11.2二次根式的乘除（第3课时分母有理化） 课件2025-2026学年苏科版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦二次根式的分母有理化及最简二次根式，承接二次根式化简与乘除运算，通过分母含根号的实例引出问题，以二次根式除法性质为基础，构建“旧知回顾-新知探索-例题应用”的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和分层例题培养数学思维与语言，通过尝试填空、例题解析及中考真题练习，归纳分母有理化步骤与最简二次根式条件，助力学生提升运算能力与推理意识，为教师提供清晰教学脉络和丰富资源。

八年级苏科版数学下册 第十一章 二次根式 11.2二次根式的乘除 第三课时 分母有理化 学习目标 1、掌握分母有理化的不同方法并熟练运用最简二次根式。 2、了解最简二次根式满足的条件，会求最简二次根式。 学习重点：确定分母有理化因式。 学习难点：运用分母有理化化简二次根式。 前面我们学习了二次根式的化简、乘除运算，大家会发现一个问题： 在数学规定中：二次根式的最终结果，分母不能含有根号。 很多计算结果会出现分母带有根号的形式，例如：。 这样的式子书写麻烦、不方便比较大小，也不符合数学最简形式的要求。 那怎样把分母中的根号去掉，把式子化成最简形式呢？ 这节课，我们就一起来学习 ——分母有理化。 想一想: （1） （2） ＝ ？ ＝ ？ (a≥0， b＞0), (a≥0， b＞0). 知识回顾 思考： 1．如何化去 的被开方数中的分母呢？ 2．如何化去 的被开方数中的分母呢？ 获取新知 Diamond (D) - 在进行二次根式除法运算时，难免会遇到被开方数含有分母或分母中 因式含有根号的情形 ． 对于初学者可以允许出现。 二、新知探索： 尝试1： 填空： （2）当a＞0时， 当一个根式的被开方数是分数或分式时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使被开方数中不含分母. 例如当 时， 3 3 3 3 3 a a a a a 6 尝试2： 填空： 例如当 时， （3）当a＞0时， 当一个式子的分母中有根号时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使分母中不含有根号. 上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化。 7 尝试 当一个根式的被开方数是分数或分式时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使被开方数中不含分母， 例如，当a≥0，b>0时，. (1) ； (2) 当a＞0时，． 3 3 3 3 a a a a 想一想 如果上面的 首先化成 ， 那么该怎样化去分母中的根号呢？ 解： ． 由上面的计算可知，当一个式子的分母中有根号时，只要分子和分母都乘适当的数或式，就可以使分母中不含根号. 教材P163 例题 化简下列各式，使被开方数中不含分母。 (1)； (2)； (3) (1) (2) (3)， ● 例5 解 尝试 当一个式子的分母中有根号时，分子、分母都乘适当的数或式，可以使分母中不含有根号. 例如，当a≥0，b>0时， 上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化. (1) ；(2) ； (3)当a＞0时，． 化简二次根式实际上就是使二次根式满足： （1）被开方数中不含分母； （2）被开方数写成乘积形式时，不含能开得尽方的因数或因式． 像 ， ， 不能作为二次根式的最后化简结果． 这样的二次根式叫作最简二次根式． 例1. 化去根号中的分母： 解：（1） （2） （3） （2） （1） （3） (x＞0， y≥0)． 注意：类似(2)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再进行化简. 例题讲解 化简下列各式，使分母有理化。 (1)； (2)； (3)。 (1)； (2)； (3) ● 例6 解 教材P164 例题 5 7 分子、分母同时乘以分母本身的根号部分，构造平方运算，消去分母中的根号。 例如，， ， 都是最简二次根式. 化简含二次根式的代数式时，一般先通过分母有理化使得代数式的分母中不含二次根式，然后将其中的每个二次根式化为最简二次根式. 新知归纳 一般地，化简二次根式就是使二次根式： （1）被开方数中不含_______； （2）分母中不含有_______； （3）被开方数写成乘积形式时，不含 ， 分母 根号 这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式(simplest quadratic radical)． 能开得尽方的因数或因式 小结： 化简二次根式实际上就是使二次根式满足： ①被开方数中不含有分母； ②分母中不含有根号； ③被开方数中不含能开得尽方的因数，因式的次数等于1； 这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式。 1、分母有理化： 使分母中不含根号的方法称为分母有理化。 2、最简二次根式： 例2. 化简下列各式，使分母中不含根号. 解:（1） （2） （3） （1） ； （2） （3） ． 运算结果必须是最简二次根式！ Diamond (D) - 例题的教学，主要是引导学 生在解决具体问题的过程中，感受到“一般地，二次根式运算的结果中，要求分母不含有根号，被开方数中也不含有分母”的意义,不要过多地进行拓展与复杂运算． Administrator (A) - 这里与教材解答过程略有不同. 在二次根式的除法的化简运算中，对于分母含有根式的，尽量先化成最简二次根式，再确定分母有理化需要添加的因式，这样比较容易看出，并且也省去了后面的约分化简. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 归纳小结 方法技巧 1、形式特征 分母是单独的二次根式，例如或(k为常数)。 2、处理方法 分子、分母同时乘以分母本身的根号部分，构造平方运算，消去分母中的根号。 3、理论依据 利用二次根式的核心性质: =a(a>0) 4、核心关键点 化简完成后必须检查分子分母是否存在公因数，若有公因数需要约分，最终结果化为最简二次根式。 二、例题讲解 例1、化简下列各式，使被开方数中不含分母. （1） ； （2） ； （3） (x>0,y≥0). 解：(1) ； (2) ； (3)当x>0,y≥0时， 。 例2、化简下列各式，使分母有理化. （1） ； （2） ；（3） . (x>0,y≥0). 解：(1) ； (2) ； (3) 当x>0,y≥0时， 基础巩固题 知识点 分母有理化 1.【2025河南安阳调研】 的倒数是( ) B A. B. C. D. 【解析】的倒数是 ，故选B. 2.【2025江苏南京期中】已知,，则与 的关系为( ) C A. B. C. D. 【解析】， ，故选C. 3.【2025江苏宿迁期末】在解决问题“已知,，用含, 的代数式 表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是 ，则下列说法正确的 是( ) A A.甲、乙、丙都对 B.只有甲、乙对 C.只有甲、丙对 D.只有甲对 【解析】,， ，故甲的结 果正确； ，故乙的结果正确； ，故丙的结果正确.故选A. 4.【2025上海闵行区质检】不等式 的解集是_ ______． 【解析】，，，，故答案为 ． 23 二次根式的除法 性质 逆用 相关概念 最简二次根式 课堂小结 核心知识点回顾 ▍ 分母有理化 通过一定的变形，化去分母中根号的过程，是根式运算的基础。 ▍ 最简二次根式 被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，是运算的最终标准。 两大核心解题法 ▍ 单项式分母 直接利用分式性质，分子分母同乘“分母本身”，消去根号。 ▍ 二项式分母 构造平方差公式，分子分母同乘“共轭因式”，从而消去根号。 核心数学思想 ▍ 化归思想 将陌生的“分母有理化”问题，通过变形转化为我们熟悉的“整式运算”或“最简根式”问题，即“化复杂为简单，化未知为已知”。 $