甘肃靖远县第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

靖远一中2025~2026学年第二学期期中考试试题 高二数学 考生注意： 1.满分150分，考优时间120分钟。 2.考生作客时，请将客震答在答题卡上，达摔超每小题选出答案后，用2B箱笔把答随卡上时 总题目的答案标号涂黑：非遮择题请用直轻0.5免来？色星水答学笔在答随卡上各眉的答题 区城内竹会，超出答题区城书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本寒伞题范国：用批版遮择性必修第二精第一章一第二章。 圜 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 m 的 合题目要求的。 1.点A(3,4.5)关于坐标平面3O:对称的点B的坐标为 蚁 A.(3.4,-5) B.(-3,4.5) C.(-3,4,-5) D.(-3,-4.-5) 长 2.函数y=c在区间[0,1]上的平均变化率为 K A.1-c B.c-1 C.1-c D.c2-1 3.在空间四边形ABCD中，下列表达式化简结果与AB相等的是 毁 部 A.AC+CD B.AC+BC C.DC+CB-DA D.AC+BD-BC 4.若八x)=c+∫(0)x,则函数八x)的函数关系式为 富 A.f(x)=c'-r B.f(r)=e'+2r 图 C.f(x)=c'-2r D./(r)=e'+r 警 5.已知a=(2.1,3),b=(0,3,3),则a在b上的投影向量为 A(0,2,2) B.(0,2,-2) C.(0,-2.2) D.(2.2.0) 6.如图是函数y=f(x)的图象，那么导函数f(x)的零点个数是 fx) 条 分过护巾 A.9 B.8 C.7 D.6 7.在三棱锥A-BCD中，若AB⊥BD,CD⊥BD,BD=1,则AC.BD= A.0.5 B.1 C.3 D.0 【高二期中考试·数学卷第1页（共4页）】 6312B 8已知实数a=n2,6=号n5,c=是则a,6.c的大小关系正确的是 A.a<c<b B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列求导正确的是 A.(x)+3 B.co)-zsin cos C.(4-sin)=4n4 D.(lg 2z)'=zln 10 1 10.下列说法中正确的是 A.若a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一组基 B.若{a,b,c}是空间的一组基，则(b十c,b一c,a)也是空间的一组基 CA,B,C三点不共线，对空间任意-点0，若O=Oi+日O成+日0元，则P,A,B,C四 点不共面 D.若P,A,B,C为空间四点，且有PA=1PB+uPC(PB,PC不共线)，则+4=1是A,B, C三点共线的充要条件 11.下列关于函数f(x)=(2x-x2)e的判断正确的是 A.f(一√2)是f(x)的极大值 B.f(W2)是f(x)的极大值 C.f(x)有最小值 D.f(x)有最大值 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.质点M按规律s(t)=(t一1)2做直线运动（位移单位：m,时间单位：s),则质点M在t=3s 时的瞬时速度为 m/s. 13.已知平面a的法向量n=(-1,2,0),且点A∈a,AP=(12.1,-4),则点P到平面a的距离 为 14.若曲线y=nx一x2十2x在x=1处的切线恰好与曲线y=c+a也相切，则a= 【高二期中考试·数学卷第2页（共4页）】 6312B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知向量a=(-1.0,1),b=(1,-2,0). (1)求a与(a-b)的夹角； (2)若2a十b与a-b垂直，求实数t的值. 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB∥CD,且CD=2,AB=1,BC=2√2， PA=2,AB⊥BC,E为CD的中点， (1)求证：AE⊥平面PAB; (2)求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值 17.(本小题满分15分) 对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx十d(a≠0).定义：①f(x)的导数为f广(x),∫(x)的导数 为f"(x),若方程”(x)=0有实数解xo,则称点(xo,f(xo)为函数y=f(x)的“拐点”；②设 x为常数，若定义在R上的函数y=f(x)对于定义域内的一切实数x,都有f(x十x)十 f(xo一x)=2f(xo)恒成立，则函数y=f(x)的图象关于点(xo,f(xo)对称. (1)已知f(x)=x3-3x2+2x十2，求函数f(x)的“拐点”A的坐标； (2)检验(1)中的函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称. 【高二期中考试·数学卷第3页（共4页）】 6312B 18.(本小题满分17分) 如图，已知平行六面体ABCD-A,B,CD,中，2AD=AA,=AB=2,∠A:AB=∠DAB= ∠DAA1=60°，AC=3NC,D,B=4Mi. (1)证明：AC1⊥BD1; D (2)求MN的长度. N M D 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(x-2)lnx十1，g(x)=x一e. (1)求函数g(x)的单调区间； (2)求函数f(x)的极值点个数； (3)证明：1<1， g(z) 【高二期中考试·数学卷第4页（共4页）】 6312B 2靖远一中20252026学年第二学期期中考试·高二数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C D A C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 10 11 答案 BCD ABD BD 1.B关于坐标平面Oyz对称的点，横坐标变换为其相反数，纵坐标、竖坐标不变.即点A(3,4,5)关于坐标平面 yO2对称的点B的坐标为（一3,4,5）.故选B. 2.D f1)-f0--1=e-1 1一0 3.CAC+Ci=AD,A错误：AC+B武≠AB,B错误；D元+C克-DA=D-DA=AB,C正确：AC+BD- B武-AC+CD=AD,D错误.故选C. 4D由fx)=e+2f0,有f0)=1+号f0,得f0)=2,放fx)=e+x 因为a=(2,13),6=(0,3,3),所以a·6=0+1X3+3X3=12,b=32,a在b上的搬影向量为9i名 号b=02,2,故选A 6.C根据f(x)的图像，找出极值点，可得∫(x)=0有7个零点.故选C. 7.B因为AB⊥BD,CDLBD,.BD=1,所以A花.Bd=(AB+BD+元)·Bd=Ai.Bd+B亦+元.BD=0+1+0 =1. &Dah2号号5。是设u>0P=字当1e时h1. T2 fh0,当心时h>1)-1<0放0-严在xE.o上单调递增，当xee,十e） 2 上单调莲减枚m=e=-故bCa-号-242-=4.6号n5=f6,又5 2 4 >4>e,∴.f(5)<f(4)<f(e),即b<a<c,故选D. CD由求导公式，(rE+e)y=(x)'=-是t=号反，A错误，(o=二csin cos= os二，B正确：(4-s血子y=(4)y=1n4,C正确：g2xy=0D正确放选BD 10.ABDA显然正确： 对于B,b十c与b-c不共线，且a不能用b十c和b一c表示，即b十c,b-c,a不共面，所以B正确： 由A,B,C三点不共线，对空间任意一点0，若可币=O1+8O成+g元，因为子+8十日-1，可得P, A,B,C四点共面，所以C错误： 若P,A,B,C为空间四点，且有Pi=入P弦+uP心(Pi,P心不共线)，当入十4=1时，即4=1-入，可得Pi PC=λ(PB+CP),即CA=λCB,所以A,B,C三点共线，反之也成立，即A十4=1是A,B,C三点共线的充要 条件，所以D正确.故选ABD. 11.BD由f(x)=(2x-x)e,得f(x)=(2-x2)e,fx)在(-∞，一2)，(W2,+∞)上是减函数，在(-√2，√2) 上是增函数，∴.f(一√2)是f(x)的极小值，f(W2)是f(x)的极大值，故A错误，B正确；：当x<一√2时， f(x)<0恒成立，且f(x)在（一√2，√2）上单调递增，在(W2,十∞)上单调递减，∴.当x=√2时，f(x)取得最 【高二期中考试·数学卷参考答案第1页（共3页）】 6312B 大值，又当x→十∞时，f(x)→一∞，'.f(x)无最小值，故C错误，D正确.故选BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.4由s(t)=2(t-1),得s'(3)=4. 13.25由题意得点P到平面a的距离为A2.1=-12+2=25. n √5 14.一1曲线y=lnx一x2+2x在x=1处的切线是y=x,令y'=e=1得x=0,由切点(0,0)在曲线y=e十a 上得a=-1. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.解：(1).a=(-1,0,1),b=(1,-2,0), .a-b=(-2,2,1),a=√2，a-bl=√/4+4+I=3. 2分 设a与(a一b)的夹角为0， 则c0s0=8.a2b=2+0+1- 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 a·a-b√2×3 2, …4分 a与(a一b)的夹角为平。 6分 (2)2a十b=(-1,-2,2),a-b=(1-t,2t,1),…8分 又2a十b与a-b垂直，..(2a十b)(a-tb)=0,…… 10分 即-1X(-1一t)十21X(-2)十1X2=0,解得1=1.…13分 16.(ID证明：因为AB,/CD,CE=CD=1=AB,所以四边形ABCE是平行四边形， 因为AB⊥BC,所以平行四边形ABCE是矩形，则AE⊥AB.…2分 因为PA⊥平面ABCD,AE,ABC平面ABCD,所以PA⊥AE, 又因为PA,ABC平面PAB,且PA∩AB=A,所以AE⊥平面PAB.…5分 (2)解：由(1)可知PA⊥AE,PA⊥AB,AE⊥AB,即PA,AE,AB两两垂直， 故以A为坐标原点，分别以AE,AB,AP所在直线为x,y,之轴建立如图的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(0,1,0),E(22,0,0),D(2√2，-1,0)，C(2√2,1,0)，P(0,0,2), 设平面PAD的一个法向量为n=(a,b,c),而AP=(0,0,2),AD=(22,-1,0), …7分 所以 in=2a6=0令a=1.则n=(1,2.0.…9分 AP·n=2c=0 设平面PCD的一个法向量为u=(r,s,t),而CD=(0,-2,0),PC=(22,1,-2), …10分 D E 所以 P元.u=22,+s-2=0令=1，则u=102).…12分 |CD·u=-2s=0 记平面PAD与平面PCD的夹角为a,则O<a<受， 以w-laaw-:装款吾 …14分 所以平面PAD与平面PCD夹角的余弦值为得。 15分 17.解：(1)依题意，得：f(x)=3x2-6x+2,∴.(x)=6x—6. …4分 由f(x)=0,即6x-6=0.x=1,又f(1)=2,…6分 .f(x)=x3一3x2+2x+2的“拐点”A的坐标是(1,2). …7分 (2)由(1)知“拐点”坐标是(1,2). 而f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+2(1+x)+2+(1-x)3-3(1-x)2+2(1-x)+2=4= 2f(1),…13分 由定义②知f(x）=x3-3x2十2x十2的图象关于“拐点”A(1,2)对称.…15分 18.AB=a,AD=b,AA=c, (1)证明：A1C1=a+b,BD1=b+c-a, 2AD=AA1=AB=2,∠AAB=∠DAB=∠DAA1=60°，∴.a·b=1,a·c=2,b·c=1,…4分 【高二期中考试·数学卷参考答案第2页（共3页）】 6312B AC.Bd=(a+b)…(b+c-a)=a…b+a·c-aa十b.b+b·c-a…b=0,…6分 .A1C⊥BD1,即A1C⊥BD1.…8分 (2)解：M衣=MD,+DA+A1衣 =-是D方-A市+号A,C=-是D市+-A市+号A+A=子c是(a-b)b+号a+b)= a+b+c 1 …12分 =(a++c)=++号-2x×音-2x立××2+2××是×1=2 144 16分 ·MN的长度为M=√397 12 17分 19.(1)解：g'(x)=1一e2, …1分 当x<0时，g'(x)>0,g(x)单调递增； 当x>0时，g(x）<0,g(x)单调递减，…3分 所以函数g(x)的单调递增区间为（一∞，0），单调递减区间为(0，十∞).…4分 (2)解：函数f(x)=(x一2)lnx+1的定义域为(0，十o∞)， f(x)=Inx+2-2 分，……… …5分 令(x)=1nx+I2(>0),则K(x)=1+名 所以h(x)在(0，十o∞)上单调递增， …6分 又h(1)=-1<0,h(2)=ln2>0, 所以存在xo∈(1,2)使得h(xo)=0. 。。。 7分 当0<x<x时，h(x)<0即f'(x)<0,此时f(x)单调递减： 当x>xo时，h(x)>0即f'(x)>0,此时f(x)单调递增， 8分 所以f(x)在处取得极小值，无极大值， 所以函数f(x)的极值点个数为1.… 9分 (3)证明：由(1)知，当x>0时，g(x)单调递减， 所以当x>0时，g(x)<g(0)=一1<0，… 10分 所以C)<1等价于f(x)-1>g(). g(x) 只需证明f(x)-1>-1,即f(x)>0即可. ……… 11分 下面证明：对任意x∈(0，十∞)，f(x)>0. 由(2)知，f(x)≥f(xn)=(x-2)nxo+1. 由f(m)=0,得n=2-1, 13分 所以fx)≥f(m)=(m-2)nw+1=(0-2)(2-1)+1=5-(m+4).… 14分 由对勾函数性质知y=%十4在∈(1,2)上单调递减，则n十4<1十4=5，… 15分 所以f(x)≥5-(x+4)>5-5=0. 16分 综上，对任意x∈(0，十o),C)<1. g(x) 17分 【高二期中考试·数学卷参考答案第3页（共3页）】 6312B