精品解析：湖北襄阳市致远中学2025-2026学年高二下学期4月份阶段性测试数学试卷

高二年级4月份阶段性测试数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卷上填写清楚． 2．选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数在处可导， 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 5. 已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. ， 6. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．现有红、黄、蓝、绿四种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同，不同的涂色方法总数为（ ） A. 48 B. 24 C. 144 D. 72 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 若把英文“hello”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 C. 若3个男生与2个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数12 D. 不等式的解集为 10. 已知函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 已知函数，则（ ） A. 函数在处取得极小值 B. 存在唯一实数，使得 C. 若，则图象上一点与图象上一点之间的距离可能为1 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共15分． 12. 现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有__________种（用数字作答）. 13. 已知圆柱的表面积为，则圆柱体积的最大值为______． 14. 已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：（结果用数字作答） （2）解方程： （3）解不等式：的解集． 16. 设函数在及时取得极值． （1）求出的值； （2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 17. 已知曲线，且曲线在点处的切线与直线垂直． （1）求的值； （2）求的值； （3）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值． 18. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数满足，且过点可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围． 19. 已知函数，其中． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若R，对任意的恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级4月份阶段性测试数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卷上填写清楚． 2．选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数在处可导， 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的极限定义求解即可． 【详解】由，有，有. 故选：B. 2. 若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】应用分步乘法计数原理求解即得. 【详解】由题设，每个学生都有3种报名方式，故4名学生共有种报名方式. 故选：A 3. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则逐项计算即可. 【详解】因为是常数，所以，所以A错误； 因为，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以D错误. 4. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】D 【解析】 【分析】利用“元素相邻捆绑法”求解即可. 【详解】将甲和乙看作一个整体，有种方法， 将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． 5. 已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，结合单调性和定义域求解取值范围. 【详解】函数有意义，则且，即定义域为. ， 则 所以的单调递减区间是和. 6. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，通过构造新函数，利用转化法把交点问题转化为直线与曲线的交点问题，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可. 【详解】显然该函数的定义域为全体正实数， 由，设， ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 则有， 问题函数有两个零点，转化为直线与曲线有两个不同的交点，如下图所示： 由数形结合思想可知：当时，直线与曲线有两个不同的交点， 即函数有两个零点， 所以实数a的取值范围为. 7. 如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．现有红、黄、蓝、绿四种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同，不同的涂色方法总数为（ ） A. 48 B. 24 C. 144 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分选三种颜色与选四种颜色讨论，结合排列数代入计算，即可得到结果. 【详解】若选三种颜色，则①③同色且②④同色， 则有种方法； 若选四种颜色，则①③同色或②④同色， 则有种方法； 所以一共有种方法. 故选：D 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可构造函数，将转化为的函数值间的大小比较，根据导数研究的单调性，进而可得关于的不等式，解不等式即可. 【详解】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 若把英文“hello”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 C. 若3个男生与2个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数12 D. 不等式的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据排列数公式，以及相间问题的排列数的应用问题，即可判断. 【详解】A.根据排列数的定义可知，可表示为，故A正确； B. 若把英文“hello”的字母顺序写错了，可能的错误共有种，故B正确； C. 若3个男生与2个女生排成一排，男、女生都相间的排列种数种方法，故C正确； D. 不等式，则，即， 即，得， 且满足，解得， 综上可知，，故D错误. 故选：ABC 10. 已知函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性、极值点、极值以及零点判断A、B，根据函数关于点对称的充要条件判断C，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D. 【详解】，， 令，解得：或， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 时，，单调递减； 的极小值为：， 的极大值为：， 有三个零点，有两个极值点，A、B正确； 对于C，若点是曲线的对称中心，则有， 将函数代入上式验证得： ，C正确； 对于D，，解得：， 当时，，当时，， 切线方程为：或，D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数在处取得极小值 B. 存在唯一实数，使得 C. 若，则图象上一点与图象上一点之间的距离可能为1 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求导得，根据的正负确定单调性，进而可求得极小值；对于B，令，得，且，令，利用导数可得在上单调递增，由可知有且仅有一个实数根，且此根在区间上，进而可判断B； 对于C，，设是图象上一点，则点P到直线的距离，设，利用导数可得的最小值为，从而，即可判断C；对于D，当时，等价于，令，则，利用导数求得的最小值，从而可判断D. 【详解】对于A，，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 当时，取得极小值，故A正确； 对于B，令，得，且， 令，则， 令，则， 令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值， 则成立，即，从而在上单调递增， 又因为，，， 所以有且仅有一个实数根，且此根在区间上， 即存在唯一实数，使得，故B正确； 对于C，， 设是图象上一点， 则点P到直线的距离， 设，则， 由得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值， 则， 所以图象上一点与图象上一点之间的距离不可能为1，故C错误； 对于D，当时，等价于， 即，即. 令，则， 设，则，由得， 当时，单调递减；当时, 单调递增， 所以的最小值为， 所以，即，即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共15分． 12. 现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有__________种（用数字作答）. 【答案】72 【解析】 【分析】由题意先安排学生甲，再对另外四名学生进行全排即得. 【详解】根据题意，可分两步完成：第一步，先在中间三个位置上安排学生甲，有3种方法； 第二步，在留下的四个位置上安排另外4名学生，有种方法. 由分步乘法计数原理，不同站法数为种. 故答案为：72. 13. 已知圆柱的表面积为，则圆柱体积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆柱的表面积和体积公式，再利用导数法求函数的最值即可求解. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则 圆柱的表面积，即，解得 圆柱的体积为 令，得（舍）， 当时，， 当时，， 当时，圆柱体积取得的最大值为 故答案为：. 14. 已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求解两个函数的值域，根据值域的包含关系可得答案. 【详解】，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增，由，可得的值域为. ，， 当时，，单调递增，由，可得的值域为. 因为若对，总，使成立，所以， 即，解得，故实数a的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：（结果用数字作答） （2）解方程： （3）解不等式：的解集． 【答案】（1）；（2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据排列数公式计算； （2）根据排列数展开原方程，再结合的范围求解； （3）根据排列数展开原不等式，再结合的范围求解. 【详解】（1）分子：， 分母：， 约分化简得： （2）由，得. 根据排列数公式展开原方程：， 约去，可得， 化简得：，即， 解得或（舍去），故解为. （3）由，，得. 根据排列数展开原不等式：， 整理得：， 因式分解得，由于时，， 故不等式等价于，即， 结合定义域得解集为. 16. 设函数在及时取得极值． （1）求出的值； （2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，结合极值点和韦达定理求解即可； （2）代入，并对函数求导，分析函数单调性，进而结合端点值建立关于的不等式求解. 【小问1详解】 对函数求导可得， 因为在和处取得极值，所以是方程的两个根， 由韦达定理：,解得. 将代入导函数得：， 当时，当时，当时， 和处导数值变号，故为极值点，所以. 【小问2详解】 由，得，, 时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增，，，， 因此在上的最小值为. 任意都满足，等价于最小值大于， 即：，解得：，所以的取值范围是. 17. 已知曲线，且曲线在点处的切线与直线垂直． （1）求的值； （2）求的值； （3）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导可得的解析式，令代入，即可得答案. （2）求导可得的解析式，可得在点处的切线的斜率，根据两直线垂直斜率的关系，即可得答案. （3）根据（1）可得在点处的切线方程，设该切线方程与相切于点，根据导数的几何意义，可求出，代入切线方程，可得，将切点代入方程，即可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 令，得，解得 【小问2详解】 由，得， 则曲线在点处的切线的斜率， 又切线与直线垂直， 所以，解得 【小问3详解】 由（1）得曲线在点处的切线的斜率， 又，则切点坐标为， 则在点处的切线方程为，即， 由题意也是的切线，设切点坐标为， 则，所以在点处切线的斜率， 解得，则，即切点坐标为， 将切点代入，可得， 解得. 18. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数满足，且过点可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围． 【答案】（1） 当时，在和上单调递增，上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，上单调递减. （2） 【解析】 【分析】(1)首先求出的两个根，通过分类讨论参数的取值范围，求出的单调区间； (2)首先结合已知条件求出过点的切线方程，然后通过分离参数，并构造新函数，利用新函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ，令，得，； 当即时，在和上单调递增，上单调递减； 当即时，，在上单调递增； 当即时，在和上单调递增，上单调递减. 【小问2详解】 由，，可得， 所以，， 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率为，所以切线方程为， 因为点在切线上，所以，即。 设，过点可作曲线的三条切线，即与的图像有三个交点， 因为，令，解得或， 所以当或时，；当时，， 在和上单调递减，在上单调递增， 的极小值为，极大值为， 则的大致图像如下： 从而由与的图像有三个交点，可得，所以实数的取值范围是. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若R，对任意的恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导得出斜率并用点斜式即可求解； （2）可以利用反证法把存在性问题转化为恒成立问题分离参数再取补集即可求答案； （3）利用（2）判断导函数零点所在区间从而判断原函数单调性 【小问1详解】 当时，，函数定义域为 故， 又，所以切线方程为. 【小问2详解】 由题意得 若不存在单调增区间，则恒成立，即恒成立， 令， 当时，当时 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以即 因此所求实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知 所以在单调递减，又，， 所以必存在正数，使得，即 由（2）知当时，即，当时，即， 当时，即， 由上可知在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即， 令 因为 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以， 所以的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $