18.2 菱形 分层练习 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华师大版（2024)八年级下册18.2菱形分层练习 利用菱形的性质求角度 1如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD,BF⊥CD,E、F为垂足，AE=ED,则∠EBF等于（) A.75 B.60° C.50° D.45° 2如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，DE=AD,连接EC.若LADE=36°，则∠DEC的 度数为() A.56° B.54° C.50° D.48° 3如图，在菱形ABCD中，直线MN分别交AB、CD、AC于点M、N和O,且AM=CN,连接BO, 若∠0BC=65°，则∠DAC为() B M A.65° B.30° C.25° D.20 4如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD交于点0，∠BAD=124°，以点C为圆心，C0 为半径作圆孤交线段CD于点E,则∠AOE= D B 5如图，在菱形ABCD中，∠C=50°，则∠ABD的度数是 B 6如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.∠BAD=110°，求∠EAF的度数. D 利用菱形的性质求线段的长 1已知菱形的两条对角线长为8和6，那么这个菱形的高是() A.1.2 B.2.4 0.4.8 D.9.6 2菱形ABCD中，若对角线AC=6cm, BD=8 cm, 则菱形ABCD的周长是() A.25 cm B.20cm C.15 cm D.10 cm 3如图，菱形ABCD中，AB=4cm,∠BCD的度数是∠B度数的2倍，则对角线AC长为() A.4 cm B.4v3 cm C.4v/5 cm D.20 cm 4如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排 挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定.已知菱形ABCD的边长为10cm, 要使两排挂钩的距离（即AC)为16cm,则BM之间的距离是 cm. 5如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过，点D作DEIIAC,过C点作CEBD,两线交 于E点，连接OE、AE,AE交OD于点F. (1)求证：0E=CD: (2)若菱形ABCD的边长为4，LABC=60°，求AE的长. 利用菱形的性质求面积 1如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,若HA=HB=1,则 菱形ABCD的面积是() B D A.3 B.1 c.2W3 D.4 2 2如图，菱形ABCD的边长是5，对角线AC,BD相交于点O,若BD=6,则菱形ABCD的面积是 () D A.6 B.12 C.24 D.48 3如图，菱形ABCD的边长为√5，对角线AC,BD相交于点0，且OA=1,则菱形ABCD的面积为 () B A.5 B.25 C.2 D.4 4如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，DE⊥BC于点E,交对角线AC于点P,过点P作PF⊥CD 于，点F.若PD+PF=1,则菱形ABCD的面积为 B 5如图，已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF. D B E (1)求证：四边形AECF是矩形： (2)若AB=6,求菱形的面积. 利用菱形的性质证明 1如图，在菱形ABCD中，E是CD边上一点，连接AE,点F,G均在AE上，连接BF,DG,且 ∠BFE=∠BAD,只添加一个条件，能判定△ABF≌△DAG的是() B A.∠DGE=∠BAD B.BF=DG C.AF=DG D.∠EDG=∠BAD 2证明命题“菱形的一条对角线平分这一组对角”· 已知：如图3，AC是菱形ABCD的一条对角线： 求证：∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA. 证明：，四边形ABCD是菱形， .∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA. 以下是“…”处排乱的证明过程：①∴.△ABC兰△ADC;②AC=AC;③∴.DA=BA, DC=BC.正确的证明顺序是() B A.①②③ B.③①② C.②①③ D.③②① 3如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点C作CElBD交AB于，点E,下列结论不 一定正确的是（) D A.OD =CE B.BD平分∠ABC C.BC=AE D.BE=BD 4如图1，将一张菱形纸片ABCD(LADC>90)沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD,再将 △BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角a,使a=2LADB,得到如图2所示的△DB'C, 连接AC,BB,∠DAB=45°，有下列结论：①AC=BB';②AC⊥AB;③∠CDA=90°；④BB= V3AB.其中正确结论的序号是 (把所有正确结论的序号都填在横线上) B' 图1 B 图2 5如图， 菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DEAC,且DE=AC,连接CE.求证： 四边形OCED为矩形， 0 E B 菱形中的翻折问题 1如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一，点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B'上，连 接DB'.已知∠C=120°、∠BAE=50°，则∠ABD的度数为() A B E A.50 B.60° C.80° D.90° 2如图，AC为矩形ABCD的对角线，，点E、F分别在边BC、AD上，将边AB沿AE折叠，点B恰好 落在AC上的，点M处，将边CD沿CF折叠、，点D恰好落在AC上的点N处，若四边形AECF是菱形， 则∠BAE的度数为() D M B A.30° B.40° C.45° D.50° 3如图，菱形ABCD中，∠A=120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE,点A恰好落在BD上的，点 F,那么∠BFC的度数是 D B C 4如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，G,E分别在边BC,CD上，BG=DE,将AED沿AE折叠，点 D落在AG的延长线上的点F处，则∠FEC= A D B F 菱形中的动，点问题 1如图，在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F, EG⊥OD于点G,连接FG,则FG的最小值为() A.2.4 B.3 C.4.8 D.4 2如图，在菱形ABCD中，AB=6cm,∠A=60°，，点P从，点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点 B运动，同时，，点Q从点C出发，以2c/s的速度沿CB向，点B运动，设点P的运动时间为ts, 当△PDQ为等边三角形时，t的值为（) D BQ A.1 B.1.3 0.1.5 D.2 3如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°°，在对角线AC上任取-一点P（端，点除外)，连接PD、 PB.在BA的延长线上取一点Q,使PD=PQ.当点P在线段AC上移动时：①∠PDA=∠PBA; ②当，点P沿CA方向运动时，∠DPQ的度数先变小，后变大；③PC=AQ;④PB=PD.其中，说 法正确的序号是 D OA B 4在菱形ABCD中，∠C=120°，点E是AD边的中点，点P是对角线BD上的动点，则当PA+PE 的值最小时，∠APB= D B 5如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的-个动 点（且不与点A重合)，延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN. (1)求证：△NED兰△MEA: (2)当AM为何值时，四边形AMDN是矩形？并说明理由. 6在△ABC中，AB=AC,点D为射线BC上一动点（，点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形 ADEF,使∠DAF=∠BAC,连接CF. B D B C D 图1 图2 ()如图1，当点D在线段BC上时，直接写出线段BD与CF的数量关系： (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上，且∠BAC=90°时，求证：CF-CD=2AC. 用定义判定菱形 1如图，在☐ABCD中，AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,当 四边形ECDF为菱形时，则a的值为（) B E D A.1 B.2 C.3 D.4 2如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ACED为菱形的 是() A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60° 3汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾 的人们祈福.人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝 带重叠部分形成的图形是() A.正方形 B.等腰梯形 C.菱形 D.矩形 4如图，在矩形ABCD中，AD=2AB,AM=CN,,点M、N分别在边AD、BC上，连BM、DN.若 则四边形MBND的形状是 5如图，已知AB∥CD,∠BAC的平分线与CD交于点E,∠ACD的平分线与AB交于点F,试说明： 四边形ACEF是菱形. B D 用边判定菱形 1四条边都相等的四边形是（) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.任意四边形 2如图，已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC, 则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是() B A.一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.四条边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直的平分四边形是菱形 3如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且∠CDE=∠BDC,∠DCE=∠ACD.求证： 四边形OCED是菱形. D 4如图，△BAD是由△BEC在平面内绕，点B旋转60°而得，且AB⊥BC,BE=CE,连接DE. D B (1)求证：△BDE≌△BCE; (2)试说明四边形ABED为菱形. 添加一个条件是菱形 1如图，平行四边形ABCD中，点EF在对角线BD上，且BE=DF,要使四边形AECF为菱形，现 有三种方案： A D ①只需要满足∠ABE=∠CBE; ②只需要满足AE=CF; ③只需要满足AC⊥EF 则上述方案正确的是() A.①②③ B.①③ C.③ D.②③ 2如图，☐ABCD的对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的 是() D B A.A02+B02=AB2 B.AB=AD C.OA=OD D.∠AB0=∠OBC 3嘉嘉自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点0，AC⊥BD, OB=OD.求证：四边形ABCD是菱形.”并将自己的证明过程与同学淇淇交流： 证明：.AC⊥BD,OB=OD, ∴.AC垂直平分BD, ∴.AB=AD,CB=CD, ∴.四边形ABCD是菱形 D B 淇淇看完后认为这个题目需要补充一个条件才能证明.下列正确的是() A.题目严谨，不用添加条件 B.题目不严谨，可补充：OA=OB C.题目不严谨，可补充：ADI川BC D.题目不严谨，可补充：AB⊥BC 4如图，四边形ABCD是平行四边形，分别延长AD、CB至点F、E,使得BE=DF,连接 AE,CF.请再添加一个条件： 使得四边形AECF是菱 形，并说明理由.（不再添加任何线条、字母) D A E B 5如图，已知平行四边形ABCD中，延长AB至点E,使BE=AB,连接BD和CE D B E (1)求证：△DAB兰△CBE: (2)请你给图中口ABCD补充适当的条件，使四边形DBEC成为菱形：请结合补充条件证明. 6如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过，点B作BP‖AC,过点C作CP II BD,BP与CP相 交于点P D B (1)证明四边形BPC0为平行四边形； (2)给口ABCD添加一个条件，使得四边形BPCO为菱形，并说明理由. 综合利用菱形的判定与性质进行求解 1在☐ABCD中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示.若BE=6,AB=5,则AG=() A.10 B.8 C.6 D.4 2如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于，点O,DEIIAC,CElIBD,若AB=8,BC=6,则 四边形OCED的周长为（) E D C 0 A.20 B.40 C.47 D.8V7 3如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶，点C落到点E处，BE交AD于点 F.过，点D作DG II BE,交BC于，点G,连接FG交BD于点O,AB=3,AD=4,则FG= E D G⊙ 4如图，在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB,分别以，点A,B为圆心，OA长为半 径作孤，两孤交于点C,连接AC、BC、AB、OC,若AB=4cm,四边形0ACB的面积为20cm2, 则0C的长为 cm. M C B N 5如图，在口ABCD中，BD是它的一条对角线，作BD的垂直平分线EF,分别交AD,BC,BD于 点E,F,O. A D B C (1)求证：AE=CF; (2)连接BE,DF,若∠DBE=25°，求∠EDF的度数. 综合利用菱形的判定与性质进行证明 1如图，现有一张矩形纸片ABCD,AB=4,AD=8,,点M,N分别在矩形的边AD,将矩形纸片 沿直线MN折叠，使，点C落在AD边上，点P处，连接PC,交MN于点Q, ①CQ=CD: ②四边形CMPN是菱形； ③P,A重合时，MN=2W5: ④，点C、M、G三点共线 其中正确的结论有（) G M D B C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，BC=BD,E是CD边的中点，连接BE并延长，交AD 的延长线于点F,则下列结论：①BC II AF;②四边形BDFC是平行四边形：③BD=DF;④ BE=BD.其中正确的个数为() B D A.1 B.2 C.3 D.4 3如图，在口ABCD中，分别以B,D为圆心，大于BD的长为半径画孤，两孤相交于点M,N, 过M,N两点作直线交BD于点O,交AD,BC于点E,F,下列结论不正确的是() 、M E D B F C 米 A.AE=CF B.DE=BF C.OE=OF D.DE=DC 4如图，CE是口ABCD的边AB的垂直平分线，垂足点为点O,CE与DA的延长线交于点E,连接 AC,BE,DO,则下列结论：①LACD=LBAE;②四边形ACBE是菱形；③AD=BE;④SACOD =3S△BOB,其中正确的结论有 (填写所有正确结论的序号)· E A B D 5如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC,AC⊥BD交于点O,过四边形ABCD的项点A作 AF⊥AD,且AD=AF,线段AF交OB于点H,交BC于点E,若D、C、F三点共线，则以下说法： ①四边形ABCD为菱形；②AB·AE=AC·BD;③∠AHD=LCAD:④OH+OC=BH,正确 的有 A B E C 6如图，△ABC中，D是BC上一，点，DEI‖AC交AB于E,DF II AB交AC于F. E D ()求证：四边形AEDF是中心对称图形： (2)若AD平分∠BAC,求证：，点E,F关于直线AD对称 7如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD,AC=16,BD=12,AC,BD相交于点0. D (1)求AB的长； (2)若CElIBD,BEllAC,连接OE,求证：OE=AD. 华师大版（2024)八年级下册18.2菱形分层练习（参考答案) 1利用菱形的性质求角度 1如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD,BF⊥CD,E、F为垂足，AE=ED,则∠EBF等于（) A E D A.75° B.60° C.50° D.45° 【答案】B 【解析】连接BD. B ▣ A E BE⊥AD,AE=ED, .BD=AB=AD, ∴△ABD是等边三角形， ·∠A=60°， 又：BE⊥AD,BF⊥CD, ·∠BED+∠BFD=180°， ·∠ADC+∠EBF=180°， 又：∠ADC+∠A=180°， ·∠EBF=∠A=60°. 故选：B. 2如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，DE=AD,连接EC.若∠ADE=36°，则∠DEC的 度数为() E B A.56° B.54° 0.50° D.48° 【答案】B 【解析】~四边形ABCD是菱形， .AD CD,CDIIAB, :DE=AD,∠ADE=36°， DE=CD,∠A=∠DEA=2×(180°-36)=72， CDIIAB, ·∠CDE=∠DEA=72°， .DE=DC, ∠DEC=∠DCE=×(180°-72)=54， 故选：B. 3如图，在菱形ABCD中，直线MN分别交AB、CD、AC于点M、N和O,且AM=CN,连接BO, 若∠0BC=65°，则∠DAC为() B M D A.65° B.30° 0.25° D.20° 【答案】C 【解析】四边形ABCD是菱形， ..AB II CD,AB=BC,BC II AD, ∴.∠MAO=∠NCO,∠BCA=∠CAD, 在△AOM和△CON中， (∠MAO=∠NCO ∠AOM=∠CON, AM=CN ∴.△AOM≌△CON(AAS), ∴.A0=C0, .'AB=BC, ∴.B0⊥AC,且∠0BC=65°， .∴.∠BC0=90°-∠0BC=25°=∠DAC, 故选：C. 4如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD交于点0，∠BAD=124°，以点C为圆心，C0 为半径作圆孤交线段CD于点E,则∠AOE= D B 【答案】121° 【解析】.四边形ABCD是菱形，∠BAD=124°， ∴.∠ACD=BCD=BAD=62, .'CO =CE, ∠C0E=180°-AcD=59°， 2 ∴.∠A0E=180°-∠C0E=121°. B 故答案为：121°. 5如图，在菱形ABCD中，∠C=50°，则∠ABD的度数是 D B 【答案】65 【解析】四边形ABCD是菱形， ∴.∠A=∠C=50°，AD=AB, ∴LABD=2(180°-LA)=65, 故答案为：65°. 6如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.∠BAD=110°，求∠EAF的度数. D 【答案】解：在菱形ABCD中，∠BAD=110°， ∠B=180°-∠BAD=180°-110°=70°，∠D=180°-∠BAD=180°-110°=70°， :AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F, ·∠AEB=∠AFD=90°， 在Rt△ABE和Rt△ADF中，∠BAE=∠DAF=90°-70°=20°， ·.∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=110°-2X20°=70°. 2利用菱形的性质求线段的长 1已知菱形的两条对角线长为8和6，那么这个菱形的高是() A.1.2 B.2.4 C.4.8 D.9.6 【答案】C 【解折】如图，四边形ABCD是菱形，BD=8,AC=6,AC1BD,A0=AC=3,B0= BD=4, A E 作AE⊥BC于E, ∴.AB=VA02+0B2=V32+42=5, ∴.BC=AB=5, 菱形的面积=AC·BD=24, ∴.BC·AE=24, ∴.AE=4.8, 即菱形的高为4.8. 故选：C. 2菱形ABCD中，若对角线AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的周长是() A.25 cm B.20 cm C.15 cm D.10 cm 【答案】B 【解析】如图，AC交BD于点O, :四边形ABCD是菱形，AC=6cm,BD=8cm, AB=BC=CD=AD,OA=AC=3 cm,OB=BD=4cm, :AC⊥BD, ·AB=VOA2+0B2=5cm, .菱形ABCD的周长为5×4=20cm. 故选：B 3如图，菱形ABCD中，AB=4cm,∠BCD的度数是∠B度数的2倍，则对角线AC长为() A.4cm B.4v3 cm C.4v5 cm D.20 cm 【答案】A 【解析】，四边形ABCD是菱形， .'.ACB=BCD,AB=BC=4cm, .∠BCD的度数是∠B度数的2倍， ..B-zBCD. .∠B=∠ACB, ∴.AC=AB=4cm, 故选：A 4如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排 挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定.已知菱形ABCD的边长为10cm, 要使两排挂钩的距离（即AC)为16cm,则BM之间的距离是 cm. 【答案】36 【解析】如图，设AC与BD交于点0 则A0=2AC=2×16=8cm,AC1BD, ·0B=√AB2-0A2=V102-82=6(cm), .BD =20B 12 cm, .BM=3BD =36 cm, 故答案为：36. 5如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DEIIAC,过C点作CEBD,两线交 于E点，连接OE、AE,AE交OD于点F. C (1)求证：0E=CD: (2)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，求AE的长. 【答案】（1)证明：CElIBD,DEIlAC, ∴.四边形OCED是平行四边形， 四边形ABCD是菱形，AC、BD为对角线， AC⊥BD, .∠C0D=90°， ∴.平行四边形OCED是矩形. OE=CD. (2)解：·四边形ABCD为菱形，且边长为4， ·AD=AB=4,AC⊥BD,A0=C0=AC, ∠C0D=90°， 又：∠ABC=60°， ·△ABC是等边三角形， AC=AB=4, 在Rt△A0D中，由勾股定理得：0D=√AD2-A02=V42-22=2V3, 由（1)得四边形OCED是矩形， ·CE=0D=2V3,∠0CE=90°， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE=VAC2+CE2=42+(2√3子=2V7, 3利用菱形的性质求面积 1如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过，点D作DH⊥AB于点H,若HA=HB=1,则 菱形ABCD的面积是() B H ○ D A.3 2 B.1 0.23 D.4 【答案】C 【解析】，DH⊥AB,HA=HB=1, ∴.AD=BD,AB=2, ,四边形ABCD是菱形， .'.AD=AB, .△ABD是等边三角形， ∴.AD=2, ..DH =VAD2-AH2=22-12=3, ..SABCD 2SABD =2x 2x3=23, 故选：C 2如图，菱形ABCD的边长是5，对角线AC,BD相交于点O,若BD=6,则菱形ABCD的面积是 () 夕 D A.6 B.12 C.24 D.48 【答案】C 【解析】，四边形ABCD是菱形， ..AC=20A,OB=BD=3,ACLBD, ∴.0A=VAB2-0B2=4, ∴.AC=20A=8, ∴S菱形ABCD=2AC,BD=2×6X8=24, 故选：C 3如图，菱形ABCD的边长为V5,对角线AC,BD相交于点O,且OA=1,则菱形ABCD的面积为 () A.5 B.25 C.2 D.4 【答案】D 【解析】.：菱形ABCD的边长为V5,对角线AC,BD相交于点O, ∴.AC=20A=2,BD=20B,AC⊥BD, 在Rt△AB0中，由勾股定理得0B=VAB2-0A2=2, ∴.BD=20B=4, ∴S菱形ABCD=2AC·BD=4, 故选：D 4如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，DE⊥BC于点E,交对角线AC于点P,过点P作PF⊥CD 于，点F.若PD+PF=1,则菱形ABCD的面积为 B 【答案】V2 【解析】：四边形ABCD是菱形， ·AC平分∠BCD,∠BAD=∠DCB=45°， 又'PF⊥DC,PE⊥BC, PE=PF, DP PF=1, .PD PE=1, DE=1, DE⊥BC,∠DCB=45°， ·DC=V2DE=V2=BC ·菱形ABCD的面积=V2X1=V2, 故答案为：√2 5如图，已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF. B E (1)求证：四边形AECF是矩形； (2)若AB=6,求菱形的面积. 【答案】（1)证明：，四边形ABCD是菱形， .'.AB=BC, 又.AB=AC, .△ABC是等边三角形， E是BC的中点， ∴.AE⊥BC, .∠AEC=90°， E、F分别是BC、AD的中点， ..AF=AD,EC=BC, ,四边形ABCD是菱形， ∴.AD II BC且AD=BC, ∴.AF I EC且AF=EC, 则四边形AECF是平行四边形， 又.∠AEC=90°， ∴.四边形AECF是矩形： (2)解：，△ABC是等边三角形，AB=6, ∴S菱形ABCD=2 SAABC=2X3X62=18√3. 4利用菱形的性质证明 1如图，在菱形ABCD中，E是CD边上一点，连接AE,点F,G均在AE上，连接BF,DG,且 ∠BFE=∠BAD,只添加一个条件，能判定△ABF兰△DAG的是() 夕 D A.∠DGE=∠BAD B.BF=DG C.AF=DG D.∠EDG=∠BAD 【答案】A 【解析】~四边形ABCD是菱形， ..AB=DA, '∠BFE=∠BAD, ·.∠ABF+∠BAF=∠DAG+∠BAF, ∴∠ABF=∠DAG, 当∠DGE=∠BAD时，∠ADG+∠DAG=∠DAG+∠BAF, ·∠BAF=∠ADG, ·△ABF≌△DAG(ASA). 2证明命题“菱形的一条对角线平分这一组对角”. 已知：如图3，AC是菱形ABCD的一条对角线. 求证：∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA. 证明：'四边形ABCD是菱形， …y ∴.∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA. 以下是“…”处排乱的证明过程：①∴.△ABC=△ADC;②AC=AC;③∴DA=BA, DC=BC.正确的证明顺序是() A.①②③ B.③①② C.②①③ D.③②① 【答案】D 【解析】四边形ABCD是菱形， ③.DA=BA,DC=BC. ②.AC=AC, ①.△ABC≌△ADC(SSS), ∴.∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA. 故选D. 3如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点C作CEIBD交AB于点E,下列结论不 一定正确的是（) A.OD=CE B.BD平分∠ABC C.BC=AE D.BE=BD 【答案】D 【解析】四边形ABCD是菱形， ..AB=BC=CD,ABlICD DO=BD, .CEllBD, ∴.四边形CDBE是平行四边形， ∴.BD=CE, 六0D=CE, 故选项A不符合题意： ‘为四边形ABCD是菱形， ∴.BD平分∠ABC, 故选项B不符合题意； 四边形CDBE是平行四边形， .'.BE CD, .'AB=BC=CD, ∴BC=AE, 故选项C不符合题意； ,不能得出四边形DBEC是菱形， ∴BE不一定等于BD,故选项D符合题意； 故选：D. 4如图1，将一张菱形纸片ABCD(LADC>90)沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD,再将 △BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角Q,使C=2∠ADB,得到如图2所示的△DB'C, 连接AC,BB,∠DAB=45°，有下列结论：①AC=BB;②AC⊥AB;③LCDA=90°；④BB'= V3AB.其中正确结论的序号是 (把所有正确结论的序号都填在横线上) D D 图1 B 图2 【答案】①②③ 【解析】如图2中，过点D作DE⊥BB于点E, B 图2 B 由旋转的性质，得DB=DB, ∴LBDE=LB'DE=A=∠ADB,∠DEB=90, .'BA AD, ∴.∠ABD=∠ADB, .∠BDE=∠ABD, .DE‖AB. 同理，DE II CB', ∴.AB II CB', 又.AB=CB, ∴.四边形ABBC是平行四边形， 又.DE II AB,∠DEB=90°， ∴.∠ABB=180°-90°=90°， ∴.四边形ABBC是矩形， .AC=BB;AC⊥AB;故①②正确： .'∠DAB=45°， ∴.∠DAC=45°， .'AD CD. ∴.∠DCA=∠DAC=45°， ∴.∠CDA=90°；故③正确， ,△ADC是等腰直角三角形， .AC=V2AD=√2AB, .'BB'=AC, ∴.BB=√2AB,故④错误， .正确的有①②③， 故答案为①②③. 5如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DEAC,且DE=AC,连接CE.求证： 四边形OCED为矩形， G E δ B 【答案】证明：四边形ABCD是菱形， .C0=2AC,∠C0D=90, DEHAC.DE=AC. ..DE=CO, ∴.四边形OCED为平行四边形. .'∠C0D=90°， ∴.四边形OCED为矩形. 5菱形中的翻折问题 1如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一，点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B'上，连 接DB.已知∠C=120°、∠BAE=50°，则∠ABD的度数为() B E\ A.50° B.60° C.80° D.90° 【答案】C 【解析】由翻折得∠B'AE=∠BAE=50°，AB=AB', :四边形ABCD是菱形， AB=AD,∠BAD=∠C=120°， ·.∠BAD=∠BAD-2∠BAE=20°， .AB'=AD, ÷∠ABD=180°-BAD=180,20=80, 2 2 故选：C. 2如图，AC为矩形ABCD的对角线，，点E、F分别在边BC、AD上，将边AB沿AE折叠，点B恰好 落在AC上的，点M处，将边CD沿CF折叠、点D恰好落在AC上的点N处，若四边形AECF是菱形， 则∠BAE的度数为（) D M B A.30° B.40° C.45° D.50° 【答案】A 【解析】四边形ABCD是矩形， .∠BAD=90°， 由折叠的性质得：∠BAE=∠MAE, 四边形AECF是菱形， ∴.∠MAE=∠MAF, ∴.∠BAE=∠MAE=∠MAF, .'∠BAE+∠MAE+∠MAF=∠BAD=90°， ∴.∠BAE=30°， 故选：A. 3如图，菱形ABCD中，∠A=120°，E是AD上的，点，沿BE折叠△ABE,,点A恰好落在BD上的，点 F,那么∠BFC的度数是 D 8 【答案】75° 【解析】四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC,∠A+∠ABC=180°，BD平分∠ABC, ,∠A=120°， ∴.∠ABC=60°， .∠FBC=30°， 根据折叠可得AB=BF, ∴.FB=BC, ∴.∠BFC=∠BCF=（180°-30°)÷2=75°， 故答案为：75°. 4如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，G,E分别在边BC,CD上，BG=DE,将AED沿AE折叠，点 D落在AG的延长线上的，点F处，则∠FEC= A B 【答案】20 【解析】四边形ABCD是菱形， ∴.AB=AD,∠B=∠D=60°， ∴.∠BAD=120°， 在△ABG和△ADE中， (AB=AD ∠B=∠D, BG=DE .△ABG兰△ADE(SAS), ∴.∠BAG=∠DAE, '.将△ADE沿AE折叠后得△AFE, ∴.∠DAE=∠FAE,∠AED=∠AEF, .LDAE=BAD=号×120°=40， ∴.在△ADE中，∠AED=180°-∠DAE-∠D=180°-40°-60°=80°， .∴.∠FEC=180°-2∠AED=180°-160°=20°， 故答案为：20. 6菱形中的动点问题 1如图，在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,E是CD边上一动，点，过点E分别作EF⊥OC于点F, EG⊥OD于点G,连接FG,则FG的最小值为（) A.2.4 B.3 0.4.8 D.4 【答案】A 【解析】连接OE, 四边形ABCD是菱形，AC=8,BD=6, ∴AC1BD,0C=0A=AC=×8=4,0B=0D=BD=3×6=3, ∴.∠C0D=90°， .CD=√0C2+0D2=V42+32=5, .EF⊥OC,EG⊥OD, ∴.∠EF0=∠EG0=90°， ∴.四边形OGEF为矩形， ∴.0E=GF, 当OE⊥CD时，OE值最小， 此时，SAoc=DC,0E=OD.0C, .0E=0D0C=3X4=2.4, CD 5 ∴.FG的最小值为2.4. 故选：A D G B 2如图，在菱形ABCD中，AB=6cm,∠A=60°，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点 B运动，同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向点B运动，设点P的运动时间为tS, 当△PDQ为等边三角形时，t的值为() B←—O A.1 B.1.3 C.1.5 D.2 【答案】D 【解析】如图，延长AB至点M,使BM=AP,连接QM. M .'四边形ABCD是菱形，∠A=60°， ∴.AB=AD, .∠APD+∠ADP=120°， .'BM =AP, ∴.AD=MP, ,△PDQ为等边三角形， ∴.DP=PQ,∠DPQ=60°， ∴.∠MPQ+∠APD=120°， ∴.∠ADP=∠MPQ. 在△ADP和△MPQ中， AD=MP ∠ADP=∠MPQ, DP=PQ ∴.△ADP≌△MPQ(SAS), ∴.AP=MQ,∠M=∠A=60°. 又BM=AP, ∴.△BMQ是等边三角形， ∴.BQ=AP .'AP =t,CQ=2t, ∴.BC=CQ+BQ=3t. '.'BC=6 cm. ∴.t=2s. 故选：D. 3如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°。，在对角线AC上任取一点P(端点除外)，连接PD、 PB.在BA的延长线上取一点Q,使PD=PQ.当点P在线段AC上移动时：①∠PDA=∠PBA; ②当点P沿CA方向运动时，∠DPQ的度数先变小，后变大：③PC=AQ:④PB=PD.其中，说 法正确的序号是 D 0 【答案】①③④ 【解析】连接DQ,过点P分别作PE⊥AD于点E,PF⊥AB于点F,如图所示， D B :四边形ABCD为菱形， .AD=DC=AB,∠DAP=∠BAP. AP=AP, △ADP≌△ABP(SAS), ·∠PDA=∠PBA,PD=PB, “①和④正确. ∠ABC=60°，AB=BC, ·△ABC为等边三角形， .∠CAB=∠CAD=60°. PE⊥AD,PF⊥AB, PE=PF,∠PED=∠PFQ=90°. PD=PQ, ·Rt△PDE≌Rt△PFQ(HL). ∠DPE=∠QPF, ∴∠DPQ=∠EPF=360°-90°-90°-120°=60°. ∠DPQ为定值. ·②不正确」 ∠DPQ=60°，PD=PQ, ·△PDQ是等边三角形. DP=DQ,∠PDQ=60°， ·∠ADQ=∠PDQ-∠PDA=60°-∠PDA=∠CDP, DA=DC,∠DAQ=180°-∠DAB=60°=∠DCP, ∴△DCP≌△DAQ(ASA. ·PC=AQ ·③正确. 故答案为：①③④ 4在菱形ABCD中，∠C120°，，点E是AD边的中点，点P是对角线BD上的动点，则当PA+PE 的值最小时，∠APB= B 【答案】60° 【解析】如图，连接AC,CE,AC交BD于点O, 四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD,AO=C0,AB//CD,AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠ADC, ∴.AP=CP,∠ABC+∠BCD=180°， .∠BCD=120°， ∴.∠ADC=∠ABC=60°， ∴.△ABC和△ACD都是等边三角形， 又点E为AD的中点， ∴.CE⊥AD, .'CP+PE≥CE,AP=CP, ∴.当C,P,E三点共线时，PA+PE的值最小，等于CE的长， 此时，∠ADP=∠DAP=30°， .∴.∠APB=30°+30°=60°. 故答案为：60°. 5如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠DAB=60°，点E是AD边的中点，，点M是AB边上的一个动 点（且不与点A重合)，延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN. (1)求证：△NED兰△MEA: (2)当AM为何值时，四边形AMDN是矩形？并说明理由. 【答案】（1)证明：四边形ABCD为菱形， .'CD II AB, .∠DNE=∠AME. ,E为AD的中点， .∴.DE=AE 在△NED和△MEA中， ∠DNE=∠AME ∠DEN=∠AEM, DE=AE ∴.△NED兰△MEA(AAS): （2)解：当AM=2时，四边形AMDN是矩形， 理由如下： 由(1)知△NED兰△MEA, .∴.NE=ME. 又DE=AE, .四边形AMDN是平行四边形. '在菱形ABCD中，AB=AD=4,M为AB的中，点， ∴.AE=AM=2. 又.∠DAB=60°， ∴.△MEA为等边三角形， ∴.ME=AE=2, ∴.MN=AD=4, ∴.平行四边形AMDN为矩形， 6在△ABC中，AB=AC,点D为射线BC上一动，点(，点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形 ADEF,使∠DAF=∠BAC,连接CF. B D C D 图1 图2 ()如图1，当点D在线段BC上时，直接写出线段BD与CF的数量关系； (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上，且∠BAC=90°时，求证：CF-CD=2AC. 【答案】解：（1)·四边形ADEF是菱形， ..AD=AF, :∠BAC=∠DAF, ·∠BAD=∠CAF, AB=AC, ∴△BAD≌△CAF(SAS), ·BD=CF (2):四边形ADEF是菱形， .AD=AF, '∠BAC=∠DAF, ∠BAD=∠CAF, .AB=AC, ·△BAD≌△CAF(SAS), .BD=CF, AB=AC,∠BAC=90°， 由勾股定理，得BC=V2AC, .BD-CD BC=12AC, ..CF-CD=12AC. A B CD 7用定义判定菱形 1如图，在☐ABCD中，AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,当 四边形ECDF为菱形时，则a的值为（) 力 E C D A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】四边形ABCD是平行四边形， .AB II CD,CE II FD,CD=AB=4, :将线段AB水平向右平得到线段EF, AB II EF II CD, ·四边形ECDF为平行四边形， 当CD=CE=4时，□ECDF为菱形， 此时a=BE=BC-CE=6-4=2. 故选：B 2如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ACED为菱形的 是（) A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60° 【答案】B 【解析】将△ABC沿BC方向平移得到△DCE, ∴.AC平行且等于ED, ∴.四边形ACDE为平行四边形， 当AC=BC时，则DE=EC, .平行四边形ACED是菱形. 故选B 3汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受定 的人们祈福.人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝 带重叠部分形成的图形是() A.正方形 B.等腰梯形 C.菱形 D.矩形 【答案】C 【解析】过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,因为两条彩带宽度相同， 所以AB∥CD,AD∥BC,AE=AF, .∴.四边形ABCD是平行四边形. :'S□ABcD=BCAE=CDAF.又AE=AF. .'.BC=CD ∴.四边形ABCD是菱形. 故选：C. B 4如图，在矩形ABCD中，AD=2AB,AM=CN,,点M、N分别在边AD、BC上，连BM、DN.若 带=则四边形MBND的形找是 M D B 【答案】菱形 【解析】四边形ABCD是矩形， .AD BC,ADII BC,AB=CD, AM=CN, DM=BN, ∴.四边形MDNB是平行四边形， AM3 MD=5' ·.设AM=3X,MD=5X, ..AD =8x, AD=2AB, ·.AB=4X, ·BM=√AB2+AM2=V9x2+16x2=5x, ÷BM=MD ∴.平行四边形MBND是菱形， 故答案为：菱形 5如图，已知AB∥CD,∠BAC的平分线与CD交于点E,∠ACD的平分线与AB交于点F,试说明： 四边形ACEF是菱形. D 【答案】证明：AB∥CD, .∴.∠AFC=∠ECF .CF平分∠ACD, ∴.∠ECF=∠ACF, ∴.∠ACF=∠AFC, .'.AF=AC, 同理：AC=CE, ∴.AF=CE=AC, 又.AF∥CE, .'.四边形ACEF是平行四边形， .'AF=AC, ∴.四边形ACEF是菱形. 8用边判定菱形 1四条边都相等的四边形是（) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.任意四边形 【答案】C 【解析】四条边都相等的四边形是菱形， 故选：C 2如图，已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC, 则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是() A.一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.四条边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直的平分四边形是菱形 【答案】B 【解析】如题图所示； ,将△ABC延底边BC翻折得到△DBC, ∴.AB=BD,AC=CD, .'AB=AC, ∴.AB=BD=CD=AC, ∴.四边形ABDC是菱形， 故选B. 3如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且LCDE=∠BDC,∠DCE=∠ACD.求证： 四边形OCED是菱形. 【答案】证明：：四边形ABCD是矩形， OC=AC,OD=BD,AC=BD. 0C=0D. ·∠CDE=∠CDO,CD=CD,∠DCE=∠DCO, △EDC兰△ODC. DE=DO,CE=CO. ..OC=OD=DE=CE. ·四边形OCED是菱形. 4如图，△BAD是由△BEC在平面内绕，点B旋转60°而得，且AB⊥BC,BE=CE,连接DE. E (1)求证：△BDE兰△BCE; (2)试说明四边形ABED为菱形. 【答案】（1)证明：△BAD是由△BEC在平面内绕，点B旋转60°而得， ·DB=CB,∠ABD=∠EBC,∠ABE=60°， AB⊥BC, ∠ABC=90°， .∠DBE=∠CBE=30°， 在△BDE和△BCE中， DB=CB ∠DBE=∠CBE, BE=BE ·△BDE≌△BCE(SAS): (2)解：由（1)得△BDE≌△BCE, :△BAD是由△BEC旋转而得， .△BAD兰△BEC, .BA=BE,AD=EC=ED, 又BE=CE, ·AB=BE=ED=AD, 四边形ABED为菱形 9添加一个条件是菱形 1如图，平行四边形ABCD中，点EF在对角线BD上，且BE=DF,要使四边形AECF为菱形，现 有三种方案： ○ B ①只需要满足∠ABE=∠CBE: ②只需要满足AE=CF; ③只需要满足AC⊥EF 则上述方案正确的是（) A.①②③ B.①③ c.③ D.②③ 【答案】B 【解析】在平行四边形ABCD中，AO=OC,BO=OD,ADIIBC, .'BE=DF, ∴.E0=0F, ∴.四边形AECF是平行四边形， ①.ADIIBC, ∴.∠ADB=∠DBC, '∠ABE=∠CBE, ∴.∠ADB=∠ABE, ∴.AB=AD, .平行四边形ABCD是菱形， .AC⊥DB, .平行四边形AECF是菱形，①符合要求： ②：平行四边形AECF中存在AE=CF, 根据②，无法确定平行四边形AECF是菱形，②不符合要求； ③·平行四边形AECF中，AC⊥EF, ∴.平行四边形AECF是菱形，③符合要求； 故选：B. 2如图，☐ABCD的对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的 是() A.A02+BO2=AB2 B.AB=AD C.OA=OD D.∠AB0=∠OBC 【答案】C 【解析】.A02+B02=AB2, .∠A0B=90°，即AC⊥BD, .□ABCD是菱形， 故选项A正确，但不符合题意； .'AB=AD, □ABCD是菱形， 故选项B正确，但不符合题意； '四边形ABCD是平行四边形， ∴.0A=AC,OD=BD 又0A=OD, .'.AC=BD, ∴.☐ABCD是矩形， 故选项C错误，符合题意： .四边形ABCD是平行四边形， .'ADlIBC, .∠ADB=∠DBC, 又∠AB0=∠OBC, ∴.∠ADB=∠ABD, .'.AB=AD, .□ABCD是菱形， 故选项D正确，但不符合题意； 故选：C 3嘉嘉自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点0，AC⊥BD, OB=OD.求证：四边形ABCD是菱形.”并将自己的证明过程与同学淇淇交流. 证明：AC⊥BD,OB=OD, ∴.AC垂直平分BD, .'.AB=AD,CB=CD. .四边形ABCD是菱形. D 淇淇看完后认为这个题目需要补充一个条件才能证明.下列正确的是() A.题目严谨，不用添加条件 B.题目不严谨，可补充：OA=OB C.题目不严谨，可补充：ADI川BC D.题目不严谨，可补充：AB⊥BC 【答案】C 【解析】根据题意得：嘉嘉的说法无法证得四边形ABCD是菱形，故A选项不符合题意： 若添加OA=OB无法说明四边形ABCD是平行四边形， 则不能得到四边形ABCD是菱形，故B选项不将合题意： 若添加ADIIBC, .ADIIBC, ∴.∠ADB=∠CBD,∠CAD=∠ACB, .'OB=OD, ∴.△AOD≌△COB, ∴.0A=0C, ∴.四边形ABCD是平行四边形， .AC⊥BD, ∴.四边形ABCD是菱形，故C选项符合题意； 若添咖AB⊥BC无法说明四边形ABCD是平行四边形， 则不能得到四边形ABCD是菱形，故D选项不符合题意； 故选：C. 4如图，四边形ABCD是平行四边形，分别延长AD、CB至点F、E,使得BE=D,连接 AE,CF.请再添加一个条件： ,使得四边形AECF是菱 形，并说明理由.（不再添加任何线条、字母) D E B 【答案】AE=EC（答案不唯一) 【解析】添加条件AE=EC, 理由：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,AD II BC, .'BE=DF, ∴.CE=AF, ∴.四边形AECF是平行四边形， .'AE=EC, ∴.四边形AECF是菱形. 故答案为：AE=EC（答案不唯一) 5如图，已知平行四边形ABCD中，延长AB至，点E,使BE=AB,连接BD和CE. D B E (1)求证：△DAB兰△CBE; (2)请你给图中☐ABCD补充适当的条件，使四边形DBEC成为菱形：请结合补充条件证明. 【答案】（1)证明：，平行四边形ABCD, ∴.ADIIBC,AD=BC, ∴.∠CBE=∠DAB, '.'BE=AB, ∴.△DAB兰△CBE(SAS) (2)解：补充条件为：AB=AD且∠A=60°， 证明如下：在平行四边形ABCD中，DCIIBE,DC=AB=BE. ∴.四边形DBEC是平行四边形， ,'AB=AD且∠A=60°， ∴.△ABD是等边三角形， .'.AB=BD, 又，BE=AB. ∴.BD=BE, ∴.平行四边形DBEC是菱形. 6如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点B作BP II AC,过点C作CP II BD,BP与CP相 交于点P (1)证明四边形BPC0为平行四边形； (2)给口ABCD添加一个条件，使得四边形BPCO为菱形，并说明理由. 【答案】（1)证明：.BP II AC,CP I BD, ∴.四边形BPCO是平行四边形： (2)解：添加条件AC=BD,理由如下： ‘四边形ABCD是平行四边形， ..OC=AC,OB=BD, AC=BD, .0B=0C, .平行四边形BPCO是菱形. 10综合利用菱形的判定与性质进行求解 1在☐ABCD中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示.若BE=6,AB=5,则AG=() A.10 B.8 C.6 D.4 【答案】B 【解析】如图，连接GE,设AG,BE交，点为0， B 由尺规作图得：AG是∠BAE的角平分线，AB=AE, ∴.∠BAG=∠EAG, ,四边形ABCD是平行四边形，BE=6,AB=5, ∴.ADIBC, ∴.∠EAG=∠AGB, ∴.∠BAG=∠AGB, .'BG=AB=5, ∴.AE=BG, .'AEllBG, ∴.四边形ABGE是平行四边形， .‘AB=BG, ·四边形ABGE是菱形， AG L BE,OB=BE=3,A0=AG, 在Rt△ABO中， ·A0=NAB2-0B2=4, ∴AG=2A0=8. 故选：B. 2如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于，点O,DEIIAC,CEllBD,若AB=8,BC=6,则 四边形OCED的周长为() E A A.20 B.40 C.4v7 D.8V7 【答案】A 【解析】四边形ABCD为矩形， ..ABC=90,AC=BD,OC=AC.OD=BD, .0C=0D=2AC, ,AB=8,BC=6, ∴.AC=VAB2+BC2=V82+62=10, .0C=0D=5, .'DEllAC,CEllBD, ∴.四边形OCED是平行四边形， .0C=0D=5, ∴四边形OCED是菱形， ∴.四边形0CED的周长为5×4=20， 故选：A. 3如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶，点C落到点E处，BE交AD于点 F.过点D作DG II BE,交BC于点G,连接FG交BD于点0，AB=3,AD=4,则FG= E B G 【答案】只 【解析】由折叠的性质可知：∠DBG=∠FBD, .'ADIIBC, ∴.∠DBG=∠FDB, .∠FBD=∠FDB, .'DF=BF, 四边形ABCD是矩形， ∴.ADIBC, .'FD II BG, 叉.DG II BE, .四边形BFDG是平行四边形， .'DF=BF, ∴.四边形BFDG是菱形： AB=3,AD=4, .BD=5, ∴.0B=0D=BD=2.5. 设DF=BF=X, .'.AF=AD-DF=4-x. .在直角△ABF中，AB2+AF2=BF2,即32+(4-x)2=x2, 解得x=, 即DG=FD=25 ∴.0F=VFD2-0D2= 2 .FG=2F0=15 4 故答案为：， 15 4如图，在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB,分别以，点A,B为圆心，OA长为半 径作弧，两孤交于点C,连接AC、BC、AB、OC,若AB=4cm,四边形0ACB的面积为20cm2, 则0C的长为 cm. M B 【答案】10 【解析】根据作图，AC=BC=OA, OA=OB, ·OA=OB=BC=AC, ·四边形OACB是菱形， ·AB=4cm,四边形0ACB的面积为20cm2, ×2AB.0C=2×4×0C=20, 解得0C=10cm. 故答案为：10. 5如图，在口ABCD中，BD是它的一条对角线，作BD的垂直平分线EF,分别交AD,BC,BD于 点E,F,O D B (1)求证：AE=CF: (2)连接BE,DF,若∠DBE=25°，求∠EDF的度数 【答案】（1)证明：如图所示： E B :四边形ABCD是平行四边形， .AD II BC,AD=BC, ·∠ED0=∠CB0, :EF垂直平分BD, .OD=0B, 在△EOD和△COB中， (∠EDO=∠CBO OD=OB ∠EOD=∠FOB ·△EOD兰△COB(ASA), .ED FB, AE=AD-ED,CF=BC-FB,AD=BC, ·AE=CF; （2)解：连接BE、DF,如图所示： E D B 由（1)知△EOD兰△C0B, OE=OF,OD=OB, ∴.四边形BEDF是平行四边形， :EF垂直平分BD,即EF⊥BD, ∴.四边形BEDF是菱形， ·BE=DE, ·.∠BDE=∠DBE=25°， :菱形BEDF中，对角线BD平分∠EDF, ·∠EDF=2∠BDE=50°， 11综合利用菱形的判定与性质进行证明 1如图，现有一张矩形纸片ABCD,AB=4,AD=8,点M,N分别在矩形的边AD,将矩形纸片 沿直线MN折叠，使点C落在AD边上点P处，连接PC,交MN于点Q, ①CQ=CD: ②四边形CMPN是菱形； ③P,A重合时，MN=2W5: ④，点C、M、G三点共线 其中正确的结论有（) G D B N A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】PMICN, ·∠PMN=∠MNC, 由翻折可知：∠MNC=∠PNM, ∠PMN=∠PNM, .PM=PN, NC=NP, .PM=CN, MP II CN, ·.四边形CNPM是平行四边形， CN=NP, :四边形CNPM是菱形，故②正确： ·CP⊥MN,∠BCP=∠MCP, ·∠MQC=∠D=90°， CM=CM, 若CQ=CD,则Rt△CMQ≌Rt△CMD(HL), ·∠DCM=∠QCM=∠BCP=30°，这个不一定成立，故①错误； 点P与点A重合时，如图2， G A(P) M D B 图2 设BN=X,则AN=NC=8-X, 在Rt△ABN中，AB2+BN2=AN2, 即42+x2=(8-x)2, 解得x=3, CN=8-3=5, :AC=VAB2+BC2=V42+82=45, .CQ=AC=2v5, .QN =CN2-CQ2=25-20=5, ·MN=2QN=2√5，故③正确； 由折叠可知：GM‖PN, .∠PMG=∠MPN, :四边形PNCM是菱形， .∠MPN+∠PMC=180°， .∠PMG+∠PMC=180°， C,M,G三点一定在同一直线上，故④正确， 综上所述：正确的结论有②③④，共3个， 故选：C. 2如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，BC=BD,E是CD边的中点，连接BE并延长，交AD 的延长线于点F,则下列结论：①BCI‖AF;②四边形BDFC是平行四边形：③BD=DF:④ BE=BD.其中正确的个数为() B D A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】.∠A=∠ABC=90°， .∠A+∠ABC=180°， ∴.BCIIAF,故①正确； .'BCIIAF, ∴.∠DCB=∠CDF,∠FBC=∠BFD, 又DE=EC, ∴.△BCE≌△FDE(AAS), ∴.DF=BC, 又.BCIIDF, ∴.四边形BDFC为平行四边形，故②正确： ,四边形BDFC为平行四边形，BC=BD, ∴.四边形BDFC是菱形， ∴.BD=DF,故③正确； .四边形BDFC是菱形， ∴.BF⊥CD, .∠BED=90°， ∴.BD>BE,故④错误. ∴.正确的结论为①②③， 故选：C. 3如图，在口ABCD中，分别以B,D为圆心，大于BD的长为半径画孤，两孤相交于点M,N, 过M,N两点作直线交BD于点O,交AD,BC于点E,F,下列结论不正确的是() M A E F A.AE=CF B.DE=BF C.OE=OF D.DE=DC 【答案】D 【解析】根据作图可知：EF垂直平分BD, ∴.B0=D0, .,点0为□ABCD的对称中心， E D B N米 ∴.BE=ED,BF=FD, .'FE EF, ∴.△BFE≌△DFE(SSS), .∠BFE=∠DFE, ,'在□ABCD中，ADIIBC,AD=BC, ∴.∠BFE=∠DEF, ∴.∠DFE=∠DEF, .'DE DF, ∴BE=DE=DF=BF,故B正确； ∴.AD-DE=BC-BF, ∴.AE=CF,故A正确； ∴.四边形BFDE是菱形， ∴.0E=OF,故C正确； DE与DC不-一定相等，故D错误， 故选：D. 4如图，CE是□ABCD的边AB的垂直平分线，垂足，点为，点O,CE与DA的延长线交于点E,连接 AC,BE,DO,则下列结论：①LACD=∠BAE;②四边形ACBE是菱形：③AD=BE:④SACOD =3S△BOE,其中正确的结论有 (填写所有正确结论的序号)· E A D》 【答案】①②③ 【解析】，四边形ABCD是平行四边形， .'ABIICD,AB=CD,CB=AD,CBIIAD, .EC垂直平分AB, ..OA=OB=AB=DC,CA=CB, .'OAlIDC, .CE⊥CD .△DCE为直角三角形， .'CB=AD,CA=CB, .∴.CA=AD, ∴.∠ADC=∠ACD, ,∠ADC+∠AEC=90°，∠ACD+∠ACE=90°， ∴.∠AEC=∠ACE, .'.AE=CA, ∴.CB=AE, .'CBIIAE, ∴.四边形ACBE是平行四边形， .'CA=CB, ∴.四边形ACBE是菱形，故②正确， ∴.BE=AC,∠BAE=∠BAC, .'AC=AD .AD=BE,故③正确， .'ABIICD, ∴.∠ACD=∠BAC, .'∠BAE=∠BAC, ∴.∠ACD=∠BAE,故①正确； 0A=OB=AB=DC, ∴.CD=20B, .'ABIICD. .SACOD=2S△BOC, 四边形ACBE为菱形， ∴.SABOE=S△BOC, ∴.SACOD=2S△B0E, ,S□ABCD=ABX CO,故④错误； 综上分析可知：①②③正确： 故答案为：①②③. 5如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC,AC⊥BD交于，点O,过四边形ABCD的顶，点A作 AF⊥AD,且AD=AF,线段AF交OB于点H,交BC于点E,若D、C、F三点共线，则以下说法： ①四边形ABCD为菱形；②AB·AE=AC·BD;③∠AHD=∠CAD;④OH+OC=BH,正确 的有 B E F 【答案】①③ 【解析】，AD=AB,AC⊥BD, ∴.AC垂直平分BD, ∴BC=CD, ∴.BC=CD=AD=AB, ∴.四边形ABCD为菱形，故（①正确： ,·四边形ABCD为菱形， ∴ADIBC,S菱形ABCD=ACBD, ,AF⊥AD, ∴.AE⊥BC, ∴.S菱形ABCD=BCAE=AB·AE, ∴ABAE=ACBD,故②错误； .AF⊥AD, ∴.∠DAH=90°， ∴.∠AHD+∠ADH=90°， AC⊥BD, ∴.∠A0D=90°， .∠CAD+∠AD0=90°， ∴.∠AHD=∠CAD,故③正确： 连接CH,在OC上取一点Q,使得OH=OQ,连接HQ, A D B F .'AF⊥AD,AD=AF, .∠ADF=∠F=45°， ,四边形ABCD是菱形， ∴.∠ABC=∠ADC=45°，ADIICB, .AE⊥BC, ∴.∠AEB=∠AEC=90°， .∠BAE=∠ABC=45°， ∴BE=AE, '.'DA=DC, ∴.∠DAC=∠DCA=67.5°， ∴.∠EAC=∠EBH=22.5°， ∴.△BEH兰△AEC(ASA), ∴.BH=AC=20C, BD垂直平分线段AC, ∴.HA=HC .∠HCA=∠HAC=22.5°， .0Q=0H, ∴.∠0HQ=∠0QH=45°， ,∠OQH=∠QHC+∠QCH, ∴.∠QHC=∠HCQ=22.5°， .'QH QC=120H, 设0H=m,则0Q=m,HQ=CQ=V2m, .0C=m+√2m, .'.OH OC m +m+v2m 2m+12m, :BH=9×20c=V2(m+2m)=2m+2m, ∴OH+0C=BH,故④错误； ∴.正确的有①③， 故答案为：①③： 6如图，△ABC中，D是BC上一点，DE II AC交AB于E,DF II AB交AC于F. B D ()求证：四边形AEDF是中心对称图形； (2)若AD平分∠BAC,求证：点E,F关于直线AD对称. 【答案】证明：(1)DE II AC,DF II AB, ·四边形AEDF是平行四边形， ·四边形AEDF是中心对称图形； (2)AD平分∠BAC, ·∠BAD=∠CAD, 又'DE II AC, ∠CAD=∠ADE, ·∠BAD=∠ADE, AE=DE, 又：四边形AEDF是平行四边形， ·四边形AEDF是菱形， .AD垂直平分EF, ·点E、F关于直线AD对称 7如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD,AC=16,BD=12,AC,BD相交于点0. B (1)求AB的长； (2)若CElIBD,BEAC,连接OE,求证：OE=AD. 【答案】（1)解：.四边形ABCD是平行四边形，AB=AD, ∴.平行四边形ABCD是菱形， ..0A=OC=AC=8,OB=OD=BD=6,ACL BD, .∠A0B=90°， ∴.AB=0A2+0B2=V82+62=10. （2)证明：.CElIBD,BEAC, .四边形OBEC是平行四边形， 由（1)得，四边形ABCD是菱形， ∴AD=BC,AC⊥BD, .∠B0C=90°， ∴.平行四边形OBEC是矩形， ∴.OE=BC, ∴.OE=AD