11.2二次根式的乘除 导学案 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级数学下册第十一章 二次根式 11.2 二次根式的乘除—导学案 班级：__________　姓名：__________　日期：__________ 一、课时目标 1. 理解与记忆：掌握二次根式的乘法法则和除法法则 ，能准确记忆并识别公式中各字母的取值范围，建立扎实的理论基础。 2. 计算与化简：能运用乘法法则和除法法则进行二次根式的乘除运算，掌握逆用法则将被开方数中能开得尽方的因式移至根号外进行化简。 3. 分母有理化：理解分母有理化的意义，掌握分子、分母同乘适当的二次根式使分母不含根号这一核心方法，并能根据题目特点灵活运用因式分解后再约分的技巧。 4. 实际应用：能将二次根式的乘除运算应用于直角三角形面积计算等实际几何问题，体会数学建模和化归转化的思想。 二、知识回顾 1. 二次根式有意义的条件是，即被开方数必须是非负数。 2. 化简下列二次根式： （1）　 （2）　 （3） 3. 如果一个正方形的边长为 cm，那么它的面积为3cm²；如果面积为 5cm²，那么它的边长为cm（用二次根式表示）。 三、新知探究 知识点一　二次根式的乘法法则 法则内容：，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘。 法则的逆用： ，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。这是化简二次根式的重要依据。 特别说明： 运用乘法法则时，公式中的、都必须是非负数。本章若无特别说明，所有字母都表示非负数。 知识点二　二次根式的除法法则 法则内容： ，即两个二次根式相除，根指数不变，只把被开方数相除。 法则的逆用：=利用该性质可以化简被开方数为分数（或分式）的二次根式。 知识点三　最简二次根式 概念： 满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式： （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含分母。 示例：是最简二次根式；（可化为，被开方数含能开得尽方的因数4）和 （被开方数含分母）都不是最简二次根式。 知识点四　分母有理化 概念： 将分母中含二次根式的代数式化为分母中不含二次根式的代数式的过程，称为分母有理化。 核心方法： 分子、分母同乘适当的二次根式（通常是分母中二次根式的共轭根式），使分母中不含根号。 常用技巧： （1）若分母为单一二次根式，则分子、分母同乘得 （2）若分母为形式，则利用平方差公式进行有理化： （3）有时根据题目特点，可先将分子或分母适当因式分解，再约分。 4、 学法归纳 拓展思考： ，但若写成 则不成立。这说明什么？ 说明： 这说明二次根式的乘法法则的使用前提是且，不能直接推广到负数。负数开方属于虚数范畴，不在初中二次根式讨论范围内。 五、典例精析 类型一　二次根式的乘法运算（基础） 【例题1·基础】二次根式的乘法——基本运算 计算下列各式： （1） （2）（3）() 规范解答： （1） = （2）= （3）= 变式训练1-1计算：（1）；（2）；（3）() 变式训练1-2 直角三角形两条直角边的长分别为cm和$ cm，求该直角三角形的面积。 变式训练1-3计算：。观察以上三组式子，说说等式左边的两个二次根式和等式右边根号内的数有什么关系？并用发现的规律直接写出的结果。 变式解析： 【变式1-1】（1）9（2）（3）4x() 【变式1-2】cm2 【变式1-3】 。 类型二　二次根式的除法运算（基础） 【例题2·基础】二次根式的除法——基本运算 计算下列各式： （1）÷；（2）；（3）÷ 规范解答： （1）÷ = （2） = （3）÷ = 变式训练2-1 计算：（1）÷；（2） （3） 变式训练2-2计算：（1）；（2） 变式训练2-3一个长方形面积是m²，宽是m，求长是多少米？如果用算式= 4 来解答，请你说出每一步的依据。 变式解析： 【变式2-1】 （1） ÷= （2） = （3） = 【变式2-2】 （1） = （2） = 【变式2-3】 第一步：长方形的长 = 面积 ÷ 宽；第二步：依据二次根式的除法法则；第三步：进行除法运算 48÷3 = 16；第四步 依据算术平方根的定义， = 4。 答：长是4米。 类型三　二次根式的混合运算与化简（中等） 【例题3·中等】二次根式的乘除混合运算 计算下列各式： （1） （2）（- ） 答案：（1） （2） 变式训练3-1计算：（1） （2） 变式训练3-2 设，求的值，并说明为什么两个含有根号的数相乘会得到一个有理数。 变式训练3-3已知一个矩形的长为，宽为，求这个矩形的面积（结果保留）。 变式解析： 【变式3-1】 （1） = = =3 （2） =80 【变式3-2】 = 因为()()=，乘开后两个含根号的交叉项和-互相抵消，结果只保留了有理数部分 【变式3-3】 矩形面积 = 长 × 宽 = =70 答：这个矩形的面积为70 类型四　分母有理化与综合应用（提优） 【例题4·提优】分母有理化 将下列各式分母有理化： （1）；（2）；（3） 答案： （1） （2） （3） 变式训练4-1 将 分母有理化，并化简结果。 变式训练4-2 把根式化简成最简二次根式： 变式训练4-3 已知，，求下列各式的值： （1）；（2）+ 答案：【变式4-1】 【变式4-2】 【变式4-3】 （1） （2）10 六、巩固练习（15题） A组　基础达标训练（基础）——6题，10分钟完成 一、选择题 1．若 ，则 m的值为（　） A．18　　 B．9　　 C．6　　 D．3 2．下列计算结果为的是（　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 3．化简的结果是（　） A．3　　 B．4　　 C．5　　 D．6 二、填空题 4．= __________ 5． = __________ 6．计算：= __________ B组　能力提升训练（中等）——5题，8分钟完成 一、选择题 7．已知 =，则的取值范围是（　） A．a > 0　　 B．　　 C．a < 0　　 D． 8．下列各式中与 的计算结果相同的是（　） A． 　　 B．　　 C．　　 D． 二、填空题 9．计算：= __________ 10．计算： =__________ 11．分母有理化： = __________ C组　思维拓展训练（提优）——4题，7分钟完成 12．将分母有理化得 __________；将分母有理化得 __________。 13．若x=，则的值是 __________。 14．化简求值：已知，，求- 的值。 15．某数学兴趣小组探究发现：。根据规律，请写出第个等式（且n为正整数），并用二次根式的乘除法则简要说明你的理由。 参考答案 巩固练习——A组 1、A 2、D 3、D 4、10y) 5、3 6、4 巩固练习——B组 7、A 8、C 9、6 10、1 11、 巩固练习——C组 12、 ， 13、 14、 - == 15、规律：（且n为正整数） 学科网（北京）股份有限公司 $