8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系 温州科技高级中学 张明 前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等，空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？ 长方体是我们熟悉的空间几何图形，下面我们借助长方体进一步研究空间中点，直线，平面之间的位置关系 长方体有8个顶点，12条棱，6个面，12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？ 空间中点与直线的位置关系有两种： 点在直线上和点在直线外. 空间中点与平面的位置关系也有两种： 点在平面内和点在平面外 ⑴在平面中直线与直线之间的位置关系有几种事实？注意是事实。事实是什么意思？即它是客观存在的，这种事实是不以人的主观努力而改变的，不以人的意志而转移的，不管人有没有在，它总是存在着,就算人类灭亡了，它也依旧存在 。我们人类只不过是发现它们，不是发明它们。 ⑵、在空间中直线与直线的位置关系有几种事实？注意是事实。这种事实是不以人的主观努力而改变的，不以人的意志而转移的，不管人有没有在，它总是存在着,就算人类灭亡了，它也依旧存在 。我们人类只不过是发现它们，不是发明它们。 (2)观察如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1,棱AA1和棱BB1,棱AD分别是什么关系?棱AA1与棱BC呢? 一、空间中直线与直线的位置关系 1.思考 (1)在同一平面内,两条直线的位置关系有哪几种? 答：有两种,平行和相交. 答：棱AA1和棱BB1平行,棱AA1和棱AD相交,棱AA1与棱BC既不平行也不相交,即异面. 2.异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内. 反思：异面直线，就像刚出生的婴儿要取个新名字一样，是给新的事实取个名字，且名字要取得形象和直观。异面直线是我们刚发现的新事实。注意：数学上的名字不会无缘无故取的，每个名字都有内含和历史。 A B C D 六角螺母 3.异面直线的画法 说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托. 如图： a b (2) A b a (1) a b (3) 人教A版数学《空间点、直线、平面之间的位置关系》PPT下载1 人教A版数学《空间点、直线、平面之间的位置关系》PPT下载1 a与b是相交直线 a与b是平行直线 a与b是异面直线 a b M 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ a b a b 思考 4、空间中直线与直线之间的位置关系总结 共面直线 相交直线 平行直线 在同一个平面内,有且只有一个公共点: 在同一个平面内,没有公共点: 异面直线 不同在任何一个平面内,没有公共点: 无公共点 人教A版数学《空间点、直线、平面之间的位置关系》PPT下载1 人教A版数学《空间点、直线、平面之间的位置关系》PPT下载1 练习1 直线a与直线b相交,直线c与直线b相交,则直线a与直线c的位置关系是(　　) A.相交 B.平行 C.异面 D.以上都有可能 D 人教A版数学《空间点、直线、平面之间的位置关系》PPT下载1 人教A版数学《空间点、直线、平面之间的位置关系》PPT下载1 反思：1、利用长方体模型。 2、此题告诉我们，君子不但动脑也要动手。同学们。拿出3支笔，把笔当直线试试看。 练习2 :在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线间的位置关系: ①直线A1B与直线D1C　　;  ②直线A1B与直线B1C　　　;  ③直线D1D与直线CE(E为线段C1D1的中点)　　　　;  ④直线AB与直线B1C　　　　.  　　　 异面 　　　 相交 异面 平行 人教A版数学《空间点、直线、平面之间的位置关系》PPT下载1 人教A版数学《空间点、直线、平面之间的位置关系》PPT下载1 总结：1、在平面中直线和直线的位置关系只有两个儿子，在空间中有且只有三个儿子，没有第四个儿子。我只有一个儿子. 2、正面：不在任何一个平面内即不共面。反面：在某一个平面内即共面。 二、空间中直线与平面的位置关系 1.思考 观察如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1,线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系? 答：直线A1B在平面ABB1A1内,与平面CDD1C1平行,与其余四个面相交. 人教A版数学《空间点、直线、平面之间的位置关系》PPT下载1 人教A版数学《空间点、直线、平面之间的位置关系》PPT下载1 (3)、在空间中直线与平面的位置关系有几种事实？注意是事实。这种事实是不以人的主观努力而改变的，不以人的意志而转移的，不管人有没有在，它总是存在着,就算人类灭亡了，它也依旧存在 。我们人类只不过是发现它们，不是发明它们。 在平面中直线和直线的位置关系只有两个儿子，在空间中有且只有三个儿子，没有第四个儿子。我只有一个儿子。 问：在空间中直线与平面的位置关系有几个儿子？有且只有几个儿子？ 图形 文字语言(读法) 符号语言 a A a 直线上所有的点都在 平面内直线在平面内 直线与平面有且只有一个公共点直线与平面相交 直线与平面无公共点 直线与平面平行 a a a a 我们常把直线与平面相交或平行的情况称为直线在平面外。记作 2、空间中线与面的位置关系 人教A版数学《空间点、直线、平面之间的位置关系》PPT下载1 人教A版数学《空间点、直线、平面之间的位置关系》PPT下载1 练习3.若a是平面α外的一条直线,则直线a与平面α内的直线的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行、相交或异面 练习4已知直线a,b与平面α满足a∥α,b∥α,则a与b的位置关系是　　　　　　　.   平行、相交或异面 D 人教A版数学《空间点、直线、平面之间的位置关系》PPT下载1 人教A版数学《空间点、直线、平面之间的位置关系》PPT下载1 反思：1、利用长方体模型。 2、君子动脑也动手。拿出2支笔当直线，桌面当平面，做做实验看。 (4)、在空间中平面与平面的位置关系有几种事实？注意是事实。这种事实是不以人的主观努力而改变的，不以人的意志而转移的，不管人有没有在，它总是存在着,就算人类灭亡了，它也依旧存在 。我们人类只不过是发现它们，不是发明它们。 即在空间中平面与平面的位置关系有几个儿子？有且只有几个儿子？ 1.思考 观察前面问题中的长方体,平面ABCD与长方 体的其余各个面,两两之间有几种位置关系? 三、空间中平面与平面的位置关系 答：两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行.如平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,它们没有公共点,平面ABCD与平面ABB1A1相交,交线是AB. 图形 文字语言(读法) 符号语言 三、空间中面与面的位置关系 两个平面有一公共直线两个平面相交 两个平面无公共点 两个平面平行 α∥β α β 例1 由下图，分别用文字和符号语言表示下列图形中点、直线和平面的位置关系。 （1） A B a L α β 文字表示: 符号表示: 文字表示: 符号表示: α β a b P 直线a分别交平面α、 β于点A、B,平面α和β相交于直线L （2） 平面α与β相交于直线L，直线a在平面α内，直线b在平面β内，直线a和b相交于点P L 人教A版高一数学必修第二册：8.4.2-空间点、直线、平面之间的位置关系 课件(共24张PPT) a (1) B A 解: 是异面直线，理由如下： 若 不是异面直线，则它们相交或平行，设它们确定的平面为 ，则 ，由于经过点B与直线a有且仅有一个平面 ，因此平面 与 重合，从而 ，进而 ，这与 矛盾，所以直线AB与a是异面直线。　 人教A版高一数学必修第二册：8.4.2-空间点、直线、平面之间的位置关系 课件(共24张PPT) 例2.如图 直线AB与a具有怎样的位置关系 ？为什么？　　　 同学们很多立体几何定理结论实在是太明显太显然了，比公理还显然，但注意它不是公理而是可以证明出来的性质或定理，我们中国人觉得拿过来用就可以了，但西方不然,要证明出它。这在平时的证明中可以当定理使用。注意我们证明题目时的论据都是来自于教材，教材之外的不会考到，虽然教材之外补充了许多定理、性质。 同学们有没有发现西方人没事找事做，吃饱了撑着？正因为西方人的这种刨根究底的精神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验，没有证明的迹象。 虽然结论很显然但证明却是不容易。 1、学习数学有什么用？ 荷兰数学家弗赖登塔尔的，他说：“与其说是学习数学，还不如说是学习‘数学化’；与其说是学习公理系统，还不如说是学习‘公理化’；与其说是学习形式体系，还不如说是学习‘形式化’。” 数学教育家米山国藏指出：“学生进入社会后，几乎没有机会应用它们在初中或高中所学到的数学知识，因而这种作为知识的数学，通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用。” 所以学习数学，数学忘记了，但数学化不会忘记，学习公理，公理忘记了，但公理化不会忘记，学习形式体系，形式体系忘记了，但形式化不会忘记。也就是数学化、公理化、形式化一辈子都对你产生影响。 中国人的思维缺陷 1、不证而论 比如不懂逻辑学上的“充足理由律”，给出论点来往往不证而论，只有论点，没有论据。 2、以“经典、经验、想当然”作为论据 参考文章：《中国人思维的五大缺陷》作者：芦笛 总结：中国数学是经验型的，结构松散毫无逻辑，中国人做事也不讲逻辑。 西方人思维优点 擅长逻辑，比如平面几何的公理系统，从几个公理出发当成起点推出定理、性质、推论。或由以定理、性质、推论为依据推出定理、性质、推论，每一步都有论据，这论据要么是公理要么是定理、性质、推论。最后形成严密的公理化系统，注意是严密，或严密的逻辑系统。逻辑学就是发达于西方. 学习数学有点就是学习西方人如何思维,高考大部分考西方的思维方式。只有算法是考中国人思维方式 同学们，书上只介绍了三个基本事实即公理，为什么？ 那是因为要建立立体几何公理系统，有这三个公理就足够了，其它都可以把它推导出来，可以当推论或当性质等。 有的同学马上想知道这三个事实即三个公理还有推导到底用在哪里？ 公理系统是什么？我们前面提过。 什么是公理？那就是不证自明非常显然的事实，公理是我们证明的原点或起点，从原点或起点出发到达我们要到的地方。证明先从公理开始。证明的起点是显而易见的事实，这事实就是公理。公理是去证别人而自己是不能证明的。 同学们很多立体几何定理结论实在是太明显太显然了，比公理还显然，但注意它不是公理而是可以证明出来的性质或定理，我们中国人觉得拿过来用就可以了，但西方不然,要证明出它。这在平时的证明中可以当定理使用。注意我们证明题目时的论据都是来自于教材，教材之外的不会考到，虽然教材之外补充了许多定理、性质。 同学们有没有发现西方人没事找事做，吃饱了撑着？正因为西方人的这种刨根究底的精神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验，没有证明的迹象。 虽然结论很显然但证明却是不容易。 定理：两条平行线一条垂直一个平面另一条也垂直这个平面 这样的定理很多。 同学们注意，以上的定理其实我们都是不知不觉无意识的在使用它们了，在中国这是显然的经验，在使用这些定理时我们自己都没有意识到。西方人不这么干，他把这些不知不觉无意识使用的经验拿出来用公理化思想证明,形成一个极其严密不是松散的系统。这造就了西方发达的科技。 如果我们不学习其实同学们在证明命题时自己自动会使用它们，连自己都没有意识到。因为太显然了，比公理还显然，太常识了，以至于我们没有注意它们,是熟视无睹啊。 我们为什么要学习这几个定理就是让无意识的东西进入我们的意识。 图形 文字语言(读法) 符号语言 A a A a 点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 （1）空间中点与线、点与面的位置关系 归纳总结 人教A版高一数学必修第二册：8.4.2-空间点、直线、平面之间的位置关系 课件(共24张PPT) 人教A版高一数学必修第二册：8.4.2-空间点、直线、平面之间的位置关系 课件(共24张PPT) 图形 文字语言(读法) 符号语言 a∥b （2）空间中线与线的位置关系 两直线不共面且无公共点两直线异面 两直线共面且有一个公共点两直线相交 两直线共面且无公共点两直线平行 a、b异面 ab=A b a A b a b a 人教A版高一数学必修第二册：8.4.2-空间点、直线、平面之间的位置关系 课件(共24张PPT) 人教A版高一数学必修第二册：8.4.2-空间点、直线、平面之间的位置关系 课件(共24张PPT) 图形 文字语言(读法) 符号语言 a A a a∥ （3）空间中线与面的位置关系 直线上所有的点都在 平面内直线在平面内 直线与平面有一个公共点直线与平面相交 直线与平面无公共点 直线与平面平行 a a a a 人教A版高一数学必修第二册：8.4.2-空间点、直线、平面之间的位置关系 课件(共24张PPT) 人教A版高一数学必修第二册：8.4.2-空间点、直线、平面之间的位置关系 课件(共24张PPT) 图形 文字语言(读法) 符号语言 （4）空间中面与面的位置关系 两个平面有一公共直线两个平面相交 两个平面无公共点 两个平面平行 α∥β α β 人教A版高一数学必修第二册：8.4.2-空间点、直线、平面之间的位置关系 课件(共24张PPT) 人教A版高一数学必修第二册：8.4.2-空间点、直线、平面之间的位置关系 课件(共24张PPT) $