11.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法课件2025-2026学年苏科版数学八年级下册

八年级苏科版数学下册 第十一章 二次根式 11.2二次根式的乘除 第一课时 二次根式的乘法 学习目标 1、能掌握并能运用二次根式的乘法法则 2、能掌握积的算术平方根的性质并用于化简二次根式. 学习重点：积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则 学习难点：积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则的理解与运用 复习回顾 1、什么叫作二次根式？它有什么性质？ 2、二次根式的性质是： 二、新知探索： 观察计算结果，你能发现什么规律？ (1) ×__=____； = ； (2) ×__=___ ； (3) ___×__=____； =_________ ； =_________. 2 5 10 3 4 12 尝试： 1、填空： 观察两者有什么关系？ 4 2、 成立吗？ 成立。 ∵a≥0，b≥0，∴ 把 反过来，可得： 利用它可以化简一些二次根式。 证明如下： 当a≥0，b≥0时， ∵ 又∵ ，∴ 5 (1)在图11-1中，小正方形的边长为1. 矩形ABCD的面积是多少？ 新课讲解 S矩形ABCD=AD•CD= S矩形ABCD= 新课讲解 (2)在图11-2中，画出矩形EFGH，使EF= ，FG= ， 矩形EFGH的面积是多少？ 图11-2 S矩形EFGH=EF•FG= S矩形EFGH= 1.填空 (1)= ，= ； (2) = ，= ； (3)= ， . 2.(a≥0，b≥0)成立吗？ 尝试 10 10 12 12 证明：当a≥0、b≥0时， 因为 ， 又因为 ，所以， ， 因为和都是非负数，所以 (a≥0，b≥0)． （a≥0，b≥0）． 二次根式乘法的性质： 特别地， 当a＝b，a≥0 时，． 归纳总结 适用条件 必须保证 且 ，根号下的数（被开方数）才有意义，否则法则不成立。 此法则可推广到多个二次根式相乘的情况， 例如。 观察：　　　　　　　(a≥0，b≥0)； 思考： ？ 推广： 自主展示： 2. 计算： （1） （2） (a≥0，b≥0，c≥0). 知识拓展： = =108 小结： 1、二次根式的乘法法则： 算术平方根的积等于各个被开方数的积的算术平方根. 文字语言叙述： 二次根式乘法法则： (a≥0，b≥0). 2、逆用二次根式乘法法则： 文字语言叙述： 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积． (a≥0，b≥0). 化简二次根式运算的结果中，被开方数中应不含能开得尽方的因数或因式。 11 新课讲解 10 1、填空：   10 12 12 观察以上式子及运算结果，看看其中有什么规律？ 新课讲解 教材P159 例题 计算： (1)×； (2)； (3) 。 (1)×； (2)14=28； (3) == 把=(a≥0,b≥0)反过来，可得(a≥0,b≥0). 利用这个式子可以化简一些二次根式 ● 例1 解 教材P160 例题 计算： (1)； (2)； (3) 。 (1) ； (2)； (3) a≥0，b≥0时， ● 例2 解 化简二次根式的结果中，被开方数一般不含能开得尽方的因数或因式 方法技巧 1.基本乘法法则 公式:= (a≥0,b≥0) 要点:两个二次根式相乘，根指数保持不变，只需将被开方数直接相乘。 2.化简逆用法则 公式：= (a≥0,b≥0)公式: 要点:将乘积形式的被开方数拆分，把能开得尽方的因数移到根号外面。 3.含系数的乘法运算 公式: m= mn 要点:"系数x系数”作为新系数，“根式x根式”遵循基本法则，最后合并。 4.根式化简三步走 1.分解因数:拆成"最大完全平方数x非完全平方数”;2.逆用法则拆分:将完全平方数部分单独开方; 3.开方移项:将完全平方数开方后移至根号外，保留非完全平方数在根号内 二、例题讲解 例1、计算： （1） ；（2） ；（3） . 解：（1） ； （2） ； （3）当a≥0时， 例2、化简： （1） ；（2） ；（3） . 解：（1） ； （2） ； （3）当a≥0时， 计算:（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解：（1） . （2） . （4） . （3） == 1. 核心策略：先化简，后运算 在进行乘法运算前，尽量将每个根式化为最简二次根式。此举能有效简化数字规模，为后续的合并同类项和精确计算铺平道路。 2. 技巧一：活用乘法公式 敏锐观察二项式相乘的结构特征，灵活套用“平方差公式”和“完全平方公式”往往能直接消去根号或大幅简化中间运算步骤。 3. 技巧二：系数与根式分离 统一将根式写成“系数×最简根式”的标准形式。将有理数系数和无理数根式部分分开计算，最后再合并结果，条理清晰且不易出错。 新课讲解 于是，可得二次根式乘法的性质： 特别地，当a=b，a≥0时， 新课讲解 (书本第159页例1)：计算： 讨论 如何计算(a≥0,b≥0)? 易错点 忽视二次根式的隐含条件致使化简出错 4.阅读以下解题过程并回答问题： 化简： . 解： . 以上解题过程正确吗？若不正确，请改正. 【解】不正确.正确的解题过程如下： . 易错警示 在进行有关积的算术平方根或商的算术平方根的计算时，要注意原根式有意义不 代表被开方数中每个因数或因式都是非负数. 24 3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 =|a| 把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简 . 1.把被开方数分解因式(或因数) ； 2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数) 的算术平方根的积； 化简二次根式的步骤： 归纳小结 25 课堂小结 核心知识点回顾 一个核心法则 二次根式乘法法则 = 及其逆用公式。 两种基本运算 掌握二次根式的乘法运算与化简运算两大核心技能。 三个关键技巧 ①先化简后运算 ②巧用乘法公式 ③注意系数分离。 数学思想方法提炼 类比思想 利用整式运算的经验，通过“类比”探索根式运算规律。 转化思想 将陌生的“二次根式运算”转化为熟悉的“整式运算”来解决。 优化思想 在多种解法中，优先选择“先化简再计算”的最优解题路径。 $