2026年中考数学一轮分层训练 锐角三角函数

锐角三角函数——初中数学中考一轮分层训练 （含答案解析） 一、基础题 1．的值等于（　　） A．0 B．1 C． D． 2．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　） A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米 3．如图，在中，，那么的值为（　　） A． B．2 C． D． 4．如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则sin∠ABC的大小是（　　） A． B．2 C． D． 5． 在△ABC 中， 且△ABC 的周长为36，则此三角形的面积为 （　　) A．12 B．24 C．48 D．96 6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0)，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为　 　. 7．计算：　 　． 8．深圳某科技园区试点无人机外卖配送。无人机从外卖柜正上方A 点，垂直上升至距地面30米的P 点悬停，然后沿水平方向飞往客户阳台B点。若地面引导员在 C 点测得无人机悬停点 P 的仰角为 （参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80， tan37°≈0.75) ， 则无人机从 P 点水平飞抵 B 点距离PB约为　 　米. 9．计算： 10．计算：． 11．如图，一艘小船从处出发向正北方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向，航行2小时后到达处，测得灯塔在南偏东方向，处与灯塔的距离为40海里，求小船航行的平均速度（结果保留根号）． 12．黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，求黄鹤楼的高度（参考数据：）． 二、能力题 13．如图，是的高，若，，则（　　） A． B． C． D． 14． 老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（　　） A．的长，的度数 B．的长，的度数 C．的长，的度数 D．的长，的度数 15．如图，从点观测点的俯角是（　　） A． B． C． D． 16．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成角时，测得旗杆AB在地而上的影子BC的长为24米，那么旗杆AB的高度是　 　米．（结果保留根号） 17．如图，在8×4的网格中，每个小正方形的边长都是1．的顶点均在格点上，则的值为　 　． 18．如图，飞机在目标的正上方，飞行员测得目标的俯角为，那么的度数为　 　 19． 如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为　 　． 20．如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ 　 　 ． 21．重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门处，有一斜坡，长度为米，在坡顶处看教学楼的楼顶的仰角，离点米远的处有一花台，在处仰望的仰角，的延长线交校门处的水平面于点，米．参考数据：， （1）求斜坡的坡度． （2）求的长． 22． 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． （1）根据锐角三角函数的定义，证明：sin2A+cos2A＝1； （2）若sinA=，求cosA的值． 三、拓展题 23．根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 某小区为解决“停车难”这个问题，一楼地面改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，图3中摄像头点位于点正上方三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据：） 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速．（） 问题解决： （1）确定斜坡坡度：如图1，求的值； （2）如图3，当时，求长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，闸门是否已经打开，车辆能否顺利通过，请通过计算说明． 24．天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP． 数据 AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43''，∠BAP＝89°22'38.09''． 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米） （参考数据：tan89°25'37.43''≈100.00，10089°22'38.09''≈92.00，sin89°25'37.43''≈040.99995，sin89°22'38.09''≈0.99994，cos89°25'37.43''≈0.00999，cos89°22'38.09''≈0.01087） 25．如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下． （1）制作工具 如图2，在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物，过点画射线．测量时竖放木板，当重垂线时，将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉，绕点转动三角尺，通过边瞄准目标，测量可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数． 测量时，是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为始终垂直于水平面，满足就行．”求证：． （2）获取数据 如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台处测得塔底的仰角为，在25楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为． 如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个，．在边上取两点，使，量得，，，则　 　，　 　，　 　（结果保留小数点后两位）． （3）计算塔高 请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）． （4）反思改进 小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解： = =1-1 =0 故答案为：A 【分析】根据特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得： ∴千米. 故答案为：A. 【分析】根据锐角的正弦函数的定义即可求解. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：C． 【分析】由勾股定理求出AB的乘，根据即可求解. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可得： ∴AC2+AB2=BC2 ∴∠BAC=90° ∴ 故答案为：D 【分析】根据勾股定理可得AC，BC，AB，再根据勾股定理逆定理可得∠BAC=90°，再根据正弦定义即可求出答案. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：依题意画图如下 ∵ ∴设AD=3x，AB=5x 在中，由勾股定理可求BD=4x ∵AB=AC， ∴BC=2BD=8x ∵的周长为36 ∴5x+5x+8x=36 解得x=2 ∴BC=8x=16，AD=3x=6 ∴ 故答案为：C. 【分析】本题根据三角函数按比设参，再利用勾股定理求出第三边，结合等腰三角形的性质表示出其三边长度，然后利用周长为36求出x的值，从而可以求出底和高，面积就迎刃而解了。 6．【答案】（，） 【解析】【解答】解：如图，将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到OA1，过A1作A1B⊥x轴于点B，则∠A1BO=90°， ∵点A的坐标为(6，0). ∴OA =6， 由题意得，OA=OA1=6，∠AOA1 =45°， ∴ OB =OA cos45°=3，A1B =OA1 sin45° =3， ∴点A对应点的坐标为（，） . 故答案为：（，）. 【分析】先画出旋转后的图形，根据旋转的性质可得OA=OA1=6，∠AOA1 =45°，即可解45°的直角三角形得到 OB，A1B的值，解答即可. 7．【答案】2 【解析】【解答】解： =2 【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案. 8．【答案】42 【解析】【解答】解：由题意可得： PB∥AC，BC=30，BC⊥PB ∴∠P=∠ACP=37° ∴ ∴PB=42 故答案为：42 【分析】由题意可得PB∥AC，BC=30，BC⊥PB，根据直线平行性质可得∠P=∠ACP=37°，解直角三角形即可求出答案. 9．【答案】解：原式= =3 【解析】【分析】根据有理数的乘方，二次根式，绝对值性质，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案. 10．【答案】解： ． 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂、算术平方根、负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案. 11．【答案】解：作于点， 在中，， ，． 在中，， ， ， 又， 小船的航行速度为（海里/小时）． 答：小船的航行速度为海里/小时． 【解析】【分析】过C点作于点，然后再根据三角函数的定义和直角三角形30度所对的边等于斜边的一半，求出HC的值，进而求出AH的值，在直角三角形BHC中，根据三角函数的定义，即可求出，最后再根据速度=路程除以时间，代入数据，即可求解 12．【答案】解：过点C作CH∥BD，延长BA交CH于点H，如图所示： 由题意得∠ABD=∠CDB=90°， ∴∠AHC=180°-90°=90°， ∴四边形BDCH是矩形， ∴BH=CD=102m， 在Rt△BCH中，∠BCH=63°，tan∠BCH=， ∴CH=， 在Rt△ACH中，∠ACH=45°， ∴∠CAH=∠ACH=45°， ∴AH=CH=51m， ∴AB=BH-AH=51m， 答：黄鹤楼的高度约为51m. 【解析】【分析】过点C作CH∥BD，延长BA交CH于点H，在Rt△BCHRt△ACH中解直角三角形，求出CH、AH，即可得出答案. 13．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴，则， ∵，， ∴， ∴； 故选：B． 【分析】 求的值，首先可解求得AD的值，可发现AD等于BD，又AD垂直BD，则是等腰直角三角形且是特殊角，则可求． 14．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可得：CD=AB，FH=1.5+2=3.5 在Rt△ECH中，∠AHC=90°， ∴ 在Rt△AEH中，∠AHE=90°， ∴ ∵CD=DH-CH ∴ ∴ ∴ 故答案为：D 【分析】由题意可得：CD=AB，FH=1.5+2=3.5，根据正切定义可得，，再根据边之间的关系即可求出答案. 15．【答案】B 【解析】【解答】解：∵水平线与视线的夹角，即是俯角， ∴从点观测点的俯角为， 故选：B． 【分析】根据俯角的定义即可求出答案. 16．【答案】 【解析】【解答】解：由题意可得出：， 则米， 故答案为：. 【分析】根据锐角三角函数进行计算即可. 17．【答案】 【解析】【解答】解：如图，取格点，连接、． 由题图知：， 故答案为：． 【分析】取格点，连接、，然后利用正切的定义解题即可． 18．【答案】60 【解析】【解答】解：由题意得∠B=30°， ∴∠APB=90°-30°=60°， 故答案为：60 【分析】根据俯角结合平行线的性质即可得到∠B的度数，进而根据三角形内角和定理即可求解。 19．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：作DGAC于点G，则点D到AC的距离为DG的长， 由题意可知：AD平分BAC， ∵ ∴DG=DB， 中，，， ∴ ∵AB=2 ∴ ∴DG=DB= 故答案为：. 【分析】作DGAC于点G，则点D到AC的距离为DG的长，由题意可知AD平分BAC，再根据角平分线的性质得到DG=DB，再利用30 角的正切计算即可解答. 20．【答案】 【解析】【解答】解： 如图，延长AN，交直线BC于点E， 由题意得： ， 设 则 ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为 的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为 xcm的长方体的体积的一半之和， 解得 即 故答案为：. 【分析】延长AN，交直线BC于点E， 设. 则 先根据水的体积不变建立方程，解方程可得x的值，再根据平行线的性质可得 然后根据正切的定义计算即可得. 21．【答案】（1）解：过作于， 则四边形是矩形， 米， 米， 米， 的坡度； （2）解：在中， ， 在中， ， 米， ， 解得米． 米． 【解析】【分析】（1） 过作于， 则四边形是矩形， 根据矩形的性质得出米，然后利用勾股定理求出AG的长，即可求出斜坡的坡度； （2） 在和中， 利用正切分别得到，，进而可得， 解得米，再利用 计算即可. 22．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴a2+b2＝c2，sinA=，cosA=， ∴sin2A+cos2A＝（）2+（）21； （2）解：∵sin2A+cos2A＝1， ∴+cos2A＝1， ∴cos2A=， ∴cosA=或cosA=（舍去）， 即cosA的值为． 【解析】【分析】（1）由勾股定理可得，由锐角三角函数可知：sinA=，cosA=，然后进行计算即可； （2）根据（1）的结论进行计算即可. 23．【答案】（1）解：，，长， 的值为： （2）解：闸门没有打开，理由如下： 过点作于， ，， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 解得：， ， 车辆以最高限速行驶到达点的时间为： 秒，， 闸门没有打开 【解析】【分析】 （1）由题意，根据坡度的定义可求解； （2）过点作于，设，则，根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，然后根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式将BF用含x的代数式表示出来，由线段的和差可得关于x的方程，解方程求出x的值，在Rt△BEF中，用勾股定理求得BE的值，然后根据时间=路程÷速度可求出车辆以最高限速行驶到达点的时间，与已知的闸门打开的时间比较大小即可判断求解． （1）解：，，长， 的值为：； （2）解：闸门没有打开，理由如下： 过点作于， ，， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 解得：， ， 车辆以最高限速行驶到达点的时间为： 秒，， 闸门没有打开． 24．【答案】解：设PH＝x万千米， ∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∠ABP＝89°25'37.43''， ∴BH， ∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∠BAP＝89°22'38.09''， ∴AH， ∵AH+BH＝AB≈0.8（万千米）， ∴， 解得x≈38， 即PH≈38（万千米）， 答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米． 【解析】【分析】分析题意设PH＝x万千米，在Rt△PHB中利用正切的定义表示出BH；在Rt△PHA中利用正切的定义表示出AH；再利用AH+BH＝AB≈0.8建立方程，计算即可解答. 25．【答案】（1）证明：∵四边形HIJK为矩形， ∴∠H=90°， ∵QM//HK， ∴∠IQM=∠H=90° 又∵OG//HI ， ∴∠MOG=∠IQM=90° ∴OG⊥QM （2）0.09；0.16；0.26 （3）解：如图，延长DR交TU于F，延长PS交TU于E， 则∠DFE=∠PEF=∠DFT=∠DPE=90°， ∴四边形DPEF为矩形， ∴DP=EF，DF=PE， 由题意可得：DP=(25-15)×3=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°， 设EU=x米，则FU=EF-EU=(30-x)米， ∵，， ∴，， ∴ 解得：x=10.8， ∴FU=30-10.8=19.2米，米， ∵， ∴TF=31.2米， ∴TU=TF+UF=19.2+31.2≈50米， 即该塔高度为50米. （4）解：使用高精度测量工具：为提高测量精度，应使用激光测距仪、高精度全站仪等高精度测量工具进行距离和角度的测量． 多次测量取平均值：在同一位置进行多次测量，并计算平均值，以减少偶然误差的影响． 考虑大气折射等因素：在远距离测量时，应考虑大气折射等因素对测量结果的影响，并进行相应的校正． 建立更精确的数学模型：结合楼层高度、角度测量值等数据，建立更精确的数学模型来计算塔高． 【解析】【解答】解：(2)在Rt△VWY中，∠W=90°，∠YVW=5.1°，VW=10.0cm，YW=0.91cm， ∴tan5.1°=tan∠YVW=YW=0.91≈0.09， ∵∠XVY=4.0°，∠YVW=5.1°，XY=0.70cm，YW=0.91cm ∴∠XVW=∠XVY+∠YVW=9.1°，XW=XY+YW=1.61cm， ∵在Rt△VWX中，∠W=90°，∠XVW=9.1°，VW=10.0cm，XW=1.61cm， ∴ ∵YW=0.91cm，XY=0.70cm，ZX=0.94cm ， ∴ZW=ZX+XY+YW=2.55cm ∵在Rt△VWZ中，∠W=90°，∠ZVW=14.5°，VW=10.0cm，ZW=2.55cm， ∴， 故答案为：0.09，0.16，0.26. 【分析】(1)根据矩形的性质和平行线的性质证明即可； (2)根据正切的定义计算即可得解； (3)延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，则四边形DPEF为矩形，由矩形的性质可得DP=EF，DF=PE，由题意可得DP=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，设EU=x米，则FU=(30-x)米，解直角三角形得出，求出FU=19.2米，PE=DF=120米，再解直角三角形得出TF=31.2米，即可得解； (4)结合题意提出合理的建议即可. 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $