精品解析：福建宁德市2025-2026学年度第二学期期中八年级质量检测 数学试题

2025－2026学年度第二学期期中八年级质量检测 数学试题 （满分：100分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 近年来，我国新能源汽车产业发展迅猛，截至2026年4月，新能源汽车品牌约有120个．下面关于新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 2. 多项式 的公因式是（ ） A. a B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查公因式，根据三定法：定系数—系数的最大公约数，定字母—相同字母，定指数—相同字母的最低次幂，确定公因式，进行判断即可． 【详解】解：多项式的公因式是； 故选A． 3. 用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】反证法证明命题时，第一步需假设原命题的结论不成立，只需确定原结论的反面即可． 【详解】解：∵ 反证法第一步是假设命题结论不成立， 本题原结论为 ， 其否定为 ， ∴ 第一步应假设． 4. 将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得到解集后，含等号的解集在数轴上用实心圆点表示，不含等号用空心圆圈表示；大于对应向右绘制射线，小于对应向左绘制射线． 【详解】解：解不等式，得； 在数轴上，表示为 5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解： A．右边为 ，不是积的形式，故错误，不符合题意； B． ∵ ，故错误，不符合题意； C．左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解，故错误，不符合题意； D．，符合因式分解的定义并分解正确，符合题意． 故选：D． 6. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简分式是分子与分母没有公因式的分式，判断每个选项是否存在公因式，即可得到答案. 【详解】解：对于A，，分子分母有公因式，A不是最简分式； 对于B，，分子分母有公因式，B不是最简分式； 对于C，无法分解因式，分子分母没有公因式，C是最简分式； 对于D，，分子分母有公因式，D不是最简分式. 7. 如图，将向右平移得到，点A，B，C分别平移到了点D，E，F，且点B，E，C，F在同一条直线上．连接，若，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】为向右平移得到的距离，设，根据长度关系可得x的值，从而可得到平移的距离． 【详解】解：由题意可得，为向右平移得到的距离， 设，则， ，， ， ，解得， 也是向右平移的距离， ． 8. 甲、乙两家商店销售同一种产品，销售价y（元）与销售量x（件）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 购买少于2件时，在甲商店购买更合算 B. 购买少于2件时，在乙商店购买更合算 C. 购买少于4件时，在甲商店购买更合算 D. 购买少于4件时，在乙商店购买更合算 【答案】A 【解析】 【详解】解：买2件时，甲、乙两家售价一样，由图像可知，当购买数量时，甲、乙两家的函数图像相交于点，表示此时两家的售价均为4元． 根据函数图象可得：当，即购买少于2件时，在甲商店购买更合算． 9. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，最后根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴ ∴， ∴． 10. 小明家有两根铝合金型材，长度分别为5米和7米．他打算把7米长的型材切割成两段，与5米长的型材首尾相连焊接成一个三角形花架，该三角形为等腰三角形或直角三角形．为了能摆放更多盆栽，应使焊接后的三角形面积尽可能大．下列方案中面积最大的是（ ） A. 以5米型材为腰制作的等腰三角形 B. 以5米型材为底边制作的等腰三角形 C. 以5米型材为斜边制作的直角三角形 D. 以5米型材为直角边制作的直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算四个选项中符合条件的三角形面积，比较大小后得到面积最大的方案. 【详解】解：原铝合金总长度为米，仅切割7米型材，因此5米为三角形的一条完整边，切割得到的另两条边长度和为7，分别计算各选项面积： 选项A：以5米为腰的等腰三角形，三边长为，满足三角形三边关系， 设底边高为，由勾股定理得 ，解得，故； 选项B：以5米为底边的等腰三角形，三边长为，满足三角形三边关系。 设底边高为，由勾股定理得 ，整理得，解得，因此 ； 选项C：以5米为斜边的直角三角形，设两直角边长为，则，由勾股定理得， ，代入得，解得，因此； 选项D：以5米为直角边的直角三角形，设另一直角边长为，斜边长为，由勾股定理得： ，展开得，解得，因此； 比较得 ， 故选：B. 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分） 11. 若分式的值为0，则m的值是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件，即分子等于零且分母不等于零，求解即可. 【详解】解：由题意， 解得. 12. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 可简说成“内错角相等，两直线平行”． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 13. 若，则______．（填“>”或“<”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式两边同时乘以一个负数变号判断即可． 【详解】解：∵， ∴不等式两边同时乘以得， 故答案为：． 14. 已知：，，则的值是__________． 【答案】24 【解析】 【分析】先进行因式分解，再利用整体代入法进行计算即可. 【详解】解：∵，， ∴. 15. 如图，在中，，平分，是的中点，若，，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】过D作于H，根据角平分线的性质求出，然后计算的面积，最后根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 16. 如图，等边的边长是4，是边上的高，P是上的一点．连接，将绕点D顺时针旋转，得到，点B的对应点恰好落在上，点P的对应点是．连接，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先建立平面直角坐标系，设D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，表示出；设，其中，利用旋转性质，得到；表示的长度，，求x的值使最小，即可得到解． 【详解】解：等边的边长是4，是边上的高， 在中，，， ， 如图，建立平面直角坐标系，设D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴． 等边的边长是4，是边上的高， ，，，， 设， 过，，则 ， 解得，， ， 设，其中， 绕点D顺时针旋转得到， ，且在（y轴）上， ， 点绕D顺时针旋转得到， ， 由两点间距离公式得： ， ， 展开并化简得： ，， ， ， ， ，当且仅当时等号成立， ， ． 三、解答题（本题共8小题，共58分） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为. 18. 如图，在四边形中，，E是上的一点，，连接，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据等角对等边得到，再利用即可证得结论. 【详解】证明：， ， 在和中， ， ． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的运算，解题的关键是熟知分式运算的法则，正确化简分式． 根据分式混合运算的法则化简，再将的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 20. 2026年春晚舞台上，宇树科技人形机器人的精彩表演成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人共20个．已知A种机器人每个20万元，B种机器人每个25万元，若购买两种机器人的总费用不超过490万元，则该公司最少购进多少个A种机器人？ 【答案】2个 【解析】 【分析】设购进种机器人个，则购进种机器人个，根据题意总费用列出不等式求解即可． 【详解】解：设购进种机器人个，则购进种机器人个， 由题意得： 解得， ∴最少可以购进种机器人2个． 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）画出关于原点O的中心对称图形； （2）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）若将绕点D旋转得到，则点D的坐标是 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先作出A、B、C关于原点O的对称点，然后顺次连接即可； （2）先根据点的对应点的坐标为，得出向左平移6个单位，向上平移两个单位得到，然后作出平移后的对应点，最后顺次连接即可； （3）连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，则与的交点，即为点D，根据图形得出点D的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，则与的交点，即为点D，根据图形可得：点D的坐标为． 22. 八年1班的同学们在学习《问题解决策略：反思》这节课时，探索了等腰三角形的相关性质． （1）爱思考的小聪同学课后继续探究：如图1，等腰中，，点D，E分别为，的中点．点O在内，连接，，，，若，则．请帮助小聪判断该结论是否正确，并说明理由； （2）小明在小聪的基础上作进一步反思：如图2，若，点D，E分别是，上的点（不与B，C重合），连接，．内是否存在一点O，使，？请帮助小明作出判断，并说明理由． 【答案】（1）正确，理由见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由可证，从而； （2）假设存在点O，使得，，由得出与产生矛盾，得出该假设不成立，得证． 【小问1详解】 解：正确，理由如下： ∵D、E分别为、的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：不存在，理由如下： 假设存在点O，使得，，则点O在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， ∵， ∴与重合， 如图，直线l分别垂直平分，于F，G，则，，连接，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴，这与产生矛盾，所以该假设不成立， 故不存在点O，使，． 23. 对于三个非零实数a，b，c． （1）当时， ①若，则__________； ②求证：． （2）若，求证：． 【答案】（1）①，②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①化简，由所给条件结合非零实数a，b，c得出c的值； ②，由可得，得到； （2）由可得，即，得出． 【小问1详解】 解：①，整理得，，且， ， 当，即时， ， ，且， ； ②证明：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ， ． 24. 在“几何动态探究”实践活动中，同学们利用两块等腰直角三角板开展数学探究：如图1，等腰直角三角板和，斜边，，将三角板绕点B旋转，连接，取的中点F，再连接，，请完成以下探究： （1）如图2，当A，B，D三点共线时， ①_________； ②猜想并证明与的数量关系及位置关系； （2）在旋转过程中，求的最大值． 【答案】（1）①；②，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据线段中点的定义，线段的和差关系进行求解即可；②过点C、E分别作于点G，于点H，证明 即可得出结论； （2）当A、B、D三点不在同一直线上时，延长至点，使，连接，证明，再证明，推出在旋转的过程中，始终是等腰直角三角形，得到，进而得到当最大时，最大，进行求解即可. 【小问1详解】 解：①∵A，B，D三点共线，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； ②猜想：； 证明如下： 过点C、E分别作于点G，于点H， ， 同理可得 由①可知：， ∴，， ∴， ∴， ∴，即 【小问2详解】 解：当A、B、D三点不在同一直线上时， 延长至点，使，连接， ， ， 连接 设，则， ∵等腰直角三角板和，， 在四边形中，， ， ∴， ， ， ∴ ， ， ， ， ∴， ∴且 ∴在旋转的过程中，始终是等腰直角三角形， ∴， ， 当C、B、E共线时，点E在的延长线时，有最大值，此时， 此时 最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期期中八年级质量检测 数学试题 （满分：100分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 近年来，我国新能源汽车产业发展迅猛，截至2026年4月，新能源汽车品牌约有120个．下面关于新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 多项式 的公因式是（ ） A. a B. C. D. 3. 用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 4. 将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将向右平移得到，点A，B，C分别平移到了点D，E，F，且点B，E，C，F在同一条直线上．连接，若，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 8. 甲、乙两家商店销售同一种产品，销售价y（元）与销售量x（件）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 购买少于2件时，在甲商店购买更合算 B. 购买少于2件时，在乙商店购买更合算 C. 购买少于4件时，在甲商店购买更合算 D. 购买少于4件时，在乙商店购买更合算 9. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 小明家有两根铝合金型材，长度分别为5米和7米．他打算把7米长的型材切割成两段，与5米长的型材首尾相连焊接成一个三角形花架，该三角形为等腰三角形或直角三角形．为了能摆放更多盆栽，应使焊接后的三角形面积尽可能大．下列方案中面积最大的是（ ） A. 以5米型材为腰制作的等腰三角形 B. 以5米型材为底边制作的等腰三角形 C. 以5米型材为斜边制作的直角三角形 D. 以5米型材为直角边制作的直角三角形 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分） 11. 若分式的值为0，则m的值是__________． 12. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________． 13. 若，则______．（填“>”或“<”） 14. 已知：，，则的值是__________． 15. 如图，在中，，平分，是的中点，若，，则__________． 16. 如图，等边的边长是4，是边上的高，P是上的一点．连接，将绕点D顺时针旋转，得到，点B的对应点恰好落在上，点P的对应点是．连接，则的最小值是__________． 三、解答题（本题共8小题，共58分） 17. 解不等式组： 18. 如图，在四边形中，，E是上的一点，，连接，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 2026年春晚舞台上，宇树科技人形机器人的精彩表演成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人共20个．已知A种机器人每个20万元，B种机器人每个25万元，若购买两种机器人的总费用不超过490万元，则该公司最少购进多少个A种机器人？ 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）画出关于原点O的中心对称图形； （2）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）若将绕点D旋转得到，则点D的坐标是 ． 22. 八年1班的同学们在学习《问题解决策略：反思》这节课时，探索了等腰三角形的相关性质． （1）爱思考的小聪同学课后继续探究：如图1，等腰中，，点D，E分别为，的中点．点O在内，连接，，，，若，则．请帮助小聪判断该结论是否正确，并说明理由； （2）小明在小聪的基础上作进一步反思：如图2，若，点D，E分别是，上的点（不与B，C重合），连接，．内是否存在一点O，使，？请帮助小明作出判断，并说明理由． 23. 对于三个非零实数a，b，c． （1）当时， ①若，则__________； ②求证：． （2）若，求证：． 24. 在“几何动态探究”实践活动中，同学们利用两块等腰直角三角板开展数学探究：如图1，等腰直角三角板和，斜边，，将三角板绕点B旋转，连接，取的中点F，再连接，，请完成以下探究： （1）如图2，当A，B，D三点共线时， ①_________； ②猜想并证明与的数量关系及位置关系； （2）在旋转过程中，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $