2026年山东聊城市莘县莘城实验初级中学中考模拟数学试卷

**基本信息** 2026年山东聊城莘县中考模拟数学卷，以生活实际与社会热点为情境，覆盖代数、几何、统计核心知识，梯度设计合理，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|相反数、三视图、科学记数法等|基础概念与空间观念结合，如几何体三视图变化判断| |填空题|5/15|分式、概率、等腰三角形等|几何多解问题，如等腰三角形中动态点角度计算（75°或15°）| |解答题|8/75|解直角三角形（空调送风）、统计（线上学习）、函数综合等|情境化与综合性强，如呼吸机采购（方程与不等式）、二次函数平行四边形存在性探究，体现模型观念与创新意识|

2026年山东省聊城市莘县莘城实验初级中学中考模拟数学试卷 一 、单选题（本大题共10小题，共30分） 1.（3分）的相反数是 A. B. C. D. 2.（3分）如图是由个相同的小正方体搭成的几何体若将小正方体放到小正方体的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是 A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 以上三种视图都改变 3.（3分）截止到年底，过去五年我国农村贫困人口脱贫人数约为万，脱贫攻坚取得阶段性胜利，这里“万”用科学记数法表示为 A. B. C. D. 4.（3分）若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是 A. B. C. D. 5.（3分）如图，已知，点在上，与交于点若，，则的度数为 A. B. C. D. 6.（3分）下列运算正确的是 A. B. C. D. 7.（3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 8.（3分）青岛第四届海上马拉松比赛将在年月举行，小明和小刚分别从、、三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是 A. B. C. D. 9.（3分）如图，射线在第一象限，且与轴正半轴的夹角为，过点作于点，作线段的垂直平分线交轴于点，交于点，作射线，以为边在的外侧作正方形，延长交射线于点，以为边在的外侧作正方形，延长交射线于点，以为边在的外侧作正方形…按此规律进行下去，则正方形的周长为 A. B. C. D. 10.（3分）如图，在边长为的正方形中，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当运动到点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为，的面积为，则与的函数关系的图象是 A. B. C. D. 二 、填空题（本大题共5小题，共15分） 11.（3分）若分式的值为，则 ． 12.（3分）如图，可以自由转动的转盘被分成两个扇形区域，分别标有字母和，标有的扇形圆心角的度数为，自由转动转盘，指针落在标有的扇形区域内的概率为 ______ . 13.（3分）在等腰中，，过点作直线，是上的一点，且，则的度数为______． 14.（3分）如图是某汽车行驶的路程与时间的函数关系图当时，与的函数关系式为 ______ ． 15.（3分）如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，，连接，若，则长为 ______ . 三 、解答题（本大题共8小题，共75分） 16.（6分）计算： 17.（6分）解不等式组，并写出它的所有整数解. 18.（9分）某校“综合实践”小组开展项目式学习活动，记录如下： 活动纪录表 活动内容 探究卧室空调的相关数据 工具准备 皮尺、测角仪等 过程资料 卧室示意图 相关数据及说明 空调位于床头正上方，A为空调出风口，空调底部 垂直于墙面 ，床头 紧贴墙面 ，床截面 为矩形，书桌正对床尾贴墙放置．已知空调底部 ，床长 ，床高 ，此款空调舒适送风的直线距离范围为3～5m． 测量1：当空调导风板所在的直线 与竖直方向的夹角为 时，空调风恰好从床沿G处经过，到达地面F处． 测量2：导风板从 位置顺时针旋转 后，空调风刚好吹到书桌边缘I处．此时I到F处的水平距离 的长为 ． 成果梳理 … 请根据记录表提供的信息完成下列问题： (1)求空调出风口到地面的距离； (2)请通过计算说明空调出风口到书桌的直线送风距离是否在舒适范围内．结果精确到，参考数据，，，， 19.（12分）如图，为的直径，点在上，，点在的延长线上，点在上且，直径与的延长线相交于点，与相交于点  求证：是的切线；  若，求的长. 20.（8分）某校为了解该校七年级和八年级学生线上数学学习的情况，从这两个年级的学生中，各随机抽取了名学生进行有关测试，获得了他们的成绩百分制，且成绩均为整数，并对数据成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．  该校抽取的八年级学生测试成绩的数据的频数分布直方图如下数据分为组：，，，；  该校抽取的八年级学生测试成绩在这一组的数据是：  该校抽取的七、八年级学生测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题：  写出表中的值；  此次测试成绩分及分以上为优秀．  ①记该校抽取的七年级学生中成绩优秀的人数是，抽取的八年级学生中成绩优秀的人数为，比较，的大小，并说明理由；  ②若该校七年级有名学生，八年级有名学生，假设该校七、八年级学生全部参加此次测试，估计该校七年级和八年级学生中成绩优秀的人数共有多少人． 21.（10分）有、两种型号呼吸机，若购买台型呼吸机和台型呼吸机共需万元．若购买台型呼吸机和台型呼吸机共需万元．  求、两种型号呼吸机每台分别多少万元？  采购员想采购、两种型号呼吸机共台，预计总费用低于万元，请问型号呼吸机最多购买几台？ 22.（12分）如图1，反比例函数 与一次函数 的图象交于点 ，点 ，一次函数 与 轴相交于点 ． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)如图，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 23.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于、两点，与轴交于点，点、点关于抛物线，的对称轴对称.  求抛物线，的函数表达式及点的坐标；  将抛物线，沿水平方向向右平移个单位得到抛物线，与轴交于点，点平移后的对应点为，为抛物线，的对称轴上的动点请问在抛物线，上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】C; 【解析】解：的相反数是，   故选：．  根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．  该题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2.【答案】D; 【解析】解：根据图形可知，右侧的小正方形由原来位于右边变为左边，左视图和主视图、俯视图都发生变化．  故选：  根据三视图的定义求解即可．  此题主要考查了简单组合体的三视图，解答该题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 3.【答案】C; 【解析】解：将万用科学记数法表示为：．   故选：．  科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．  该题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4.【答案】D; 【解析】解：，即正多边形的边数是  故选：  根据多边形的外角和等于计算即可．  此题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于，正多边形的每个外角都相等是解答该题的关键． 5.【答案】B; 【解析】解：，，，  ，，，  ，，  即，  ，  ，  ，  的度数为  故选：  根据全等三角形的性质得到，，，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质推出，再根据平角的定义求解即可．  此题主要考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解答该题的关键． 6.【答案】B; 【解析】解：与不是同类项，  选项不符合题意；  ，  选项符合题意；  ，  选项不符合题意；  ，  选项不符合题意，  故选：  按照整式幂的运算法则逐一计算进行辨别．  此题主要考查了整式幂的相关运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则． 7.【答案】C; 【解析】解：由已知得，  即，  解得，  故选：  根据方程有两个不等的实数根，故，得不等式解答即可．  此题主要考查了根的判别式，解答该题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式． 8.【答案】A; 【解析】解：画树状图得：    共有种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一组的有种情况，  两人恰好选择同一组的概率为；  故选：．  首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及小明和小刚选到同一组的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．  该题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 9.【答案】B; 【解析】解：射线在第一象限，且与轴正半轴的夹角为，，  ，，  ，  线段的垂直平分线交轴于点，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  正方形的周长为；  ，  正方形的周长为；  同理可得；  ，  正方形的周长为；  同理，  ，  正方形的周长为；  ，  正方形的周长为；    以此类推可知正方形正方形的周长为  故选：  由题意可求出，，，所以正方形的边长为，，以此计算可得每个正方形的边长，进而发现规律．  此题主要考查正方形的性质，规律型：点的坐标，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数的定义，理解图示，找出点的坐标规律是解答本题的关键． 10.【答案】D; 【解析】解：点在上运动，点在上运动，此时，，  故可得，函数图象为抛物线；  点在上运动，点在上运动，  此时，底边上的高保持不变，为正方形的边长，  故可得，函数图象为一次函数．  综上可得总过程的函数图象，先是抛物线，然后是一次增函数．  故选：．  本题应分两段进行解答，点在上运动，点在上运动，点在上运动，点在上运动，依次得出与的关系式即可得出函数图象．  该题考查了动点问题的函数图象，解答本题关键是分段求解，注意在第二段时，底边上的高保持不变，难度一般． 11.【答案】 ; 【解析】 该题考查分式的值为零及分式有意义的条件，属于基础题．  根据分式的值是的条件是：分子为，分母不为，即可求出的值 解：由题意， 解得， 当，分式的值是． 故答案为． 12.【答案】; 【解析】解：自由转动转盘，指针落在标有的扇形区域内的概率  故答案为：  根据几何概率的求法，用标有的扇形的面积除以转盘的面积，根据扇形的面积公式，标有的扇形的面积与转盘的面积之比等于标有的扇形圆心角的度数与之比．  此题主要考查了几何概率：某事件的概率这个事件所占有的面积与总面积之比． 13.【答案】75°或15°; 【解析】解：分两种情况：  当点在点的左边时，作于，于，如图所示：    ，  ，  等腰中，，，  ，，  ，  ，，  ，  ；  当点在点的右边时，作于，于，如图所示：    同得：，  ，  ，  ，  ；  综上所述，的度数为或，  故答案为：或．  分两种情况：当点在点的左边时，作于，于；当点在点的右边时，作于，于；由等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质即可得出结论．  该题考查了等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质是解答该题的关键． 14.【答案】S=2t-20; 【解析】解：由函数图象得，当时，函数图像过点和，  设与的函数关系式为：，  将，代入得：  ，  解得：，  故当时，与的函数关系式为：．  故答案为：．  由函数图象利用待定系数法求出与的函数关系式即可．  此题主要考查了一次函数的应用，利用数形结合得出点的坐标是解题关键． 15.【答案】2; 【解析】解：作于点，    四边形为矩形，，，  ，，  四边形为矩形，，  ，，  ，，  设，则，  ，  ，  解得，  ，  ，  ，  故答案为：  作于点，证明四边形为矩形，得到，，利用勾股定理算出，设，则，结合勾股定理建立方程求出的值，推出，再利用勾股定理算出，即可解题．  此题主要考查了矩形的判定及性质，勾股定理，结合勾股定理建立方程求解是解答该题的关键． 16.【答案】解：原式=2×+1-2+4  =-2+5  =-+5．; 【解析】  利用特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，二次根式的性质，负整数指数幂的意义进行化简计算即可．  此题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，利用实数法则进行正确运算是解答该题的关键． 17.【答案】; 【解析】  先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．  此题主要考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 18. 【答案】 ; 【解析】 此题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识；构造直角三角形是解答该题的关键． 过点作于点，则，；易得四边形是矩形，则；在中，利用正切函数关系可求得，从而求得空调出风口到地面的距离； 过作于点，延长交于点；在中利用正切函数关系可求得的长，从而得的长，易得四边形是矩形，得；在中，利用正弦函数关系求得的长，从而可判断是否是舒适范围内． 19. 【答案】 ; 【解析】证明：连接，，如图所示：    为的直径，点在上，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  又，  ，  ，  即，  ，  是的半径，  是的切线；  解：在中，，  设，，  点在上，点在上，  ，  ，  ，  ，，  ，  ，  在中，由勾股定理得：，  ，  整理得：，  解得：，不合题意，舍去，  ，  ，  为的直径，  ，  在中，，  ，  由勾股定理得：，  ，    连接，，根据得，根据得，再根据得，进而得，则，由此根据切线的判定即可得出结论；  在中，根据设，，则，，，，在中，由勾股定理可求出，则，，在中，根据得，再由勾股定理得，据此可得的长．  此题主要考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 20.【答案】解：（1）八年级抽取了20名学生，从小到大排列第10，11名学生的成绩为76分，77分，故中位数m=（分），  故答案为：76.5；  （2）①由七年级成绩的中位数为79.5可得=10，  由题意可得=6+2=8，  ∴＞；  ②200×+180×=100+72=172（人），  答：估计该校七年级和八年级学生中成绩优秀的人数共有172人．; 【解析】  根据八年级抽取了名学生，从小到大排列第，名学生的成绩为分，分，即可求出的值；  ①分别求出七、八两个年级的优秀学生人数，进而可得结论；  ②用样本的优秀率估计总体的优秀率，根据总人数和优秀率求得优秀人数．  此题主要考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键． 21.【答案】解：（1）设A种型号呼吸机每台x万元，B种型号呼吸机每台y万元，  依题意得：，  解得：．  答：A种型号呼吸机每台1.6万元，B种型号呼吸机每台1.2万元．  （2）设购进A型呼吸机m台，则购进B型呼吸机（30-m）台，  依题意得：1.6m+1.2（30-m）＜40，  解得：m＜10．  ∵m为整数，  ∴m最大为9．  ∴A型号呼吸机最多购买9台．; 【解析】  设种型号呼吸机每台万元，种型号呼吸机每台万元，根据“购买台型呼吸机和台型呼吸机共需万元；购买台型呼吸机和台型呼吸机共需万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；   设购进型呼吸机台，则购进型呼吸机台，根据预计总费用低于万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可得出．  本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 【答案】 ; 【解析】 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解答该题的关键． 将代入反比例函数的解析式求得的值，再将代入，即可求解； 利用的面积，即可求解； 先设出点的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点的坐标即可解决问题． 23. 【答案】 ; 【解析】  根据一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式求得抛物线中、的值，进而求得点点坐标；  根据平面直角坐标系中函数图象平移的规律，左加右减，上加下减的规律，得到的解析式，结合已知条件一点的坐标平移的规律，左减右加，求得点点的坐标，设出点点的坐标，根据平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式，求得和的坐标，分三种情况求解．  此题主要考查了二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，读懂题意，理解题意是解决问题的关键． 第  页，共  页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案和解析 1.【答案】C; 【解析】解：的相反数是，   故选：．  根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．  该题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2.【答案】D; 【解析】解：根据图形可知，右侧的小正方形由原来位于右边变为左边，左视图和主视图、俯视图都发生变化．  故选：  根据三视图的定义求解即可．  此题主要考查了简单组合体的三视图，解答该题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 3.【答案】C; 【解析】解：将万用科学记数法表示为：．   故选：．  科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．  该题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4.【答案】D; 【解析】解：，即正多边形的边数是  故选：  根据多边形的外角和等于计算即可．  此题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于，正多边形的每个外角都相等是解答该题的关键． 5.【答案】B; 【解析】解：，，，  ，，，  ，，  即，  ，  ，  ，  的度数为  故选：  根据全等三角形的性质得到，，，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质推出，再根据平角的定义求解即可．  此题主要考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解答该题的关键． 6.【答案】B; 【解析】解：与不是同类项，  选项不符合题意；  ，  选项符合题意；  ，  选项不符合题意；  ，  选项不符合题意，  故选：  按照整式幂的运算法则逐一计算进行辨别．  此题主要考查了整式幂的相关运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则． 7.【答案】C; 【解析】解：由已知得，  即，  解得，  故选：  根据方程有两个不等的实数根，故，得不等式解答即可．  此题主要考查了根的判别式，解答该题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式． 8.【答案】A; 【解析】解：画树状图得：    共有种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一组的有种情况，  两人恰好选择同一组的概率为；  故选：．  首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及小明和小刚选到同一组的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．  该题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 9.【答案】B; 【解析】解：射线在第一象限，且与轴正半轴的夹角为，，  ，，  ，  线段的垂直平分线交轴于点，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  正方形的周长为；  ，  正方形的周长为；  同理可得；  ，  正方形的周长为；  同理，  ，  正方形的周长为；  ，  正方形的周长为；    以此类推可知正方形正方形的周长为  故选：  由题意可求出，，，所以正方形的边长为，，以此计算可得每个正方形的边长，进而发现规律．  此题主要考查正方形的性质，规律型：点的坐标，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数的定义，理解图示，找出点的坐标规律是解答本题的关键． 10.【答案】D; 【解析】解：点在上运动，点在上运动，此时，，  故可得，函数图象为抛物线；  点在上运动，点在上运动，  此时，底边上的高保持不变，为正方形的边长，  故可得，函数图象为一次函数．  综上可得总过程的函数图象，先是抛物线，然后是一次增函数．  故选：．  本题应分两段进行解答，点在上运动，点在上运动，点在上运动，点在上运动，依次得出与的关系式即可得出函数图象．  该题考查了动点问题的函数图象，解答本题关键是分段求解，注意在第二段时，底边上的高保持不变，难度一般． 11.【答案】 ; 【解析】 该题考查分式的值为零及分式有意义的条件，属于基础题．  根据分式的值是的条件是：分子为，分母不为，即可求出的值 解：由题意， 解得， 当，分式的值是． 故答案为． 12.【答案】; 【解析】解：自由转动转盘，指针落在标有的扇形区域内的概率  故答案为：  根据几何概率的求法，用标有的扇形的面积除以转盘的面积，根据扇形的面积公式，标有的扇形的面积与转盘的面积之比等于标有的扇形圆心角的度数与之比．  此题主要考查了几何概率：某事件的概率这个事件所占有的面积与总面积之比． 13.【答案】75°或15°; 【解析】解：分两种情况：  当点在点的左边时，作于，于，如图所示：    ，  ，  等腰中，，，  ，，  ，  ，，  ，  ；  当点在点的右边时，作于，于，如图所示：    同得：，  ，  ，  ，  ；  综上所述，的度数为或，  故答案为：或．  分两种情况：当点在点的左边时，作于，于；当点在点的右边时，作于，于；由等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质即可得出结论．  该题考查了等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质是解答该题的关键． 14.【答案】S=2t-20; 【解析】解：由函数图象得，当时，函数图像过点和，  设与的函数关系式为：，  将，代入得：  ，  解得：，  故当时，与的函数关系式为：．  故答案为：．  由函数图象利用待定系数法求出与的函数关系式即可．  此题主要考查了一次函数的应用，利用数形结合得出点的坐标是解题关键． 15.【答案】2; 【解析】解：作于点，    四边形为矩形，，，  ，，  四边形为矩形，，  ，，  ，，  设，则，  ，  ，  解得，  ，  ，  ，  故答案为：  作于点，证明四边形为矩形，得到，，利用勾股定理算出，设，则，结合勾股定理建立方程求出的值，推出，再利用勾股定理算出，即可解题．  此题主要考查了矩形的判定及性质，勾股定理，结合勾股定理建立方程求解是解答该题的关键． 16.【答案】解：原式=2×+1-2+4  =-2+5  =-+5．; 【解析】  利用特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，二次根式的性质，负整数指数幂的意义进行化简计算即可．  此题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，利用实数法则进行正确运算是解答该题的关键． 17.【答案】; 【解析】  先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．  此题主要考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 18. 【答案】 ; 【解析】 此题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识；构造直角三角形是解答该题的关键． 过点作于点，则，；易得四边形是矩形，则；在中，利用正切函数关系可求得，从而求得空调出风口到地面的距离； 过作于点，延长交于点；在中利用正切函数关系可求得的长，从而得的长，易得四边形是矩形，得；在中，利用正弦函数关系求得的长，从而可判断是否是舒适范围内． 19. 【答案】 ; 【解析】证明：连接，，如图所示：    为的直径，点在上，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  又，  ，  ，  即，  ，  是的半径，  是的切线；  解：在中，，  设，，  点在上，点在上，  ，  ，  ，  ，，  ，  ，  在中，由勾股定理得：，  ，  整理得：，  解得：，不合题意，舍去，  ，  ，  为的直径，  ，  在中，，  ，  由勾股定理得：，  ，    连接，，根据得，根据得，再根据得，进而得，则，由此根据切线的判定即可得出结论；  在中，根据设，，则，，，，在中，由勾股定理可求出，则，，在中，根据得，再由勾股定理得，据此可得的长．  此题主要考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 20.【答案】解：（1）八年级抽取了20名学生，从小到大排列第10，11名学生的成绩为76分，77分，故中位数m=（分），  故答案为：76.5；  （2）①由七年级成绩的中位数为79.5可得=10，  由题意可得=6+2=8，  ∴＞；  ②200×+180×=100+72=172（人），  答：估计该校七年级和八年级学生中成绩优秀的人数共有172人．; 【解析】  根据八年级抽取了名学生，从小到大排列第，名学生的成绩为分，分，即可求出的值；  ①分别求出七、八两个年级的优秀学生人数，进而可得结论；  ②用样本的优秀率估计总体的优秀率，根据总人数和优秀率求得优秀人数．  此题主要考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键． 21.【答案】解：（1）设A种型号呼吸机每台x万元，B种型号呼吸机每台y万元，  依题意得：，  解得：．  答：A种型号呼吸机每台1.6万元，B种型号呼吸机每台1.2万元．  （2）设购进A型呼吸机m台，则购进B型呼吸机（30-m）台，  依题意得：1.6m+1.2（30-m）＜40，  解得：m＜10．  ∵m为整数，  ∴m最大为9．  ∴A型号呼吸机最多购买9台．; 【解析】  设种型号呼吸机每台万元，种型号呼吸机每台万元，根据“购买台型呼吸机和台型呼吸机共需万元；购买台型呼吸机和台型呼吸机共需万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；   设购进型呼吸机台，则购进型呼吸机台，根据预计总费用低于万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可得出．  本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 【答案】 ; 【解析】 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解答该题的关键． 将代入反比例函数的解析式求得的值，再将代入，即可求解； 利用的面积，即可求解； 先设出点的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点的坐标即可解决问题． 23. 【答案】 ; 【解析】  根据一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式求得抛物线中、的值，进而求得点点坐标；  根据平面直角坐标系中函数图象平移的规律，左加右减，上加下减的规律，得到的解析式，结合已知条件一点的坐标平移的规律，左减右加，求得点点的坐标，设出点点的坐标，根据平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式，求得和的坐标，分三种情况求解．  此题主要考查了二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，读懂题意，理解题意是解决问题的关键． 第  页，共  页 学科网（北京）股份有限公司 $