专题24 古典概型、概率的基本性质8题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题24 古典概型、概率的基本性质8题型分类 一、随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 二、古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 三、古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其 中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 四、概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). （一） 古典概型的判断 古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 题型1：古典概型的判断 1．（2025高一·全国月考）下列不是古典概型的是（    ） A．在6个完全相同的小球中任取1个 B．任意抛掷两颗骰子，所得点数之和作为样本点 C．已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个，从中任意取出1个球，观察球的颜色 D．从南京到北京共有n条长短不同的路线，求某人正好选中最短路线的概率 2．（2025高一·全国·单元测试）以下试验不是古典概型的有（    ） A．从6名同学中，选出4名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性大小 B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率 C．近三天中有一天降雪的概率 D．3个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率 3．（2025高一·全国月考）下列试验是古典概型的是（    ） A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 （二） 古典概型概率的计算 求古典概型概率的步骤 (1)确定样本空间的样本点的总数n. (2)确定所求事件A包含的样本点的个数m. (3)P(A)＝. 在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便. 题型2：古典概型概率的计算 4．（2025高三·河南信阳·期末）为防控新冠疫情，很多公共场所要求进入的人必须佩戴口罩．现有人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·浙江·期末）从2至7的6个整数中随机取3个不同的数，则这三个数作为边长可以构成三角形的概率为（    ） A．70% B．65% C．60% D．50% 6．（2025高一·全国月考）抛掷两颗骰子，求： (1)点数之和是4的概率； (2)点数之和小于4的概率； (3)点数差的绝对值为3的概率． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.经历了120天全生命周期的水稻和拟南芥种子，也一起搭乘飞船返回舱从太空归来.我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养.若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，则水稻种子被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A． B． C． D． 9．（2025·贵州毕节·模拟预测）两名学生均打算只去甲､乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市是等可能的，则不去同一城市上大学的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（2025高二·四川乐山月考）四川乐山沙湾区是一个人杰地灵的好地方，大文豪郭沫若先生就出生于此地.乐山沫若中学高二（7）班文学小组的同学们计划在郭老先生的5部历史剧《屈原》《凤凰涅槃》《孔雀胆》《蔡文姬》《高渐离》中，随机选两部排练节目参加艺术节活动，则《凤凰涅槃》恰好被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 题型3：根据古典概型概率求参数 11．（2025高一·浙江月考）在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 ． 12．（2025高一·全国月考）从一个不透明的口袋中摸出一个球为红球的概率为，已知袋中红球有3个，则袋中共有除颜色外完全相同的球的个数为 ． 13．（2025高一·北京朝阳·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和n个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，若取出的2个球颜色不同的概率为，则n的所有可能取值为 ． 14．（2025高二·陕西西安月考）管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内捞出60条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有 条鱼. 15．（2025高一·江苏南京·期末）在一次机器人比赛中，有供选择的型机器人和型机器人若干，从中选择一个机器人参加比赛，型机器人被选中的概率为，若型机器人比型机器人多4个，则型机器人的个数为 . 题型4：有放回与无放回概率问题 16．（2025高一·全国月考）某商场做促销活动，顾客每购满100元可抽奖一次．在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球，其中3个红球、1个黑球、1个黄球．某顾客购满100元，可抽奖一次． (1)若从中依次不放回地取出2个球，取出的球中有黄球，则送一件价值10元的礼品，求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率； (2)若从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，当取出的2个球中没有红球时，送一件价值50元的礼品，问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗？ 17．（2024高二·黑龙江佳木斯月考）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为 . 18．（2025高二·山东·期中）袋中装有形状大小完全相同的5个小球，其中2个白球，2个红球，1个黄球.先后从中不放回的抽取两个小球，若每抽到一个白球、红球、黄球分别得分，则两次得分之和为0分的概率为 ． 19．（2025高二·吉林白城·期末）有4张面值相同的债券，其中有2张是中奖债券． (1)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (2)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (3)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率； (4)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率 20．（2025高二·北京顺义·期中）从2名男生（记为和）和3名女生（记为和）组成的总体中，任意依次抽取2名学生. (1)不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. (2)有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. 21．（2025高二·内蒙古赤峰月考）—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 题型5：古典概型与其他知识交汇 22．（2025高二·上海·期中）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问100名职工，根据这100名职工对该部门的评分，绘制如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为.    (1)求图中的值； (2)估计该企业100名职工对该部门评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求这2人评分都在的概率. 23．（2025·安徽滁州·模拟预测）从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，适当分组后结果整理如下表： 月用电量（kW·h） 用户数量 频率 20 0.3 40 0.2 由于表格受损，只能看到部分数据． (1)求的值并计算月用电量不低于的居民用户的频率； (2)为深入研究月用电量不低于的居民用户月用电情况，按分层随机抽样从中抽取了9户进行调查，求在这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户月用电量在区间内的概率． 24．（2025高一·江西月考）某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数； (3)从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率. 25．（2025高三·上海青浦月考）去年上海进口博览会智能科技展区，主办方统计了20天的每日接待客户人数（单位：人次），并制作了如下茎叶图：    (1)求这组数据的第16、第70百分位数； (2)现从这20天中随机抽取1天，求这天的接待人数在50人次至69人次之间的概率； (3)主办方预计今年进博会期间，该展区日均接待人数将同比增长15%.假设接待人数的分布情况与去年相同，试估计今年进博会期间（同样为20天），接待人数超过70人次的天数所占比例，并说明理由. （三） 互斥事件与对立事件概率公式的应用 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤 (1)确定各事件彼此互斥. (2)求各事件分别发生的概率，再求其和. 题型6：互斥事件概率公式的应用 26．（江西省南昌市外国语学校2024-2025学年高一学期3月联考数学试题）已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（    ）． A． B． C． D． 27．（2025高一·全国·假期作业）已知口袋内有一些大小相同的红球、白球和黄球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.4，摸出的球是红球或黄球的概率为0.9，则摸出的球是黄球或白球的概率为（    ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.6 28．（2025高一·新疆乌鲁木齐·期末）已知，，如果，那么（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 29．（2025高三·全国月考）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7：对立事件概率公式的应用 30．（2025·陕西榆林·模拟预测）围棋起源于中国，是一种策略型两人棋类游戏，中国古时称“弈”，属琴棋书画四艺之一．现有一围棋盒子中有多枚黑子和白子，若从中取出2枚都是黑子的概率是0.1，都是白子的概率是0.3，则从盒中任意取出2枚恰好一黑一白的概率是（    ） A．0.4 B．0.6 C．0.1 D．0.3 31．（2025高一·全国月考）从一箱分为四个等级的产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到次品（一等品、二等品、三等品都属于合格品）”的概率为（    ） A．0.7 B．0.65 C．0.3 D．0.05 32．（2025高一·山东潍坊月考）某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1.则此射手在一次射击中不够8环的概率为（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.6 D．0.9 33．（2025高二·辽宁月考）甲乙两人玩掷硬币的游戏，已知硬币是均匀的，即任何一次掷得正面和掷得反面的概率都是．甲掷次，乙掷次，并规定：掷得正面的次数多者获胜．设甲获胜的概率为，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 （四） 互斥、对立事件与古典概型的综合应用 求复杂事件的概率通常有两种方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件. (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率. 题型8：互斥、对立事件与古典概型的综合应用 34．（2025高一·河南驻马店月考）已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 35．（2025高二·河北石家庄·期末）某学生从外地回家，他乘坐火车、汽车、飞机的概率分别是. (1)他乘坐火车或飞机回家的概率是多少？ (2)他不乘坐火车回家的概率是多少？ 36．（2024高一·全国月考）在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18，在[80,89]的概率是0.51，在[70,79]的概率是0.15，在[60,69]的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算： (1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率； (2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率． 37．（2025高一·全国月考）某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)； (2)抽取1张奖券中奖概率； (3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率. 一、单选题 1．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知一个古典概型试验中，样本空间包含10个样本点，事件包含3个样本点，则事件发生的概率为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2．（24-25高二下·湖南长沙·期中）某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得的2张卡片上的数字，设抽得的第1张卡片上的数字大于第2张卡片上的数字为事件Q，则事件Q含有的样本点个数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．15 4．（24-25高二下·陕西西安·期中）连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量与向量的夹角的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·辽宁丹东·期中）袋中装有除颜色外其他完全相同的红、黄球各1个，现从中随机取1个球，记录球的颜色后放回，并且往袋中放入2个与取出的球颜色相同的球，以此规则取球，则第三次取到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则在一次试验中，事件发生的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·贵州铜仁·模拟预测）抛掷两枚质地均匀的骰子，记两枚骰子的点数均是奇数的概率为，两枚骰子的点数均是偶数的概率为，两枚骰子点数奇偶不同的概率为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2025高三·全国·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．对立事件一定是互斥事件 B．若A，B为两个随机事件，则 C．若事件A，B，C彼此互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B是对立事件 9．（24-25高二上·云南曲靖·期中）连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，，记，则下列说法错误的是（   ） A．事件“”的概率为 B．事件“是奇数”的概率为 C．事件“”与“”互为对立事件 D．事件“是奇数”与“”互为互斥事件 10．（2025高三·全国·专题练习）某高中高一学生从物、化、生、政、史、地六科中选三科组合，其中选物、化、生组合的学生有600人，选物、化、地组合的学生有400人，选政、史、地组合的学生有250人，其他组合均无人选．现从高一学生中选取25人作样本调研情况．为保证调研结果相对准确，下列判断正确的是（   ） A．用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取物、化、生组合的学生12人 B．用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取政、史、地组合的学生5人 C．物、化、生组合学生小张被选中的概率比物、化、地组合学生小王被选中的概率大 D．政、史，地组合学生小刘被选中的概率为 三、填空题 11．（24-25高二下·上海·期中）一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，从中随机一次性取出2个小球，求取出的2个小球上数字之和为偶数的概率是 ． 12．（2025·河北沧州·模拟预测）现有一枚质地均匀的骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），投掷两次此骰子，则骰子上面的点数之和为3的整数倍的概率为 . 13．（2025高三·全国·专题练习）我国传统历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节包含六个节气，如春季包含立春、雨水、惊热、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是 ． 14．（24-25高一上·山东威海·期末）某学校体育部有5名学生干部，其中高一2名，高二3名．从这5名学生中随机选2名组织校体育活动，则这2名学生来自不同年级的概率为 ． 15．（24-25高二下·上海闵行·期中）设事件A、B是互斥事件，且，则 . 16．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知事件A与事件B互斥，如果，，那么 ． 17．（2026高三·全国·专题练习）为有效落实家校共育，某校派出教师进行家访，了解家庭对孩子的教育情况．一个月内派出的教师人数及其概率如表所示： 派出人数 3 4 5 概率 0.36 0.3 0.2 0.04 则该校本月至多派出3名教师进行家访的概率为 ． 四、解答题 18．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖. (1)请以标号写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）； (2)求两种规则下获得二等奖的概率； (3)请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由. 19．（24-25高一上·河南南阳·期末）某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． 20．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知集合，，若分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，二次函数.记事件A为“是二次函数的单调递增区间”，事件B为“是二次函数的单调递减区间”. (1)求数对的样本空间中所含样本点的个数； (2)分别求事件A、事件B的概率； (3)求事件A、事件B至少一个发生的概率. 21．（2024高三·全国·专题练习）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)求甲、乙两人摸出的两个球编号之和为6的概率； (2)这种游戏规则公平吗？试说明理由. 22．（24-25高一下·江西景德镇·期中）有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，． (1)若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率； (2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题24 古典概型、概率的基本性质8题型分类 一、随机事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 二、古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 三、古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其 中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 四、概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). （一） 古典概型的判断 古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 题型1：古典概型的判断 1．（2025高一·全国月考）下列不是古典概型的是（    ） A．在6个完全相同的小球中任取1个 B．任意抛掷两颗骰子，所得点数之和作为样本点 C．已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个，从中任意取出1个球，观察球的颜色 D．从南京到北京共有n条长短不同的路线，求某人正好选中最短路线的概率 【答案】B 【分析】利用古典概型的条件判断. 【解析】选项A中，在6个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且该试验包含的基本事件其有6个，故A符合古典概型； 选项B中，由于点数的和出现的可能性不相等，故B不是古典概型； 选项C中，该试验满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型； 选项D中，满足古典概型的有限性和等可能性，故D是古典概型． 故选：B 2．（2025高一·全国·单元测试）以下试验不是古典概型的有（    ） A．从6名同学中，选出4名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性大小 B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率 C．近三天中有一天降雪的概率 D．3个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率 【答案】C 【分析】A，B，D适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C选项不满足等可能性． 【解析】A选项，从6名同学中，选出4名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性相等，满足有限性和等可能性，是古典概型； B选项中，同时同时掷两枚骰子，点数和为7的事件是不可能事件，有限性和等可能性，是古典概型； C选项中，不满足等可能性，不是古典概型； D选项中，3个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率，满足有限性和等可能性，是古典概型． 故选：C． 3．（2025高一·全国月考）下列试验是古典概型的是（    ） A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 【答案】C 【分析】根据古典概型的特征依次判断即可. 【解析】对于A，横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限样本空间特征，故该选项错误； 对于B，命中0环，1环，2环…，10环的概率不相同，不满足等可能性特征，故该选项错误； 对于C，人数有限，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的，故该选项正确； 对于D，“发芽”与“不发芽”的概率不一定相等，不满足等可能性特征，故该选项错误； 故选：C. （二） 古典概型概率的计算 求古典概型概率的步骤 (1)确定样本空间的样本点的总数n. (2)确定所求事件A包含的样本点的个数m. (3)P(A)＝. 在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便. 题型2：古典概型概率的计算 4．（2025高三·河南信阳·期末）为防控新冠疫情，很多公共场所要求进入的人必须佩戴口罩．现有人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列举基本事件，再利用古典概型的概率公式求解. 【解析】从蓝、白、红、黑、绿5种颜色的口罩中选3只不同颜色的口罩，基本事件列举如下： （蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），（蓝红黑），（蓝红绿），（蓝黑绿），（白红黑），（白红绿），（白黑绿），（红黑绿），共有10个基本事件， 其中蓝、白口罩同时被选中的基本事件有（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），共含3个基本事件， 所以蓝、白口罩同时被选中的概率为． 故选：A. 5．（2025高三·浙江·期末）从2至7的6个整数中随机取3个不同的数，则这三个数作为边长可以构成三角形的概率为（    ） A．70% B．65% C．60% D．50% 【答案】B 【分析】利用组合知识求出一共有的情况数，再用列举法求出这三个数作为边长可以构成三角形的情况数，从而求出概率. 【解析】6个整数中取3个不同的数，共有种情况， 三个数作为边长可构成三角形的有，共有13种情况， 所以概率为 故选：B 6．（2025高一·全国月考）抛掷两颗骰子，求： (1)点数之和是4的概率； (2)点数之和小于4的概率； (3)点数差的绝对值为3的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）抛掷两颗骰子，计算出总的基本事件，然后列出点数之和为4包含的基本事件，由此能求出点数之和为4的概率． （2）列出点数之和小于4的基本事件，由此能求出点数之和小于4的概率． （3）列出点数差的绝对值为3的基本事件，由此能求出点数差的绝对值为3的概率． 【解析】（1）抛掷两颗骰子，基本事件的总数， 点数之和为4包含的基本事件有：（1，3），（2，2），（3，1），共3个， 所以点数之和为4的概率； （2）点数之和小于4的包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），共3个， 所以点数之和小于4的概率； （3）点数差的绝对值为3的基本事件有：（1，4），（2，5），（3，6），（4，1），（5，2），（6，3），共6个， 所以点数差的绝对值为3的概率； 7．（2025·陕西西安·模拟预测）12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.经历了120天全生命周期的水稻和拟南芥种子，也一起搭乘飞船返回舱从太空归来.我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养.若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，则水稻种子被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率. 【解析】设水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦分别为， 则共有：10种情况， 满足条件的有4种情况，则. 故选：D 8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确随机数代表的含义，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【解析】由题意可知经随机模拟产生的12组随机数中， 这三组表示三次投篮恰有两次命中， 故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为， 故选：A. 9．（2025·贵州毕节·模拟预测）两名学生均打算只去甲､乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市是等可能的，则不去同一城市上大学的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出所有的可能性（甲，甲）（甲，乙）（乙，甲）（乙，乙），再找出去不同城市的可能性（甲，乙）（乙，甲），即可求出概率. 【解析】两名学生均打算只去甲､乙两个城市中的一个上大学， 所有的可能性有（甲，甲）（甲，乙）（乙，甲）（乙，乙），共4种可能， 其中不去同一城市上大学的情况为（甲，乙）（乙，甲）共2种可能，故概率为. 故选：C. 10．（2025高二·四川乐山月考）四川乐山沙湾区是一个人杰地灵的好地方，大文豪郭沫若先生就出生于此地.乐山沫若中学高二（7）班文学小组的同学们计划在郭老先生的5部历史剧《屈原》《凤凰涅槃》《孔雀胆》《蔡文姬》《高渐离》中，随机选两部排练节目参加艺术节活动，则《凤凰涅槃》恰好被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对5部历史剧编号，利用列举法求出概率作答. 【解析】记5部历史剧《屈原》《凤凰涅槃》《孔雀胆》《蔡文姬》《高渐离》分别为a，b，c，d，e， 从5部历史剧中随机选两部的试验含有的基本事件有：，共10个结果， 《凤凰涅槃》恰好被选中的事件含有的基本事件有：，共4个结果， 所以《凤凰涅槃》恰好被选中的概率. 故选：B 题型3：根据古典概型概率求参数 11．（2025高一·浙江月考）在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 ． 【答案】10 【分析】由古典概型概率公式得方程，求解即可. 【解析】根据题意， 从袋中随机摸出一个红球的概率是， 所以. 故答案为：10 12．（2025高一·全国月考）从一个不透明的口袋中摸出一个球为红球的概率为，已知袋中红球有3个，则袋中共有除颜色外完全相同的球的个数为 ． 【答案】15 【分析】根据古典概型的概率公式和摸出红球的概率，列出方程求解即可求出所求. 【解析】设袋中的球共有个，其中有3个红球，则摸出一个球为红球的概率为 ， 根据题意有 ，解得． 故答案为：15． 13．（2025高一·北京朝阳·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和n个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，若取出的2个球颜色不同的概率为，则n的所有可能取值为 ． 【答案】2或8 【分析】先求出取出的2个球颜色不同的概率，再解方程求解即可. 【解析】由题意知，取出的2个球颜色不同的概率为， 化简得，解得或8. 故答案为：2或8. 14．（2025高二·陕西西安月考）管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内捞出60条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有 条鱼. 【答案】900 【分析】估计该池塘内共有n条鱼，利用等可能事件概率计算公式列方程，能求出n的值. 【解析】解：估计该池塘内共有n条鱼， 则， 解得n=900. 故答案为：900. 15．（2025高一·江苏南京·期末）在一次机器人比赛中，有供选择的型机器人和型机器人若干，从中选择一个机器人参加比赛，型机器人被选中的概率为，若型机器人比型机器人多4个，则型机器人的个数为 . 【答案】8 【分析】首先设型机器人个，型机器人个，由条件列方程组，即可求解. 【解析】设型机器人个，型机器人个， 则 ，解得：，. 故答案为：8 题型4：有放回与无放回概率问题 16．（2025高一·全国月考）某商场做促销活动，顾客每购满100元可抽奖一次．在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球，其中3个红球、1个黑球、1个黄球．某顾客购满100元，可抽奖一次． (1)若从中依次不放回地取出2个球，取出的球中有黄球，则送一件价值10元的礼品，求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率； (2)若从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，当取出的2个球中没有红球时，送一件价值50元的礼品，问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗？ 【答案】(1) (2)不会超过20% 【分析】（1）设3个红球的编号为1,2,3，黑球为，黄球为，写出一次性摸出2个球的所有可能，结合古典概型公式即可求解. （2）写出从袋中连续取两次球，每次取一球后放回，则所有包含的基本事件，结合古典概型概率公式，从而可求出取出的两个球中没有红球，即可判断. 【解析】（1）3个红球的分别记为1，2，3，1个黑球记为a，1个黄球记为b． 从袋中依次不放回地取出2个球，所包含的样本点为（1，2），（1，3），（2，3），（1，a），（2，a），（3，a），（1，b），（2，b），（3，b），（a，b），（2，1），（3，1），（3，2），（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），共20个， 有黄球的样本点为（1，b），（2，b），（3，b），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），共8个，所以这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率为． （2）从袋中连续取两次球，每次取1球后放回，所包含的样本点为（1，1），（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，1），（2，2），（2，3），（2，a），（2，b），（3，1），（3，2），（3，3），（3，a），（3，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，a），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），（b，b），共25个， 取出的2个球中没有红球的样本点为（a，a），（a，b），（b，a），（b，b），共4个， 所以这位顾客能获得一件价值50元的礼品的概率为， 所以这位顾客获得一件价值50元的商品的可能性不会超过20%． 17．（2024高二·黑龙江佳木斯月考）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为 . 【答案】/ 【分析】利用古典概型概率计算公式可得结果. 【解析】从5张卡片中无放回随机抽取2张共有种情况； 抽到的2张卡片上的数字之和是偶数需满足两张同是偶数或同是奇数， 同为偶数共有种情况，同为奇数共有种情况； 因此所求概率为. 故答案为：. 18．（2025高二·山东·期中）袋中装有形状大小完全相同的5个小球，其中2个白球，2个红球，1个黄球.先后从中不放回的抽取两个小球，若每抽到一个白球、红球、黄球分别得分，则两次得分之和为0分的概率为 ． 【答案】/0.3 【分析】分别求出试验“从中不放回的抽取两个小球”和事件“两次得分之和为0分”所含的样本点数，利用古典概型概率公式即可求得. 【解析】不妨记2个白球，2个红球，1个黄球依次为, 则试验“从袋中不放回的抽取两个小球”的样本空间为： ， 则事件 “两次得分之和为0分”包含的样本点组成的集合为 由古典概型概率公式，可得两次得分之和为0分的概率为. 故答案为：. 19．（2025高二·吉林白城·期末）有4张面值相同的债券，其中有2张是中奖债券． (1)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (2)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (3)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率； (4)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先列举出所有基本事件，再根据条件求随机事件的概率； （2）由（1）的表格，分考虑顺序和不考虑顺序求解； （3）由（1）的表格，结合古典概型的概率公式求解； （4）分考虑顺序和不考虑顺序结合古典概型的概率公式求解. 【解析】（1）将4张面值相同的债券分别记作，规定是中奖债券，则有放回地取出2张债券的所有结果列表如下： 可见所有结果数共16种，取出的2张是中奖的债券和债券的结果数有4种，故所求概率是． （2）我们知道，无放回地抽取可考虑顺序，可不考虑顺序． 如果考虑顺序的话，我们可以在（1）中的表格里去掉对角线上的，得到的就是所有结果数，为12， 而取出的2张是中奖的债券和债券的结果有2种，故所求概率是； 如果不考虑顺序的话，可以在（1）中的表格里要么只取对角线以上的几种情况，要么只取对角线以下的几种情况． 这时可以看出所有结果数有6种，当然结果数还可以用列举法得到，而取出的2张是中奖的债券和债券的结果只有1种，故所求概率是． （3）有放回地抽取，由（1）中的表格可以看出所有结果数是16，至少有1张中奖的结果数是12，所以所求概率是． （4）无放回地抽取，借助（2）的分析解答，考虑顺序的话所有结果数是12，至少有1个中奖的结果数是10，所以此时的概率是； 不考虑顺序的话所有结果数是6，至少有1个中奖的结果数是5，所以所求概率是． 20．（2025高二·北京顺义·期中）从2名男生（记为和）和3名女生（记为和）组成的总体中，任意依次抽取2名学生. (1)不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. (2)有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过列举法，写出不放回时抽取2名学生的所有可能结果，再从中找出抽到2人为1名男生和1名女生的结果，由古典概型的概率计算公式即可得到结果； （2）通过列举法，写出有放回时抽取2名学生的所有可能结果，再从中找出抽到2人为1名男生和1名女生的结果，由古典概型的概率计算公式即可得到结果； 【解析】（1）从5名学生中，不放回地任意依次抽取2名学生的所有可能结果为： ， 共20种结果. 设事件为抽到的2人为1名男生和1名女生，则事件发生的所有可能结果为： ，共12种结果. 由古典概型的概率计算公式得：， 即不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为. （2）有放回简单随机抽样抽取2名学生的所有可能结果为： ，共25种结果. 设事件为抽到的2人为1名男生和1名女生，则事件发生的所有可能结果为： ，共12种结果. 由古典概型的概率计算公式得：， 即有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为. 21．（2025高二·内蒙古赤峰月考）—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，用列举法写出摸出的2球的情形，再由古典概型概率公式即可计算概率； （2）用列表法表示出2次摸的情形，再由古典概型概率公式即可计算概率. 【解析】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2， 则任意摸出2个球的样本空间有：红1红2，红1红3，红1白1，红1白2，红2红3，红2白1，红2白2，红3白1，红3白2，白1白2共10个样本点， 其中2球均为白球事件的样本点只有1个，因此2个球都是白球概率为； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，列表如图所示： 第2次摸球第1次摸球 红1 红2 红3 白1 白2 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，红3） （红1，白1） （红1，白2） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，红3） （红2，白1） （红2，白2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，红3） （红3，白1） （红3，白2） 白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，红3） （白1,白1） （白1,白2） 白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，红3） （白2,白1） （白2,白2） 所以搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球事件的样本空间共有25个样本点，它们出现的可能性相同， 其中满足事件“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”的样本点有12个，所以. 题型5：古典概型与其他知识交汇 22．（2025高二·上海·期中）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问100名职工，根据这100名职工对该部门的评分，绘制如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为.    (1)求图中的值； (2)估计该企业100名职工对该部门评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求这2人评分都在的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率的和为1可求的值. （2）根据频率分布直方图估计数据的平均数. （3）先求出评分在，的受访职工人数，再根据古典概型概率计算公式求概率. 【解析】（1）因为，解得：. （2）因为：， 所以估计该企业100名职工对该部门评分的平均数为. （3）因为评分的受访职工有人，评分的受访职工有人，从这10人中任选2人，这2人评分都在的概率为： . 23．（2025·安徽滁州·模拟预测）从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，适当分组后结果整理如下表： 月用电量（kW·h） 用户数量 频率 20 0.3 40 0.2 由于表格受损，只能看到部分数据． (1)求的值并计算月用电量不低于的居民用户的频率； (2)为深入研究月用电量不低于的居民用户月用电情况，按分层随机抽样从中抽取了9户进行调查，求在这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户月用电量在区间内的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据月用电量在内的用户数量及频率求得，再求出月用电量在区间内用户数量，进而得月用电量不低于用户数量，求出其频率即可； （2）根据分层抽样方法，求出月用电量在区间，，的居民用户数，再根据古典概率求解方法求出概率即可. 【解析】（1）， 月用电量在区间内的居民用户有户， 所以月用电量不低于的居民用户有户， 其频率为． （2）月用电量在区间，，的居民用户各有户， 按分层随机抽样从中随机抽取9户，则月用电量在区间，，的居民用户各有3，4，2户， 从这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户居民用户月用电量在区间内的概率． 24．（2025高一·江西月考）某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数； (3)从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据频率的性质求 ，再根据平均数运算求解； （2）分位数表示频率分布直方图中从第一组开始往后累加的矩形面积之和为0.4, 运算即可求解. （3）先根据分层抽样求参赛成绩在的人数，再结合古典概型运算求解. 【解析】（1）第一至第五组对应的频率分别为；； ；；， 所以，解得， 所以参赛歌手的平均成绩为分. （2）由，， 得参赛歌手成绩的分位数为分. （3）由，得这6人中参赛成绩在的人数为人，分别记为，，，； 在的人数为人，分别记为，. 在这6个人中抽取2个人，共，，，，，，，，，，，，，，，15个基本事件， 这2名歌手比赛成绩在和内各1人，共，，，，，，，，8个基本事件， 故这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率为. 25．（2025高三·上海青浦月考）去年上海进口博览会智能科技展区，主办方统计了20天的每日接待客户人数（单位：人次），并制作了如下茎叶图：    (1)求这组数据的第16、第70百分位数； (2)现从这20天中随机抽取1天，求这天的接待人数在50人次至69人次之间的概率； (3)主办方预计今年进博会期间，该展区日均接待人数将同比增长15%.假设接待人数的分布情况与去年相同，试估计今年进博会期间（同样为20天），接待人数超过70人次的天数所占比例，并说明理由. 【答案】(1)45，64.5 (2) (3)40%，理由见解析 【分析】（1）由百分位数的计算公式即可求解； （2）由古典概型概率公式即可求解； （3）由同比增长15%，计算出接待人数超70人次的天数，即可判断； 【解析】（1）注意到，， 因此，第16、70百分位数分别是： 序列表中的第4个值、（第14＋第15数值） 即分别为：45、64.5 （2）现从这20天中随机抽取1天， 在50和69之间的数据点数量，这些值是： 51，53，54，56，57，59，60，62，64，65，68 有11个这样的值. 由于总共有20个数据点，因此所求概率是： （3）由于接待人数的分布情况与去年相同， 日均接待人数将同比增长15%，于是接待人数超70人次的天数有： ，，，， ，，…，， 合计8天 于是接待人数超过70人次的天数所占比例为： 综上，估计今年进博会期间，接待人数超过70人次的天数所占比例为40% （三） 互斥事件与对立事件概率公式的应用 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤 (1)确定各事件彼此互斥. (2)求各事件分别发生的概率，再求其和. 题型6：互斥事件概率公式的应用 26．（江西省南昌市外国语学校2024-2025学年高一学期3月联考数学试题）已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据事件A，，两两互斥，求出，进而利用求出答案. 【解析】 因为事件A，，两两互斥，所以， 所以. 故选：B． 27．（2025高一·全国·假期作业）已知口袋内有一些大小相同的红球、白球和黄球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.4，摸出的球是红球或黄球的概率为0.9，则摸出的球是黄球或白球的概率为（    ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.6 【答案】A 【分析】设摸出红球的概率为，摸出黄球的概率是，摸出白球的概率为，求出、的值，相加即可求解． 【解析】设摸出红球的概率为，摸出黄球的概率是，摸出白球的概率为， 所以，且， 所以，， 所以 故选:A. 28．（2025高一·新疆乌鲁木齐·期末）已知，，如果，那么（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【分析】由可知，，互斥，由概率的加法公式即可得出结果. 【解析】∵， ∴，互斥， ∴. 故选：A. 29．（2025高三·全国月考）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答. 【解析】因随机事件，互斥，则， 依题意及概率的性质得，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 题型7：对立事件概率公式的应用 30．（2025·陕西榆林·模拟预测）围棋起源于中国，是一种策略型两人棋类游戏，中国古时称“弈”，属琴棋书画四艺之一．现有一围棋盒子中有多枚黑子和白子，若从中取出2枚都是黑子的概率是0.1，都是白子的概率是0.3，则从盒中任意取出2枚恰好一黑一白的概率是（    ） A．0.4 B．0.6 C．0.1 D．0.3 【答案】B 【分析】根据给定的条件，利用对立事件的概率公式计算作答. 【解析】2枚都是黑子的事件记为，2枚都是白子的事件记为，显然与互斥，， 从盒中任意取出2枚恰好一黑一白的事件，其对立事件是, 所以从盒中任意取出2枚恰好一黑一白的概率. 故选：B 31．（2025高一·全国月考）从一箱分为四个等级的产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到次品（一等品、二等品、三等品都属于合格品）”的概率为（    ） A．0.7 B．0.65 C．0.3 D．0.05 【答案】D 【分析】利用概率的加法公式以及对立事件的概率即可求解. 【解析】“抽到次品”的概率： . 故选：D 32．（2025高一·山东潍坊月考）某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1.则此射手在一次射击中不够8环的概率为（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.6 D．0.9 【答案】A 【分析】由题意可知一次射击中不够8环与射中10环或9环或8环是对立事件，利用对立事件的概率公式求解即可 【解析】解：因为某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1. 所以在一次射击中不够8环的概率为， 故选：A 33．（2025高二·辽宁月考）甲乙两人玩掷硬币的游戏，已知硬币是均匀的，即任何一次掷得正面和掷得反面的概率都是．甲掷次，乙掷次，并规定：掷得正面的次数多者获胜．设甲获胜的概率为，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】设出甲掷出的正面、反面次数，乙掷出的正面、反面次数，可得所求事件的概率为，由为必然事件，且，因为硬币是均匀的，根据对称性得，从而可得. 【解析】设甲正甲掷出的正面次数，甲反甲掷出的反面次数， 乙正乙掷出的正面次数，乙反乙掷出的反面次数， 由题意可得，所求事件的概率为， 显然，为必然事件， 而，即，因为硬币是均匀的， 由对称性可得， 所以. 故选：B （四） 互斥、对立事件与古典概型的综合应用 求复杂事件的概率通常有两种方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件. (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率. 题型8：互斥、对立事件与古典概型的综合应用 34．（2025高一·河南驻马店月考）已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用概率的加法公式即可； （2）利用互斥事件的概率公式即可； （3）利用对立事件的概率公式即可. 【解析】（1）由概率的加法公式，可得， 则. （2）因事件是事件的对立事件，则， 依题意，事件与事件互斥，则， 即，解得. （3）因事件是事件和事件的交集的对立事件， 则. 35．（2025高二·河北石家庄·期末）某学生从外地回家，他乘坐火车、汽车、飞机的概率分别是. (1)他乘坐火车或飞机回家的概率是多少？ (2)他不乘坐火车回家的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解； （2）根据题意，结合对立事件的概率计算公式，即可求解. 【解析】（1）解：由题意，某学生乘坐火车、汽车、飞机的概率分别是，且彼此互斥的， 所以他乘坐火车或飞机回家的概率是. （2）解：由题意，他乘坐火车回家的概率为， 根据对立事件的概率计算公式，可得不乘坐火车回家的概率. 36．（2024高一·全国月考）在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18，在[80,89]的概率是0.51，在[70,79]的概率是0.15，在[60,69]的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算： (1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率； (2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率． 【答案】(1)0.84 (2)0.93 【分析】（1）小明的成绩不低于70分可以看作互斥事件“[70,79]”“[80,89]”“不低于90分”的并事件，结合互斥事件概率公式求解即可. （2）方法一：小明数学考试及格可以看作互斥事件“[60,69]”“[70,79]”“[80,89]”“不低于90分”的并事件，结合互斥事件概率公式求解即可. 方法二：小明数学考试及格可以看作“不及格(在60分以下)”这一事件的对立事件．结合对立事件概率公式求解即可. 【解析】（1）分别记小明的成绩“不低于90分”“[80,89]”“[70,79]”“[60,69]”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥． 则小明的成绩不低于70分的概率是. （2）解法一：小明数学考试及格的概率是. 解法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是. 37．（2025高一·全国月考）某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)； (2)抽取1张奖券中奖概率； (3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解； （3）根据题意，结合对立事件的概率计算公式，即可求解. 【解析】（1）解：因为每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个， 所以. （2）解：设“抽取1张奖券中奖”为事件D， 则. （3）解：设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E， 则. 一、单选题 1．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知一个古典概型试验中，样本空间包含10个样本点，事件包含3个样本点，则事件发生的概率为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率公式可求解. 【详解】根据古典概型概率公式可得： . 故选：C. 2．（24-25高二下·湖南长沙·期中）某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型概率公式即可求解. 【详解】箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得的2张卡片上的数字，设抽得的第1张卡片上的数字大于第2张卡片上的数字为事件Q，则事件Q含有的样本点个数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．15 【答案】B 【分析】由题意利用列表，列举出所以有情况，从中选出符合题目的情况，可得答案. 【详解】如表所示，表中点的横坐标表示抽得的第1张卡片上的数字，纵坐标表示抽得的第2张卡片上的数字， 1 2 3 4 5 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） 则事件． 所以事件Q中含有10个样本点． 故选：B. 4．（24-25高二下·陕西西安·期中）连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量与向量的夹角的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定的可能组合数，由题设列举出的可能组合，即可求概率. 【详解】由题设，向量的可能组合有36种， 要使向量与向量的夹角，则，即 满足条件的情况如下： 时, 时, 时, 时, 时, 综上，共有15种，故向量与向量的夹角的概率是 故选：D. 5．（24-25高二下·辽宁丹东·期中）袋中装有除颜色外其他完全相同的红、黄球各1个，现从中随机取1个球，记录球的颜色后放回，并且往袋中放入2个与取出的球颜色相同的球，以此规则取球，则第三次取到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记取到红球为事件，取到黄球为事件，则第三次取到红球的情况有四种情况，分别计算概率求和即可. 【详解】记取到红球为事件，取到黄球为事件，则第三次取到红球的概率 . 故选：B. 6．（2025高三·全国·专题练习）掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则在一次试验中，事件发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用互斥事件及对立事件的概率计算公式求解即可. 【详解】依题意 表示“出现5点或6点”的事件，因此事件与互斥， 从而． 7．（2025·贵州铜仁·模拟预测）抛掷两枚质地均匀的骰子，记两枚骰子的点数均是奇数的概率为，两枚骰子的点数均是偶数的概率为，两枚骰子点数奇偶不同的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用列举法求出三个概率，再比较大小． 【详解】随机掷两枚质地均匀的骰子共有36个基本事件，它们发生的可能性相等． 其中向上的点数均是奇数的基本事件共有9个， 分别是∴ 点数均是偶数的基本事件共有9个，分别是∴． 两枚骰子点数奇偶不同的概率为． ∴． 故选：B． 二、多选题 8．（2025高三·全国·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．对立事件一定是互斥事件 B．若A，B为两个随机事件，则 C．若事件A，B，C彼此互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B是对立事件 【答案】AB 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案． 【详解】对于A，根据对立事件与互斥事件的关系，可知A显然是正确的； 对于B，当与是互斥事件时，才有，对于任意两个事件A，B，满足，所以B正确； 对于C，事件A，B，C彼此互斥，但不一定是全体样本空间，故不一定等于1，还可能小于1； 对于D，只要等于全体样本空间，必定有，但事件与不一定互斥,故D错误． 故选：AB 9．（24-25高二上·云南曲靖·期中）连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，，记，则下列说法错误的是（   ） A．事件“”的概率为 B．事件“是奇数”的概率为 C．事件“”与“”互为对立事件 D．事件“是奇数”与“”互为互斥事件 【答案】AC 【分析】利用列举法和古典概型概率公式可得A错误，B正确，再由互斥事件、对立事件的概念可知C错误，D正确. 【详解】连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数有： ，， ，， ，，共36种； 对于A，事件“”所包含的基本事件为，，，，，，，，共8个， 所以事件“”的概率为，即A错误； 对于B，事件“是奇数”的共有18个，因此事件“是奇数”的概率为，可得B正确； 对于C，易知的所有取值为， 当时，可知事件“”与“”可以同时发生，因此C错误； 对于D，若，则，此时是偶数， 因此“是奇数”与“”不可能同时发生，互为互斥事件，可得D正确. 故选：AC 10．（2025高三·全国·专题练习）某高中高一学生从物、化、生、政、史、地六科中选三科组合，其中选物、化、生组合的学生有600人，选物、化、地组合的学生有400人，选政、史、地组合的学生有250人，其他组合均无人选．现从高一学生中选取25人作样本调研情况．为保证调研结果相对准确，下列判断正确的是（   ） A．用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取物、化、生组合的学生12人 B．用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取政、史、地组合的学生5人 C．物、化、生组合学生小张被选中的概率比物、化、地组合学生小王被选中的概率大 D．政、史，地组合学生小刘被选中的概率为 【答案】ABD 【分析】根据分层抽样，计算各层抽取的人数以及抽样比，再结合古典概型概率计算即可得出答案. 【详解】用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取物、化、生组合的学生为（人），故A正确； 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取政、史、地组合的学生为（人），故B正确； 根据按比例分配的分层随机抽样的特征知，每位同学被选中的概率相等，均为，故C错误； 由C知，每位同学被选中的概率均为，故D正确． 故选：ABD 三、填空题 11．（24-25高二下·上海·期中）一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，从中随机一次性取出2个小球，求取出的2个小球上数字之和为偶数的概率是 ． 【答案】/0.4 【分析】直接利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】从五个球中任取两个， 共有种取法， 其中1，3；1，5；2，4；3，5四种取法数字之和为偶数， 利用古典概型可得取出的小球标注的数字之和为偶数的概率是， 故答案为：. 12．（2025·河北沧州·模拟预测）现有一枚质地均匀的骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），投掷两次此骰子，则骰子上面的点数之和为3的整数倍的概率为 . 【答案】 【分析】依次求出投掷两次此骰子的所有情况和点数之和为3的整数倍的情况即可由古典概型计算得解. 【详解】根据题意，投掷两次此骰子一共有种情况， 其中骰子上面的点数之和为3的整数倍的情况有 ，共12种， 所以骰子上面的点数之和为3的整数倍的概率为. 故答案为： 13．（2025高三·全国·专题练习）我国传统历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节包含六个节气，如春季包含立春、雨水、惊热、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是 ． 【答案】/ 【分析】利用古典概型的概率公式即可. 【详解】甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中抽一个，是等可能的，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为． 故答案为： 14．（24-25高一上·山东威海·期末）某学校体育部有5名学生干部，其中高一2名，高二3名．从这5名学生中随机选2名组织校体育活动，则这2名学生来自不同年级的概率为 ． 【答案】/ 【分析】列出所有的样本空间以及满足题意的情况数，根据古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】2名高一学生干部记为：a，b；3名高二学生干部记为：，，， 则样本空间 共含有10个样本点， 设事件表示“这2名学生来自不同年级”， 则包含，即， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故答案为：. 15．（24-25高二下·上海闵行·期中）设事件A、B是互斥事件，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意，利用互斥事件的概率加法公式，进行计算，即可求解. 【详解】根据题意，由互斥事件的概率加法公式，可得. 故答案为：. 16．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知事件A与事件B互斥，如果，，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据互斥事件的概率加法公式求解. 【详解】因为事件A与事件B互斥， 所以， 故答案为： 17．（2026高三·全国·专题练习）为有效落实家校共育，某校派出教师进行家访，了解家庭对孩子的教育情况．一个月内派出的教师人数及其概率如表所示： 派出人数 3 4 5 概率 0.36 0.3 0.2 0.04 则该校本月至多派出3名教师进行家访的概率为 ． 【答案】0.46 【分析】用对立事件关系，即可求出结果. 【详解】由题表得，该校本月至少派出4名教师进行家访的概率为， 所以至多派出3名教师进行家访的概率为． 故答案为：0.46. 四、解答题 18．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖. (1)请以标号写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）； (2)求两种规则下获得二等奖的概率； (3)请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)两种规则获奖的概率一样大，理由见解析 【分析】（1）直接列举所有结果； （2）（3）根据古典概型求解概率即可. 【详解】（1）两次抽取小球的所有可能结果为： ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， （2）记规则一中获得二等奖为事件，记规则二中获得二等奖为事件， 事件包含，，，，五个样本点， 故， 事件包含，，，，五个样本点， 故. （3）规则二获奖概率大. 理由如下：记规则一获得一，二，三等奖分别为事件，，， 规则二获得一，二，三等奖分别为事件，，, 事件包含，两个样本点，. 事件包含，，，，，，，，，，，十二个样本点， . 所以规则一获奖的概率 ， 事件包含，两个样本点，； 事件包含，，，，，，，，，，，，（在中已经记录，不再计算），十二个样本点，. 所以规则二获奖的概率 ， ∴所以两种规则获奖的概率一样大. 19．（24-25高一上·河南南阳·期末）某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由题意，列出不放回地抽取2张卡片，抽取的所有可能结果，满足条件的事件是连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生，包括两种情况，一是一男一女，二是两女，这两种情况是互斥的，方法1：根据古典概型概率公式得到结果；方法2 ：得出取出的2人全是男生包含的样本点个数，再利用对立事件求出概率； （2）①试验发生包含的事件是有放回地连续抽取2张卡片，列举出所有的事件共有25种结果，找出满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果；②“选出的不全是男生”其对立事件为“选出的全是男生”，求出包含的样本点个数，再求出概率. 【详解】（1）把抽取2张卡片的结果记为，其中i表示第一次抽取的卡片号，j表示第二次抽取的卡片号． 依题意，不放回地抽取2张卡片，抽取的所有可能结果为： ， ， ， ， ， 共有20种可能的结果． 用事件A表示“选出的2人不全是男生”． 方法1：  依题意知事件A包含的样本点有 ， ，共有14种可能的结果， 因此，，即选出的2人不全是男生的概率为． 方法2 ： 依题意知事件A的对立事件 “取出的2人全是男生”包含的样本点有 ，共有6种可能的结果， 因此，，即选出的2人不全是男生的概率为． （2）抽取的所有可能结果为： ， ， ， ， ， 共有25种可能的结果． 设事件B表示“独唱和独奏由同一个人表演”， 则事件B所包含的样本点有，共有5种可能的结果， 因此，，即独唱和独奏由同一个人表演的概率为． 设事件C表示“选出的不全是男生”，其对立事件C表示“选出的全是男生”， 包含的样本点有，共有9种可能的结果， 因此，，即选出的不全是男生的概率为． 20．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知集合，，若分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，二次函数.记事件A为“是二次函数的单调递增区间”，事件B为“是二次函数的单调递减区间”. (1)求数对的样本空间中所含样本点的个数； (2)分别求事件A、事件B的概率； (3)求事件A、事件B至少一个发生的概率. 【答案】(1)16 (2)， (3) 【分析】（1）由样本点的概念即可求解； （2）根据事件写出各自事件发生时的等价条件，即可得到各自事件发生时数对的样本点个数，从而求得各自事件发生的概率； （3）因为两个事件不可能同时发生，所以至少一个发生的概率为各自发生概率之和. 【详解】（1）数对的样本空间中所含样本点的个数个. （2）函数的对称轴为， 对于事件，则，即,因, 则满足事件的数对有，，共3个，故； 对于事件，则，则，满足事件的数对有，，，,，,共个，故. （3）由（2）可知，事件发生时有，事件发生时有，则事件与事件互斥， 则事件A、事件B至少一个发生的概率. 21．（2024高三·全国·专题练习）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)求甲、乙两人摸出的两个球编号之和为6的概率； (2)这种游戏规则公平吗？试说明理由. 【答案】(1) (2)这种游戏规则不公平，理由见解析 【分析】（1）设“甲、乙两人摸出的两个球编号之和为6”为事件，然后列举出事件包含的基本事件，并得到数量，再计算出甲、乙二人取出的数字共有数量，然后得到事件的概率； （2）设“甲胜”为事件，“乙胜”为事件，然后列举出事件所包含的基本事件及数量，由此得到事件的概率，由对立事件求出事件的概率，从而判断游戏的公平性. 【详解】（1）设“甲、乙两人摸出的两个球编号之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为，，，，共5个，又甲、乙二人取出的数字共有（个）等可能的结果，所以； （2）这种游戏规则不公平. 设“甲胜”为事件，“乙胜”为事件， 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：，，，，，，，，，，，，. 所以甲胜的概率， 从而乙胜的概率， 由于，所以这种游戏规则不公平. 22．（24-25高一下·江西景德镇·期中）有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，． (1)若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率； (2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用列举法列出从乙盒中任取两张卡片所有的取法，列举出取函数的定义域不同的取法，根据古典概型概率公式可求得所求的概率． （2）列举出从甲、乙两盒中各取一张卡片所有的取法．再由是偶函数，是奇函数，是减函数，是增函数，得出恰为“奇遇”的取法，根据古典概型概率公式可求得所求的概率. 【详解】（1）乙盒中的4个函数 ，，，分别记为， 从乙盒中任取两张卡片，所有的取法为，共种， 又函数，的定义域均为，函数的定义域为， 函数的定义域为， 所取函数的定义域不同的取法有，共5种， 所以这两张卡片上的函数的定义域不同的概率为． （2）把甲盒中的奇函数、偶函数、增函数、减函数分别记为奇、偶、增、减， 则从甲、乙两盒中各取一张卡片有（奇，1），（奇，2），（奇，3），（奇，4）， （偶，1），（偶，2），（偶，3），（偶，4），（增，1），（增，2），（增，3）， （增，4），（减，1），（减，2），（减，3），（减，4）， 共16种取法． 又是偶函数，是奇函数，是减函数，是增函数， 恰为“奇遇”的有（偶，1），（奇4），（减，2），（增，3），共4种， 所以“奇遇”的概率为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$