湖北鄂州市华容高级中学等校2025-2026学年高二下学期4月联考数学试题

**基本信息** 覆盖向量、数列、导数、立体几何等模块，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理和空间观念等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|向量投影（1）、数列递推（8）、空间距离（4）|周期数列结合概率（3），排列组合实际应用（5）| |填空题|3题15分|等差数列（12）、导数几何意义（13）|相邻方格涂色计数（14），考查分类讨论| |解答题|5题77分|导数极值（15）、立体几何二面角（18）、数列求和（17）|菱形折叠动态问题（18），导数与恒成立综合（19），体现逻辑推理与数学建模|

高 二 数 学 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容:人教A版选择性必修第一册第一章,选择性必修第二册,选择性必修第三册第六章6.1-6.2。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 2.函数f(x)=2x3-7x2-4x+1的极值点之和为 A. B. C. D. 3.已知周期数列{an}为1,3,-2,1,3,-2,1,3,-2,…,若从该数列的前14项中任选2项,则这2项都大于1的概率为 A. B. C. D. 4.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),D(3,3,1),则点D到平面ABC的距离为 A. B. C. D. 5.用4个1、3个2、3个3组成一个十位数,则3个2相邻的十位数的个数为 A.280 B.420 C.720 D.1 680 6.记,则( ) A.1023 B.2047 C.2024 D.4048 7.某人工智能实验室有6名研究员,将他们分配到3个不同的人工智能科研项目,若每名研究员只能加入1个项目,且每个项目至少需要1名研究员,则不同的分配方案数为 A.540 B.600 C.480 D.720 8.若数列{an}的前n项和为Sn,2n+1an+1=2n+2an-3,且a1=,则S20= A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知数列{an},{bn}分别是等差、等比数列,则必有 A.a5+a7=a12 B.a6+a7+a20=3a11 C.b1b2b19=b2b3b17 D.b1+b2,b3+b4,b5+b6成等比数列 10.在四面体PABC中,=,=2,则 A.=+ B.=+- C.=+ D.=+- 11.已知函数f(x)=ex-t(x2+x+1),则 A.当f(x)仅有一个零点时,t>1 B.当f(x)有三个零点时,<t<1 C.当f(x)恰有两个零点m,n时,m+n>0 D.当f(x)有三个零点a,b,c(a<b<c)时,a<0<b<1<c 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若3,-7,x,y成等差数列,则x+y= . 13.若直线y=kx(k≠0)与曲线y=x4-7x3相切于点(m,km),则m= . 14.如图,给这八个方格涂色,现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择,要求相邻的方格涂不同的颜色,且两端都涂红色,则不同的涂色方法共有 种. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知函数f(x)=x-2sin x. (1)求的值; (2)求f(x)在0,上的极值. 16.(15分) 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,AB=2,AA1=(n∈N*). (1)当n=4时,若直线AE与平面 垂直,求直线BD1与 所成角的正弦值; (2)设an= ,证明:<2. 17.(15分) 在数列{an}中,a1=1,an+1+=3an+,且an<. (1)证明an+为等比数列,并求{an}的通项公式; (2)设bn=2an+,求数列{(2n-1)bn}的前n项和Sn. 18.(17分) 如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60 ,将 ABD沿对角线BD折起,使点A到达点P的位置,连接PC,得到三棱锥P-BCD,设二面角P-BD-C的大小为 ,且 ∈(0, ). (1)证明:BD⊥PC. (2)若cos =,CD的中点为E,求PE的长. (3)若二面角P-CD-B的余弦值为,求 的值. 19.(17分) 已知函数f(x)=x2-aln x-. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若f(x)在其定义域内单调递增,求a的取值范围; (3)若0<a<9,且∀m∈(0,+∞),∃n∈(0,1],f(n)+mm>mln m2-2ln 2,求a的取值范围. 高二数学参考答案 1.C 向量在向量上的投影向量为. 2.B f'(x)=6x2-14x-4,因为(-14)2-4 6 (-4)>0,所以f(x)有两个极值点, 由韦达定理得这两个极值点之和为=. 3.C 易知{an}是周期为3的周期数列,该数列的前14项中,大于1的项有a2,a5,a8,a11,a14, 所以由古典概型可得所求概率为=. 4.D 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n =y-z=0,n =-x+y=0,令z=1,得n=(1,1,1),则点D到平面ABC的距离d===. 5.A 依题意可得3个2相邻的十位数的个数为=280. 6.B 对于, 令,可得. 令,可得①, 令,可得②, ①+②得, 即. 7.A 将6个人分成3个组,每组至少1个人,则分组方案有2,2,2或者1,1,4或者1,2,3三类,故不同的分配方案数为(++=540. 8.D 因为2n+1an+1=2n+2an-3,所以2n+1an+1=4 2nan-3,所以2n+1an+1-1=4(2nan-1),又2a1-1=4,所以数列{2nan-1}是首项为4,公比为4的等比数列,则2nan-1=4n, 即an=2n+,则S20=(2+22+…+220)+(++…+)=+=221-1. 9.BC 对于A,因为等式左边是两项之和,右边只有一项,所以a5+a7=a12未必成立,A错误.对于B,等式两边均为三项之和,且下标之和相等,所以a6+a7+a20=3a11,B正确.对于C,等式两边均为三项之积,且下标之和相等,所以b1b2b19=b2b3b17,C正确.对于D,当公比为-1时,b1+b2=b3+b4=b5+b6=0,所以b1+b2,b3+b4,b5+b6不是等比数列,D错误. 10.AD =+=+(-)=+,A正确,C错误. =-=+-,B错误,D正确. 11.BCD 由f(x)=0,得t=.设g(x)=,则g'(x)=,令g'(x)>0,得x<0或x>1,令g'(x)<0,得0<x<1,则g(x)的单调递增区间为(-∞,0),(1,+∞),单调递减区间为(0,1),g(0)=1,g(1)=,当x -∞时,g(x) 0,当x +∞时,g(x) +∞.当t<或t>1时,直线y=t和曲线y=g(x)仅有一个交点,f(x)仅有一个零点,A错误.当t=或t=1时,直线y=t和曲线y=g(x)有两个交点,f(x)恰有两个零点m,n,设m<n,当t=时,n=1,g(-1)=<,g(0)=1>,则-1<m<0,则m+n>0,当t=1时,m=0,n>1,则m+n>0,C正确.当<t<1时,直线y=t和曲线y=g(x)有三个交点,f(x)有三个零点a,b,c(a<b<c),由图可知,a<0<b<1<c,B,D均正确. 12.-44 因为-7-3=-10,所以x+y=3 2+5 (-10)=-44. 13. y'=4x3-21x2,则解得m=0或m=.当m=0时,k=0,故m=0舍去,从而m=. 14.13 020 因为两端都涂红色,所以中间4个方格也可以涂红色. 当中间4个方格中有2个方格涂红色时,涂红色的位置有3种选择,剩下的有5 5 5 4种选择,所以共有5 5 5 4 3=1 500种涂色方法. 当中间4个方格中只有1个方格涂红色时,涂红色的位置有4种选择,剩下的有5 5 4 4 4种选择,所以共有5 5 4 4 4 4=6 400种涂色方法. 当中间4个方格都不涂红色时,有5 45=5 120种涂色方法. 综上,不同的涂色方法共有1 500+6 400+5 120=13 020种. 15.解:(1)f'(x)=1-2cos x, 2分 则==f'(0)=1-2=-1. 5分 (2)当x∈(0,)时,令f'(x)=0,得x=, 7分 令f'(x)<0,得0<x<,则f(x)在(0,)上单调递减, 9分 令f'(x)>0,得<x<,则f(x)在(,)上单调递增, 11分 所以f(x)在(0,)上的极小值为f()=-,f(x)在(0,)上无极大值. 13分 16.(1)解:以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示. 1分 当n=4时,AA1=2,则A(2,0,0),E(0,2,1),B(2,2,0),D1(0,0,2), 3分 则=(-2,2,1),=(-2,-2,2). 4分 因为直线AE与平面 垂直,所以=(-2,2,1)是平面 的一个法向量, 5分 所以直线BD1与 所成角的正弦值为|cos<,>|===. 7分 (2)证明:在(1)的坐标系中,A(2,0,0),E(0,2,),B(2,2,0),D1(0,0,), 8分 则=(-2,2,),=(-2,-2,), 9分 所以an= =,=, 10分 则==2( - ), 12分 所以=2(1-+-+…+-)=2-<2. 15分 17.解:(1)因为an+1+=3(an+), 2分 a1+=3,所以数列{an+}是首项为3,公比为3的等比数列, 4分 所以an+=3 3n-1=3n, 5分 解得an=, 7分 又an<,所以an=. 8分 (2)由bn=2an+,得bn=3n, 9分 则Sn=1 31+3 32+…+(2n-3) 3n-1+(2n-1) 3n①, 10分 则3Sn=1 32+3 33+…+(2n-3) 3n+(2n-1) 3n+1②, 11分 ①-②得-2Sn=31+2 (32+33+…+3n)-(2n-1) 3n+1, 12分 即-2Sn=3+2 -(2n-1) 3n+1, 14分 故Sn=3+(n-1)3n+1. 15分 18.(1)证明:取BD的中点O,连接CO,PO. 因为四边形ABCD是菱形,所以AB=AD,即PB=PD,所以PO⊥BD. 1分 同理可得CO⊥BD, 2分 因为PO∩CO=O,PO,CO⊂平面POC,所以BD⊥平面POC. 3分 又因为PC⊂平面POC,所以BD⊥PC. 4分 (2)解:由(1)知PO⊥BD,CO⊥BD,所以∠POC为二面角P-BD-C的平面角,即∠POC= . 5分 以O为坐标原点,OC,OD所在直线分别为x轴、y轴,以平面BCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系. 在菱形ABCD中,由∠BAD=60 ,AB=2,得BD=2,BO=OD=1,CO=PO=,则D(0,1,0),C(,0,0),E(,,0). 6分 由∠POC= ,可得P(cos ,0,sin ). 7分 当cos =时,sin =,则P(,0,),则PE==. 9分 (3)解:由(2)知=(-,1,0),=(cos -,0,sin ). 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 则即 10分 化简得令x=1,得n=(1,,tan). 11分 易知平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1), 12分 则|cos<m,n>|===, 14分 解得tan2=3, 15分 因为 ∈(0, ),所以∈(0,),所以tan=,则=, 16分 即 =. 17分 19.解:(1)当a=1时,f(x)=x2-ln x-,则f'(x)=2x-+, 1分 则f'(1)=7. 2分 因为f(1)=-5,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+5=7(x-1), 即y=7x-12. 3分 (2)f(x)的定义域为(0,+∞). 4分 f'(x)=2x-+=. 5分 若f(x)在其定义域内单调递增,则f'(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立, 即2x3-ax+6≥0对x∈(0,+∞)恒成立. 6分 易知a≥0,当a=0时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,所以a=0满足题意. 7分 当a>0时,设g(x)=2x3-ax+6(x>0), 则g'(x)=6x2-a=6(x+)(x-). 令g'(x)<0,得0<x<,令g'(x)>0,得x>, 所以g(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增, 8分 所以g(x)min=g()=-a+6=-+6=2(3-)≥0. 又a>0,所以0<a≤9. 9分 综上,a的取值范围是[0,9]. 10分 (3)由(2)知,当0<a<9时,f(x)在其定义域内单调递增,则f(x)在(0,1]上单调递增, 则f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)=1-6. 11分 由f(n)+mm>mln m2-2ln 2(m>0),得f(n)>mln m2-mm-2ln 2(m>0), 则f(n)>2mln m-emln m-2ln 2. 13分 设h(x)=xln x,则h'(x)=1+ln x,当0<x<时,h'(x)<0,当x>时,h'(x)>0, 所以h(x)≥h()=-. 14分 设p(x)=2x-ex-2ln 2,x≥-, 则p'(x)=2-ex,当-≤x<ln 2时,p'(x)>0,当x>ln 2时,p'(x)<0, 所以p(x)max=p(ln 2)=2ln 2-2-2ln 2=-2. 15分 由∀m∈(0,+∞),∃n∈(0,1],f(n)+mm>mln m2-2ln 2, 得1-6>-2, 16分 解得a<,又0<a<9,所以a的取值范围是(0,). 17分 学科网(北京)股份有限公司 $