精品解析：安徽省蚌埠市2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

八年级数学 下册第16~18章 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，不是二次根式，故不符合题意； B．∵，∴不是二次根式，故不符合题意； C．是二次根式，故符合题意； D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意； 故选C． 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】解：A、含有和两个未知数，不符合定义，∴A错误； B、满足定义，只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，∴B正确； C、未说明二次项系数，若，方程不是一元二次方程，∴C错误； D、分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义，∴D错误． 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件判断即可，两个条件为：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A：的被开方数含分母，不是最简二次根式； B：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； C：，被开方数9是能开得尽方的平方数，不是最简二次根式； D：，被开方数12含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式． 4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理和勾股定理的逆定理，逐个判断选项即可，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形． 【详解】解A、，不符合三角形三边关系，不能构成三角形， 故A不符合题意； B、，可以构成三角形，但，，，不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、，可以构成三角形，又，满足勾股定理的逆定理，可以构成直角三角形，故C符合题意； D、，可以构成三角形，但，，，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 5. 下列各等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A，，等式成立； 选项B，2与不是同类二次根式，不能合并，，等式不成立； 选项C，与不是同类二次根式，不能合并，，等式不成立； 选项D，，等式不成立． 6. 如图，点O是一港口，渔船A从O出发沿北偏东方向以12海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以10海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船相距的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以12海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以10海里/时的速度出海， ∴， 两小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）， D选项符合题意． 7. 若m，n是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 8. 中国（安庆）黄梅戏艺术节是中国首个以黄梅戏为主题的全国综合性艺术节，安庆市某校八（1）班同学互赠黄梅戏主题书签，共赠主题书签2450张，若八（1）班共有n名学生，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题关键是理解互赠的含义． 计算总赠出书签的数量，从而列出方程． 【详解】解：∵八（1）班共有名学生，同学之间互赠书签，即每名同学需要向除自己以外的其他同学各赠送1张书签， ∴每名同学送出张书签，名同学送出书签的总张数为， 又已知共赠主题书签2450张， ∴可列方程． 9. 若方程有实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】分（一元一次方程）和（一元二次方程）两种情况讨论，根据方程有实数根的条件求解的取值范围． 【详解】解：∵方程未指明次数， 需分两种情况讨论， ①当时，原方程化为，解得，有实数根，符合要求； ②当时，原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则根的判别式， 即， 解不等式得， 综上，的取值范围为． 10. 如图，在中，，点D在上，且，P是上的动点，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点，连接，， 根据对称性可得， 当点P运动至与点重合时，的值最小， 即． ， ， ． ， ． 在中，， 的最小值为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 12. 勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五．”有一组勾股数，已知其中的两个数分别是5和13，则第三个数是__________． 【答案】12 【解析】 【分析】需分两种情况讨论，即第三个数为直角边和第三个数为斜边，结合勾股定理计算，再根据勾股数为正整数的条件筛选得到正确结果． 【详解】解：设第三个数为， 分两种情况讨论： 当为斜边时，为直角边，由勾股定理得：， 变形得， 因为是正整数，所以，符合勾股数的定义； 当为直角边时，为斜边，由勾股定理得：， 因为不是完全平方数，不是正整数，不符合题意，舍去； 综上，第三个数是． 13. 承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5元/个，在销售中发现，当这种手办的价格定为7元/个时，每天可卖出160个，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20个，若该网店一天销售这种手办所获得的利润是420元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个． 【答案】8 【解析】 【分析】先设出价格提高的金额，分别表示出单个手办的利润和每天的销售量，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出一元二次方程，求解后根据“让顾客得到优惠”的条件选取符合要求的解即可． 【详解】解：设每个手办的单价提高元，则定价为元/个，单个手办的利润为元，每天的销售量为个， 根据题意，可得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，， 当时，定价为元/个， 当时，定价为元/个， 因为要让顾客得到优惠，因此选择较低的定价元/个． 14. 如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． （1）若是的中点，则的长为__________． （2）若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）设，则，根据折叠可知，然后在中，由勾股定理建立方程求解即可； （2）找出两个临界位置，利用勾股定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：（1）是的中点， ， 设，则，根据折叠可知， ∵ 在中，， ， 解得， ； （2）根据轴对称的性质可得， 当的值最大即点A与点重合时，的值最小，如图1，此时， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 当的值最小即点C与点重合时，的值最大， 如图2，此时， 综上所述，的取值范围为． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 开平方，得， 所以原方程的根是，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，，，，于点D． （1）求的长． （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）根据，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，，， ； 【小问2详解】 解：， ． 18. 如图，网格中小正方形的边长均为1，点A在格点（即小正方形的顶点）上． （1）在网格中作线段，使，点B在格点上． （2）在（1）的条件下，作格点C，连接，，使，． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意及勾股定理进行作图即可． （2）根据题意及勾股定理进行作图即可． 【小问1详解】 解：如图，线段即所求． 【小问2详解】 解：如图，点C即所求． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根． （2）若，是方程的两个根，且，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查利用判别式判断一元二次方程根的情况，根与系数的关系，熟练掌握判别式公式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据判别式判断即可； （2）利用根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意可知 ， ， ， 即， 该方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：，是方程的两个根， ，. ， ，即， 解得， 检验：当时，，所以是原分式方程的解． 20. 如图，在中，，，，M，N是边上的两动点，点M从点B出发向点C以的速度运动，点N从点C出发向点B以的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接，，设运动的时间为． （1）用含t的式子表示出的值． （2）当时，通过计算说明的形状． 【答案】（1） （2）是以为斜边的直角三角形 【解析】 【分析】（1）过点A作于点D，根据，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，利用勾股定理解答即可； （2）先求出，然后在和中，利用勾股定理可得，，再由勾股定理逆定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点D． ，， ， ， ． ，， 点M始终在上运动． 根据题意得，则， 在中，． 【小问2详解】 解：， ，． 由（1）得，， ，， ． 在中，， 在中，． ，， ， 是以为斜边的直角三角形． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． （1）请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 （2）如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 【答案】（1）①两点之间，线段最短；②；③13 （2） 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，能够掌握最短路径的解题思路是解题的关键． （1）根据题意填空即可； （2）连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，当点A，P，共线时，有最小值，最小值为，据此利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为①两点之间，线段最短，将延长至点F，使得②，连接，则，，易求得③，即的最小值为的长． 【小问2详解】 解：如图，连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，连接，则，， 当点A，P，共线时，有最小值，最小值为， 过点A作交其延长线于点E， 到的垂直距离为，，， ， ， 从A到B的最短路程是． 七、（本题满分12分） 22. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的伴随方程，其中a，b，c为常数（且a，）．根据此定义解决下列问题： （1）若是一元二次方程的伴随方程的一个根，求出c的值． （2）若m，n为一元二次方程的两个根，且． （ⅰ）若，，求一元二次方程的伴随方程． （ⅱ）求证：一元二次方程的伴随方程的两个根分别为，． 【答案】（1） （2）（i）（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得出一元二次方程的伴随方程为，将代入求解即可； （2）（ⅰ）根据一元二次方程根与系数关系得出，结合，求出．结合，即可得，．根据一元二次方程根与系数关系得出，即可求出，得出一元二次方程的伴随方程； （ⅱ）根据一元二次方程根与系数关系得出，．再根据题意得出一元二次方程的伴随方程为，设的两个根为，，根据一元二次方程根与系数关系得出，．又，，即，，即可证明； 【小问1详解】 解：由题意可知一元二次方程的伴随方程为， 将代入中，得，解得． 【小问2详解】 解：（ⅰ）∵m，n为一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ， 解得． ， ，． ，， ， 解得， 一元二次方程的伴随方程为． （ⅱ）证明：，n为一元二次方程的两个根， ，． 一元二次方程的伴随方程为， ∴设的两个根为，，则，． ，， ，， 一元二次方程的伴随方程的两个根分别为，． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在中，，是上的高，且． （1）求的长． （2）若E是上一点，连接交于点F． （ⅰ）求证：． （ⅱ）若，求的值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，，然后在和中，利用勾股定理可得，即可求解； （2）（i）过点C作于点M． 根据等腰三角形的性质可得，在和中，利用勾股定理可得 ，即可解答；（ⅱ）连接，由（1）可得，可得，从而得到，，设，则，，可得，，，进而得到．再由，可得，，可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：是上的高， ． ，， ，． 在中，， 在中，， ， ． 【小问2详解】 （i）证明：如图，过点C作于点M． ， ． 在中，， 在中，， ，即． （ⅱ）如图，连接，由（1）可得， ． ， ，． 设，则，， ，， ． ， ． ， ，． ， ， 整理得， 解得，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 下册第16~18章 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 5. 下列各等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点O是一港口，渔船A从O出发沿北偏东方向以12海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以10海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船相距的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 7. 若m，n是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 8. 中国（安庆）黄梅戏艺术节是中国首个以黄梅戏为主题的全国综合性艺术节，安庆市某校八（1）班同学互赠黄梅戏主题书签，共赠主题书签2450张，若八（1）班共有n名学生，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 若方程有实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 如图，在中，，点D在上，且，P是上的动点，连接，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小： ______ （填 、或） 12. 勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五．”有一组勾股数，已知其中的两个数分别是5和13，则第三个数是__________． 13. 承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5元/个，在销售中发现，当这种手办的价格定为7元/个时，每天可卖出160个，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20个，若该网店一天销售这种手办所获得的利润是420元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个． 14. 如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． （1）若是的中点，则的长为__________． （2）若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，，，，于点D． （1）求的长． （2）求的长． 18. 如图，网格中小正方形的边长均为1，点A在格点（即小正方形的顶点）上． （1）在网格中作线段，使，点B在格点上． （2）在（1）的条件下，作格点C，连接，，使，． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根． （2）若，是方程的两个根，且，求m的值． 20. 如图，在中，，，，M，N是边上的两动点，点M从点B出发向点C以的速度运动，点N从点C出发向点B以的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接，，设运动的时间为． （1）用含t的式子表示出的值． （2）当时，通过计算说明的形状． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． （1）请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 （2）如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 七、（本题满分12分） 22. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的伴随方程，其中a，b，c为常数（且a，）．根据此定义解决下列问题： （1）若是一元二次方程的伴随方程的一个根，求出c的值． （2）若m，n为一元二次方程的两个根，且． （ⅰ）若，，求一元二次方程的伴随方程． （ⅱ）求证：一元二次方程的伴随方程的两个根分别为，． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在中，，是上的高，且． （1）求的长． （2）若E是上一点，连接交于点F． （ⅰ）求证：． （ⅱ）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $