥事件概率加法公式可得： . ，即， ，即， 代入整理得： ， 代入，， 得， 解得：. 四、解答题 15．从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件为“抽到的是一等品”，事件为“抽到的是二等品”，事件为“抽到的是三等品”，且已知，，，求下列事件的概率： (1)事件为“抽到的是一等品或三等品”； (2)事件为“抽到的是二等品或三等品”． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用互斥事件的概率加法公式计算求解； （2）应用互斥事件的概率加法公式计算求解. 【详解】（1）∵事件与事件是互斥事件．∴由互斥事件的概率加法公式得： （2）∵事件与事件是互斥事件，∴由互斥事件的概率加法公式得： 16．已知随机事件满足，若事件互斥，则和的关系是什么？的值是多少？ 【答案】答案见解析． 【分析】根据互斥事件的概念及性质求解即可. 【详解】若事件互斥，则， 则. 17．某人射击1次命中7~10环的概率如下表： 命中环数 7 8 9 10 命中概率 0.23 0.27 0.19 0.16 (1)求射击1次，至少命中7环的概率； (2)求射击1次，命中不足7环的概率. 【答案】(1)0.85 (2)0.15 【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式求相应的概率； （2）利用对立事件的概率之间的关系，求对应事件的概率. 【详解】（1）记射击1次命中k环为事件，，，则事件彼此互斥. 记射击1次至少命中7环为事件A，则. （2）记射击1次命中不足7环为事件B，事件A，B对立，则. 18．某商店月收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表： 月收入范围 概率 0.12 0.25 0.16 0.14 (1)求月收入在范围内的概率； (2)求月收入在范围内的概率； (3)求月收入不在范围内的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用互斥事件概率和公式计算求解； （2）应用互斥事件概率和公式计算求解； （3）应用对立事件概率公式及互斥事件概率和公式计算求解； 【详解】（1）记这个商店月收入在，，，范围内的事件分别为，，，，则这4个事件彼此互斥． 月收入在范围内的概率是 （2）月收入在范围内的概率是 （3）月收入不在范围内的概率是 19．一个袋中有12个小球，它们共有4种颜色，分别是红、黑、黄、绿．从中任取1球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是．试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 【答案】得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，， 【分析】利用互斥事件、对立事件的概率公式计算即可. 【详解】从袋中任取1球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为，，，， 则有，， ． 解得，，． 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，． 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $