2026年中考数学一轮复习分层训练-三角函数

三角函数 一、基础题 1．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点A滑行到点B．若，则这名滑雪运动员水平方向BC滑行了多少米（　　） ​​ A． B． C． D． 2．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若AB=13，BC=5，则sinA=（　　） A． B． C． D． 5．在中，，则（　　） A． B． C． D． 6．如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（　　）米． A． B． C． D． 7．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是　 　m（结果保留根号） 8．如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m，只有当∠CAB=53。时，他才能开门，那么BD长为　 　.（参考数据：sin53。≈0.8，cos53。≈0.6，tan53。≈1.33，保留1位小数） 9． 计算： 10．计算：． 11．计算：． 12．如图，滑动调节式遮阳伞的立柱垂直于地面，为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为，为的中点，，，，．根据生活经验，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳．若太阳光线与地面的夹角为时，要使遮阳效果最佳，求的长．（结果精确到；参考数据：，，，） 二、能力题 13．如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F是CD的中点，连接EF并延长交AD于点G，连接BF，BG，AB＝4CE＝4，则tan∠FBG＝（　　） A． B． C． D．2 14． 如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN.根据以上作图过程，有以下结论： ①是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分；④四边形AMPN是菱形；⑤. 其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15． 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连接BD交CH于点P. 若，则的值是（　　） A． B． C． D． 16． 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（　　） A． B．2 C． D． 17．四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为　 　． 18． 如图，网格图中每个小正方形的面积都为1. 经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为3，则的值为　 　． 19．如图，点E为矩形的边上一点（点E与点B不重合），，，将沿对折得到，其中点F落在矩形内部.若点F到边和的距离相等，则　 　. 20．现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成，A、B、C三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．AC垂直于AF，AF与水平线l平行，CD与l的夹角为∠1，DE与l的夹角为∠2．经测量：AB为12cm，BC为26cm，DE为30cm，∠BCD＝154°，∠CDE＝63°． （1）填空：∠1＝　 　 °，∠2＝　 　 °； （2）已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆CD的长度．（参考数据：sin26°＝0.44，cos26°＝0.90，sin37°＝0.60，cos37°＝0.80） 21．图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点在线段上，点在上，支撑点到箱底的距离于点，请根据以上信息，解决下列问题： （1）求水平滑杆的长度； （2）求拉杆端点到水平滑杆的距离的值（结果保留到）． （参考数据：）． 三、拓展题 22．如图，建筑物AC，BD的高度不可直接测量.为测量建筑物AC，BD的高度，技术员小李用皮尺测得A，B之间的水平距离为150m，用测角仪在C处测得D点的俯角为35°，测得B点的俯角为43°. （1）【问题解决】 请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC，BD的高度（结果保留整数）；（参考数据：） （2）请再设计一种测量建筑物AC，BD高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物AC，BD的高度.（可提供的测量工具：皮尺、测角仪.） 23．为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 【制作仪器】 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点． 【测量高度】 小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为37°，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离地面点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 24．综合与实践 【阅读材料】 如图1， 在锐角△ABC中， 的对边长分别为a， b，c，则有这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题. 【问题提出】 万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用训距仪直接测量，该小组对这一问心进行了探究. 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机(只能刮角度、水平面高度). 测量过程： 步骤1：如图2，在空旷地找一点C： 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°； 步骤3： 利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m， AC≈388.5m. （1）【问题解决】 请你利用【阅读材料】中的结论计算Δ. B两岛间的距离. (参考数据： （2）【评价反思】 设计其他方案计算λ、B两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，由题意可得：， ∴， ∴． 这名滑雪运动员水平方向滑行了． 故答案为：B 【分析】 根据锐角三角函数中余弦的定义，，可直接进行求解． 2．【答案】C 【解析】【解答】解：根据SAS，结合网格可得出，进而得出，且≠30°，所以A，B，D不正确，C正确； 故答案为：C. 【分析】首先结合网格，根据相似三角形的判定，可得出，即可得出，且根据直角三角形边长之比可得出≠30°，即可得出答案。 3．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，过作于，则， ＝5． ． 故答案为：D 【分析】过作于，根据勾股定理可得AC=5，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=13，BC=5， ∴ 故答案为：D. 【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵在中， ∴ 故答案为： B 【分析】根据正弦定义即可求出答案. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=ACtan=5tan (米)， ∵∠BAC=， AC=5米， ∴地毯的长度为BC+AC= ( 5tana+5) 米. 故答案为：B. 【分析】根据正切的定义得到：BC=ACtan=5tan；由地毯的长度为AC+BC的长代入数据即可解答. 7．【答案】 【解析】【解答】由题意可得：∠BDA=45°， 则AB=AD=120m， 又∵∠CAD=30°， ∴在Rt△ADC中， tan∠CDA=tan30°= ， 解得：CD=40 （m）， 故答案为：40 ． 【分析】在Rt△ABD中，可得AD=AB=120m；在Rt△ADC中，由tan∠CDA=tan30°=可求得CD。 8．【答案】1.2 【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E， 由题意易知四边形CDBE是矩形， ∴CD=BE=1.8m，BD=CE， ∴AE=AB-BE=2.7-1.8=0.9m， 在Rt△ACE中， ∵ ∴CE=tanA·AE≈1.33×0.9=1.197≈1.2(m)， ∴BD=1.2m. 故答案为：1.2m. 【分析】过点C作CE⊥AB，利用矩形的性质和判定先得到BD与CE、CD与EB间关系，再利用线段的和差关系求出AE的长，最后利用直角三角形的边角间关系得结论. 9．【答案】解：原式= = 【解析】【分析】根据绝对值性质，二次根式性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案. 10．【答案】解：原式 【解析】【分析】首先根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质，算术平方根的性质以及45°角的正弦值进行化简，然后再合并同类二次根式即可求出答案。 11．【答案】解：原式 ． 【解析】【分析】根据二次根式性质，特殊角的三角函数值，0指数幂，绝对值性质，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案. 12．【答案】解：如图，过点作于点， ∵当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳，滑动调节式遮阳伞的立柱垂直于地面， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长约为米． 【解析】【分析】过点作于点，根据题意可得，，从而得，进而得，于是得出，然后求出，根据等腰三角形“三线合一”的性质，解直角三角形求出的值，最后可得的长． 13．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4CE=4， ∴AB=BC=CD=AD=4，AD∥AE，∠D=∠BCF=∠DCE=90°，CE=1， ∴BE=BC+CE=5， ∵点F是CD的中点， ∴CF=DF=2， ∴在△FCE和△FDG中， ， ∴△FCE≌△FDG（ASA）， ∴DG=CE=1， ∴AG=AD-DG=3， ∴在Rt△ACF中，由勾股定理可得，BF===， 在Rt△FDG中，由勾股定理可得，GF===， 在Rt△ABG中，由勾股定理可得，BG===5， ∴BF2+GF2=BG2， ∴△BFG为直角三角形， ∴tan∠FBG== ， 故答案为：B. 【分析】由正方形的性质可知AB=BC=CD=AD=4，AD∥AE，∠D=∠BCF=∠DCE=90°，CE=1，求得BE=5，结合中点定义与对顶角相等易证△FCE≌△FDG（ASA），可推出DG=CE=1，AG=A3，由勾股定理可求得BF、GF、BG，再由勾股定理得逆定理可得△BFG为直角三角形，进而即可得出答案. 14．【答案】B 【解析】【解答】解：结论①：由作图知AM = AN，但MN与AM长度不一定相等，故△AMN是等腰三角形，非等边三角形，①错误；结论②：因为AM = AN，PM = PN，根据 “到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上”，A、P都在MN的垂直平分线上，故AP垂直平分MN，②正确；结论③：由PM = PN，AP垂直平分MN，根据等腰三角形 “三线合一”，PA平分∠MPN，③正确；结论④：AM = AN（A为圆心的弧），但AM与PM长度不一定相等，故四边形AMPN四条边不全相等，不是菱形，④错误；结论⑤：由PM = PN = MN，得△MPN是等边三角形，∠MPN=60°，故 ，⑤正确，综上，正确的结论为②③⑤，共3个， 故答案为：B . 【分析】 根据作图得到的线段相等关系，结合垂直平分线判定、等腰（等边）三角形性质、菱形判定、三角函数值，逐一判断每个结论的正确性即可. 15．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意， 设△BGC的边长BC=c，CG=b，BG=a， ∴小正方形EFGH的边长FG=a-b， ∵BP=BC，BG⊥PC， ∴CG=GP=b. ∴HP=a-2b. ∵DE//BG， ∴， ∴， ∴b2+2ab-a2=0， ∴， ∴（负根不合题意，舍去） ∴tan∠CBG=， 故答案为：A . 【分析】设BC=c，CG=b，BG=a，利用正方形性质、平行线分线段成比例及一元二次方程的解法，求出∠CBG的对边与邻边的长度关系，进而计算正切值. 16．【答案】B 【解析】【解答】解：过点G作GH⊥BC于点H ∵四边形ABCD是正方形 ∴BC=CD=AB=AD，∠BCD=∠ADC=90° ∠DBC=∠BDC=45°，AC=BD，OA=OC=OB=OD，AC⊥BD 由折叠可得BC=BF，CE=EF ∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE，∠FBE=∠CBE ∴∠DEF=∠FDE=45° ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵∠FBE=∠CBE，GH⊥BC，AC⊥BD ∴OG=HG ∵BG=BG ∴Rt△OBG≌Rt△HBC ∴ ∴ 同理可得 ∴ 故答案为：C 【分析】过点G作GH⊥BC于点H，根据折叠性质可得BC=BF，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE，∠FBE=∠CBE，则∠DEF=∠FDE=45°，解直角三角形可得DF，根据边之间的关系可得，，求出OB，再根据全等三角形判定定理可得Rt△OBG≌Rt△HBC，则，根据边之间的关系可得CH，同理可得，再根据勾股定理即可求出答案. 17．【答案】 【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC于点F， ∴∠DEO=∠BFO=90°， ∵∠DOE=∠BOF， ∴△DOE∽△BOF， ∴ ∴OF=2OE， 设OE=x，则OF=2x，EF=OE+OF=3x， ∵AB=4，AD=2， ∴ ∴ ∴Rt△AED∽Rt△ABF， ∴. ∴AF=2AE， ∴AE=EF=3x， ∴AO=3x+x=4x， ∵点O是AC的中点， ∴CO=AO=4x，则CE=4x+x=5x， 在Rt△CDE中， ∴ 在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2即 解之：（取正值） ∴. 故答案为： 【分析】过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC于点F，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DOE∽△BOF，利用相似三角形的对应边成比例可证得OF=2OE，设OE=x，可表示出OF、EF的长；利用已知可推出，利用HL可证得Rt△AED∽Rt△ABF，利用相似三角形的性质可得到AF=2AE，可表示出AE、AO、CO、CE的长；在Rt△CDE中，利用解直角三角形可表示出DE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，再根据AC=8x，代入计算可求出AC的长. 18．【答案】 【解析】【解答】解：如图，在图中标注C，D， 设NC=x， ∵AD//NB ∴∠MAD=∠ANC， ∵∠MDA=∠ACN， ∴△ANC∽△MAD ∵AC=AD=1 ∴ ∵△BMN的面积为3，网格图中每个小正方形的面积都为1， ∴S△AMD+S△ANC=3-1=2， ∴， 即 ∴ 解得，(舍去)， ∵AN2=AC2+NC2 ， ∴ ∴ 故答案为：. 【分析】设NC=x，证明△ANC∽△MAD，可求得，根据△BMN的面积为3，得到S△AMD+S△ANC=2，求得，解方程得到，根据勾股定理求得，最后得到sin∠MNB的值. 19．【答案】 【解析】【解答】解：如图： 根据题意将图形补充完整，则有△ABE≌△AFE，KF=PF，KP⊥AD. ∴∠BAE=∠FAE，AB=AF=6， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠KAB=∠B=90°， 又∵∠BPK=∠PKA=90°， ∴四边形ABPK是矩形， ∴AB=KP=6=AF. ∴KF=0.5KP=3. ∴Rt△AKF中，， ∴∠KAF=30°. ∴ ∴. 故答案为：. 【分析】根据全等性质得∠BAE=∠FAE，AB=AF=6；根据点F到边和的距离相等得KF=PF，KP⊥AD. 根据矩形的性质结合KP⊥AD可证得矩形ABPK. 从而可得AF和KF的值.在Rt△AKF中解直角三角形得∠KAF=30°，根据全等三角形的性质得到∠BAE的度数，从而可得. 20．【答案】（1）64；53 （2）解：∵∠2＝53°，∠EHD＝90°， ∴∠HED＝37°， ∵在Rt△EDH中，DE＝30cm，cos∠HED， ∴EH＝DE•cos∠HED＝30×cos37°≈24（cm）， ∵EM＝50cm ∴MH＝EM+EH＝74（cm）， ∴AG＝MH＝74cm， ∵AC＝AB+BC＝12+26＝38（cm）， ∴CG＝AG﹣AC＝36（cm）， ∵在Rt△CGD中，∠GCD＝90°﹣∠1＝26°，cos∠GCD， ∴CD40（cm）， 答：此时伸缩杆CD的长度约为40cm． 【解析】【解答】解：（1）如图，延长AC交DG于G点，延长ME交DG于H点， ∴∠CGD＝90°，∠EHD＝90°， ∵∠BCD＝154°， ∴∠1＝∠BCD−∠CGD＝154°−90°＝64°， ∵∠CDE＝63°， ∴∠2＝180°−∠1−∠CDE＝180°−64°−63°＝53°， 故答案为：64，53. 【分析】（1）延长AC交DG于G点，延长ME交DG于H点，先结合图形并利用角的运算求出∠1＝∠BCD−∠CGD＝154°−90°＝64°，再利用平角求出∠2的度数即可； （2）先利用解直角三角形的方法求出EH的长，再利用线段的和差求出CG的长，再结合cos∠GCD，最后将数据代入求出CD的长即可. 21．【答案】解：（1）于点， ∴在中，， ， （2）如图，过点作，交延长线于点， 在中，， ． 【解析】【分析】（1）解直角三角形即可求出答案. （2）过点作，交延长线于点，根据边之间的关系可得AC，解直角三角形即可求出答案. 22．【答案】（1）解：如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则四边形ABDE为矩形. ∴ DE=AB=150，AE=BD. 又CF∥AB. ∴∠ABC=∠FCB=43°，∠CDE=∠FCD=35°. ， CE=DE·tan∠CDE=150×tan35°≈150×0.70=105.0. ∴BD=AE=AC-CE=139.5-105.0=34.5≈35(m). ∴建筑物AC，BD的高度分别为140m和35m. （2）解：设测量得AB=a， 再用测角仪从点B测量得点C的仰角为43，从点D测量得点C的仰角为35， ∴AC=，BD=AC-CH= 【解析】【分析】（1）如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，判定得到四边形ABDE为矩形，根据平行线的性质得到∠ABC=∠FCB=43°，∠CDE=∠FCD=35°，再根据正切的定义解直角三角形可得AC，CE的值，再利用线段的和差运算计算可得BD，解答即可； （2）写出方案，画出示意图，方案与示意图一致，且设计合理即可. 23．【答案】解：在△ACD中，∠CAD＝37°，AC＝20米， 根据正切函数的定义，可得 CD＝AC×tan∠CAD， 将AC＝20米，（tan37°≈0.75）代入上式，可得 CD＝20×0.75＝15（米）， ∵AC＝1.5（米）， ∴树的高度 BD＝CD+AC＝15+1.5＝16.5（米）． 答：树的高度为16.5 米． 【解析】【分析】可过点C作DB的垂线段构造直角三角形CDE，再解直角三角形求出DE的长，再利用矩形的性质可得BE的长，则树高DB可求. 24．【答案】（1）解： 由正弦定理可得： ∴A、B两导之间的距离是 499m. （2）解：工具：测距仪 测量过程： 步骤 1：在空旷地找一点 C 步骤2：利用测距仪多次测量并平均值，在AC 得延长线上找一点E ，使得 在BC延长线上找一点至D，使得 步骤 3：利用测距仪多次测量DE 并取平均值，2DE 长即为AB长. 如图所示， ∴△DCE~△BCA ∴AB=2DE 【解析】【分析】：（1）由正弦定理可得； 由题可知，将 BC≈341m sin86°≈0.998 sin43°≈0.682代入可得AB=499m。 （2）可以用测距仪，借构造相似三角形，将AB 转化为可测的DE ，用相似性质实现间接测量 。找一点C，延长AC、BC ，使CE=AC、CD=BC，测得DE。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $